заметки , 1982, том 31, выпуск 3, 465–472

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Уфнаровский, Критерий роста гра- фов и алгебр, заданных словами, Матем.

заметки , 1982, том 31, выпуск 3, 465–472

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 19:12:35

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 31, № 3 (1982)

КРИТЕРИЙ РОСТА ГРАФОВ И АЛГЕБР, ЗАДАННЫХ СЛОВАМИ

В. А. Уфнаровский

Введение. Пусть % — свободная ассоциативная алге­

бра, порожденная конечным множеством X. Пусть / — идеал в 9t, порожденный конечным множеством слов F (в алфавите X); А = %11 — алгебра, заданная этим на­

бором слов.

В статье дается простой критерий роста алгебры Л.

Для этого вводится понятие роста графа и каждой алгебре А сопоставляется некоторый граф так, что его рост совпа­

дает с ростом алгебры А (теорема 3).

Рост графа оказывается либо полиномиальным, либо экспоненциальным, причем имеется критерий, основанный на довольно прозрачных топологических свойствах гра­

фа, позволяющий указать, какой именно случай имеет место, а в случае полиномиального роста, найти точное значение степени полиномиальности. Это — содержание теоремы 2. -

Попутно вводится понятие ряда Пуанкаре графа и доказывается его рациональность (теорема 1), что позво­

ляет дать другое доказательство результата В. Е. Гово­

рова о рациональности ряда Пуанкаре (теперь, правда, чаще его называют рядом Гильберта) алгебры А (см. [II).

Критерий роста легко алгоритмизируется и может быть использован для вычисления роста с помощью ЭВМ.

§ 1. Рост функций. В этом параграфе мы напомним понятие роста и введем соответствующие обозначения.

Введем на монотонных функциях/: N ->- R+ отношение порядка: / -< g 4=$> Зс, п ^> 0, такие, что / (т) ^ eg (тп)

© Издательство «Наука». 465 Главная редакция

физико-математической литературы.

для любого т. Стандартным способом получаем отноше­

ние эквивалентности: / и g эквивалентны, если / -< g и g -< /. Класс эквивалентности для / обозначается через [/] и называется ростом функции /.

На классах эквивалентности естественным образом вводим сложение и отношение порядка

[/] + [g] = lf + g); lf]<g<*f<g.

Например, для любых а, 6 ^ > 1 ; d^> e ^> 0 имеем:

[ат] = [Ът] > [md] > [me].

Рост [2mI называется экспоненциальным, а рост [md] — полиномиальным степени d (d ЕЕ N).

Справедливо следующее очевидное утверждение:

ЛЕММА 1. Пусть g (m) = cf (nm + к) + а при т^1; с, Z, гс > 0. Тогда [/] = [g].

Напомним, как вводится рост алгебр: если конечно­

мерное подпространство V порождает алгебру А, то в ка­

честве функции роста берется функция dy (m) =

= dim (V + V2 -f- . . . + Fw) и ростом А называется класс эквивалентности г (А) = [dy (m)].

Если А такая, как во введении, а V — подпростран­

ство, натянутое на X, то, как легко видеть, dy (m) равня­

ется числу слов длины не выше т, не лежащих в / .

§ 2. Рост графов. Всюду ниже под графом будет пони­

маться конечный ориентированный псевдограф (см. [2, стр. 23]), т. е. конечное множество вершин, соединенных ориентированными ребрами (в конечном числе!), причем не исключены петли (вершина может быть соединена сама с собой) и кратные ребра (из одной вершины в другую может выходить несколько ребер). Под маршрутом дли­

ны т мы будем понимать ориентированный маршрут, т. е.

такую чередующуюся последовательность вершин и ре­

бер v0, хг, v1, х2, . . ., z;m_i, xm, vm, что для каждого i = 1, 2, . . ., т вершина ^_i является началом, а верши­

на vt концом ребра xt.

Напомним (см. [2, стр. 26]), что маршрут называется замкнутым, если v0 = vm; цепью, если все ребра «г,- раз­

личны; простой цепью, если все вершины vt (а, следова­

тельно, и ребра) различны. Замкнутая цепь называется циклом, а если vt Ф Vj при i Ф j и i, j ^> 0, то простым циклом.

466

Каждому маршруту соответствует подграф, состоящий из вершин vt и ребер Xj. Подграф, соответствующий про­

стой цепи, циклу и простому циклу, мы также будем на­

зывать простой цепью, циклом и простым циклом и обо­

значать той же буквой.

Наконец, заметим, что выбрасыванием замкнутых под- маршрутов любой маршрут можно свести к простой цепи либо к простому циклу (мы это будем неявно исполь­

зовать, когда будем выбирать минимальные марш­

руты).

Введем функцию роста произвольного графа G.

О п р е д е л е н и е . Функцией роста графа G назы­

вается функция dG (m), равная числу маршрутов в графе длины не большей т. Ростом графа G называется класс эквивалентности г (G) — [dG (тгг)], а рядом Пуанкаре графа G называется ряд 2jm==1cm£m, гДе ст = йа(т) —

— dG(m — 1) есть число маршрутов длины т.

ТЕОРЕМА 1. Ряд Пуанкаре любого графа есть рацио­

нальная функция. В частности, .рост любого графа не выше экспоненциального.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через btj число ребер из вершины ut в вершину i?7-, а через В — матрицу (bij). Тогда (£, /)-ый элемент в матрице Вт равен числу маршрутов длины т из вершины vt в вершину Vj (сравни [2, стр. 179]), так что ст есть сумма всех элементов матри­

цы. Так как любая матрица обладает минимальным мно^

гочленом, мы можем записать, что для некоторого п вы­

полнено равенство В^п = 2>—^{0 a}kB^k* Умножая это равенство на Вт и складывая все матричные элементы, получим, что Сщ+п = 2 ^ 3 akcm+k, что и доказывает оба утверждения (см. [3, стр. 35 и 37]).

Из этой теоремы уже можно получить, что рост графа либо полиномиальный, либо экспоненциальный, однако наша главная цель — получить критерий, различающий эти случаи.

ЛЕММА 2. а) г (G) = [const] тогда и только тогда, когда в графе нет циклов.

б) Рост любого подграфа не больше роста самого графа.

в) Если Gt — компоненты связности графа G, то г (6^ = S r (<?.)•

467

Д о к а з а т е л ь с т в о .

а) Оба условия равносильны тому, что в графе нет маршрутов -достаточно большой длины.

б) Каждый маршрут в подграфе является маршрутом в самом ?графе.

в) Каждый маршрут длины т целиком лежит в одной из компонент, так что do (m) = y^dGi(m).

ЛЕММА 3. Пусть G — граф вида

----чЗ

4J— О— ~^

где кружки означают простые циклы (любой длины), а стрелки — простые цепи (любой длины), причем пунктир­

ные стрелки означают, что крайние простые цепи могут и отсутствовать. Если d — число циклов (мы назовем его длиной цепочки (1)), то г (G) = [md].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть пх и п2 — максимум и минимум длин циклов, а к и п — число вершин и ребер в графе G. Каждому набору неотрицательных целых чи­

сел ух, у2, . . ., yd таких, что уг + . . . + yd ^ т, мы со­

поставим маршрут длины не большей п±т + п, состоя­

щий в «прокручивании» ух раз по первому циклу, затем у2 раз по второму, и т. д.

Обратно, каждому маршруту длины не выше щт мож­

но сопоставить такой набор, подсчитывая, сколько раз маршрут «прокрутится» по £-му циклу. Если при этом два маршрута имеют одинаковое начало и конец, а набо­

ры, соответствующие им совпадают, то и сами маршруты совпадают. Таким образом, если/? (т) есть число решений нашего неравенства, то, в силу леммы i,r(G) = [do (nxm + + п)] > [р (т)] > [dG (п2т)/к2] = г (G), откуда и следует утверждение теоремы, так как [р (т)] = ( m'J ) = [rnd].

Для того чтобы вывести критерий роста нам понадо­

бятся следующие определения и леммы.

О п р е д е л е н и е . Назовем вершину графа цикли­

ческой, если она входит в состав какого-нибудь цикла, ациклической в противном случае и дважды циклической, если через нее проходят два различных (как графы, а не маршруты) цикла. Граф назовем циклически простым,

если в нем нет дважды циклических вершин. Это озна­

чает, что любые два простых цикла не имеют общих вер­

шин, а непростых (как графов) нет вообще.

468

ЛЕММА 4. Если в графе G через любые два ребра про­

ходит маршрут, a i ; G G — ациклическая вершина, то из нее выходит и в нее входит не более одного ребра.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В противном случае имел­

ся бы маршрут, дважды проходящий через вершину v.

Выбрав минимальный такой маршрут, мы получили бы противоречие с ацикличностью v.

ЛЕММА 5. Пусть G — циклически простой граф, С CZ G — простой цикл, х ЕЕ G — ребро, не принадлежа­

щее С, но такое, что начало (соответственно конец) v ребра х принадлежит С. Тогда любой маршрут, начина­

ющийся (соответственно кончающийся) ребром х, не про­

ходит больше ни через одну вершину подграфа С.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Приведем рассуждение для того случая, когда v — начало х. Второй случай полу­

чается обращением всех стрелок в графе G.

Пусть, напротив, существует маршрут L, проходящий еще через некоторую точку и ЕЕ С. Выбрав его минималь­

ным, мы можем считать, что он кончается в и, и представ­

ляет собой либо простой цикл, либо простую цепь. Если L — простой цикл, то и = v, L Ф С, так как х ф.С ж v — дважды циклическая точка, что противоречит цикли­

ческой простоте G. Если же L — простая цепь, то и Ф и, и пусть D d С — простая цепь, соединяющая и и v в С.

Тогда LD — цикл, отличный от С, и мы опять получили противоречие.

ЛЕММА 6. Пусть хх и х2 — такие ребра графа G, что ни один из маршрутов не проходит через хг и х2

одновременно. Тогда г (G) = г (G — хг) + г (G — х2), где G — Xi — граф, получающийся из G удалением ребра xt.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из условий следует, что dG (т) = dG-Xl (m) + dG_X2 (m) — dG_Xl_X2 (m), откуда г (G) <^r (G — х^г) + г (G — х²), а лемма 2 б) по­

казывает, что на самом деле здесь имеет место равенство.

ТЕОРЕМА 2 (критерий роста). Рост любого графа либо полиномиальный, либо экспоненциальный. Более точно:

а) Рост графа экспоненциальный тогда и только тогда, когда в G есть дважды циклическая вершина (т. е.

существуют два пересекающихся цикла).

б) Рост графа G полиномиальный тогда и только тог­

да, когда граф циклически прост. Показатель полиноми- 469

алъности d есть длина максимальной цепочки вида (1), входящей в G в качестве подграфа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим вначале, что в G есть дважды циклическая вершина и. Пусть п есть максимум длин двух проходящих через нее циклов.

Тогда каждому двоичному числу а = ггг2 . . . гт мы мо­

жем сопоставить маршрут М^а длины, не превышающей тп, следующим образом: Ма есть последовательность маршрутов Met, МЕ2, . . ., Ме , где Ме. есть цикличе­

ский маршрут из вершины v в вершину и по первому циклу, если е£ = 0 , и по второму, если г{ = 1. Таким образом, d^G (mn) > 2^m, г (G) > [2^т], и ввиду теоремы 1, рост G экспоненциальный.

Пусть теперь G циклически прост. Пользуясь леммой 2 в, леммой 6 и индукцией по числу ребер, мы можем счи­

тать, что G — связный, и что через любые два ребра про­

ходит маршрут. Лемма 2 а позволяет предположить на­

личие хотя бы одного цикла. Он прост, так как граф цик­

лически прост. Покажем, что в него входит и из него вы­

ходит не более одного ребра. Действительно, наличие двух таких ребер предполагало бы и наличие маршрута через них проходящего, что противоречило бы лемме 5.

Предположим, что имеется ребро, выходящее из цикла.

Тогда, как мы показали, оно только одно. Продолжим его до максимальной простой цепи, все вершины которой, кроме первой и, может быть, последней ацикличны.

Если последняя вершина циклическая, то построим соот­

ветствующий цикл и применим к нему те же рассуждения, отметив только, что больше ни одно ребро не может вхо­

дить в него (точнее в некоторую его вершину). Если же нет, то в силу максимальности, из нее нельзя провести ни одного ребра.

Аналогично рассуждая для ребра, входящего в перво­

начальный цикл, мы построим чередующуюся последо­

вательность простых циклов и простых цепей. Она не может быть замкнутой, так как граф циклически прост.

Следовательно, мы построили подграф как раз такого вида, о котором говорится в лемме 3. Для завершения доказательства осталось показать, что других ребер и вершин нет. В силу связности это достаточно проверить для ребер, выходящих из вершин построенного подграфа.

Но для вершин циклов мы это сделали выше, а для вершин цепей это следует из леммы 4.

470

§ 3. Рост алгебр. Пусть А — такая, как во введений.

Мы построим для А граф такого же роста, как и г (А).

Пусть к — максимальная длина слова из F минус 1, R — множество слов длины к, не лежащих в / . Построим граф, вершинами которого будут служить элементы из R.

Ребро с началом в s и концом в t будет существовать в том и только в том случае, когда существуют буквы х, у ЕЕ X такие, что sx = yt ф. I. Таким образом, существует биективное соответствие между ребрами и словами длины к + 1» не лежащими в / .

ТЕОРЕМА 3. Имеет место равенство г (G) = г (А), в частности, рост А либо экспоненциальный, либо поли­

номиальный, а теорема 1 дает критерий роста.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В § 1/мы уже отметили, что d>A (m) есть число слов длины, не большей т, не лежащих в / . Если иг ^> к, то каждому слову хх, х2, . . \ , хт, не ле­

жащему в '/, однозначно Сопоставляется маршрут длины т — k tc последовательными ребрами хг, х2 . . . хн+и х2х3 . . . £fr+2; . . .; Хт-кХт-ы • • . хт. Это соответствие биективно, поэтому, если п = UA {к), то при т ^> к имеет место равенство С1А (т) = п + dG (m — к), которое, вви­

ду леммы 1, и доказывает теорему.

С л е д с т в и е . Ряд Пуанкаре алгебры А — дробно- рациональная функция. ^ ;

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из доказательства теоремы 3 видно, что если dt = (1А (i) — &А {i — 1) есть число слов

к

длины i, не лежащих в / , a q{t) = y2ji=alditi, т о РЯДЫ

Пуанкаре алгебры А и графаС? связаны равенством/?А (0 =

= Ч (0 + PG (t)-t^k- Теорема 1 позволяет завершить до­

казательство.

П р и м е р 1. X = {х, у}; F = {х3, уху, хух}; к = 2;

R = {х², ху, ух, у²}

х2 —^-ху

УЗС+— У*

О

Рост — экспоненциальный. Если добавить к F*слово ху2, то рост станет полиномиальным степени 1, а если добавить еще слово у3, то А станет конечномерной.

471

It р и м е р 2. Если А — ниль-алгебра, то Л конеч­

номерна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как циклические пе­

риодические маршруты соответствуют периодическим словам^ то их не должно быть, а, значит, не должно быть и циклов,

Обобщения результатов на случай бесконечного мно­

жества слов можно найти в работе [4].

Работа выполнена под руководством А. И. Кострики- на, которому автор приносит благодарность.

Математический институт Поступило им. В. А. Стеклова АН СССР 8.XII.1978

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Г о в о р о в В . Е . , О градуированных алгебрах, Матем.

заметки, 12, № 2 (1972), 197—204.

[2] X а р а р и Ф., Теория графов, М., «Мир», 1973.

[3] Х о л л М., Комбинаторика, М., «Мир», 1970.

[4] У ф н а р о в с к и й В. А., Графы, алгебры и ограниченно- детерминированные функции, Деп. № 1845—80, ВИНИТИ,

1980.