Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. И. Еремин, Группы с конечными классами со- пряженных абелевых подгрупп, Докл. АН СССР, 1958, том 118, номер 2, 223–224
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 22:14:01
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1958. Том 118, № 2
МАТЕМАТИКА
И. И. ЕРЕМИН
ГРУППЫ С КОНЕЧНЫМИ КЛАССАМИ СОПРЯЖЕННЫХ АБЕЛЕВЫХ ПОДГРУПП
(Представлено академиком П. С. Александровым 1 VII 1957)
Нейманом в работе (г) был изучен класс групп, в которых для каждой подгруппы существует лишь конечное число ей сопряженных подгрупп.
В работе (*) было доказано, что этот класс групп совпадает с классом групп, являющихся конечными расширениями своих центров.
Возникает вопрос: будет ли более широким такой класс групп, у которых конечными будут не все классы сопряженных подгрупп, а лишь классы сопряженных абелевых подгрупп?
Этот вопрос был поставлен перед автором С. Н. Черниковым, которым было высказано также предположение о его отрицательном решении.
В настоящей работе доказана справедливость этого предположения (тео
рема 1).
Т е о р е м а 1. Группа, в которой для каждой абелевой подгруппы существует лишь конечное число ей сопряженных подгрупп, является конеч
ным расширением своего центра.
Предложение, обратное этой теореме, тривиально.
Доказательству теоремы предпошлем ряд лемм.
Л е м м а 1. Если теорема 1 справедлива для периодических групп, то она справедлива и для произвольных групп.
Доказательство леммы можно легко получить, опираясь на следующее принадлежащее С. Н. Черникову предложение:
В группе @ тогда и только тогда все классы сопряженных элементов конечны, когда она либо сама локально-нормальна, либо является централь
ным расширением абелевой группы без кручения с помощью локально-нормаль
ной группы.
Л е м м а 2. Если теорема 1 справедлива для произвольных р-групп (р — любое простое число), то она справедлива и для произвольных периоди
ческих групп.
Доказательство этой леммы можно без особого труда получить, опираясь на следующие предложения, доказанные автором в его дипломной работе.
1) Если в периодической группе ® нормализатор каждой абелевой под
группы имеет конечный индекс, то группа @ содер жит лишь конечное число неинвариантных силовых р-подгрупп по различным р и только конечное число неабелевых среди инвариантных силовских р-подгрупп.
2) Если в произвольной группе @ какая-либо силовская р-подгруппа % опре
деляет конечный класс сопряженных с ней подгрупп, то пересечение всех подгрупп этого класса имеет конечный индекс в
Л е м м а 3. р-группа @, порожденная системой образующих
#1» #2> ^2> • • • »
Ь
п, . . . с определяющими соотношениями
[7h
а
}-]
= [bi, b}]= [a
h bj] = 1при i, j
= 1, 2, . . . ,1ф j ;
[Ci,
a
t] [c
h bt] = 1,o(ci)
= p(ct
== [ah bt]),223
где o(ci) означает порядок элемента с-
ь, обладает абелевой подгруппой с бес
конечным классом подгрупп, ей сопряженных.
При доказательстве этой леммы используется возможность разложения группы, порожденной элементами а,- (/ = 1, 2 , . . . ) , в прямую сумму цикли
ческих слагаемых.
Л е м м а 4. Произвольная локально-нормальная р-группа, не являющаяся конечным расширением своего центра, обладает подгруппой со свойствами, описанными в лемме 3.
Процесс выделения такой подгруппы аналогичен неймановскому про
цессу выделения «//-подгрупп» в тех группах с конечными классами сопря
женных элементов, которые не являются конечными расширениями своих центров (г) .
Леммы 1—4 по существу исчерпывают доказательство теоремы 1. Дей
ствительно, леммы 1 и 2 сводят доказательство к случаю р-групп. Далее, если какая-либо из р-групп, удовлетворяющих условию теоремы (такие группы, очевидно, локально-нормальны), не является конечным расшире
нием своего центра, то, в силу леммы 4, она обладает подгруппой со свой
ствами, описанными в лемме 3. Однако такая подгруппа содержит, в силу леммы 3, бесконечный класс сопряженных абелевых подгрупп, что противо
речит условию теоремы 1.
Поступило 9 I 1957
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
!B . H . N e u m a n n , Math. Zs., 63, № 1, 76 (1955).
224
