К. Б. Сабитов, Р. М. Сафина, Первая граничная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэф- фициентом, Изв. РАН. Сер. матем., 2018, том 82, вы- пуск 2, 79–112

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

К. Б. Сабитов, Р. М. Сафина, Первая граничная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэф- фициентом, Изв. РАН. Сер. матем., 2018, том 82, вы- пуск 2, 79–112

DOI: https://doi.org/10.4213/im8596

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:42:51

УДК 517.95

К. Б. Сабитов, Р. М. Сафина

Первая граничная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом

Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом ис- следована первая граничная задача в прямоугольной области. Установлен критерий единственности решения задачи. Решение построено в виде сум- мы ряда по системе собственных функций одномерной задачи на собствен- ные значения. При обосновании равномерной сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей. В связи с чем получены оценки об отде- ленности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой.

Эти оценки позволили обосновать сходимость ряда в классе регулярных решений данного уравнения.

Библиография: 44 наименования.

Ключевые слова:уравнение смешанного типа, сингулярный коэффи- циент, задача Дирихле, задача Келдыша, обзор, единственность, ортого- нальный ряд, малые знаменатели, оценки, существование, устойчивость.

DOI: https://doi.org/10.4213/im8596

§ 1. Постановка задачи. Обзор известных результатов

Рассмотрим уравнение смешанного типа Su≡uxx+ (sgny)uyy+k

xux= 0 (1.1)

в прямоугольной областиD={(x, y) : 0< x < l,−α < y < β}, гдеα >0,β >0, k,l – заданные действительные числа.

Интерес к уравнению (1.1) вызван тем, что решение пространственной зада- чи Трикоми для уравнения смешанного типа

uxx+uyy+ (sgnz)uzz= 0

в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригоно- метрического ряда Фурье, коэффициенты которого являются решениями плос- кой задачи Трикоми для уравнения (1.1), см. [1], [2].

Отметим, что в работах С. П. Пулькина [3]–[5] для уравнения (1.1) приk>1 изучена задача Трикоми в областиG, ограниченной кусочно-гладкой кривойΓ, лежащей в первой четверти, с концами в точкахA(1,0) иB(0,1)и характери- стикамиOC:x+y= 0иBC:x−y= 1,O(0,0),C(1/2,−1/2), где на основании

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-31-50008 мол_нр), Российского фонда фундаментальных исследований и Рес- публики Башкортостан (проект № 17-41-020516 р_а).

⃝c К. Б. Сабитов, Р. М. Сафина, 2018

принципа экстремума установлена единственность и методом интегральных уравнений доказана теорема существования этой задачи. Случай 0 < k < 1 исследован в работах В. Ф. Волкодавова и Л. М. Невоструева [6], [7]. В рабо- тах К. Б. Сабитова [8], [9, с. 51, 52, 65–71] единым методом изучена задача T для уравнения (1.1) при всех k > 0. В работе К. Б. Сабитова, Р. Р. Илья- сова [10] предложен другой способ построения решения задачи Трикоми для уравнения (1.1) в областиGв виде ряда по специальным функциям для зна- чений параметра 0 < k <1 в случае, когда кривая Γ совпадает с четвертью единичной окружностиΓ0={(x, y) :x²+y²= 1, x >0, y >0}.

Особое внимание к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа воз- никло после работы Ф. И. Франкля [11, с. 278–288], где впервые отмечено, что задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к этой задаче. Например, сводится к задаче Дирихле для уравнения Чаплыгина задача перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения.

А. В. Бицадзе [12], [13, c. 140] впервые доказал некорректность задачи Дири- хле для уравнения (1.1) приk= 0, т. е. для уравнения Лаврентьева

uxx+ (sgny)uyy= 0, (1.2)

в смешанной области Ω, ограниченной приy >0и y <0 соответственно глад- кими кривымиΓиγс общими концами в точках(0,0)и(0,1), при этом дугаγ лежит внутри характеристического треугольника

−x6y61−x, 06x61, (1.3) в классе функций

C²(Ω₊∪Ω₋)∩C¹(Ω)∩C(Ω), (1.4) здесь Ω+ = Ω∩ {y > 0}, Ω₋ = Ω∩ {y < 0}. После этой работы возникла проблема поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

Б. В. Шабатом [14] изучена задача Дирихле для уравнения (1.2) в области y > −h, h > 0, гиперболическая часть Ω₋ которой лежит целиком внутри характеристического треугольника (1.3), в классе функций (1.4).

Задача Дирихле для уравнения (1.2) в прямоугольной области D приl = 1 изучена в работах Н. Н. Вахания [15] и J. R. Cannon [16], где найдены условия

th(πnβ) ctg(πnα)̸=−1, n= 1,2, . . . , (1.5) единственности решения этой задачи. В [16] методом разделения переменных решение построено в виде суммы ортогонального ряда. При условии когда ϕ(x), ψ(x) ∈ C⁴[0,1], ψ(0) = ψ^′′(0) = ψ(1) = ψ^′′(1) = ϕ(0) = ϕ^′′(0) = ϕ(1) = ϕ^′′(1) = 0 и число α может принимать значения α = p/j, j = 1,2,3, p ∈ N, и α = p/q, (p, q) = 1, np = mq+r, n ∈ N, m, r ∈ N0 = N∪0, 0 6 r < q, min06r<q|r/q−3/4|>δq >0,n >Nq = const>0отмечена сходимость ряда.

А. М. Нахушевым [17], [18, c. 146–158] впервые установлен критерий един- ственности решения задачи Дирихле для многомерного уравнения смешанного

типа первого рода в цилиндрической области и двумерном случае для урав- нения

K(y)uxx+uyy−c(x)u= 0 (1.6) в области, где эллиптическая часть ограничена гладкой кривой Γ с концами в точках (0,0) и (l,0) и отрезком [0, l], а гиперболическая часть есть прямо- угольник D₋ ={(x, y) : 0 < x < l,−α < y <0}, исследована задача Дирихле, когда в уравнении (1.6) коэффициенты K(y) = sgny, c(x)≡const. Здесь как частный случай получены условия (1.5) единственности решения задачи Дири- хле для уравнения (1.2), ранее полученные в работах [15], [16].

В работах М. М. Хачева [19], [20] методом разделения переменных исследо- вана задача Дирихле в прямоугольной области D при l = 1 для уравнения Трикоми

yuxx−uyy = 0 и для обобщенного уравнения Лаврентьева–Бицадзе

sgny[a(x)uxx+b(x)ux+c(x)u] +uyy = 0,

в которых установлены условия единственности решения задачи. Решение по- строено в виде суммы ряда без строгих обоснований.

Р. И. Сохадзе [21] для уравнения смешанного типа второго рода

uxx+yuyy+auy= 0 (1.7)

при 0< a <1исследовал первую краевую задачу в прямоугольной области D приl= 1при условии

Ja−1(2πk√

α)I1−a(2πkp

β) +J1−a(2πk√

α)Ia−1(2πkp

β)̸= 0, (1.8) гдеJ_1−a(z)иI_1−a(z)– функции Бесселя первого рода порядка1−aс действи- тельными и чисто мнимыми аргументами соответственно. А в работе [22] для уравнения (1.7) приa >1, гдеa– фиксированное целое число, изучена задача Дирихле со следующими весовыми условиями склеивания:

y→+0lim y^a−1u(x, y) = lim

y→−0(−y)^a−1u(x, y), 06x61,

y→+0lim y^au_y(x, y) = lim

y→−0(−y)^au_y(x, y), 06x61.

В этих работах методом разделения переменных построены частные решения уравнения (1.7) при указанных значениях a. Решение задачи формально по- строено в виде суммы ряда, но здесь отсутствуют четкие доказательства един- ственности поставленных задач и не приводятся обоснования сходимости ряда Фурье.

Наиболее интересные и важные результаты получены А. П. Солдатовым [23], [24] при исследовании задачи Дирихле для уравнения (1.2) в смешанной обла- сти Ωв классе функций

C²(Ω+∪Ω₋)∩C¹(Ω)∩C(Ω\ {(0,0),(1,0)})

и представимых в окрестности точек(0,0) и(1,0)со степенным поведением u(x, y) =O(1)(x²+y²)^λ0/2((1−x)²+y²)^λ1/2,

здесь±λ0>0и∓λ1>0. В указанном классе функций А. П. Солдатовым уста- новлены теоремы единственности и разрешимости задачи Дирихле при λ0>0 иλ₁<0, и когдаλ₀<0иλ₁>0в зависимости от углов подхода кривыхΓиγ к линии изменения типа уравнения (1.2), т. е. к прямойy= 0. Из этих резуль- татов следует ошибочность работы [14] по задаче Дирихле для уравнения (1.2) в классе функций (1.4).

В работах К. Б. Сабитова [25], [26] изучена задача Дирихле для вырождаю- щегося уравнения смешанного типа первого рода

sgny· |y|ⁿuxx+x^muyy−b²x^msgny· |y|ⁿu= 0, n >0, m= 0, b>0 (1.9) в прямоугольной области и полуполосе. В этих работах впервые показано, что при построении решения задачи Дирихле методом спектрального анализа воз- никает проблема малых знаменателей [27]–[29], [30, с. 357]. В связи с чем воз- никает сложная задача по установлению оценки отделенности от нуля малого знаменателя с соответствующей асимптотикой. Полученные оценки позволяют обосновать равномерную сходимость построенного ряда в классе регулярных решений.

К. Б. Сабитовым, А. Х. Трегубовой (Сулеймановой) [31], [32] для двух клас- сов уравнений смешанного типа второго рода

uxx+ sgny· |y|^muyy−b²u= 0, 0< m <2, b= const>0, uxx+yuyy+auy−b²u= 0, a= const,

в прямоугольной областиDв зависимости от значений параметровmиaиссле- дована первая граничная задача. В этих работах показано, что условие (1.8), полученное Р. И. Сохадзе, не обеспечивает разрешимость задачи Дирихле для уравнения (1.7).

Р. С. Хайруллин [33] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения (1.7) в прямоугольной области D при отрицательных значениях параметра a6−1/2; при этом на линии изменения типа уравнения задаются неклассические условия сопряжения.

В работе [34] для уравнения (1.9) в прямоугольной области при всехn, m >0 методом спектральных разложений установлен критерий единственности ре- шения первой граничной задачи. Решение построено в виде суммы ряда Фурье–Бесселя.

В работах Р. М. Сафиной [35], [36] для уравнения (1.1) изучена первая гра- ничная задача в прямоугольной области Dпри некоторых значенияхk̸= 0.

В данной работе при всех значениях параметра k исследуется первая гра- ничная задача для уравнения (1.1) в прямоугольной области. В зависимости от значений параметра kпредлагаются постановки двух задач.

Задача Дирихле. Пустьk <1. Найти функциюu(x, y), удовлетворяющую следующим условиям:

u(x, y)∈C(D)∩C¹(D)∩C²(D⁺∪D⁻), (1.10) Su(x, y)≡0, (x, y)∈D⁺∪D⁻, (1.11) u(x, β) =ϕ(x), u(x,−α) =ψ(x), 06x6l, (1.12)

u(l, y) = 0, −α6y6β, (1.13)

u(0, y) = 0, −α6y6β, (1.14)

где D⁺=D∩ {y >0}, D⁻=D∩ {y <0}, а ϕ(x), ψ(x)– заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям ϕ(0) =ϕ(l) =ψ(0) =ψ(l) = 0.

В силу результатов работ [5], [37] в классе ограниченных вDрешений урав- нения (1.1) при k > 1 отрезок x = 0 границы области D освобождается от граничного условия. В связи с этим предлагается следующая задача с непол- ными граничными данными, т. е. задача Келдыша.

Задача Келдыша. Пусть k > 1. Найти функцию u(x, y), удовлетворяю- щую условиям (1.10)–(1.13).

Для каждой из этих задач установлен критерий единственности решения.

При этом решения построены в явном виде как сумма ряда Фурье–Бесселя.

При обосновании сходимости рядов возникает проблема малых знаменателей, более сложной структуры, чем в ранее известных работах В. И. Арнольда [27], [28], С. А. Ломова, И. С. Ломова [30] и других. В связи с чем найдены оценки об отделенности от нуля малого знаменателя с соответствующей асимптотикой для каждого случая k: k <1, k̸= 0; k>1и k= 0. Эти оценки при некоторых условиях относительно граничных функций ϕ(x)иψ(x)позволили обосновать сходимость построенных рядов в классе регулярных решений уравнения (1.1), т. е. в классе функций (1.10).

§ 2. Задача Дирихле для уравнения(1.1)приk <1 иk̸= 0 Рассмотрим уравнение (1.1) в областиD из §1и поставим задачу Дирихле, т. е. задачу (1.10)–(1.14).

2.1. Критерий единственности решения. Частные решения уравне- ния (1.1), не равные нулю в области D⁺ ∪ D⁻ и удовлетворяющие нуле- вым граничным условиям (1.13) и (1.14), будем искать в виде произведения u(x, y) =X(x)Y(y). Подставляя данное произведение в уравнение (1.1), отно- сительноX(x)получим следующую спектральную задачу:

X^′′(x) +k

xX^′(x) +λ²X(x) = 0, 0< x < l, (2.1)

X(0) = 0, X(l) = 0, (2.2)

где λ² – постоянная разделения.

Найдем общее решение уравнения (2.1). Умножая уравнение (2.1) на x² и выполняя замену переменной и искомой функции

X(x) =x^(1−k)/2v(ξ), ξ=xλ, (2.3) исходное уравнение приводим к уравнению Бесселя

ξ²d²v dξ² +ξdv

dξ +

ξ²− k−1

2 ²

v= 0. (2.4)

Известно [38, с. 12], что общее решение уравнения (2.4) имеет вид

v(ξ) =P1J_(1−k)/2(ξ) +P2Y_(1−k)/2(ξ), (2.5) где J_ν(ξ) – функция Бесселя первого рода, Y_ν(ξ)– функция Бесселя второго рода, ν= (1−k)/2,P1 иP2 – произвольные постоянные.

Переходя в (2.5) к исходным переменнымxи X(x) по формуле (2.3), полу- чаем общее решение уравнения (2.1) в виде

X(x) =P1x^(1−k)/2J_(1−k)/2(λx) +P2x^(1−k)/2Y_(1−k)/2(λx). (2.6) Постоянные P1 и P2 найдем из требования, чтобы общее решение (2.6) удо- влетворяло условиям (2.2). Решение (2.6) удовлетворяет первому граничному условию из (2.2) приP1= 1 иP2= 0. В результате имеем

X(x) =x^(1−k)/2J_(1−k)/2(λx). (2.7) Теперь потребуем, чтобы решение (2.7) удовлетворяло второму граничному условию из (2.2):

J_(1−k)/2(µ) = 0, µ=λl. (2.8)

По теореме Ломмеля [39, c. 530] уравнение (2.8) при (1−k)/2 > −1 имеет счетное множество простых вещественных корней µ1 < µ2 <· · · < µn <· · ·, которые определяют собственные значения спектральной задачи (2.1) и (2.2).

Полагая в (2.7)µ=µn =λnl, получаем соответствующие собственные функции задачи (2.1) и (2.2)

Xe_n(x) =x^(1−k)/2J_(1−k)/2(λ_nx), λ_n= µ_n

l , n= 1,2, . . . , где µ_n –n-й корень уравнения (2.8).

Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций ортонор- мируем:

Xn(x) = 1

∥Xen∥_L2,ρ(0,l)Xen(x), (2.9) где

∥Xen∥²_L2,ρ(0,l)= Z l

0

ρ(x)Xe_n²(x)dx, ρ(x) =x^k. (2.10) Известно [39, c. 633], что система собственных функций (2.9) полна в про- странстве L2[0, l]с весомx^k.

Отметим, что для собственных значений задачи (2.1) и (2.2) при больших n справедлива асимптотическая формула [40, c. 317]:

µ_n=λ_nl=πn−k 4π+O

1 n

. (2.11)

Пустьu(x, y)– решение задачи (1.10)–(1.14), удовлетворяющее условиям:

x→+0lim (x^ku_x) конечен, lim

x→l−0(X_n(x)u_x) = 0. (2.12) Следуя [31], [34], рассмотрим функции

un(y) = Z l

0

u(x, y)x^kXn(x)dx, n= 1,2, . . . , (2.13) гдеXn(x)определяются по формуле (2.9). На основании (2.13) введем функции

un,ε(y) = Z l−ε

ε

u(x, y)x^kXn(x)dx, n= 1,2, . . . , (2.14) где ε > 0 – достаточно малое число. Дифференцируя равенство (2.14) по y дважды приy∈(−α,0)∪(0, β)и учитывая уравнение (1.1), получаем

u^′′_n,ε(y) = Z l−ε

ε

u_yy(x, y)x^kX_n(x)dx=−(sgny) Z l−ε

ε

u_xx+k xu_x

x^kX_n(x)dx

=−(sgny) Z l−ε

ε

∂

∂x(x^ku_x)X_n(x)dx

=−(sgny)

x^kuxXn(x)

l−ε

ε −

Z l−ε ε

x^kuxX_n^′(x)dx

. (2.15)

Из равенства (2.14) в силу уравнения (2.1) имеем un,ε(y) =− 1

λ²_n Z l−ε

ε

u(x, y)x^k

X_n^′′(x) +k xX_n^′(x)

dx

=− 1 λ²_n

Z l−ε ε

u(x, y) d

dx(x^kX_n^′(x))dx

=− 1 λ²_n

u(x, y)x^kX_n^′(x)

l−ε

ε −

Z l−ε ε

x^kuxX_n^′(x)dx

. (2.16)

Из равенства (2.16) найдем Z l−ε

ε

uxx^kX_n^′(x)dx=λ²_nun,ε(y) +u(x, y)x^kX_n^′(x)

l−ε

ε . (2.17) Подставляя (2.17) в (2.15), получаем

u^′′_n,ε(y) =−(sgny)

x^ku_xX_n(x)

l−ε

ε −λ²_nu_n,ε(y)−u(x, y)x^kX_n^′(x)

l−ε ε

. (2.18)

Предварительно заметим, что следующий предел существует и конечен:

x→+0lim x^kX_n^′(x) =λn lim

x→+0x^(k+1)/2J_−(k+1)/2(λnx)

=λn lim

x→+0x^(k+1)/2 1 Γ((1−k)/2)

λ_nx 2

−(k+1)/2

= λ^(1−k)/2n

2^−(k+1)/2Γ((1−k)/2). Тогда, переходя в (2.18) к пределу при ε → 0, с учетом граничных усло- вий (1.13), (1.14), (2.2) и (2.12), получим, что u_n(y) удовлетворяет дифферен- циальному уравнению

u^′′_n(y)−(sgny)λ²_nun(y) = 0, y∈(−α,0)∪(0, β). (2.19) Общее решение дифференциального уравнения (2.19) имеет вид

u_n(y) =

(ane^λny+bne^−λny, y >0,

cncosλny+dnsinλny, y <0, (2.20) где an,bn,cn,dn – произвольные постоянные.

Теперь в (2.20) на основании (1.10) подберем постоянныеan,bn,cn иdn так, чтобы выполнялись условия сопряжения

un(−0) =un(+0), u^′_n(−0) =u^′_n(+0). (2.21) Условия (2.21) выполняются только тогда, когда

an=cn+dn

2 и bn=cn−dn

2 , n= 1,2, . . . . Подставляя найденные значенияan иbn в (2.20), получаем

u_n(y) =

(cnchλny+dnshλny, y >0,

c_ncosλ_ny+d_nsinλ_ny, y <0. (2.22) Теперь для нахождения постоянныхcnиdnвоспользуемся граничными усло- виями (1.12) и формулой (2.13):

un(β) = Z l

0

u(x, β)x^kXn(x)dx= Z l

0

ϕ(x)x^kXn(x)dx=ϕn, (2.23) un(−α) =

Z l 0

u(x,−α)x^kXn(x)dx= Z l

0

ψ(x)x^kXn(x)dx=ψn. (2.24) Подставляя функции (2.22) в граничные условия (2.23) и (2.24), получаем систему

(cnchλnβ+dnshλnβ=ϕn,

c_ncosλ_nα−d_nsinλ_nα=ψ_n. (2.25) Если определитель системы (2.25) при всехn∈Nотличен от нуля

∆(n) = chλnβsinλnα+ shλnβcosλnα̸= 0, (2.26)

то она имеет единственное решение

cn= ψnshλnβ+ϕnsinλnα

chλnβsinλnα+ shλnβcosλnα, (2.27) d_n= ϕ_ncosλ_nα−ψ_nchλ_nβ

chλnβsinλnα+ shλnβcosλnα. (2.28) С учетом (2.27), (2.28) и (2.22) найдем окончательный вид функции

un(y) =

(∆⁻¹(n) ϕ_n(cosλ_nαshλ_ny+ sinλ_nαchλ_ny) +ψ_nshλ_n(β−y)

, y >0,

∆⁻¹(n) ϕnsinλn(y+α) +ψn(shλnβcosλny−chλnβsinλny)

, y <0.

(2.29) Пусть теперьϕ(x)≡0,ψ(x)≡0и выполнены условия (2.26) при всехn∈N. Тогда из равенств (2.23), (2.24) и (2.29) следует, чтоun(y) = 0при всехn∈N. Тогда из (2.13) при любомn∈Nиy∈[−α, β]получим

Z l 0

u(x, y)x^kXn(x)dx= 0. (2.30) Из равенств (2.30) в силу полноты системы (2.9) в пространстве L2[0, l] с ве- сом x^k следует u(x, y) = 0почти для всех x∈ [0, l] и при любом y ∈ [−α, β].

Поскольку u(x, y)∈C(D), тоu(x, y)≡0 вD.

Пусть при некоторых α, β, l, k и n =s ∈ N нарушено условие (2.26), т. е.

∆(s) = 0. Тогда однородная задача (1.10)–(1.14) (гдеϕ(x) = ψ(x)≡0) имеет нетривиальное решение

us(x, y) = (

desshλs(y−β)Xs(x), y >0, des chλsβsinλsy−shλsβcosλsy

Xs(x), y <0, (2.31) где de_s – произвольная постоянная, не равная нулю, X_s(x) определяются по формуле (2.9).

Возникает вопрос о нулях выражения ∆(n). Для этого выражение ∆(n) представим в виде

∆(n) =p

ch 2λnβsin(λnα+θn) =p

ch 2λnβsin(µnαe+θn), (2.32) где λnα=µn/lα=µnα,e αe=α/l,

θ_n = arcsin chλnβ

√ch 2λnβ → π

4 при n→+∞.

Из представления (2.32) видно, что выражение ∆(n) = 0 относительно αe только в том случае, когда

αe= 1

µ_n(πz−θn), z= 1,2, . . . . (2.33) Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если существует решение задачи (1.10)–(1.14), удовлетво- ряющее условиям (2.12), то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.26)при всех n∈N.

2.2. Обоснование существования решения. Так как выражение∆(n), которое входит в знаменатели формулы (2.29), имеет счетное множество ну- лей (2.33) и α,e β, k – любые числа из промежутков задания, то ∆(n) может стать достаточно малым при больших n, т. е. возникает проблема “малых зна- менателей” [27]–[32]. Для обоснования существования решения данной задачи необходимо показать существование чиселα,e β иk, таких, что при достаточно большихnвыражение∆(n)отделено от нуля с соответствующей асимптотикой.

Лемма 2.1. Если αe = p/q, p, q ∈ N, (p, q) = 1 и k ̸= (4r+q−4qd)/p при r = 1, . . . , q−1, d ∈ Z, то существуют положительные постоянные C0 и n0∈N,такие,что при всех n > n0 справедлива оценка

|∆(n)|>C₀e^λnβ. (2.34) Доказательство. На основании формулы (2.11) при больших n > n1

имеем

µnαe=πnαe−k 4παe+O

1 n

. (2.35)

Тогда из соотношения (2.32) для такихnс учетом (2.35) получим

∆(n) =p

ch 2λnβsin

πnαe−k 4παe+O

1 n

+θn

. (2.36)

Пусть теперьαe=p/q– рациональное число, где p, q∈N,(p, q) = 1. В этом случае разделимnpнаqс остатком: np=sq+r,s, r∈N∪0 =N⁰,06r6q−1.

Тогда выражение (2.36) примет вид

∆(n) =p

ch 2λnβ(−1)^ssin πr

q −πp

4qk+θn+O 1

n

= e^λnβ

√2

p1 +e^−4λnβ(−1)^ssin πr

q −πp 4qk+π

4 −εn+O 1

n

, (2.37) здесьεn>0 иεn→0 приn→ ∞.

Тогда из представления (2.37) следует, что существует такой номерn₂, что при всехn > n2

|∆(n)|>e^λnβ 2√

2

sin πr

q −πp 4qk+π

4

=C0e^λnβ. (2.38) Теперь потребуем, чтобы постоянная C0была больше нуля, а это возможно только тогда, когда

πr q −πp

4qk+π

4 ̸=πd, d∈Z, т. е.

r q+1

4− p

4qk̸=d, d∈Z. (2.39)

Из неравенства (2.39) выразимk, т. е. перепишем в виде k̸=1

p(4r+q−4qd), d∈Z. (2.40)

Неравенство (2.40) выполнено всегда, когдаkпринимает иррациональные зна- чения при k <1. Тогда из неравенства (2.38) при всехn > n0 = max{n1, n2} следует справедливость оценки (2.34). Лемма доказана.

Лемма 2.2. Если выполнена оценка (2.34) при n > n0,тогда для таких n справедливы следующие оценки:

|un(y)|6C1(|ϕn|+|ψn|), y ∈[−α, β], (2.41)

|u^′_n(y)|6C₂n(|ϕ_n|+|ψ_n|), y ∈[−α, β], (2.42)

|u^′′_n(y)|6C3n²(|ϕn|+|ψn|), y∈[−α,0],

|u^′′_n(y)|6C4n²(|ϕn|+|ψn|), y∈[0, β], (2.43) где C_i – здесь и далее положительные постоянные.

Доказательство. На основании формулы (2.29) с учетом оценки (2.34) найдем

|u_n(y)|6 1

|∆(n)|

|ϕ_n|(shλ_nβ+ chλ_nβ) +|ψ_n|shλ_nβ

6 1

C₀e^λnβ

|ϕn|(shλnβ+ chλnβ) +|ψn|shλnβ

6Cf₁[|ϕn|+|ψn|], y>0, (2.44)

|un(y)|6 1 C0e^λnβ

|ϕn|+|ψn|(shλnβ+ chλnβ)

6Cf2[|ϕn|+|ψn|], y60, (2.45) здесь и далее fCi – постоянные.

Тогда из оценок (2.44) и (2.45) при всехy∈[−α, β]и n > n0имеем

|u_n(y)|6C₁(|ϕ_n|+|ψ_n|), (2.46) здесьC₁= max{Cf₁,Cf₂}.

На основании формулы (2.29) вычислим

u^′_n(y) =





 λn

∆(n)

ϕn(cosλnαchλny+ sinλnαshλny)−ψnchλn(β−y)

, y >0, λ_n

∆(n)

ϕ_ncosλ_n(y+α)−ψ_n(shλ_nβsinλ_ny+ chλ_nβcosλ_ny)

, y <0.

(2.47) Аналогично, исходя из оценки (2.34) и равенства (2.47), получим

|u^′_n(y)|6 n C0e^λnβ

|ϕn|(chλnβ+ shλnβ) +|ψn|chλnβ 6nfC₃(|ϕ_n|+|ψ_n|), y>0,

|u^′_n(y)|6 n C0e^λnβ

|ϕn|+|ψn|(shλ_nβ+ chλ_nβ) 6nfC4(|ϕn|+|ψn|), y60.

(2.48)

Тогда из (2.48) при всехy∈[−α, β] иn > n0следует оценка

|u^′_n(y)|6nC2(|ϕn|+|ψn|), (2.49) где C2 = max{Cf3,Cf4}. Таким образом, из доказанных оценок (2.46) и (2.49) вытекает справедливость оценок (2.41) и (2.42).

Для второй производной функций (2.29) справедливо тождество u^′′_n(y) = (sgny)λ²_nu_n(y), y∈[−α,0)∪(0, β].

Отсюда в силу неравенств (2.44) и (2.45) следует справедливость оце- нок (2.43). Лемма доказана.

Лемма 2.3. Для большихn > n2и при всехx∈[δ, l],δ– достаточно малое число,справедливы оценки:

|Xn(x)|6C5, (2.50)

|X_n^′(x)|6C6n, (2.51)

|X_n^′′(x)|6C₇n². (2.52) Доказательство. ФункцияXe_n(x) =x^(1−k)/2J_(1−k)/2(λ_nx)∈C[0, l]∩C²(0, l]

и при больших tимеет место оценка

J_ν(t) =O(t^−1/2). (2.53)

Поскольку

∥Xen∥_L2,ρ(0,l)= Z l

0

x^kXe_n²(x)dx ^1/2

= Z l

0

xJ_(1−k)/2² µn

l x

dx ^1/2

= l

√

2|J_(3−k)/2(µn)|,

то отсюда в силу (2.11) и (2.53) следует справедливость оценки (2.50). Для обоснования оценки (2.51) вычислим

X_n^′(x) =λ_nx^(1−k)/2J_−(k+1)/2(λ_nx)

∥Xe_n∥_L2,ρ(0,l) . (2.54) Тогда из формул (2.54) и (2.53) следует справедливость оценки (2.51). Далее из уравнения (2.1) получим

X_n^′′(x) =−k

xX_n^′(x)−λ²_nXn(x).

Отсюда в силу доказанных неравенств (2.50) и (2.51) следует справедливость оценки (2.52). Лемма доказана.

Лемма 2.4. Если функции ϕ(x), ψ(x) ∈ C⁴[0, l] и ϕ(0) = ψ(0) = ϕ^′(0) = ψ^′(0) =ϕ^′′(0) =ψ^′′(0) = 0, ϕ(l) =ψ(l) =ϕ^′(l) =ψ^′(l) =ϕ^′′(l) =ψ^′′(l) = 0,то справедливы оценки:

|ϕ_n|6 C8

n⁴, |ψ_n|6 C9

n⁴. (2.55)

Доказательство. Интегрируя два раза по частям в (2.23) с учетом (2.1), (2.2) и условий леммы, имеем

ϕn= Z l

0

ϕ(x)x^kXn(x)dx=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ(x)(x^kX_n^′(x))^′dx

=− 1 λ²_n

ϕ(x)x^kX_n^′(x)

l 0−

Z l 0

ϕ^′(x)x^kX_n^′ dx

= 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′(x)x^kX_n^′(x)dx

= 1 λ²_n

ϕ^′(x)x^kXn(x)

l 0−

Z l 0

(ϕ^′(x)x^k)^′Xn(x)dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

(ϕ^′(x)x^k)^′Xn(x)dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′′(x)x^kXn(x)dx− k λ²_n

Z l 0

ϕ^′(x)

x x^kXn(x)dx.

Здесь обозначим ϕ⁽²⁾_n =

Z l 0

ϕ^′′(x)x^kX_n(x)dx, ϕ_1n = Z l

0

ϕ^′(x)

x x^kX_n(x)dx. (2.56) Отсюда получим представление

ϕn=− 1

λ²_nϕ⁽²⁾_n − k

λ²_nϕ1n. (2.57)

При условии ϕ^′′(0) = ϕ^′′(l) = 0 и с учетом (2.1), (2.2) первый интеграл из (2.56) проинтегрируем по частям еще два раза:

ϕ⁽²⁾_n = Z l

0

ϕ^′′(x)x^kXn(x)dx=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′′(x)x^k

X_n^′′(x) +k xX_n^′(x)

dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′′(x)(x^kX_n^′(x))^′dx=− 1 λ²_n

ϕ^′′(x)x^kX_n^′(x)

l 0

− Z l

0

ϕ^′′′(x)x^kX_n^′(x)dx

= 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′′′(x)x^kX_n^′(x)dx

= 1 λ²_n

ϕ^′′′(x)x^kX_n(x)

l 0−

Z l 0

(ϕ^′′′(x)x^k)^′X_n(x)dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ⁽⁴⁾(x)x^kX_n(x)dx− k λ²_n

Z l 0

ϕ^′′′(x)

x x^kX_n(x)dx.

Введя обозначения ϕ⁽⁴⁾_n =

Z l 0

ϕ⁽⁴⁾(x)x^kX_n(x)dx, ϕ_3n= Z l

0

ϕ^′′′(x)

x x^kX_n(x)dx, получим представление

ϕ⁽²⁾_n =− 1

λ²_nϕ⁽⁴⁾_n − k

λ²_nϕ_3n. (2.58)

При условииϕ^′(0) =ϕ^′(l) = 0и с учетом (2.1), (2.2) второй интеграл из (2.56) проинтегрируем по частям еще два раза:

ϕ1n= Z l

0

ϕ^′(x)

x x^kXn(x)dx=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′(x) x

X_n^′′(x) +k xX_n^′(x)

dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′(x)

x (x^kX_n^′(x))dx=− 1 λ²_n

ϕ1(x)x^kX_n^′(x)

l 0

− Z l

0

ϕ^′₁(x)x^kX_n^′(x)dx

= 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′₁(x)x^kX_n^′(x)dx

= 1 λ²_n

ϕ^′₁(x)x^kXn(x)

l 0−

Z l 0

(ϕ^′₁(x)x^k)^′Xn(x)dx

=− 1 λ²_n

Z l 0

(ϕ^′₁(x)x^k)^′Xn(x)dx=− 1 λ²_n

Z l 0

ϕ^′′(x)x^kXn(x)dx

− k λ²_n

Z l 0

ϕ^′₁(x)

x x^kXn(x)dx=− 1

λ²_nϕ⁽²⁾_1n − k

λ²_nϕ2n, (2.59) где

ϕ⁽²⁾_1n = Z l

0

ϕ^′′₁(x)x^kXn(x)dx, ϕ2n= Z l

0

ϕ^′₁(x)

x x^kXn(x)dx, ϕ1(x) =ϕ^′(x) x . Подставляя (2.58) и (2.59) в (2.57), получим

ϕn = 1

λ⁴_nϕ⁽⁴⁾_n + k

λ⁴_nϕ3n+ k

λ⁴_nϕ⁽²⁾_1n + k²

λ⁴_nϕ2n. (2.60) Из представления (2.60) следует первая оценка из (2.55). Аналогично на основании (2.24) доказывается справедливость второй оценки из (2.55). Лемма доказана.

Если выполнены условия (2.26) и оценка (2.34), то на основании частных решений (2.9) и (2.29) решение задачи (1.10)–(1.14) можно представить в виде суммы ряда Фурье–Бесселя

u(x, y) =

+∞

X

n=1

un(y)Xn(x). (2.61)

Формально из ряда (2.61) почленным дифференцированием составим ряды:

u_y(x, y) =

+∞

X

n=1

u^′_n(y)X_n(x), u_x(x, y) =

+∞

X

n=1

u_n(y)X_n^′(x). (2.62)

uyy(x, y) =

+∞

X

n=1

u^′′_n(y)Xn(x), uxx(x, y) =

+∞

X

n=1

un(y)X_n^′′(x). (2.63) Ряд (2.61) при любом(x, y)∈D при всех n > n₃ = max{n₀, n₂} мажориру- ется рядом

C10 +∞

X

n=n3+1

(|ϕn|+|ψn|), (2.64)

ряды (2.62) при любом(x, y)∈Dδ мажорируются соответственно рядом C₁₁

+∞

X

n=n₃+1

n(|ϕn|+|ψn|), (2.65)

а ряды (2.63) при любом(x, y)изD_δ⁺ иD_δ⁻ – рядом C12

+∞

X

n=n3+1

n²(|ϕn|+|ψn|), (2.66)

здесьD_δ=D∩ {x > δ},D⁺_δ =D⁺∩ {x > δ},D_δ⁻=D⁻∩ {x > δ}.

Согласно лемме 2.4 ряды из (2.64)–(2.66) оцениваются соответственно чис- ловыми рядами

C₁₃

+∞

X

n=n3+1

n⁻⁴, C₁₄

+∞

X

n=n3+1

n⁻³, C₁₅

+∞

X

n=n3+1

n⁻². (2.67)

На основании сходимости рядов (2.67) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряд (2.61) в замкнутой областиD, ряды (2.62) – вDδ, а ряды (2.63) соответственно в замкнутых областях D⁺_δ и D⁻_δ. Поэтому функция u(x, y), определенная рядом (2.61), удовлетворяет условиям (1.10) и (1.11).

Если для указанных в лемме 2.1чиселαe при некоторых значенияхn=s= m1, m2, . . . , mh, где16m1< m2<· · ·< mh6n0,mi,i= 1, . . . , h, иh– задан- ные натуральные числа, ∆(s) = 0, то для разрешимости задачи (1.10)–(1.14) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

ψ_schλ_sβ−ϕ_scosλ_sα= 0, s=m₁, m₂, . . . , m_h. (2.68) В этом случае решение задачи (1.10)–(1.14) определяется в виде суммы ряда u(x, y) =

^m1−1

X

n=1

+· · ·+

mh−1

X

n=mh−1+1

+

+∞

X

n=m_h+1

u_n(y)X_n(x) +X

s

ue_s(y)X_s(x), (2.69) здесь в последней сумме sпринимает значенияm₁, m₂, . . . , m_h, функцияue_s(y) определяется по формуле

ues(y) =









 1

chλsβ[ϕschλsy−dsshλs(β−y)], y >0, 1

chλ_sβ[ϕscosλsy−ds(shλsβcosλsy−chλsβsinλsy)], y <0, (2.70)

des ̸= 0– произвольная постоянная. Конечные суммы в (2.69) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Проверим, что найденные решения (2.61) и (2.69), удовлетворяют услови- ям (2.12). На основании асимптотического поведения функции Бесселя первого

рода приx→+0найдем

x→+0lim x^ku_x=

+∞

X

n=1

u_n(y) lim

x→+0x^kX_n^′(x)

=

√2 l

+∞

X

n=1

λnun(y)

|J_(3−k)/2(µ_n)| lim

x→+0x^kx^(1−k)/2J_−(k+1)/2(λnx)

= 2^(k+2)/2 lΓ((1−k)/2)

+∞

X

n=1

λ_nu_n(y)

|J_(3−k)/2(µn)|,

где последний ряд в силу лемм 2.2и 2.4сходится абсолютно и равномерно на сегменте[−α, β].

Учитывая J_(1−k)/2(λnl) = 0и равномерную сходимость рядов (2.62), вычис- лим второй предел из (2.12)

x→l−0lim uxXn(x) = 0.

Итак, доказано следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям лем- мы 2.4 и выполнена оценка (2.34) при n > n0. Тогда если ∆(n) ̸= 0 при всехn= 1, . . . , n0,то существует единственное решение задачи (1.10)–(1.14) и это решение определяется рядом (2.61); если ∆(n) = 0 при некоторых n = m₁, m₂, . . . , m_h 6 n₀, то задача (1.10)–(1.14) разрешима только тогда, когда выполняются условия (2.68)и решение в этом случае определяется ря- дом (2.69).

§ 3. Задача Келдыша для уравнения(1.1)приk> 1

Рассмотрим задачу Келдыша (1.10)–(1.13) в областиD, определенной в §1.

В работах [5], [9, c. 68] показано, что в случае задачи Келдыша имеет место равенство

ux(0, y) = 0, −α6y6β.

3.1. Критерий единственности решения. Аналогично п. 2.1 разделяя переменные в уравнении (1.1), относительно X(x) получим спектральную за- дачу

X^′′(x) +k

xX^′(x) +λ²X(x) = 0, 0< x < l, (3.1)

|X(0)|<+∞, X(l) = 0, (3.2)

где λ² – постоянная разделения.

Решение спектральной задачи (3.1) и (3.2) определяется по формуле Xe_n(x) =x^(1−k)/2J_(k−1)/2(λ_nx), λ_n=µ_n

l , n= 1,2, . . . ,

где J_ν(t)– функция Бесселя первого рода, а числоµ_n –n-й корень уравнения J_(k−1)/2(µn) = 0.