В. Н. Голубкин, Д. С. Емелин, Оптимизация формы крыла малого удлине- ния в гиперзвуковом потоке газа с учетом ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, но- мер 9, 1592–1601

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Н. Голубкин, Д. С. Емелин, Оптимизация формы крыла малого удлине- ния в гиперзвуковом потоке газа с учетом ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, том 38, но- мер 9, 1592–1601

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 22:29:40

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 1998, том 38, № 9, с. 1592-1601

УДК 517.958.53133

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА С УЧЕТОМ ЛАМИЫАРНО-

ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

)

© 1998 г. В» EL Голубкин, Д. С. Е м е л и н (140160 Жуковский, М. о., ЦАГИ)

Поступила в редакцию 07.07.97 г.

Переработанный вариант 19.09. 97 г.

В приближенной постановке разработан численно-аналитический метод решения задачи о повышении аэродинамического качества тонкого крыла малого удлинения, находящегося в гиперзвуковом потоке вязкого газа с учетом ламинарно-турбулентного перехода. Исследова­

но влияние параметров перехода на форму оптимального крыла. Установлен бифуркацион­

ный характер поведения форм-параметров крыла при изменении полуразмаха. Обнаружен и изучен существенно немонотонный характер изменения положения точки бифуркации и мак­

симального аэродинамического качества в зависимости от числа Рейнольдса. Проанализиро­

вано влияние некоторой неопределенности в определении числа Рейнольдса перехода на оп­

тимальную форму и аэродинамическое качество.

ВВЕДЕНИЕ

В аэродинамике важное место занимают задачи, связанные с получением конфигурации тел, имеющих некоторые экстремальные характеристики (например, максимальное аэродинамичес­

кое качество или минимальное полное сопротивление) при определенных ограничениях (напри­

мер, геометрических: заданы объем аппарата или площадь в плане). В настоящее время при ре­

шении таких задач все больше применяются современные численные методы. Но в точной по­

становке решение таких задач представляет значительные трудности, поскольку требует больших ресурсов ЭВМ. Нужно отметить, что так же широко используются приближенные под­

ходы к постановке задачи и методы решения. Например, в [1] при постановке задачи о минимуме полного сопротивления наряду с волновым сопротивлением, обусловленным внешним невязким обтеканием, учитывалось сопротивление трения в тонком пограничном слое, причем для мест­

ного коэффициента трения использовалась степенная зависимость от продольной координаты.

Ламинарный или турбулентный погранслой рассматривались по отдельности. В дальнейшем в связи с получением новых корреляционных формул для определения переходной зоны погра­

ничного слоя из анализа экспериментальных данных стало возможным рассмотрение более сложных случаев [2], [3], в которых уже учитывался переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный на крыле.

В работах [4], [5] был предложен метод решения вариационной задачи об определении фор­

мы тонкого крыла малого удлинения, имеющего максимальное аэродинамическое качество в невязком потоке, на основе теории гиперзвукового обтекания тонких крыльев [6]. Впоследствии в постановке задачи учитывалось сопротивление трения для полностью ламинарного или турбу­

лентного погранслоя [7], [8].

В данной работе сделан шаг вперед и рассматривается не только ламинарное или турбулент­

ное трение в погранслое, но и учитывается ламинарно-турбулентный переход при формулиров­

ке и решении вариационной задачи. Приведены результаты параметрических численных реше­

ний задачи оптимизации при наличии переходного участка на крыле, на основании которых про­

анализировано влияние вязкости, а также различных состояний погранслоя на максимальное гиперзвуковое качество и оптимальные формы крыльев. Исследовано влияние эффектов пере­

хода на форм-параметры оптимального крыла, и обнаружен немонотонный характер зависимо­

сти от числа Рейнольдса бифуркационного значения размаха, при котором происходит внезап­

ное качественное изменение формы оптимального крыла. Проведен анализ влияния неопреде-

! ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-00629).

1592

= Р - .⁼ Y - 1 , 2

Ps Y + l ( y + i J b O i n V

О = y e M i s i n²a = 0 ( 1 ) при у —* 1 и — -

где М^ - число Маха набегающего потока, у - показатель адиабаты. Здесь и далее индекс °° от­

носится к параметрам набегающего потока, s - непосредственно за скачком. Тогда в безразмер­

ных координатах ударного слоя

х = / / L , у = yV(Letga), у = y ° / ( L 8^{1 / 2}t g a )

каждый параметр течения в ударном слое представляется в виде разложения в ряд по малому па­

раметру 8 :

и/У^ж = c o s a + 8 s i n a t g a w ( x , у, г) + 0 ( е²) , v⁰/V^oo - e s i n a v(x⁹ у, z)

+

w⁰/ ^ = e^{1 / 2}s i n a w ( x , y , z ) + 0 ( 83 / 2) ,

(p'-pj/ip^vi) =

+

pVp^ = 8 " 4 0 ( 8 ) , T*/T„ = 0 + 0 ( 8 ) ,

где и⁰, v°, vv° - компоненты вектора скорости, p°9 p°, 7° - давление, плотность и температура газа в ударном слое, L - длина крыла.

Применяя интегральные законы сохранения массы и импульса и используя указанные разло­

жения, получаем выражения для аэродинамических сил [4], действующих на крыло с присоеди­

ненным к острым передним кромкам скачком уплотнения:

Х»> ^{,3/2 . 2 2 ^ 5/2 х} f -² = е" sin a tg a c^pQ^w + 0(г^ш),

У

— - — . = e^{1 / 2}s i n²a t g a < y _ ( l +гР) + 0(г⁵'²), P = 0(1),

в которых приведенная площадь крыла в плане а^р совпадает с площадью кормового сечения ударного слоя с:

п

a^p = jjdydz = o, о„ = 2J[l-x^e(z))dz. (1.4)

а О

Здесь x^e(z) - форма проекции передней кромки на плоскость у = О, £1 - величина приведенного

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

ленности в расчете числа Рейнольдса перехода на оптимальные свойства крыла и гиперзвуковое качество.

1. ПОСТАНОВКА З А Д А Ч И

Напомним, что, как и в [4]-[8], рассматривается обтекание тонкого крыла малого удлинения, находящегося в гиперзвуковом потоке вязкого газа под углом атаки а. Для определения целевой функции задачи - аэродинамического качества необходимо знать аэродинамические силы, дей­

ствующие на нижнюю поверхность крыла. Давлением и трением на верхней поверхности прене­

брегаем, что соответствует физике гиперзвукового обтекания. Формула для аэродинамического качества в скоростной системе координат при отсутствии скольжения имеет вид

к = F c o s o - X s i n a ^{х = х х ( 1Л )}

F s m a + X c o s a '

где У, X^w - подъемная сила и волновое сопротивление, обусловленное внешним невязким обте­

канием (в связанной с крылом системе координат), и X^f- сопротивление трения, связанное с на­

личием тонкого пристеночного пограничного слоя. Чтобы найти У, X^w и параметры потока на внешней границе погранслоя, используем теорию тонкого пространственного ударного слоя.

Малый параметр теории представляет собой обратное отношение плотностей на плоском скач­

ке уплотнения:

1594 ГОЛУБКИН, ЕМЕЛИН полуразмаха крыла, и выражение для Q^w имеет вид (см. [4])

Q^w = R^w- 1, R^w = -—^udydz. (1.5) 1

a

После преобразований выражение для R^w имеет вид (см. [4]) a

К = £\[S(l,z)-S{x^e(z),z)]dz⁹ (1.6)

о где S(x9 z) - форма скачка уплотнения.

2. УЧЕТ ТРЕНИЯ

Простейший способ учета сопротивления трения связан с введением постоянного коэффици­

ента трения Cf. Для определения cfc учетом его переменности по поверхности крыла, как и в [7], [8], используем метод определяющей температуры [9]. Для этого рассмотрим пограничный слой вдоль некоторых линий тока невязкого течения, которые образуют нижнюю поверхность кры­

ла. Поскольку продольная кривизна поверхностных линий тока мала ( ~ £ t g a ) и проекция каж­

дой линии тока на базовую плоскость у0 = 0 является прямой с малым углом наклона ( ~ £1 / 2t g a ) к продольной оси х°⁹ то в каждой плоскости z° = const распределение местных напряжений трения считаем таким же, как в пограничном слое на плоской пластине длиной L[l - x^e(z)] в потоке за головным скачком, параметры которого даются главными членами разложений (1.2) с постоян­

ными давлением и температурой. Зависимость коэффициента вязкости от температуры предпо­

лагаем степенной:

р - Г⁰. Для ламинарного пограничного слоя имеем

О 6 6 4 Л Г У0 3"1 ) 7 2 p,VAx-xJz)]L Г 2 (Tw Л

= ^ Ы • RC- • и, • ^ = ^ 0 ^ , 0 . 5 8 ^ - ! ) ( 2 . 1 )

где Tw - температура поверхности крыла.

Для турбулентного слоя имеем

0.0592 „ , p'V^s[x-x^e(z)]L

с ft = ^ ^ 7 ^ - Re; = r " , „е ч , (2.2)

( R 0

И"

где р' и р' вычисляются при определяющей температуре Т\

Преобразуя эти формулы к параметрам набегающего потока, в конечном итоге получаем универсальную формулу, справедливую как для ламинарного (v = 1/2), так и для турбулентного (v = 1/5) течения в погранслое (см. [7]):

г o^V_2n i^V(0 г\ \ г / M- v • 2 ^{А c}v i V ( l+ c o) - l c хУ , ⁴3 - v

c^f = 2eA^v[x-x^e(z)] s i n a t g a , A^v = — - A -³— ( c o s a ) Re sin a

A = 1 + 0 . 0 3 2 M i c o s2a + 0 . 5 8 ( ^ / 0 - 1 ) , cm = 0.664, cvs = 0.0592, Re = p^V^L/p^, tw = TJT„.

После рассмотрения предельных случаев обтекания (см. [7], [8]) с ламинарным или турбулент­

ным погранслоем на поверхности крыла важно рассмотреть течения с учетом перехода лами­

нарного погранслоя в турбулентный. В действительности явление перехода чрезвычайно слож­

но и до конца не изучено. Для оценки основных эффектов ниже используется приближенная мо­

дель, сильно упрощающая ситуацию и применявшаяся ранее в [2], [3]. В общем случае рассматривается такой режим обтекания, при котором в пограничном слое на нижней поверхно­

сти крыла возникают ламинарная (L), переходная (Тг) и турбулентная (Т) зоны (фиг. 1). На пе­

редней части крыла имеется ламинарная зона, которая при некотором значении x*Ti(z) сменяет­

ся переходной. В каждом сечении z = const начало переходного участка определяется по числу

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

Ф(м)

D

Z

1 . 1

d

%

xTrij хТге 1 X

Фиг. 1.

Рейнольдса перехода R e^{x T r}, вычисляемому по параметрам потока за скачком, которые для каждого сечения z = const в нулевом приближении одинаковы. Поэтому кривая

х*^п (z) получается просто эквидистантным смещением пе­

редней кромки на величину x^Tri = х*^п- (0), определяемую из формулы

Re - ^{P X L} *

Выражая параметры потока за скачком через параметры набегающего потока, получаем

Т п Re cos а

Линия х*^те (z), означающая конец переходного участка и начало турбулентного, получается сме­

щением x^e(z) на величину х^Тте - х*^те (0), вычисляемую, как и в [2], [3], по корреляционной формуле

Хтге = %n[l + 5 ( R e^{x T r}) "^{1 / 5}] . .

Из приведенных формул видно, что изменение соотношения между R e^{x X r} и Re изменяет параме­

тры зоны перехода и, следовательно, сопротивление трения, а, значит, может влиять на опти­

мальную форму крыла. В зависимости от значений х^{Х п} и х^Тте возможны несколько режимов те­

чения в погранслое.

Случай 1 . Полностью ламинарный пограничный слой при 1 < x^Tri < х^Тге. Случай 2. Турбулентный пограничный слой при 0 < x^Tri < х^Тте < 1.

Случай 3. а. Имеются ламинарная и переходная зоны, 0 < x^Tri < 1 < х^Тте. б. Имеются все три зоны, 0 < x^Tri < х^Тте < 1.

Наиболее общим случаем является 36. Все остальные - его частные случаи, а случаи 1 и 2 бы­

ли уже рассмотрены в [7], [8]. Форму характерных областей на крыле (фиг. 1) можно сопоста­

вить с экспериментальными данными из [10].

Теперь подробнее остановимся на определении сопротивления трения X^f, которое предста­

вим в виде интеграла местного коэффициента трения су по поверхности крыла:

X^f = ±p„vlL1 ²z^mtgalJc^f(x,z)dxdz.

В ламинарной и турбулентной зонах ^представим как или С д соответственно, а в переходной - в виде их линейной комбинации с весовыми множителями:

с/ т г = [ l - / ( ^ z ) ] c^{/ L} + / ( j c , z ) c^{/ r},

где функция Дх, z) представляет собой коэффициент перемежаемости. С целью упрощения по­

следующих преобразований функцию f(x, z} полагаем линейной:

f(x,z) = •*TW(Z) ^•xe(z)-

*TUZ)-*&,-(Z) ^{XTie XTri}

(2.3) хотя возможно применение более сложных зависимостей из [2], [3]. Вид функции/(х, z) из (2.3) обеспечивает возможность сведения двукратных интегралов к однократным аналогично (1.6).

Результат интегрирования по поверхности крыла в самом общем случае 36 представим в виде

/ _ ^{3/2 2 2 2 Г}

е sin octg

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И ТОМ 38 № 9 1998

1596 ГОЛУБКИН, ЕМЕЛИН где

F(x) = J (1-х)

1

1/2 ^{, 1 - X}

T t i < X < 1,

Л, ^Xjre "Ь X — 1 А Хтг/' + X — 1

xT r e ^ T r / L (1 - JC)

- Л ^{Т г Г} ( 1 - х )

, 1 — Xj^Te < х < 1 — x^{T r}p

л _1/5

( 1 - х ) ^1/5

, 0 < х < 1 — х-

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Разложения по £ аэродинамических сил (1.3) и (2.4) подставляем в (1.1) для аэродинамическо­

го качества. В конечном итоге получаем двучленное разложение К по £:

Из (1.2)—(1.6) и (2.4) видим, что параметр Лу, включающий в себя £ < 1 и число Рейнольдса Re > 1, является параметром подобия. При Av ~ 1 волновое и вязкое сопротивления соизмеримы по по­

рядку величины и вносят одинаковый вклад в полное сопротивление. Когда a, 1VL и Л^у фиксиро­

ваны, то для нахождения максимума аэродинамического качества К в следующем приближении к ньютоновскому необходимо минимизировать функционал Q = Rw + Qf - 1, т.е. R - Rw + Qf, ко­

торый зависит от формы скачка уплотнения 5(х, z) и проекции передней кромки в плане xe(z) (или z^e(x)):

1

2 ' j[S(l, ^Ze{x)) - S(x, z^e(x)))z^e(x)dx + JF(x)z^e(x)dx + j[S(l, z) -5(0, z)]dz

В данном представлении функционала учитывается обнаруженная в [4] возможность наличия плоского участка в виде носового среза [0, z⁰] . Изопериметрическим условием считаем заданную площадь крыла в плане:

ар - 2^ze(x)dx = 2 о0 = const. (3.1)

о

Полученное аэродинамическое качество К при отрицательном минимальном значении функци­

онала Q будет больше ньютоновского значения KN - ctgoc. Если обеспечить R < 0, то достигнем возможно больших по модулю, но отрицательных значений

<2

.

новая составляющая отрицательная R^w < 0, поскольку его вязкая составляющая существенно по­

ложительна. Согласно (1.6), это имеет место в случае, когда проекция передней кромки на замы­

кающую плоскость кормового сечения х = 1 лежит ниже сечения скачка уплотнения этой плос­

костью. Для этого, аналогично [4]-[8], форму скачка ищем в следующем классе поверхностей:

S(x,z) = fczⁿln(6 + x ) , где к,п,Ь- свободные форм-параметры.

Построение процедуры оптимизации выполняется аналогично [7]. Чтобы найти экстремаль функционала R при изопериметрическом условии (3.1), исследуем на безусловный экстремум но­

вый функционал R^{ = R + Ха^р/2, где X - множитель Лагранжа. В конечном итоге при решении

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

полученной вариационной задачи с использованием методов вариационного исчисления получа­

ем систему уравнений

z

(x) = j^[tf

-a.a

-F (*)]J ,

(3.2) nRQ + Xc⁰ - — jF(x)z^e(x)dx, a⁰ - \z^e(x)dx,

о о

где R⁰ - экстремальное значение функционала R, z^e(x) - экстремаль. Исследование системы по­

казывает, что решение может существовать при отрицательных к: к<0. Но при этом вторая ва­

риация отрицательна:

1 1 п -1 '

5 4 = 8²f l = ^\s^xz{x,z^e{x))[bz^e(x)fdx =

^j

i

^\^

m

dx<0.

О О

Т.е. полученная экстремаль z^e(x) доставляет функционалу R не минимум, а максимум: R = R^mdX < О, Q

= <2

<2

фект связан с необходимостью уточнения формул (2.1) и (2.2) для местного коэффициента тре­

ния при малых значениях разности (JC - x^e{z)). Для выбора физически реальной частично опти­

мальной формы крыла в плане, обеспечивающей R = R^m{n < 0 и удовлетворяющей требованию О, = 0(1) асимптотической теории, вводится дополнительное ограничение в виде заданной вели­

чины полуразмаха £2, форма проекции передней кромки представляется в виде плоского участка (носового среза) и боковой искривленной части в форме кубической параболы из [4] (см. фиг. 1):

ZeW ⁼ z⁰ + -xtg(p + Az, Azcoscp = Ф —^-- + Azsin(p Vcoscp

Ф(Л) = Ai\(4-d№-D), D = [l + (Q-zo)2]^m, d = - + —, a, = aD 6 a , _ _⁰ Cl.-T-5—> tg<p = ( Q - z + z^{0 0}) .

Это дает два свободных форм-параметра кромки: полуширину носового среза ZQ И Л, вариация которых в допустимых пределах дает решение частичной задачи оптимизации при фиксирован­

ной форме скачка. При проведении полной оптимизации вместе с параметрами z⁰ и А варьиру­

ются форм-параметры скачка к, п, 5. Находится их комбинация, при которой Q = Q^min < 0 и суще­

ствует непротиворечивое решение задачи построения поверхности крыла (см. [4]). В частности, не должно быть двойного пересечения линиями тока поверхности скачка вниз по потоку. Путем независимого перебора найдено, что параметры такого скачка к = - 0 . 5 , п = 2, 5 = 0.38 не зависят от геометрических параметров Q, а⁰. Но форм-параметры кромки Zo,A и минимальное значение Q чувствительны к их изменению и зависят от параметра подобия A^v, или от числа Рейнольдса.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Поскольку параметры переходной зоны (jc^Tn- и х^Тте) определяются числами Рейнольдса Re и R e^{x T r}, то при изучении влияния переходной области на оптимальные формы крыльев рассмот­

рим два возможных варианта.

1. Исследование влияния Re при фиксированном R e^{x T r}.

2. Исследование влияния неопределенности при оценке числа R e^{x T r} при заданном Re.

Результаты расчетов в первом случае проведены при R e^{x T r} = 5 х 10⁵. В рамках принятой моде­

ли рассмотрим изменение состояния погранслоя при увеличении числа Рейнольдса Re при г -

= 0.175 (у = 1.4, ML = 20, a = 30°). До числа Re* = 1.15 х 10⁶, при котором х^{Т п} = 1, погранслой на крыле полностью ламинарный. При дальнейшем увеличении числа Re наблюдаем следующее.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

На задней части крыла появляется зона ламинарно-турбулентного перехода, размер которой сначала увеличивается, а сама зона Re* = 1.15 х 106 смещается вверх по потоку (ближе к перед­

ней части крыла). Соответственно, зона ламинарного пограничного слоя уменьшается. Увели­

чение размера переходной зоны будет продолжаться до тех пор, пока х^Тте не попадет на заднюю кромку, т.е. до появления зоны турбулентного погранслоя. При увеличении Re размер турбу­

лентной зоны постепенно увеличивается, а размеры ламинарной и переходной - уменьшаются.

В конце концов размеры ламинарной и переходной зон оказываются незначительными и на крыле возникает полностью турбулентный погранслой. На фиг. 2 для параметра площади о0 =

= 0.75 показаны зависимости форм-параметров передней кромки z⁰ и А, а также Q^min от приве­

денного полуразмаха £1 при различных числах Re (Re = 5 х х 10⁵, 1.5 х 10⁶, 5 х 10⁶, 10⁷, 5 х 10⁷, 10⁸ - сплошные кривые 7,2, J, 4,5,6 соответственно; штриховая кривая - невязкая).

Стрелками показано движение кривой ZQ(H) при увеличе­

нии числа Re. В случае обтекания с переходной зоной, как и в случае полностью ламинарного или турбулентного по­

гранслоя, наблюдаем немонотонность Q^m{ⁿ(£i) ^и бифурка­

ционный характер кривых Zo(ii) и А(£2). Отметим некото­

рые особенности этих кривых. По мере увеличения числа Re вторая ветвь описывает крыло с заостренной вершиной, с узким носовым срезом и снова с заостренной вершиной;

скачок амплитуды АА (АА = (А² - А^{)/2) в точке бифуркации меняет знак с отрицательного на положительный и наобо­

рот, а при некоторых числах Re обращается в ноль. При чи­

сто ламинарном или турбулентном обтекании скачок амп­

литуды всегда отрицательный.

Зависимость величины бифуркационного значения па­

раметра £2* от числа Re (см. фиг. За) оказывается сущест­

венно немонотонной и напоминает затухающие колебания, Фиг. 4.

0 10 20 30 40 50 а0

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

Фиг. 5.

которые стремятся к своему пределу С1щ (би­

фуркационное значение для невязкого слу­

чая). Для сравнения на этой же фигуре пока­

заны зависимости £2* для ламинарного по­

гранслоя до Re = 5 х 10⁶ и для турбулентного, начиная с Re = 5 х 10⁶. Переходные эффекты сказываются и на минимальном значении функционала Q = <2min- Зависимость Q^min от числа Re является немонотонной и также на­

поминает колебания, стремящиеся к невязко­

му значению. Одна из характерных зависимо­

стей представлена на фиг. 36 (£2 = 1.1). Полу­

ченные результаты позволяют уточнить представления [7] о характере зависимости

<2min и аэродинамического качества от числа Re. При изменении Re от 5 х 10⁵ до ° о кривые

£^{т а х}( а ) находятся в "коридоре" между лами­

нарной кривой 1 и невязкой кривой 2 (см.

фиг. 4), давая приращение по сравнению с ньютоновской зависимостью (кривая 3). Чис­

ло возможных качественно различающихся конфигураций крыльев зависит от того, в ка­

ком диапазоне находится значение £2. Если

£2 > П *^т (фиг. За), то возможны две характер­

ные конфигурации: с плоским носовым сре­

зом и с заостренной вершиной (Re = 10⁵, 5 х х 10⁵, О = 1.1, фиг. 5); для П*^г < £2 < П *^х - че­

тыре конфигурации (попарно формы анало­

гичны показанным на фиг. 6, £2 = 0.95); для О < Qⁿ (например, О = 0.85) - три конфигура­

ции, одна из которых с узким носовым срезом (Re = 1.5 х 10⁶, фиг. 76), а две другие (Re = 5 х х 10⁵, 5 х 10⁶) аналогичны показанной на фиг. 7а.

Определение критического числа Рей­

нольдса R e ^ r , при котором начинается лами- нарно-турбулентный переход, представляет собой сложную задачу, находящуюся на ста­

дии теоретических и экспериментальных раз­

работок. В связи с этим представляется целе­

сообразным проведение оптимизации при фиксированном числе Re и разных числах R e^{x X r}, что можно рассматривать как исследо­

вание некоторой неопределенности по пере­

ходному числу Рейнольдса.

Исследование проведено при Re = 5 х 10⁶. Обратимся к фиг. 8, на которой изображены зависимости форм-параметров кромки Zo, А и Q^min от приведенного полуразмаха £2 для пара­

метра площади а⁰ = 0.75. Качественно кривые остаются без изменения, т.е. состоят из пер­

вой и второй ветвей. В точке бифуркации £2* происходит переход с первой ветви, описывающей крыло с широким носовым срезом, на вторую ветвь, описывающую крыло либо с заостренной вершиной, либо с узким носовым срезом, что определяется числом R e ^ . На фиг. 9 построены зависимости f l ^ l g R e ^ ) и A A ( l g R e^{x X r}) , где АА показывает скачок амплитуды кубической пара-

Фиг. ^6.

Фиг. ^7.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

1 6 0 0 ГОЛУБКИН, ЕМЕЛИН

1.10

п

Фиг. 8.

болы в точке бифуркации. При R ex X r <^ Re величи­

на £2* подходит к своему турбулентному пределу

£2*^т, при увеличении Re^xTr величина £2* монотон­

но уменьшается, в небольшом диапазоне остается практически постоянной и монотонно увеличива­

ется, при R e^{x T r} = 2.18 х 10⁶ равняясь ламинарному пределу £2*^L. Из второго графика видим, что ска­

чок амплитуды в точке бифуркации дважды ме­

няет знак, оставаясь отрицательным как для пол­

ностью турбулентного течения, так и для полно­

стью ламинарного. В отличие от предыдущего случая (Re^T,. - fix, Re - var), зависимость Qmin от

R e^XT^r является монотонной (см. фиг. 8в): при уменьшении Ке^хТт от значения R e^{x T r} = 2.18 х 10⁶ ве­

личина Q^min монотонно увеличивается (по модулю уменьшается) от значения Q^min для полностью ла­

минарного погранслоя и приближается к своему турбулентному пределу. Что касается оптималь­

ных форм, то их разнообразие в данном случае, так же как и в первом, зависит от величины при­

веденного полуразмаха £2. Если О > £2*т, то дви­

жение "ступеньки", изображающей зависимость ZQ(Q) на фиг. 8а, при изменении R ex T r происходит слева от значения £2, причем Zo(£2) = 0 для любого числа R e ^ . Поэтому для значения £2 > £2*т опти­

мальное крыло имеет заостренную вершину.

В качестве примера для значения £2 = 1.1 может служить поверхность крыла, изображенная на фиг. 66. Если £2*^L < £2 < £2*^х, то при увеличении Re^{x T}r "ступенька" движется от турбулентного пре­

дела влево, достигает минимального значения и затем движется в обратном направлении к лами­

нарному значению £2*^L, проходя заданную вели­

чину полуразмаха £2 один раз при движении влево.

А вот для £2 < £2*L при движении вправо "ступень­

ка" проходит значение £2 второй раз. Поэтому значению £2*L < £2 < £2*т будут соответствовать две оптимальные формы, а значению £2 < £2*L — три. Характерные формы крыльев для значения полуразмаха £2*L < £2 = 0.97 < £2*т аналогичны по­

казанным на фиг. 6. При £2 = 0.85 < £2*L оптимальные формы аналогичны формам на фиг. 7.

Следует отметить, что при определении линии начала перехода можно было бы ввести по­

правку и учесть влияние угла стреловидности передней кромки на число Рейнольдса перехода (см. [2]). При этом начало перехода x^Tri(z) будет также зависеть от угла стреловидности и разде­

лительная кривая будет иметь более сложный вид.

- 0 . 5 0

Фиг. 9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. А. Миеле. М.: Мир, 1969.

2. Bowcutt K.G., Anderson J.D., Capriotti D. Viscous optimized hypersonic waveriders: AIAA Paper 87-272, 1987.

3. Corda 5., Anderson J.D. Viscous optimized hypersonic waveriders designed from axisymmetric flow fields:

AIAA Paper 88-0369, 1988.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998

4. Голубкин В.Н., Негода В.В. Оптимизация пространственной формы несущих тел малого удлинения при гиперзвуковых скоростях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 12. С. 1858-1870.

5. Голубкин В.Н., Негода В.В. О повышении аэродинамического качества крыльев малого удлинения при гиперзвуковых скоростях // Прикл. матем. и механ. 1992. Т. 56. № 3. С. 392-403.

6. Голубкин В.Н. Пространственное обтекание крыльев гиперзвуковым потоком газа // Изв. РАН. Ме­

хан. жидкости и газа. 1992. № 5. С. 148-161.

7. Голубкин В.Н. Несущие крылья оптимальной формы в вязком гиперзвуковом потоке // Изв. РАН. Ме­

хан. жидкости и газа. 1995. № 6. С. 154-164.

8. Голубкин В.Н., Емелин Д.С. Расчет максимального гиперзвукового качества и оптимальных форм крыльев малого удлинения с ламинарным и турбулентным пограничным слоем II Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 10. С. 1237-1245.

9. Eckert E.R.G. Engineering relations for heat transfer and friction in high-velocity laminar and turbulent boundary- layer flow over surfaces with constant pressure and temperature // Trans. ASME. 1956. V. 78. № 6.

10. Cattofesta L.N., Iyer., MasadJA. et al. Three-dimensional boundary layer transition on a swept wing at Mach 3.5 //

AIAA Journal. 1995. V. 33. № 11. P. 2032-2037.

12 Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 38 № 9 1998