В. И. Денисов, А. А. Логунов, Имеет ли общая теория от- носительности классический ньютоновский предел?, ТМФ , 1980, том 45, номер 3, 291–301

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Денисов, А. А. Логунов, Имеет ли общая теория от- носительности классический ньютоновский предел?, ТМФ , 1980, том 45, номер 3, 291–301

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 11:14:22

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ О И З И К А

Том 45, № 3 декабрь, 1980

ИМЕЕТ ЛИ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ КЛАССИЧЕСКИЙ НЬЮТОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ?

В. И. Денисов, А. А. Логунов

Рассмотрены теория гравитации Ньютона и ньютоновское прибли­

жение общей теории относительности. Показано, что в общей теории от­

носительности отсутствует ньютоновский предел для интегралов движе­

ния вещества и гравитационного поля.

В настоящее время общепринятым считается утверждение, что теория Эйнштейна в предельном случае слабого гравитационного поля и медлен­

ного движения создающих это поле масс переходит в теорию гравитации Ньютона, давая все ее соотношения и уравнения. Это утверждение озна­

чает, что в общей теории относительности (ОТО) из уравнений движения вещества и уравнений поля в ньютоновском приближении можно полу­

чить выражения для энергии, импульса, момента импульса и т. д. и эти выражения совпадают с соответствующими выражениями теории грави­

тации Ньютона.

Однако, как показано в работе [1], из точных уравнений движения вещества и уравнений Эйнштейна следует существование только нулевых интегралов движения, поэтому и на любом этапе приближенных вычисле­

ний, в том числе и в ньютоновском приближении, эти интегралы движе­

ния теории Эйнштейна доляшы быть равны нулю. Отсюда, в частности, следует, что ОТО не имеет классического ньютоновского предела, посколь­

ку интегралы движения теории гравитации Ньютона и ньютоновского приближения теории Эйнштейна не совпадают.

Для того чтобы убедиться в этом, проведем подробное сравнение нью­

тоновского приближения теории Эйнштейна с теорией гравитации Ньюто­

на. Рассмотрим теорию Ньютона, а также ньютоновское приближение ОТО и выясним, в чем состоит принципиальное различие этих двух тео- pqpi при получении интегралов движения.

Для наших целей удобно рассматривать задачу астрономического типа.

Будем считать, что компоненты тензора энергии-импульса вещества рав­

ны нулю во всем пространстве, кроме некоторых областей. Внутри каждой такой области в качестве модели вещества будем рассматривать идеаль­

ную жидкость, тензор энергии-импульса которой имет вид (1) рп= [р+Е]и{ип-р^п,

где £,=р(1+П/с2) —полная плотность массы идеальной жидкости, гг'=

=dxi/ds — четырехмерная скорость, р — изотропное давление, р — плотность

291

массы идеальной жидкости, рП — плотность внутренней энергии идеаль­

ной жидкости.

В теории Ньютона гравитационное поле описывается скалярным потен­

циалом С/, удовлетворяющим уравнению гравитационного поля, (2) ДС/=-4ятр,

где if — ньютонова постоянная тяготения. Следует подчеркнуть, что по­

скольку теория гравитации Ньютона является нерелятивистской теорией,, то ее применение должно быть ограничено только теми случаями, в ко­

торых релятивистские поправки не играют роли. В нашем случае скорости всех тел системы малы по сравнению со скоростью света, и это позволяет нам использовать теорию гравитации Ньютона.

Если внешние негравитационные силы отсутствуют, то уравнения дви­

жения идеальной жидкости (уравнения Эйлера) в теории Ньютона при­

нимают вид [2]

/ dv^a dv^a \ / dU dp \

где v^a— компоненты трехмерной скорости среды, ^ⁿⁱ — метрический тензор псевдоевклидова пространства-времени с сигнатурой (+, —, —, —).

К этим уравнениям необходимо добавить следующие:

уравнение неразрывности идеальной жидкости

<?Р д

(4

> -JT

lis^-

'

уравнение для удельной внутренней энергии П

/ЗП . . Ш

<*> p ( i r ^ - ^ ) - ^ -

условие баротропности процесса (6) Р = Р Ы .

Тогда система уравнений (2) —(6) будет полной, позволяющей по за­

данным начальным и граничным условиям находить движение вещества и создаваемое им гравитационное поле.

Для получения интеграла энергии в теории Ньютона скалярно умно­

жим уравнения движения вещества (3) на — v^a и сложим полученное вы­

ражение с уравнением неразрывности (4), умноженным на с². В резуль­

тате будем иметь

д д v² д i v² \

dU др д ^{й ч} дх^а дх^а дх^а где i;²=—v^av^a.

Так же как и в классической механике, для получения интеграла энер­

гии в теории гравитации Ньютона необходимо наиболее полно выделить

в этом выражении производные по времени. Такое выделение, вообще го­

воря, может быть проведено неоднозначным образом. Поэтому после ис­

пользования уравнений (2), (4) и (5) равенство (7) запишем в самом общем виде, отражающем эту неоднозначность:

(8) ^{dt VI с}

в {-[ ^{1 +} 7(т

^{+ п +} ^")] ⁺ ^»^-"}-

д

—с'-.

дха

Н ' ⁺ 7 ( т ^{+ п} - " ) ] * ^ ⁺

1 г 9U вилл

где а — произвольное число.

Следует отметить, что использование уравнения гравитационного доля (2) не позволяет уже больше выделить производную по времени в выра­

жении (8), так как дальнейшее преобразование в правой части этого вы­

ражения будет сводиться лишь к конкретному выбору того или иного зна­

чения постоянной а. Однако, как мы увидим ниже, все значения а в выражении (8) являются эквивалентными интегрально, поскольку при­

водят к одной и той же сохраняющейся величине, поэтому дальнейшее преобразование правой части соотношения (8) производить нецелесооб­

разно.

Проинтегрируем теперь выражение (8) по всему пространству. Пре­

образуя объемный интеграл, стоящий в правой части, в поверхностный и учитывая, что при г->«>

dU 8U / 1 \ d2U dt дх(

получим

/ / 1 \ d2U / 1 \

\ г4/ ' dx"dt \гЧ

(9) ^ Jflr/p/i+J. ( | 1

. п

^ 1 р ) ]

А

^ « 7 } - а

В силу очевидного равенства

(10) §dVd^aUd^aU = jdV[d^a(Ud*U)-4nwU]=-4n4JpUdV выражение (9) перепишем в виде

д

~dt

РЧ ¹⁺ -?(т ^+п --Н]-°'

Отсюда следует, что в теории гравитации Ньютона величина

(И, /.JrfKpfi+^+n-.ip)]

является интегралом движения.

Рассмотрим теперь общепринятый в литературе способ построения ньютоновского приближения теории Эйнштейна. Как известно [3], в ОТО гравитационное поле описывается метрическим тензором риманова про­

странства-времени g^nU который удовлетворяет уравнениям Эйнштейна:

(12) Я„г-72*»«Я= (8яТ/с4) Tin.

Так как метрический тензор gin входит нелинейным образом в уравнения Эйнштейна, а правая часть этих уравнений также зависит от gni, то опре­

деление метрического тензора и построение тензора энергии-импульса вещества необходимо производить совместно. Однако точное решение этой задачи удается провести лишь в немногих частных случаях, с достаточно жесткими требованиями относительно распределения и движения веще­

ства внутри источника. В остальных же случаях неизбежно приходится использовать приближенные методы решения уравнений Эйнштейна.

Наиболее распространенным из них является метод последовательных приближений. Этот метод применяется и при построении постньютонов­

ского приближения ОТО. Хотя законность использования метода последо­

вательных приближений для получения нестационарных решений уравне­

ний Эйнштейна вызывает серьезные сомнения, тем не менее мы оставим этот вопрос без обсуждения, поскольку и в этом случае можно показать, что ОТО не имеет классического ньютоновского предела.

Рассмотрим кратко схему построения постньютоновского приближения теории Эйнштейна, выписывая необходимые для дальнейшего соотношения ОТО. Вычисления будем проводить в гармонической координатной систе­

ме Фока [4], используя его обозначения. Следует отметить, что такой выбор координат не является принципиальным, поскольку все выкладки могут быть проведены аналогичным путем и в любой другой координат­

ной системе.

Как известно [5], в пределах Солнечной системы максимальные значе­

ния гравитационного потенциала, квадрата характерной скорости, удель­

ной упругой энергии и удельного давления имеют примерно одинаковый порядок малости ~е2, где е~10_3— некоторый безразмерный параметр.

Это обстоятельство позволяет проводить решение уравнений Эйнштейна (12) последовательными этапами, каждый из которых соответствует фор­

мальному разложению точных уравнений задачи по степеням этого пара­

метра.

В исходном приближении метрика принимается псевдоевклидовой, что соответствует полному пренебрежению влиянием гравитационного поля на вещество. Тензор энергии-импульса в этом приближении должен быть взят с точностью, соответствующей пренебрежению гравитационным по­

лем (т. е. с пренебрежением членами ~ре2): с2Г00=р; c2r0l=pzv, с2Тгк=

= 0 ( е2) .

Используя условия гармоничности [4, § 53]

(13) _ _ Г = 0; r = =y Z 7 ^

ОХу,

из уравнений Эйнштейна, записанных с принятой точностью, можно полу-

чить ньютоновское выражение для тензора д^цу [4, § 55]:

(14) Q°° = JL + ±U; Qoi = \ u i ; fl** б^с; 1~g=c + 2U/c.

с с3 с3

Входящие в эти выражения потенциалы удовлетворяют уравнениям [4,

§55]

dU dUi (15) А£/=-4дур; Аи{=-4пчри{; + -—^ = 0.

dt дхг

Для получения метрики в следующем приближении необходимо по­

строить тензор энергии-импульса вещества, который бы удовлетворял ко- вариантному уравнению сохранения

v

r» = —— + ivr

+ r

г*.=о

oxv

в силу выполнения следующих уравнений:

уравнения неразрывности [4, § 66]

dp д at oxi

ньютоновских уравнений движения идеальной жидкости в гравитацион­

ном поле [4, § 66]

dVi dv{ \ dU dp

m . °{— ^+v -—J

уравнения для удельной внутренней энергии [4, § 66]

dll , дП\ ди{

\ at axi I ах{

Этим условиям удовлетворяют следующие компоненты тензора энергии- импульса вещества [4, § 66]:

(19) c>I--p{f + — ( y + n-tf)};

c = ^r .= ^P „,{ ¹⁺ -L(f ^+п - ^и )} ⁺ -9-'

c*Tin=pv(vn+p8in.

Тогда постньютоновское выражение для тензора б1" [4, § 67]

да,

. . , ± + 4 ^ ; 1 " - ^ + ^ ; • - - А.

^

с с3 с5 с3 с5 с3

будет являться решением уравнений Эйнштейна, записанных в гармони­

ческой системе координат с постньютоновской точностью [4, § 68]:

где

с" \дхл I

(

22) ^ - J L i £ i l - ± / i £ L - i £ i \ i L

с6 dt дх{ с6 V dXs dXi I dxs '

Для нахождения сохраняющейся величины в ньютоновском приближе­

нии теории Эйнштейна поступим так же, как и в случае теории Ньютона:

умножим скалярно уравнение (17) на ^ и сложим полученное выражение с умноженным на с2 уравнением неразрывности (16). В результате по­

лучим следующее соотношение:

<

* ^ 1 ? Т

«^(-2-)-

dU dp 2 д

= 9i~dT~Vi~d^~c~dr{9Vi)-

UJLi UXi (sXi

Используя первое из соотношений (15), а также уравнения (16) и (18), выражение (23) приведем к виду (8). В обозначениях Фока имеем

д ( г 1 / v² a—1 \i a / dU \²л 24 c2 _ Jp 1 + ( _ + П + и)\ г( , ) \^=

J dtVl с2 \ 2 2 / J 8 я ^2 \ dxj )

= - < { - Ф ^ ( т ™ ) ] ⁺ ^ -

С/ 1 Г дги dU dU -n

-4pPi — + ^ — т | ( 1 +с2 8я^с2 L д#< д£ d£ da;* J J в) ^ - Г - 5 7 -( 1-в )^ Г Т - Н -

Хотя выражения (24) и (8) записаны в разных обозначениях, они пол­

ностью эквивалентны.

Следует особо подчеркнуть, что в теории гравитации Ньютона величи­

ны р, Vх, U,p, П удовлетворяют только уравнениям (2) —(6). Используя эти уравнения, провести дальнейшее выделение частной производной по времени в правой части соотношения (24) невозможно, и, как мы видели, это соотношение приводит к получению интеграла движения (11). В тео­

рии Эйнштейна дело обстоит иначе. Принципиальным отличием ньюто­

новского приближения ОТО от теории Ньютона является то обстоятельст­

во, что потенциалы, стоящие в правой части выражения (24), с помощью уравнений Эйнштейна (21) выражаются в том же ньютоновском прибли­

жении через потенциалы 17, V i и метрический тензор постньютоновского приближения (20).

Используя это обстоятельство, выражение, стоящее в правой части уравнения (24), можно преобразовать, выделив частную производную по времени. Для этого перепишем уравнения Эйнштейна (21) в виде

(25) -^-^[-^-h^r-тЪ*)] •

Следует особо подчеркнуть, что левая часть этого уравнения имеет ньютоновскую степень точности, поэтому величина, стоящая в квадрат­

ных скобках справа, должна быть записана уже в постньютоновском при­

ближении, так как перед выражением в скобках имеется большой мно­

житель с6/8я^. Уравнения Эйнштейна (25) при fi=0, v = i с учетом выра­

жения (19) записываются в виде

™ ФФ4(т ^+п+ *')] ⁺ 74-

3 dU dU , 1 idUi dU9\dU с5 г п. 1 д2 пл 4я^ dt дх, пч \ дхл дх{ I дхл 16щ L с2 д? J * Для (00) компоненты уравнений Эйнштейна (25) имеем

(27) с2р{1 + 1 - ( у + П + 3 ^ ) | =

_ 7 / dU\2 с5 г 0 0_ j l _ _ ^ _ 001

~1к7\д^Г/ 16яЛ

~~?"di

J

Подставляя выражение (26) в правую часть соотношения (24), получим

dtVl с2 \ 2 2 / J 8jryc2 \ 6>х. / J д ( о - 7 5«7 517 1 /017, dU.\dU dXi У 8п^с2 dt dxt щс2 \ дх, dxt I дх, с3 г 1 д2 .1 U 1+a r dzU- л

Да0' й0* \-ApVi — + .V \.

16яу L с2 dt2* \ н с2 8я^с2 0 t d * J

Используя уравнения (15), преобразуем правую часть этого выражения:

д

~~diV L" с2\ 2 ' " ' 2 / J 8it"fc2

7-а 5 \( dU\4 (7-а) д

™ 'M'b+UT^^hjkrffl)-

8пч dt

о]-^> ⁺

с5 Г д п. 1 <Э2 д „л

8 ° ' - — — — 9°']

16я^ L дя* с2 dt2 дх Из условий гармоничности (13) имеем

д ^п dQ⁰⁰

Й = — . dXi dt

Подставляя это соотношение в выражение (29) и перенося все члены на­

лево, получим окончательно

д ( г 1 /v2 м 7 /dU\2

< ³⁰ > ^с 'лП ¹⁺ 1;{-т ^+п+зи

)]-1^Ш

⁺

с' г . лл 1 92

16я^

1бяч 1

с

dt

* Л

397

Таким образом, в ньютоновском приближении теории Эйнштейна из урав­

нений движения вещества мы приходим к утверждению

(31) , ^{{ р [ 1 +} ^ ⁺ п ⁺ з , ) ] - _ ^ 0 ⁺

K-|-|F»"]}- ^C ° ^{n s t}

16ят

Интегрируя эту величину по объему, мы получаем интеграл движения ньютоновского приближения теории Эйнштейна:

С32, , _ ^ { р [ ^{1 +} ± ( т + П + 3 г , ) ] - 8 ^ ( 0 ⁺

С / 10* \ \

Однако в силу уравнения Эйнштейна (27) для (00) компоненты величина (31) равна нулю. Следовательно, и интеграл движения (32) общей теории относительности равен нулю: / = 0 .

Таким образом, мы показали, что и в ньютоновском приближении теории Эйнштейна интеграл «энергии» равен нулю. Этот вывод находится в полном соответствии с результатами, полученными в работе [1], где показано, что из точных уравнений движения вещества и уравнений Эйнштейна следует существование только нулевых интегралов движения.

Иногда «интеграл энергии» в ньютоновском приближении теории Эйн­

штейна получают [4] из ковариантного уравнения сохранения вещества в римановом пространстве-времени:

(33) c2V J - ^ ° ] = c2-?—[-gT»0] + c2gY^T»*-c2g Г„°Т»"=0.'

Легко убедиться, что и в этом случае интеграл движения равен нулю.

Действительно, используя выражения для связностей риманова про­

странства-времени [4, § 67]

1 dU n 1 dU A л/ 1

•I оо —

с2 dt ' 2 dU

Г ° — -

1 Ог

2

V

1 dU

с2 dxi '

ди

?"-°(т)>

с2 dt * с2 дх{

а также выражения (19), уравнение (33) запишем в виде

д ( Г. . 1 / v2

{34

> ^ { ' [

^ ( Т

Ш

' 1 Й ; М

1 /v2 \i pv{ л dU dU +

_ (

, ) ]

JLf}-3p--4p„_.0.

Учитывая, что

9~дТ 9Vi~dIi ~dt{ 2 Р 8пч\дхл) J д ( 1 г d2U dU dU -n dXi \ г 8я7 L dtdXi dt дх{ J J соотношение (34) приведем к виду (24). Преобразуя это выражение ана­

логично проделанному выше, мы приходим к интегралу движения (32), Таким образом, ковариантное уравнение сохранения (33) в ньютонов­

ском приближении также приводит к получению только нулевых интегра­

лов движения. Совершенно аналогично можно показать, что и «полный импульс» системы в теории Эйнштейна равен нулю. Это означает, что ОТО не дает интегралов движения, переходящих в ньютоновском приближении в интегралы движения теории тяготения Ньютона.

Возникает вопрос: почему же в ньютоновском приближении теории Эйнштейна обычно получают ненулевые интегралы «энергии»?

Причина традиционного получения ненулевых интегралов «энергии»

в ньютоновском приближении ОТО заключается в неиспользовании соот­

ношения (26), которое непосредственно следует из уравнений Эйнштейна (25) для компонент (Оа), связывая величины р, va, U, П, р, входящие в правую часть выражения (24), с метрикой и другими потенциалами.

Действительно, если это соотношение не использовать, а сразу проин­

тегрировать выражение (24) по пространству, то мы придем к величине

(35) j

*ldv

[i+-L(?L + ii~u)],

которая не зависит от времени и по виду совпадает с формулой (11) для энергии в теории гравитации Ньютона — именно это обстоятельство и со­

здало иллюзию, что ОТО в ньютоновском приближении приводит к инте­

гралу движения теории Ньютона.

Однако, как мы видели, учет связей между величинами р, г;а, J7, П, р и другими потенциалами в ОТО приводит к преобразованию выражения

(24) в тривиальное равенство — к получению производной по времени от величины (32), равной нулю в силу уравнения Эйнштейна (27) для ком­

поненты (00).

Таким образом, ОТО, если аккуратно использовать все связи (26), (27)..*

приводит только к нулевым интегралам движения для системы, состоящей из вещества и гравитационного поля, а поэтому ОТО не имеет классиче­

ского ньютоновского предела. Следовательно, традиционный путь [4] по­

строения интегралов движения в теории Эйнштейна, если его аккуратно осуществлять, приводит только к нулевым интегралам движения.

В ОТО предпринимались и другие попытки построения интегралов дви­

жения, однако и они к успеху не привели. Так, например [6], в тех част­

ных случаях, когда пространство-время допускает группу движения, ис­

пользуя векторы Киллинга и тензор энергии-импульса вещества, можно построить интегральную величину, которая не будет зависеть от времени:

Аналогично вне вещества можно также построить не зависящую от вре- 290

мени интегральную величину, используя тензор Римана. Однако этот путь не устанавливает непосредственной связи между изменением энергии ве­

щества и существованием волн кривизны, а поэтому не решает проблемы в целом.

Наша главная цель состояла в том, чтобы показать, что способы, якобы приводящие в теории Эйнштейна к классическим ньютоновским интегра­

лам движения, являются некорректными и некорректность их заключается не в ограниченности этих методов, а в сущности ОТО, которая вывела нас за рамки обычного классического поля в духе Фарадея -— Максвелла*

Многочисленные попытки втиснуть гравитационное поле теории Эйн­

штейна в рамки классического поля типа Фарадея — Максвелла, продол­

жающиеся в течение более чем половины столетия, являются абсолютно бесплодными и уводят нас от понимания сущности ОТО. В теории Эйн­

штейна изменение энергии-импульса вещества непосредственно связано только с изменением скалярной кривизны R и тензора второго ранга Rni

в области, занимаемой веществом:

а д

fOi _ _ fOi

dt dt ' вде

'"— ^[

"-Y

"

]-

Волны кривизны, описываемые тензором четвертого ранга Н^{П1т, в тео­

рии Эйнштейна не связаны непосредственно с изменением энергии-им­

пульса вещества, а связаны косвенно через метрический тензор gni. По­

этому для волн кривизны в ОТО не существует никаких законов сохране­

ния, связывающих изменение тензора энергии-импульса вещества (тензо­

ра второго ранга) с существованием волн кривизны (тензора четвертого ранга).

Таким образом, требование к ОТО, сформулированное Эйнштейном [7]: «...безусловно следует требовать, чтобы вещество и гравитационное поле вместе удовлетворяли законам сохранения энергии-импульса» — не может быть удовлетворено в теории Эйнштейна ни в какой форме. ОТО Эйнштейна построена ценой отказа от законов сохранения энергии-им­

пульса вещества и гравитационного поля вместе взятых. Этот шаг был бы оправдан, если бы имелись веские основания для него и прежде всего экспериментальные данные о несохранении энергии-импульса в каких- либо взаимодействиях. Однако поскольку в теориях других физических полей существует единый закон сохранения энергии-импульса различных форм материи и в настоящее время нет никаких экспериментальных дан­

ных о его нарушении (более того развитие физики всегда демонстрировало его незыблемость и правомерность), то у нас нет никаких оснований для отказа от этого фундаментального закона физики и в теории гравитацион­

ного взаимодействия.

Московский государственный Поступила в редакцию университет 19 июня 1980 г.

Литература B. И. Денисов, А. А. Логунов. ТМФ, 43, 187, 1980.

C. Вейнберг. Гравитация и космология, «Мир», 1975.

A. Эйнштейн. Собрание научных трудов, «Наука», 1965, т. I.

B. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.

Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, «Мир», 1977, т. 3.

Дж. Синг. Общая теория относительности, ИЛ, 1963.

A. Einstein. Phys. Z., 15, 108, 1914.

DOES GENERAL RELATIVITY THEORY POSSESS THE CLASSICAL NEWTONIAN LIMIT?

V. I. Denissov, A. A. Logunov

Newton's theory of gravity and newtonian approximation of general relativity theo­

r y are considered. It is shown that general relativity theory does not possess the newto­

nian limit for the integrals of motion of matter and gravitational field.