В. Н. Дубинин, Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов, Алгебра и анализ, 2001, том 13, выпуск 5, 16–43

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Н. Дубинин, Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов, Алгебра и анализ, 2001, том 13, выпуск 5, 16–43

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:11:13

Алгебра и анализ Том 13 (2001), вып. 5

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

© В. Н. Д у б и н и н

Методы геометрической теории функций применяются к неравенствам для алгебраических полиномов с комплексными коэффициентами. Доказываются теоремы покрытия и искажения, включающие, вообще говоря, свободный член, старший коэффициент и экстремальные значения модуля либо реальной части полинома на окружности или на отрезке. Полученные оценки усиливают, в частности, классические неравенства Чебышева, Маркова и Бернштейна.

Введение

Неравенства для полиномов и их производных имеют богатую историю и многочисленные приложения. В последнее время этой тематике уделяет­

ся особый интерес [1-3]. В дополнение к монографиям и обзорной статье отметим также работы [4, 5]. Цель данной статьи — показать роль конформ­

ных отображений в получении такого рода неравенств. Мы рассматриваем здесь только те приложения, которые сводятся к следующему. По заданному алгебраическому многочлену строится конформное и однолистное отображе­

ние некоторого класса, а затем к этому отображению применяются методы геометрической теории функций комплексного переменного [6, 7]. Впервые такой подход был предложен нами в недавней работе [8], где однолистность проявляется неявным образом, а основной результат о конформном отобра­

жении доказан с помощью техники обобщенных приведенных модулей [9].

Развивая указанный прием, мы приводим здесь несколько способов построе­

ния конформных и однолистных отображений и несколько теорем искажения для таких отображений, при этом делается акцент на применение классиче­

ских методов. Необходимые сведения о конформных отображениях собраны

Ключевые слова: конформные отображения, теоремы искажения, однолистные функции, полиномы, неравенства для полиномов, полином Чебышева, неравенство Маркова, нера­

венство Бернштейна.

Работа поддержана РФФИ (грант 99-01-00443) и Министерством образования РФ (грант ЕОО-1.0-46).

16

в §1 в виде свойств регулярных, однолистных и ограниченных в круге.функ­

ций. В теореме 1.1 формулируются известные свойства функций класса В.

При доказательстве теоремы 1.2 используется неравенство Нехари [10], а для доказательства теоремы 1.3 мы привлекаем свой результат [11, с. 59]. Отме­

тим частный случай теоремы 1.2 (неравенство (1.6)), полученный ранее в [8]

и уточняющий известный принцип Липделефа в случае однолистных в круге функций. Ограничиваясь в основном только указанными теоремами, мы на­

деемся показать эффективность предлагаемого подхода к неравенствам для полиномов. В §2 приводятся конкретные примеры построения однолистных функций по заданному полиному (см. леммы 2.2-2.7). Применяя к таким функциям теоремы §1, приходим к ряду утверждений для алгебраических полиномов вида

P(z)-c0 + ciz + --- + cnzn, спфО, п > 1 ,

с комплексными коэффициентами с/., fc = 0 , 1 , . . . , п (§3, 4). Эти утверждения содержат, вообще говоря, коэффициенты с0, с„ и следующие величины:

L(P) := min{ReP(z) : |z| = 1}, tf(P) := max{ReP(*) : \z\ = 1}, m ( P ) : = m m { | P ( z ) | : | z | = l } , M{P) ~ max{|P(z)| : \z\ = 1}

либо L(P), H(P), m(P) и М(Р), определенные, как выше, но с заменой окружности \z\ = 1 на отрезок [—1,1] (наши обозначения отличны от [8]).

Отметим, что неравенства для полиномов с участием коэффициентов не­

однократно встречаются в литературе [1, 3]. Среди многочисленных работ выделим интересную статью [12], где классические неравенства усиливаются другим способом и в другом направлении. В роли экстремальных полиномов в нашем случае имеем, как правило, полиномы вида c0 + cnzn при некоторых с0 и с„ либо полиномы вида aTn(z) + b, где а и 6 — постоянные, a Tn(z) означает, как обычно, полином Чебышева. Напомним, что в терминах кон­

формных отображений полином Т„(г) = 2п _ 1г" + ... можно определить как суперпозицию обратной функции Жуковского, степенной функции и функ­

ции Жуковского:

ад = \{(z + V*

- i)

+ (^- \А

- i)

), zee.

Полученные результаты мы разделили условно на теоремы покрытия (см. §3) и теоремы искажения (см. §4). В §3 отметим теоремы 3.2 и 3.4, которые в частных случаях звучат, как „образ заданного эллипса (окружности) при

18 В. II. ДУБИНИН

отображении w — P(z) ограничен некоторым эллипсом (окружностью)". Те­

орему 3.2 можно рассматривать, как далеко идущее обобщение известных экстремальных свойств полинома Чебышева. Приводятся также неравенства с ограничениями на нули полиномов. В частности, мы усиливаем неравен­

ство Энкени и Ривлина [13] (см. следствие 3.3). При г близких к единице теоремы 3.1, 3.2, 3.4-3.6 дают некоторые неравенства бернштейновского ти­

па с участием производной от полинома. Мы не останавливаемся на этом подходе, а приводим в основном другие неравенства либо другие доказатель­

ства в §4. Здесь выделяются теоремы 4.1 и 4.4. В теореме 4.1 дается оценка сверху величины \zP'(z) - kP(z)\ для \z\ = 1 и целых к ^ 0, зависящая от со, сп и М(Р). Теорема 4.4 усиливает классические неравенства Маркова и Бернштейна для полиномов на отрезке.

В заключение отметим другие подходы к неравенствам для алгебраических полиномов, связанные с конформными отображениями и мало исследован­

ные в литературе. Например, новые неравенства для полиномов дает прямое применение принципа мажорации И.П. Митюка [14]. Некоторые оценки для модулей полиномов и их производных можно получить из поведения при­

веденных модулей [9] и гиперболической емкости Робина [15] при конформ­

ном отображении. Наконец, ввиду теоремы Фекете о траисфииитном диаме­

тре прообраза компакта [6, с. 290] при отображении полиномом w = P(z) результаты [11] по оценкам логарифмической емкости можно интерпрети­

ровать как геометрические свойства, например, множества {z : P(z) е [0,1]}.

§1. Теоремы искажения для конформных отображений

Указанные в названии теоремы составляют существенную часть геоме­

трической теории функций комплексного переменного [б, 7]. Приведенные ниже оценки являются лишь некоторыми примерами таких теорем. Пусть В — класс функций w=f(z), регулярных и однолистных в единичном кру­

ге U : ={г:|г|<1} и нормированных условиями /(0)=0, |/(г)|<1 при z G U.

Введем также обозначения

А ы

_ i + l/(*)l

_

- !/(*)!

Ввиду леммы Шварца

| / ' ( 0 ) К 1 , \f(z)^Af(z), И < 1 . Отметим сперва классические результаты.

Теорема 1.1. Для любой функции w = f(z) класса В и любых точек z, 0 < |г| <

1, справедливы следующие неравенства:

l/'(0)|A?(zK Xf(z)/Aj(z)^

т

z zf'(z)

№

< |/'(0)|Л}(г), (1.1) (1.2) Равенство в (1.1) и (1.2) достигается только для функций f(z) = az, где

|а| = 1.

Доказательство. Эти неравенства хорошо известны специалистам по теории функций (см., например, [16]). Они вытекают также из результатов для клас­

са S функций w = F(z), регулярных и однолистных в круге U с нормировкой F(0) = F'(0) - 1 = 0. Действительно, при любом вещественном ip суперпози­

ция F(z) = 777 /'(0)(l + e'V/(*))3

т

принадлежит классу S. Для функций данного класса имеем оценки

(1 + N)

1 - \z\

ш< №1 ^

£ zF'(z) F(z) ^£

( i - И )2' 14UI

1

о < и < 1 ,

с равенством только при F(z) = z(l - / b ) ~2, Щ = 1 [б, с. 52-53]. Нера­

венства (1.1)—(1.2) вытекают непосредственно из этих оценок, примененных к указанной суперпозиции при подходящем значении <р. Случай равенства очевиден. •

Заметим, что этим способом, но с привлечением недавнего результата Дженкииса [17], можно получить усиление левой части неравенства (1.1).

Далее, нам понадобится результат Нсхарй [10], согласно которому для любой регулярной и однолистной в круге U функции w = f(z), удовлетворяющей условию |/(г)| < 1 при z £ U, и для любых точек Cfe, k = 1,... , ?i, в круге U и любых комплексных постоянных ак, к = 1,... , п, таких, что оц+а2+. • .+ап = 0, справедливо неравенство

5 3

'

§

к,1 = 1 й- - С/

< Y2

к:ы\

1-ла).ло:

1 - ас,

20 В. Н. ДУБИНИН

Полагая в (1.3) п = 2, Ci = 0, Сз = z, а\ = 1 и а2 = - 1 , имеем в классе В следующие оценки:

/

W

\f(0)\/(Af(z)Xf(z))^ Z\f'(0)\Aj(z)\f(z) (1.4) для любых z, 0 < |z| < 1. Равенство достигается для функции f(z) = az,

\а\ = 1. Неравенства (1.4) были ранее получены в [16] как следствия впервые установленных результатов о множествах значений соответствующих функ­

ционалов в классе В. Другие доказательства правого неравенства (1.4) даны также в работах [17, 18].

Теорема 1.2. Пусть функция w = f(z) принадлежит классу В и пусть она и ее производная определены и непрерывны также в граничных точках zu, к = 1,... ,п, расположенных на единичной окружности симметричным образом.

Предположим, что \f{zk)\ = 1, к = 1,... , п. Тогда

П/(**)

к = 1

> |1//'(0) ^|»72 >\. (1.5) Равенство достигается для функции f(z) = az, \a\= 1.

Доказательство. Правая часть неравенства (1.5) есть следствие леммы Швар­

ца. Для доказательства левой части запишем неравенство (1.3) для (п+ 1)-й точки Со = 0, Ск, \Ск\ < 1, к = 1,... ,п, а0 = п,аг = а2 = ... = ап - - 1 . В результате получим

nMog/4o) + f > g A a ) - » i > g ^ + £ iog

-

к=\ к-\ ^к,1=1 _к±1 С * - О

1-1ЛС01

, ^ , _ 1 - / ( а ) / ( 0 )

^Eb

^^f

Eb

л=1 fc,/=i

i - a-o

Заменяя модуль слева на реальную часть со знаком минус и устремляя точки Ск вдоль радиусов соответственно к точкам zk, k= 1,... ,п, имеем

1<|/'(о)г

п^'^)1

П

к=1 к,1=

кф1

= 1Л0)Г'П1А**)1

П

к=1

^ о ) Г

П | / ' Ы |

.

( / ( * * ) - / Ы ) ( 1 - / Ы / Ы )

к,1=1

к&

(zk - zi)(l - zkzi)

/Ы-/(**)

2fc - г ;

к=1

Последняя оценка вытекает из неравенства Шура [19]. Теорема доказана.

Запишем отдельно неравенство (1.5) в случае п = 1

\f'(z)\2y/lj\fW\>h |/(*)| = М=1. (1.6) Правое неравенство в (1.6) есть лемма Шварца, а левое неравенство было

получено нами ранее из свойств приведенных модулей [8]. Можно показать, что оно вытекает также из правой части неравенства (1.1). Отметим, что неравенство \f'(z)\ ^ 1 следует из принципа Линделефа, а также из леммы Жюлиа-Вольфа. В дополнение к теореме 1.2 приведем следующий результат.

Теорема 1.3. Пусть функция w = f(z) регулярна и однолистна в круге U и удов­

летворяет условию |/(.г)1 < 1. когда z e U. Предположим, что эта функция и ее производная определены и непрерывны также в граничных точках zu та­

ких, что точки f{zk) расположены на единичной окружности симметричным образом к = 1,... , ?1, п ^ 2. Тогда

> 1. (1.7)

fc=l

Равенство достигается для функции f(z) = az, \а\ = 1.

Доказательство. Можно считать, что arg/(z/() = 2nk/n, k — 1,... ,п. Введем вспомогательную функцию

я (

" ° о + л м ) * ' >

-

По заданному г, О < г < 1, близкому к единице, пусть точки Сь к = 1,... , п, таковы, что |0s| = г, и arg Н(Ск) = 2-кк/п, к = 1,... , п. Из теоремы 2.23 работы [11] следует, что

П

fc=i

я'(а-)

#(С0 ^{/ гп(1 +Г}")п"

Деля обе части этого неравенства на (1 - г )п и переходя к пределу при г -> 1, получим неравенство (1.7). Теорема доказана. •

Если функция w — f(z) принадлежит классу Б, то неравенство (1.7) легко следует из (1.5), причем для любых точек гк, к = 1,... ,п, на окружности

|г| = 1. Новизна теоремы 1.3 в том, что мы отказываемся от условия /(0) = 0. Автору известны другие доказательства теорем 1.2 и 1.3, основанные на применении приведенных модулей [9], из которых следует, в частности, что условие непрерывности производной в точках гк, к = 1,... , п, несущественно.

Однако в данной работе в отличие от [8] мы придерживаемся традиционной манеры изложения.

22 Б. Н. ДУБИНИН

§2. П р и м е р ы однолистных функций

В этом параграфе мы рассмотрим несколько способов построения одно­

листных функций по заданному многочлену. Прежде всего нам понадобится лемма общего характера.

Лемма 2.1. ОПусть функция z — F(w) регулярна в конечной области D, огра­

ниченной конечным числом кусочно-гладких кривых, и пусть при приближении к границе этой области все предельные значения модуля \F(w)\ больше либо равны единице. Тогда из условия F(D)nU ф 0 следует F(D) э U. Если, допол­

нительно, функция z = F(iv) отображает некоторую точку w0 области D и только ее в начало координат, причем F'(w0) ф О, то существует обратная функция w = f(z), z = F(f(z)), однолистно отображающая круг U в область D.

Доказательство. Из принципа аргумента легко заключаем, что в условиях леммы число нулей функции F{w) - z* в области D есть величина, не за­

висящая от точки z* g U. Таким образом, если для некоторой точки z* оно непусто, т.е. z* e F(D) П U ф 0, то и для любой другой точки круга U оно непусто и, следовательно, F(D) э U. Если, дополнительно, некоторая точка то переходит в начало, и только она, причем F'(w0) Ф 0, то число нулей функции F(iu) и, следовательно, функции F(w) - z* при любом z* e U равно единице. Лемма доказана. •

В следующих леммах 2.2-2.5 сужение функции z = F(w) на область D, содержащую начало координат, имеет обратную функцию класса Б.

Лемма 2.2. Пусть P(z) —многочлен степени п и пусть L{P) := min{ReF(^) :

\z\ = 1} ф Н(Р) := max{ReP(^) : \z\ = 1}. Обозначим через С = Ф(">) функцию, конформно и однолистно отображающую внешность отрезка 7 := [2L(P),2H(P)] на круг \С\ < 1 так, что Ф(оо) = О, Ф(2Ь(Р)) = - 1 , и положим

F{w) := ад1-"Ф(Р(1/ш) + ТЩ).

Тогда множество G :— {w : \w\ < l,P(l/w) + P(w) g 7, \F(w)\ ф 1} состоит из конечного числа областей {D}, ограниченных конечным числом кусочно-гладких кривых и обладающих следующими свойствами. Если D из совокупности {D}

не содержит начала координат, то образ области D при отображении z — F(w) принадлежит множеству \z\ > I. Если область D содержит точку w = 0, то функция z = F(w) конформно и однолистно отображает область D на круг U,

Доказательство. Гладкость и конечность совокупности областей {D} очевид­

ны. Заметим, что при отображении z = F(w), \w\ < 1, точка w=Q и только

она переходит в точку *=0, причем Р'(0)^0. Ввиду леммы 2.1 осталось убе­

диться, что обратная функция w=f(z) отображает круг U на область D, кото­

рая принадлежит совокупности {£>} и содержит начало координат. Последнее вытекает из определения множества G и из связности. Действительно, если существует точка и/ области D такая, что |F(w')| ^ 1, то, взяв кривую А, лежащую в D и соединяющую w = 0 с to', получим кривую Р(А), лежащую в F(D) и соединяющую точки 0 и F(w'). Последнее невозможно, так как в D имеем |JF(U>)| ф 1. Лемма доказана. •

Аналогично доказываются следующие леммы 2.3-2.5.

Лемма 2.3. Пусть P(z) = с0 + cxz + ... + cnzn, R.ec„ Ф 0, и пусть Т{Р) •:=

min{ReP(,s) : г G [-1,1]} ^ Я(Р) := max{ReP(z) : г £ [-1,1]}. Обозначим через С=Ф(ш) функцию, конформно и однолистно отображающую внешность отрезка у := [2L(P), 'Ш(Р)] на круг \(\ < 1 так, что Ф(оо)=0, Ф(2Г(Р))=-1, и положим

F(w) := и>1-пФ ( Р ( _-¹ 2

( Л

V «'У

\ , ,

J

[-,

\*

( Л\

W + -

^ w)

Тогда для множества

G := {и, : И < 1, Р Q ( « ' + £ ) ) + Р Q (™ + = ) ) £ 7, № ) l ^ l}

и функции z = P(w) справедливы утверждения леммы 2.2.

Заметим, что на самом деле условие L(P) ф Н(Р) для данного многочлена P(z) всегда выполняется. Это же касается условия L(P) ф Н(Р) в лемме 2.2.

Лемма 2.4. Предположим, что все нули полинома P(z) = со + ci z + ... + сп zn, со ф 0, сп ф О, лежат в круге U, и пусть

F(w):-wn+1P(\/w)/P{w).

Тогда множество

G := {w : И < 1, \F(w)\ ф \,F{w) ф оо}

состоит из конечного числа областей {D}, ограниченных конечным числом кусочно-гладких кривых (возможно, вырожденных), причем если точка w = О принадлежит области D из совокупности {D}, то функция z = F(w) ото­

бражает эту область конформно и однолистно на круг U, а если w = О не принадлежит D, то образ F{D) лежит вне круга U.

24 В. Н. ДУБИНИН

Лемма 2.5. Предположил!, что все пули полинома P(z) — с0 + cxz + ... + cnzn,

со ф 0, с„ ф О, лежат на множестве \z\> 1, и пусть F(w) := w1-nP(w)/P{l/w).

Тогда множество G := {w : |w| < l,|F(w)| ф l,F(w) ф оо} обладает свой­

ством, указанным в лемме 2.4.

Лемма 2.6. Пусть G — односвязная область, содержащая точку z = оо, и пусть функция z = Ф(ад) конформно и однолистно отображает круг \и>\ < 1 на область G так, что Ф(0) = оо. Предположим, что все нули полинома P(z) степени п лежат в дополнении G, и пусть М :— max{|P(z)| : z e dG). Тогда функция

z = F(w) = (Р(Ф(ш))/Л/)-1/", Н < 1,

распадается в круге \и>\ < 1 на п регулярных ветвей, каждая из которых однолистно покрывает круг \z\ < 1.

Доказательство. Регулярность ветвей следует из теоремы о моподромии, а однолистность накрытия — из леммы 2.1. •

Лемма 2.7. Пусть P(z) — полином степени п и пусть все его конечные кри­

тические значения лежат в дополнении к некоторой односвязной области G, содержащей бесконечно удаленную точку. Обозначим через С = <b(w) функцию, конформно и однолистно отображающую область G на круг \Q\ < 1 так, что Ф(оо) = 0, lim иФ(ш) > 0, и положим

С = Q(z) = (Ф(Р^)))1/", z€B:={z: P(z) G С}.

Тогда функция (=Q{z) распадается в односвязной области В на п регулярных ветвей, каждая из которых однолистно отображает эту область на круг

1 С 1 < 1 .

Доказательство. Полином w = P(z) взаимно однозначно отображает г-сферу на некоторую риманову поверхность 11, лежащую над w-сферой. Часть по­

верхности %, лежащая над G, с единственной точкой ветвления в беско­

нечности, гомеоморфио отображается посредством функции С = Ф(м) на п- листный единичный круг. Ветви функции \Д, разворачивают этот круг на

КРУГ |С| < 1- Таким образом, суперпозиция C=Q{z) конформно и однолистно отображает область В на круг \С\ < 1. Лемма доказана. •

Аналогичные примеры однолистных функций приводятся также при до­

казательстве теорем 3.4, 4.1 и 4.3.

§3. Теоремы покрытия для полиномов

Термин „теорема покрытия" хорошо известен в геометрической теории функций [6]. Применительно к полиномам P(z) под такой теоремой мы по­

нимаем информацию о геометрии образа заданного множества при отобра­

жении w = P{z), либо функциями от P(z). В данном параграфе приводятся теоремы о покрытии функциями вида P(z) + P{\/1), P(z) + P(J), P(z)P(l/J) и P(z)/P(l/J). Всюду ниже приняты обозначения из введения. Положим также

М(Р,г) :=тах{|Р(г)| : \z\-r}, М{Р,\) = М{Р).

Теорема 3.1. Пусть P{z) = c0+ciz + .. .+cnzn, cn ф 0. Тогда образ окружности

\z\ = г при отображении и — P(z) + Р(1/г) в случае г = 1 есть отрезок действительной оси длины

2 / / ( P ) - 2 L ( P ) > 4 | c „ | , (3.1) а при г > 1 этот образ есть кривая, лежащая внутри эллипса с фокусами в

точках 2L(P) и 2Н(Р) и большой осью, равной

(И-х-о + г"-7а:о)(Я(Р) - L(P)) $ (r"n + rn)(H(P) - L(P)), (3.2) где x0 — корень уравнения

2|cn|(l - rfx = r(H(P) - L(P))(i - x)\ (3.3) принадлежащий промежутку \/r ^ x < [.Для полиномов вида P(z) = c0 + cnzn

выполняются равенства в (3.1) и (3.2) и образом окружности \z\ = г, г > 1, является указанный выше эллипс.

Доказательстпо. Можно считать, что Н(Р) Ф ЦР)- Рассмотрим функцию z = F(w) из леммы 2.2. Согласно этой лемме, существует функция w=f(z) класса В, обратная к z = F(w). Легко видеть, что функция, обратная С = $(w), из леммы 2.2 имеет вид

"

\ (

?)

~

'

Отсюда

f(z) = z2cn/(H(P)-L(P)) + ..., \z\<\.

26 В. Н. ДУБИНИН

Лемма Шварца дает неравенство (3.1). В случае г = 1 осталось заметить, что на окружности \z\ = 1 выполняется P(z) + P(l/~z) = P(z) + P(z) = 2ReP(z).

Пусть теперь г > 1. Рассмотрим произвольную точку w на окружности \w\ — 1/г. Имеем либо \F(w)\ ^ 1, либо \F(w)\ < 1. В первом случае выполняется

\ф(Р{1/ю) + Р~Щ)\ > И " "1 = (1/г)'-1. (3.4) Во втором по лемме 2.2 заключаем, что точка w является образом неко­

торой точки z £ U при отображении функцией w = /(г). Из правой части неравенства (1.1) следует

| -гг | г г 1/г

(1-Й)

" l/'(o)l(i-r)

- ( T ^ F

( i - W

Поскольку левая часть строго возрастает при изменении \z\ на промежутке О ^ \z\ < 1, то последнее неравенство равносильно неравенству

\z\ ^х0^ 1/г, где х0 — корень уравнения (3.3), 1/г ^ х0 < 1. Отсюда

\Ф(Р(1М + РЩ)\2 xoil/r)"-1 > (1/г)». (3.5) Сравнивая (3.4) и (3.5), получаем, что для любых точек w на окружности

\w\ = 1/г справедливо неравенство (3.5). Следовательно, точка P(\/w) + P(w) или, что то же самое, точка P(z) + Р(1/г) при \z\ = г лежит внутри эллипса, указанного в теореме 3.1, и имеет место неравенство (3.2). Утверждение об экстремальном полиноме co + c.nzn проверяется непосредственным вычисле­

нием. Теорема доказана. •

Неравенство (3.1) восходит к Cere [20]; что касается теоремы 3.1 в целом, то она в литературе, по-видимому, не встречалась.

Теорема 3.2. Пусть P(z) = c0+ciz+.. .+c„zn, Rec„ ф 0. Тогда образ „эллипса"

\z - 11 + \z + 11 = г + 1/г при отображении и> = P(z) + P{z) в случае г = 1 есть отрезок действительной оси длины

ЩР) - 2Ь(Р) > 23-"| Пес,,!, (З.б)

а при г > 1 этот образ есть кривая, лежащая внутри эллипса с фокусами в точках 2L(P) и 2Н(Р) и большой осью, равной

{г1'пх0 + гп-1/х0)(Н(Р) - Т(Р)) ^ (г"» + гп)(Н(Р) - !(/>)), (3.7)

где х0 — корень уравнения

| Rec„|(l - rfx = r'2n-2(7/(P) - Г(Р))(1 - ж)2 (3.8) на промежутке 1/г ^ х < 1. Равенство в (3.6) и (3.7) достигается для полинома Чебышева Tn(z) — 2n~lzn + ... , который отображает эллипс

\z- 1| + | z + 1| = г + 1/г на эллипс \w - 1| + |w+ 1| = г" + 1/г", г > 1.

Доказательство. Можно считать Я(Р) ф Ь(Р). Повторяя доказательство тео­

ремы 3.1, но с функцией z = F(w) из леммы 2.3, получим, согласно (1.6), неравенство (3.6). Далее, как и выше с \w\ = 1/г, г > 1, применяя теорему 1.1, приходим к неравенству

Ф ( р , К ^{ш +} ^

аналогичному (3.5). Здесь ( = Ф(ш) из леммы 2.3, а х0 — корень уравнения (3.8), 1/r ^ XQ < 1. Отсюда следует утверждение теоремы 3.2 о принад­

лежности точки P(z) + P(J) внутренности соответствующего эллипса. Случай равенства проверяется непосредственно из определения полинома Чебышева.

Теорема доказана. •

Неравенство (3.6) совпадает с классическим свойством чебышевских по­

линомов о наименьшем отклонении от нуля. Напомним, что мы получи­

ли его из неравенства Шварца. Теорема 3.2 о покрытии при г близких к единице приводит к неравенству берпштейповского типа для производной полипома па отрезке. Этот же результат, но с меньшими вычислениями, вытекает из теоремы 4.4 следующего параграфа. Замечая, что для полинома P(z) с вещественными коэффициентами выполняется P(J) = P(z), приходим к следующему утверждению.

Следствие 3.1. Если P(z) — полином степени п с вещественными коэффици­

ентами, нормированный условиями Н(Р) = -Ь(Р) — 1, то для любого р > 2 справедливо включение

P({z : \z - 1| + \z + 1| < р}) С Tn({z : \z - 1| + \z + 1| < р}), где Tn(z) = 2"~Vl + ... — полином Чебышева.

Этот результат содержит хорошо известное неравенство Чебышева

\Р(х)\^\Тп(х)\М(Р),

28 В. Н. ДУБИНИН

справедливое для любых вещественных полиномов Р(х) степени п и любых х € Ж\[—1,1] [1, с. 235]. Желая уточнить неравенство Чебышева для полино­

мов с критическими точками на отрезке [—1,1], введем сперва обозначение

6(Р) := г Т " ^ , (3.9)

V ; \jH(P)-L(P)' K }

где P(z) = c0 + ciz +.. . + cnzn, cfe G С, к = О,1,... ,п, Reen ф 0. Согласно (3.6), для любых полиномов P(z) выполняется 6(Р) <: 1 с равенством в случае Р{г) = aTn{z) +Ь,ае К\{0}, b € С.

Теорема 3.3. Предположим, что все критические точки полинома P{z) сте­

пени п с вещественными коэффициентами расположены на отрезке [—1,1].

Тогда для любых вещественных х, \х\ ^ 1, справедливы неравенства 2 \Р(х) - (1{Р) + Я(Р))/2| /(Н{Р) - Т(Р)) <: Тп({\х\ - 1ЩР) + 1)

^Тп(\х\),

а для \х\ ^ (2 — 8(Р))/8{Р) имеет место maiotce неравенство в другую сторону 2 \Р(х) - (Т(Р) + Я(Р))/2| /(Н(Р) - Т(Р)) % Тп((\х\ + l)S(P) - 1).

Доказательство. Критические значения полипома P{z) расположены на про­

межутке [L(P),H(P)]. Обозначим через G дополнение этого промежутка, и пусть С = Q(z) — функция из леммы 2.7 с данным G. Наконец, положим

F

^ Q (

i ) ) ,

<i,-pQ(„

l ) )

.

Неравенство (1.1), примененное к обратной функции, дает 1 + И

i + №)l ^£

W

8{P)F{w)

« I r r ^ J l ) - '"!<•• ("О)

Из правой части неравенства (3.10) следует

\F(w)\ H _ u»' > И ( l - | F ( u . ) | )2 " S{P)([ - \iv\)2 (l-w')2 ' ( 1 - N )2'

где w' и \w\ связаны соотношениями

i ' = ( | a : | - l ) * ( P ) - + l > 1,

е'=1(гп' + 1Л, 0 < « / < 1 , 2 V w J

Поэтому

|F(w)|^u/$> |u>|.

Отсюда легко следует первая оценка в теореме 3.3. Неравенство в другую сторону вытекает из левой части (3.10):

\F(w)\ \w\ w"

(1 + |F(U))|)2 ^ J(P)(1 + H)2 - (1 + U>")2' где x" = {\x\ + l)S{P) - 1 > 1 при |x| > (2 - S{P))/S{P),

x» = {(

»

±-^ 0 < « / ' < l ,

Теорема доказана. •

Теорема 3.4. Пусть Р(г) = с0 + с\% + ... + c„zn, с0 ф 0, с„ ф 0. Тогда образ окружности \z\ = г при отображении и> = P(z)P{\/l) в случае г — 1 есть отрезок действительной оси длины

A f2( P ) - m2( P ) > 4 | c0cn| ,

а при г > 1 этот образ есть кривая, лежащая внутри эллипса с фокусалш в точках т2(Р) и М2(Р) и большой осью, равной

(г1-пх0 + г"-г/*о)(М2(Р) - т2( Р ) ) / 2

<:(r-" + r")(Af2(P)-m2(P))/2, где х0 — корень уравнения

4|с0с„|(1 - rfx = г(М2(Р) - т2(Р))(1 - х)\

30 В. Н. ДУБИНИН

принадлежащий промежутку 0 < х < 1. Равенства выполняются для поли­

номов вида P(z) = CQ + cnzn, \с0\ = \е„\ ф 0, при которых соответствующий образ окружности \z\ = r, г > 1, есть указанный выше эллипс.

Доказательство. Следуя работе [8], введем функцию F(w) = иГп+1Ф(Р(1/и;)Р(й7)),

где ( = Ф(ш) есть конформное и однолистное отображение внешности отрезка 7 := [т2(Р),М2{Р)] на круг \(\ < 1 такое, что Ф(оо) = 0, Ф(т2(Р)) = - 1 . Как при доказательстве леммы 2.2, убеждаемся, что эта функция и множество G := {w : \w\ < l,P(l/w)P(w) fi -),\F{w)\ ф 1} обладают свойствами, указан­

ными в этой лемме. Далее, повторяем слово в слово доказательство теоремы 3.1, заменяя функции F(w) и Ф(ш) на вновь введенные. Теорема доказана. •

С этого момента читатель без труда получит аналог теоремы 3.2, но уже для отображения и = P(z)P(l), а также утверждение о покрытии функцией P2(z), аналогичное следствию 3.1, для полипомов P{z) с вещественными коэффициентами.

При доказательстве полиномиальных неравенств зачастую полезно пере­

ходить от заданного полинома P(z) к полипомам г"Р(1/г) либо znP(l/z) (см., например, [1, 4, 5]). Отметим, что многочлены, для которых cnP(z) = c,oznP(l/I), характеризуются тем, что множество их корней симметрично от­

носительно окружности |г| = 1. Такие многочлены, а также многочлены вида P{z) = znP(\/z) изучались отдельно [21-23]. Для них теоремы покрытия данного параграфа и теоремы искажения (§4) приобретают особое звучание.

Например, из теоремы 3.4 вытекает следующий факт.

Следствие 3.2. Если корни многочлена P(z) степени п симметричны относи­

тельно окружности \z\= I, то для любого г, 0 < г ^ 1, выполняется Л/2(Р,?-)< гп „„_, , , - „ . . , - ь М*(Р)-т*(Р) , Л/2(Р) + т2( Р ) ,

(»•'-'*„ + г'-^') '-~ — +

где х0 из теоремы 3.4, г ^ х0 ^ 1. Равенство достигается в случае P(z) = c0 + c„zn, |с0| = \с„\ фО.

Заменяя в (3.11) хо на г, легко заключаем, что в условиях следствия 3.2 справедливо неравенство

М{Р,г)^^~М(Р,1), г ^ 1 .

Последнее неравенство справедливо также для г > I, в чем убеждаемся заме­

ной P(z) на г"Р(1/г).

Теорема 3.5. Если все нули полинома P(z) = co + ciz + .. . + c.nzn, с0 ф О, сп Ф О, лежат в круге \z\ ^ 1, то для любого г > 1 и любой тонки z на окружности

\z\ = г выполняется неравенство

| P ( l / 7 ) / P ( z ) | < x * r - " - 4 r -n, (3.12) где х* > 1 корень уравнения

\c0\(l-r)2x = r\cn\(l-x)2. (3.13)

Равенство достигается для полиномов P(z) с нулями па единичной окружно­

сти \z\ = 1.

Доказательство. При доказательстве неравенства (3.12). достаточно рассмот­

реть случай, когда все нули полинома P(z) лежат и круге U. Пусть функция z - F(w) из леммы 2.4 и пусть точка w лежит на окружности |ш| = 1/г.

Согласно этой лемме, выполняется либо |.F(u>)| ^ 1, либо точка w являет­

ся образом некоторой точки z е U при отображении функцией класса В, обратной к F(w). В нервом случае имеем

1 ^ \F(w)\ = \wn+1P{l/w)/P(w)\,

и неравенство (3.12) выполняется для z = l/w (с учетом 1 < х* ^ г). Во втором случае но теореме 1.1 (см. неравенство (1.1))

1/г \cn\r \F(w)\

. ( l - l / r ) 2 - | c0| ( l - r p - ( l - | F H | ) 2 - Отсюда

\F(w)\ > 1/х*2 1/г,

где х* — корень уравнения (3.13), х* > 1. Последнее неравенство эквивалент­

но (3.12) при замене z = \/w. Если теперь z\,z2,... ,zn — нули полинома P(z) и |г/е| = 1, к = 1,... ,п, то |со| = |с„| и, следовательно, х* = г. С другой стороны, |Р(1/г)| = \сп f[{\/J-z„)\ = \cnz~n f[{\/zT-z)\ = |*-»Р(*)|,-И в

fc=i fc=i

(3.12) имеет место равенство. Теорема доказана. •

Неравенство (3.12) можно интерпретировать как оценку произведения Бляшке

у-г 1 - OkZ , z — а ь к = \

< x*l\z\ < 1

при \z\ > 1 и \dk\ ^ 1, к = 1,... , п. Здесь „итоговое" неравенство есть очевид­

ное следствие свойства дробно-линейного отображения.

32 В. II. ДУБИНИН

Теорема 3.6. Если полипом Р(г) — с0 + c\z + ... + cnzn, c„ ^ О, не имеет нулей в круге \z\ < 1, то для любого г > 1 и любой точки z на окружности \z\ = г выполняется неравенство

\P{\/l)/P(z)\>x>rl-n>r-\

где х*, 0 < ж* < 1, — корень уравнения

|с„|(1-г)2х- = г|с0|(1 -аг)2.

Равенство достигается для полиномов P{z) с нулями на единичной окружно­

сти \z\ — 1.

Доказательство. Достаточно применить предыдущую теорему к полиному znP(l/z) либо повторить доказательство этой теоремы с заменой леммы 2.4 на лемму 2.5. •

Следствие 3.3. В условиях и обозначениях теоремы 3.6 справедливо неравен­

ство

М(Р,г)^±^-М(Р,1)

1 + ж* 1

с равенством для полиномов P(z) — с0 + cnzn, \c0\ = |с„| ф 0.

Доказательство. Известно, что для полиномов P(z) степени п с М(Р, 1) = 1 на окружности \z\ = г выполняется неравенство

\P(z)\ + rn\P(l/z)\^rn + l

(см., например, [24, с. 550]). Осталось применить теорему 3.6 и перейти к максимуму. •

Заменяя в данном следствии х*г на единицу, получаем хорошо извест­

ное неравенство Энкени и Ривлина [13]. Другое усиление этого неравенства можно получить, комбинируя теоремы 3.4 и 3.5.

Предположим, что все нули полинома P(z) степени п лежат в круге |г| ^ р.

Далее, нас будут интересовать значения полинома P(z) и его производной в тех точках z с модулем |г| > р, для которых выполняется неравенство

\P(z)\>M(P,P). (3.14)

Как было отмечено Л. В. Ковалевым, элементарные неравенства для модулей показывают, что соотношение (3.14) заведомо выполняется при \z\ > 3/э.

Действительно, для таких z имеем

п

\Р(*)\

= к Ш

~

)| >

>

(

>р)-

Интересно было бы установить точную оценку |г| снизу, при которой выпол­

няется (3.14). Стандартные емкостные неравенства приводят к более грубой оценке, чем 3/?.

Указанный выше полином P(z) удовлетворяет условиям леммы 2.6, где необходимо положить G - {z : \z\ > р}, Ф(ад) = p/w, M = М(Р,р). Согласно этой лемме, функция

F(w) = (M(P,p))1'n(P(p/w))-1'n (3.15) распадается в круге \w\ < 1 на п регулярных ветвей, каждая из которых

однолистно покрывает круг U. Следовательно, функции, обратные этим ве­

твям» принадлежат классу Б, причем если для данной точки z с модулем

\z\ > р выполняется условие (3.14), то для точки w такой, что p/w = z, имеем

\F(w)\ < 1, т.е. точка F(w) принадлежит области определения функции класса Б, и мы можем применять результаты §1. В частности, из неравенства 1.1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.7. Если все нули полинома P(z) степени п лежат в круге \г\ ^ р и если для данной точки z с модулем \z\ > p выполняется условие (3.14), то справедливы неравенства

(M(P,p))i\ <

\^z\- Р

CnP(z)

lP(z)\iHM(P,p)^ 2п

Равенство достигается для полинома P(z)=cnzn.

Заметим, что если полином P(z) £ const, то для точек z на окружности

\z\ = R > р, в которых достигается максимум М(Р, R), заведомо выполняется условие (3.14). Переписывая (3.16) в такой точке, приходим к неравенствам ((M(P,R))i-(M(P,p))iVn \cn\M(P,R) ((M(P,R))i + (M(P,p))iVn

{ R-P ) ** Rn ^\ R + P ) ' которые несколько дополняют классическое M(P,R)/Rn ^ M(P,p)/pn [25, с. 165] в случае, когда нули полинома расположены в круге \z\ ^ р.

2 Алгебра и анализ, №5, 2001 г.

34 В. Н. Д У Б И Н И Н

§4. Неравенства для производных от полиномов

Теоремы §1 в сочетании с леммами из §2 либо их модификациями дают целый ряд неравенств с участием производных от полиномов. Ниже приво­

дятся типичные результаты с небольшими комментариями.

Теорема 4.1. Пусть P(z) = со + c\z + ... + cnzn и пусть к — целое неотрица­

тельное число. Тогда для любых точек z на окружности \z\-\ выполняются неравенства

\zP'(z) - kP(z)\ <: (n - k - l)M{P) + y/\cn\M{P), еслик<-,

\zP\z) - kP(z)\ <C ( | - l) M{P) + ^\\cn\-\cQ\\M(P), если к = | ,

\zP'{z) - kP(z)\ <: (k - l)M(P) + s/\co\M{P), если к>-n Равенство в первом и во втором случаях достигается, например, при P(z) = cnzn, а в третьем неравенстве — для P(z) = с0.

Доказательство. Случаи равенства проверяются непосредственно. При дока­

зательстве неравенств можно считать, что с⁰ Ф 0, с„ ф 0, ||cv>| —|со|| = '|с^п+со| ф О, а точки z не принимают некоторое конечное число значений на окружности

\z\ — 1. Введем следующие обозначения R(z) = z-kP(z);

L = min{ReR(z) : \z\ = 1};

H = max{Rs R{z) : \z\ = 1};

С = Ф(ш) — конформное и однолистное отображение внешности отрезка 7 := [2L,2H] на круг |С| < 1 такое, что Ф(оо) = О, Ф(2Ь) = - 1 ;

т = к — п, если к < п/2 и т = — к — в противном случае.

Рассмотрим функцию

г = F(w) = wm+4(R(l/w) + R(w)), \w\<l, R{l/w) + R{w)£-y.

Повторяя доказательство леммы 2.2 с данной функцией F(w), убеждаемся, что множество {w : \w\ < 1, R(l/w) + R(w) <£ 7, \F(w)\ ф 1} состоит из конечно­

го числа областей {£)} с кусочно-гладкими границами, причем если область D не содержит начало, то F(D) лежит вне единичного круга, а если 0 6 D , то z = F(w) конформно и однолистно отображает область D на круг U. Если теперь w — регулярная для F(w) точка окружности \w\ = 1 и одновременно F(D) вне круга U, то необходимо в этой точке

В противном случае неравенство (1.6) дает

Ш <

/I7J740)U 1,

a\w\

(4.2)

где ' 2|с„|/(Я - L), если к < п/2, 1/|F'(0)|=< 2\cn + c0\/{H-L), если fc = п/2,

. 2|с0|/(Я - L), если А,- > п/2.

Сравнивая (4.1) и (4.2), заключаем, что всегда выполняется (4.2). Для вы­

числения производной слева представим функцию С = Ф(^) в виде суперпо­

зиции

-H-L С = v + V7)2 - 1, '/ =

II- L

где ветвь корня выбрана подходящим образом. Заметим, что при |ю| = 1 точка ш. — R(\/w) + R(w) е 7 и Ч '•— и + ™ £ [—1> !]• Поэтому

\ш\

Учитывая последнее замечание, имеем

- 1 < и < 1.

d\F\

d\w\ = т + 1 +

= m + 1 +

> m + 1 +

2|Im(fl'(l/u;)/w)|

^ ( 1 - и ) ( 1 + и)(Я - L)

\lm(R'(l/w)/n,)\

)/{ReR{l/w) - L)(H - ReR(\/iv)) 2\lm(zR'(z))\

II -L '

где также сделана замена \/w = z. Пусть для определенности к < п/2. Тогда из неравенства (4.2) следует

| \m{zR'(z))\ <С (п -к- 1)(Я - 1)12 + У|с„|(Я - L)/2

£ ( " - * - 1 ) М ( Р ) + УЫМ(Р).

Заменяя при необходимости P(z) на е,вP(z) с подходящим 0, имеем \R'(z)\ в левой части последнего неравенства, и, следовательно, утверждение теоремы 4.1 доказано при к < п/2. Аналогично рассматриваются случаи к = п/2 и к > п/2. Теорема доказана. •