Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. В. Ефимов, М. Г. Крейн, И. В. Островский, Борис Яко- влевич Левин (к шестидесятилетию со дня рождения), УМН , 1968, том 23, выпуск 5(143), 187–191
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 21:57:15
УСПЕХИ 31АТЕМАТИЧЕСЕИХ НАУК
БОРИС ЯКОВЛЕВИЧ ЛЕВИН (к шестидесятилетию со дня рождения)
Не так давно исполнилось 60 лет одному из замечательных советских аналитиков, профессору Харьковского университета Борису Яковлевичу Левину.
Основные научные интересы Б . Я. Левина сосредоточены в области тео
рии целых функций, где он получил ряд результатов фундаментального характера.
Итогом многолетних исследований Б . Я. Левина явилась его замеча
тельная монография «Распределение корней целых функций».
После известной книги Валирона «Lectures on the general theory of integral functions», вышедшей в 1923 г., непосвященному могло казаться, что в теории целых функций наступило глубокое затишье. Только лишь через 30 лет появились книги, которые писались почти одновременно: книга Р . Боаса «Entire functions» (1954 г.) и книга Б . Я. Левина (1956 г.). В каж
дой из них показано, какая напряженная работа велась в этот период, когда были выделены и изучены важные специальные классы целых функций, находящие применения в самых разнообразных вопросах: теории аппрокси
мации, обобщенном гармоническом анализе, прямых и обратных задачах спектральной теории дифференциальных операторов, абстрактном функцио
нальном анализе.
Книга Б . Я. Левина замечательна тем, что, кроме изложения общих основ теории целых функций, классических результатов Адамара и Лин
де лефа, в ней изложены главнейшие исследования последнего времени и пред
ставлены многочисленные и зачастую неожиданные выходы в смежные обла
ч и классического и функционального анализа. Не случайно она стала настольной книгой аналитиков самых различных направлений и переведена на немецкий [51] и английский [55] языки.
В последние годы идеи и методы, изложенные в монографии Б . Я . Леви
на, нашли многочисленные применения и интенсивно развивались.
В частности, теория целых функций вполне регулярного роста, зани
мающая центральное место в монографии, получила ряд существенных обобщений. Отметим, например, что В. С. Азарин развил аналогичную тео
рию для функций, субгармонических в пространстве п ^ 2 измерений,
188 М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ж И З Н Ь В СССР
а Н. В. Говоров — для функций, голоморфных внутри угла. А. А. Гольд- берг в большом цикле работ продолжил исследования Б . Я. Левина, изучая связь между индикатором и расположением корней для весьма широких классов целых функций, содержащих класс целых функций вполне регу
лярного роста.
Отметим также новые приложения введенного Б . Я. Левиным спе
циального класса целых функций, названного им классом Р. Этот класс состоит из целых функций со (z) экспоненциального типа (ц. ф. э. т.), удов
летворяющих условиям: 1) оз (z) не имеет корней в полуплоскости l m z < 0 , 2) ha ( 4 н < feo, ( — у J , где h^ (9) — индикатор функции со (z).
Класс Р был введен Б . Я. Левиным еще в 1943 г. в связи с обобщениями известной теоремы Эрмита — Билера для полиномов и оказался наиболее широким классом ц. ф. э. т., на который переносится эта теорема. В 1949 г.
Б . Я . Левин обнаружил тесную связь класса Р с кругом вопросов, относя
щихся к обобщениям известного неравенства С. Н. Бернштейна для производной ц. ф. э. т., ограниченной на оси; с помощью функций класса Р Б . Я. Левину удалось получить результаты, завершившие, в известной мере, исследования по обобщениям теоремы С. Н. Бернштейна. Интересно, что класс Р оказался лежащим в существе дела в совершенно не связанных, на первый взгляд, вопросах.
В последнее время Б . Я . Левин обнаружил [41] связь класса Р еще с одним кругом вопросов. Речь идет об обобщениях теоремы М. Карт- райт, состоящей в том, что для ц. ф. э. т. а < я из условий \ f (n) \ ^
<М(п = 0, ± 1 , . . .) следует \f(x) | < С ( а ) Л Т , — о о < х < о о . Б . Я. Левин доказал, что если со (z) £ Р и {xk} — множество вещественных корней уравнения Im со (х) = 0, то (при небольшом дополнительном ограничении на со (z)) из условий
f(±iy)/a( — iy) = 0(e-*v), г/-> + оо, е > 0 , | / (xk) | < | со (xk) \ следует
| / (х) | < С (h, со, е) | со (х — ih) |, h > 0.
Теорема Картрайт получается из результата Б . Я. Левина при со (z) =
= Meinz.
По-видимому, роль класса Р в теории целых функций еще не выяснена до конца. Недавно Луи де Б р а н ж (США) обнаружил новые приложения функций класса Р — в теории специальных гильбертовых пространств целых функций.
Остановимся на некоторых недавних *) работах Б . Я . Левина по теории целых функций.
В работе [47], написанной Н. И. Ахиезером и Б . Я. Левиным, дано обобщение теоремы С. Н. Бернштейна на случай, когда ц. ф. э. т. / (х) ограничена не на всей оси, а на некотором совершенном ее подмножестве Е положительной емкости. Оказывается, что оценка для | / ' (х) \ на множест
ве Е выражается через функцию, конформно отображающую дополнение к множеству Е на область специального вида.
х) О работах Б. Я. Левина до 1956 г. см. юбилейную статью в УМ И 12, № 2 (1957).
Работа [46], совместная с И. В. Островским, посвящена проблеме, поставленной еще в 1914 г. Г. Полна и А. Виманом. Классическая теорема Лагерра гласит, что если вещественная целая функция / (z) представима в виде
Z
/(z)=zme-v*»+3*+« Ц ( l - ^ - ) e X ] > j 4 r< 0 0' lmafe = 0, у > 0 ,
и dh k к
то корни всех ее производных вещественны. Проблема Полна — Вимана состоит в выяснении возможности обращения теоремы Лагерра.
В [46] доказано, что если все корни вещественной целой функции / (z) и корни /" (z) вещественны, то рост / (z) не слишком велик, а именно
1н In Mf (r) = О (г In г) (Mf (г) = max | / (z) | ) . (1)
\z\=r
Таким образом, дальнейшее исследование проблемы Полна — Вимана мож
но проводить в классе целых функций, рост которых допускает оценку (1).
В работе [56] Б. Я. Левин занимается обобщением следующей известной теоремы Линдварта — Полна: если последовательность Я-полиномов *) {Рп (z)} равномерно сходится в некоторой окрестности нуля и lim Рп (0) Ф
п-^оо
Ф 0, то эта последовательность равномерно сходится в любой ограничен
ной области. Б. Я. Левин вводит понятие определяющего множества как множества, содержащего точку 0 и такого, что из равномерной сходимости на нем последовательности Я-полиномов {Рп (z)}, lim Pn (0) Ф 0, следует равномерная сходимость этой последовательности в любой ограниченной области. Далее Б. Я. Левин ставит интересную проблему описания опреде
ляющих множеств и дает два тонких достаточных признака определяю
щего множества.
Из недавних работ Б. Я. Левина отметим еще работу [49], тесно свя
занную с прямыми и обратными краевыми задачами Штурма — Лиу- вилля. В этой работе даются широкие достаточные условия для того, чтобы система функций {хкег пХ} (к = 0, 1, . . ., рп; п = 1, 2, . . .) была полна в L2 (—я, я) и, более того, давала там обобщенный базис. Эти условия форму
лируются в терминах ц. ф. э. т.: множество {кп} должно лежать в некото
рой полосе | Im z | < const и совпадать со множеством корней ц. ф. э. т.
Ф (z) (рп — соответствующие кратности) скф (у j +/гф f — ~] = 2я, удовлетво
ряющей условию 0 << т < | Ф (а + Ш) \ < М < со, —со < о < со, при некотором вещественном Н. Если же, кроме того, выполнено условие inf | Xj — Xfe | >> 0, то система {ег пХ} образует базис в Z/9 (—я, я). Результат
Зфк
Б. Я. Левина дает возможность получения теорем о полноте и базисности собственных и присоединенных функций широкого класса несамосопря
женных краевых задач Штурма — Лиувилля.
Отметим также работу [44], посвященную теории вполне непрерывных диссипативных операторов. В этой работе впервые в вопросах о полноте
х) .//-полиномом называется полином, не имеющий корней в полуплоскости \т z <Г. 0.
190 М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ж И З Н Ь В СССР
корневых векторов несамосопряженного оператора были применены тонкие теоремы У. К. Хеймана о положительных субгармонических функциях в полуплоскости. Хотя результаты работы [44] были в дальнейшем перекрыты в работах М. Г. Крейна и В. И. Мацаева, но она способствовала переходу на другой уровень применений теории функций в функциональном анализе.
С 1949 г. Б . Я . Левин работает профессором Харьковского университета.
За это время ему удалось сплотить мощную группу молодых математиков, разрабатывающих вопросы теории целых и мероморфных функций одного и нескольких переменных и различные вопросы функционального анализа.
Семинар Б . Я . Левина в Харьковском университете работает с 1956 г.
За это время многие участники семинара защитили кандидатские диссерта
ции, а ряд из них — докторские (М. И. Кадец, Ю. И. Любич, И. В. Остров
ский, В. И. Мацаев, В. И. Гурарий, Л. И. Ронкин). Хотя большая часть докладов относится к теории целых и мероморфных функций и функцио
нальному анализу, но строгих ограничений на тематику нет: иногда заслу
шиваются доклады участников семинара по топологии, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей.
У Б . Я. Левина много друзей разных специальностей, и авторы данной статьи рискуют вызвать их разочарование, остановившись только на чертах яркой личности Б . Я. Левина, относящихся к его математической деятель
ности. Однако нельзя не сказать о любви Б . Я. Левина к литературе, осо
бенно к поэзии, с которой Б . Я. Левин буквально неразлучен. Он помнит на память множество стихов, и на товарищеских встречах и вечеринках его чтение доставляет истинное удовольствие слушателям. Он охотно по просьбе друзей, то медленно певуче, то озорно торжествующе, читает стихи, связанные с романтикой моря.
С юных лет море пленило его навсегда, и сейчас, живя в сухопутном Харькове, он часто страдает ностальгией и не упускает возможности побы
вать и у родной стихии.
Друзья Б . Я. Левина хорошо знают его исключительную скромность, доброжелательность и отзывчивость, которую не сразу можно разглядеть из-за его любви к острой, не всегда лицеприятной шутке.
Замечательный математик и человек большого благородства — таков Борис Яковлевич Левин.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Б. Я. ЛЕВИНА1) 1957
41. Обобщение теоремы Картрайт о целой функции конечной степени, ограниченной на последовательности точек, Изв. АН, сер. матем., 21, 549—558.
42. Неравенства для производных, аналогичные неравенству С. Н. Бернштейна, ДАН 117, 735—738 (совм. с Н. И. Ахиезером).
1) Начало списка опубликовано в УМН 12, вып. 2 (74) (1957), 237—242.
1958
43. Распределение корней целых функций, Труды III Всесоюзн. матем. съезда, т. III, 2 0 8 - 2 1 8 .
1959
44. О вполне непрерывных несамосопряженных операторах, Труды Харьковск. ин-та инж. ж-д. транспорта, вып. 35, 5—23.
45. Об одной теореме единственности в гармоническом анализе, Вестник ЛГУ, № 13f
59—62.
1960
46. О зависимости роста целой функции от расположения нулей ее производных, Сиб*
матем. журн. 1, 3, 427—455 (совм. с И. В. Островским).
47. Обобщение неравенства С. Н. Бернштейна для производных от целых функций, в сб. «Исследования по современным проблемам теории функций комплексного пере
менного», М., 111 — 165 (совм. с Н. И. Ахиезером).
48. Решение задачи С. Банаха о топологической эквивалентности пространств непре
рывных функций, Труды семин. по функц. анализу Ростовск. ун-та, Воронежск.
ун-т, вып. 3—4, 20—25 (совм. с М. И. Кадецом).
1961
49. О базисах показательных функций в L2, Зап. матем. отд. физ.-матем. фак. ХГУ и ХМО 27, 39—48.
50. Наум Ильич Ахиезер (к шестидесятилетию со дня рождения), УМЫ 16, вып. 4 (100), 223—234 (совм. с М. Г. Крейном).
1962
51. Nullstellenverteihmg ganzer Funktionen, Math. Lehrbucher und Monographien, Bd.
XIV, Akadenue-Verlag, Berlin.
1964
52. О полноте системы сдвижек в пространстве L (0, оо) с весом, Зап. матем. отд. мех.- матем. фак. ХГУ и ХМО 30, 178—185 (совм. с В. П. Гурарием).
53. О целых функциях, ограниченных на вещественной оси, ДАН 157, 19—21 (совм.
с А. А. Гольдбергом).
54. Описание продолжений эрмитово-положительных функций, ДАН 159, 746—749 (совм. с PI. E. Овчаренко).
55. Distribution of zeros of entire functions, Amer. Math. S o c , Providence, R. I.
1965
56. О сходимости последовательностей Я-полиномов, Матем. сб. 66 (108) : 3, 384—397.
57. Об обобщении теоремы Винера — Пэли для функций произвольного целого порядка и нормального типа в полуплоскости, ДАН Арм. ССР 41, № 1, 3—9 (совм.
с И. О. Хачатряном)-
Н. В. Ефимов, М. Г. Крейн и И. В. Островский
