Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. Д. Заславский, Г. С. Цейтин, О сингулярных покры- тиях и связанных с ними свойствах конструктивных функций, Тр. МИАН СССР, 1962, том 67, 458–502
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 10:28:40
И. Д . ЗАСЛАВСКИЙ и Г . С. ЦЕЙТИН
О СИНГУЛЯРНЫХ ПОКРЫТИЯХ И СВЯЗАННЫХ с ними
СВОЙСТВАХ КОНСТРУКТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
Содержание. Введение. — § 1. Основные определения. — % 2. Сингулярные покрытия и их свойства. — § 3. Некоторые теоремы о конструктивных функциях. — Литература.
Введение
В настоящей работе рассматриваются покрытия вещественной оси конструктивными последовательностями промежутков. Точные опреде
ления покрытий различных типов будут даны ниже; говоря в принципе, покрытие некоторого промежутка или некоторого множества * веще
ственных FR-чисел — э т о конструктивная последовательность интер
валов (или сегментов), такая что любое вещественное FR-ЧИСАО, при
надлежащее данному промежутку или данному множеству, принадлежит какому-либо члену (или объединению нескольких членов) этой по
следовательности.
Свойства конструктивных покрытий существенно отличаются от свойств' покрытий, рассматриваемых в классическом анализе. Так на
пример, в статье И. Д . Заславского [ 2 ] показано, что для конструк
тивных покрытий ** не выполнена лемма Бореля. Именно, возможно такое покрытие конструктивного сегмента последовательностью систем интервалов, что никакое конечное множество этих систем интервалов не покрывает рассматриваемого сегмента. В настоящей работе пока
зывается, что, более того, возможно такое покрытие конструктивного сегмента (или даже всей вещественной оси) последовательностью ин
тервалов, что сумма длин любого конечного множества этих интерва
лов меньше некоторого сколь угодно малого (наперед заданного) поло
жительного числа. Это число, в частности, может быть меньше длины рассматриваемого сегмента. Покрытия этого последнего типа мы будем называть сингулярными.
Осуществимость сингулярных покрытий представляется на первый взгляд парадоксальной: получается, будто в конструктивном анализе
„вся вещественная ось имеет меру нуль". Вместе с тем оказывается, что сингулярные покрытия обладают особым свойством, заключаю
щемся в том, что последовательность сумм длин интервалов любого сингулярного покрытия не имеет конструктивного предела.*** Это о б стоятельство дает возможность выделить так называемые „правильные"
покрытия, которые заведомо не являются сингулярными; на основе понятия правильного покрытия оказывается возможным развивать конструктивную теорию меры точечных (предикативно определенных)
* О конструктивном понимании множества см. статью Н. А . Шанина [1 : § 7 ] .
** Правда, при несколько ином, по сравнению с настоящей статьей, определении покрытия.
*** См. замечание к теореме 2.4.
множеств (аналогичную теории меры конструктивных аппроксимативно определенных множеств, построенной Н. А . Шаниным [3]).
При помощи сингулярных покрытий можно построить ряд примеров конструктивных функций, представляющих интерес в связи с некото
рыми общими проблемами конструктивного анализа- Так, например, осуществима конструктивная функция, не являющаяся равномерно не
прерывной ни на каком сегменте (теорема 3.5). Осуществима также конструктивная функция, которая не может быть интегрируема ни при каком определении интеграла, удовлетворяющего некоторым ак
сиомам (теорема 3.6). В частности, эта функция не интегрируема по Риману и не имеет первообразной.
Рассматриваются также свойства конструктивных функций, связан
ные с вариационными суммами. Так, например, доказывается, что осуществимы две функции, монотонные на сегменте и такие, что их разность не есть функция ограниченной вариации (теорема 3.2). О с у ществима функция слабо ограниченной вариации (т. е. такая, что ее вариационные суммы ограничены), не являющаяся равномерно непре
рывной (теорема 3.3), Наконец, осуществима равномерно непрерывная функция слабо ограниченной вариации, не представимая в виде раз
ности двух монотонных (теорема 3.4).
Формулировки некоторых определений и теорем настоящей статьи в несколько ином виде были ранее опубликованы в работе [4].*
Формулировка теоремы, аналогичной теореме 3. 2 настоящей статьи, имеется у Д . Лакомба [5]; однако Лакомб пользуется иным, по срав
нению с настоящей статьей, понятием конструктивной функции.
§ 1. Основные определения
В настоящей статье в качестве „универсального" алфавита, в кото
ром будут строиться различные конструктивные объекты, будет использован алфавит
(О,
I ,
-, / , О, со, * , Л, V } ,в дальнейшем обозначаемый через Ч . Этот алфавит играет здесь такую же роль, как алфавит Ч в работе [2].
Все основные определения, данные в § 1 статьи [2] (за исключе
нием определения покрытия), сохраняют силу и в настоящей статье, с той лишь разницей, что алфавит Ч всюду заменяется на Ч . В ча
стности, алгорифмы Эп, ЭА, Ю , И определяются такими же сокра
щенно записанными схемами, как и в § 1 статьи [2J, с заменой алфа
вита Ч на алфавит Ч.
В дополнение к переменным, введенным в [2 : § 1], в- дальней
шем будут употребляться переменные s и допустимыми значениями которых являются положительные рациональные числа.
Ниже даются некоторые определения, используемые в дальнейшем.
Слово Р называется обобщенным вещественным числом, если оно графически равно одному из слов: оо или - с о , или является веще-
* В определениях, приведенных в [4], имеются досадные опечатки, допущенные по вине авторов. На стр. 181, в строках 1 и 2 сверху вместо „для всякого рацио
нального е > 0" следует читать: „для всякого x £ [а, Ъ\ и для всякого рационального е > 0 " ; в строке 3 сверху вместо „ | A i | < o , | Л21 <С ^" следует читать: „О < \hx\ < о, 0 < | Ä9| < O " ; в строке 14 сверху вместо „P(J -+-gy /х -*- /2) " следует читать:
»P(f-g, h — h)u-
460 И, Д. Заславский и Г. С. Цейтин
ственным РР-числом.* Слова о о и - о о называются несобственными вещественными числами.
М е ж д у любыми обобщенными вещественными числами вводятся отношения порядка и равенства следующим образом.
1 ) P<CQ в том и только в том случае, если Р= - с о , Q ^ - O O , или Р=т4= о о , Q= c o , или же P H Q — вещественные РР-числа и P < Q в смысле соответствующего определения для вещественных РР-чисел.
2 ) P < ^ Q в том и только в том случае, если Р = - с о , или Q= o o , или же Р и Q — вещественные РР-числа и P ^ Q в смысле соответ
ствующего определения для вещественных РР-чисел.
3 ) P=Q в том и только в том случае, если P ^ = Q , или же Р и Q — вещественные РР-числа и P=Q в смысле с о о т в е т с т в у ю щ е г о определения для вещественных РР-чисел.
4 ) Р=т^= Q в том и только в том случае, если хотя бы одно из слов Р и Q графически равно о э или - о о и P ^ f Q , или же Р и Q — веще
ственные РР-числа и Р=т^= Q в смысле соответствующего определения:
для вещественных РР-чисел.
Очевидно, что введенные таким образом отношения порядка являются транзитивными, а отношение равенства является транзитивным, рефлек
сивным и симметричным. Очевидно также, что любое из условий P < C Q , P ^ Q , P = Q , P=7^Q эквивалентно своему двойному отрицанию. N
Слово вида P<pQ, где Р и Q — обобщенные вещественные числа,
а ср — буква Л или V, называется промежутком, если P<Q
в случае, когда ср есть V, и
P < Q в случае, когда ср есть А.
Р и Q называются соответственно левым и правым концами про
межутка P<?Q.
Говорят, что обобщенное вещественное число. Р принадлежит про
межутку P<pQ (и пишут: P Ç P ^ Q ) , если Р < Я < < 2 в случае, когда ср есть V, и
P < P < Q в случае, когда ср есть А.
Говорят, что R является внутренней точкой промежутка PcpQ, если
P < £ < Q .
Говорят, что промежуток PcpQ содержится в' промежутке RtyS (и пишут: P ' f Q C P ^ ) , если, каково бы ни было обобщенное веще
ственное число Т,
TÇPyQZ) TÇR^S.
* Символ оо используется в дальнейшем также в виде условного обозначения
со
в выражениях такого типа, как lim © (л), У, 0[ (л) и т. п. В дальнейшем из контекста будет ясно, в каком смысле употребляется символ оэ в каждом конкретном случае.
Промежуток P<pQ называется рациональным, если Р и Q — рацио
нальные числа или слова оо или - о о .
Промежуток P<pQ называется невырожденным, если P<^Q.
Промежуток P p Q называется * сегментом (интервалом), если оба -его конца— вещественные РР-числа, а буква 9 есть А (соответственно,
•если оба его конца суть вещественные РР-числа, а буква <р есть V), Промежуток P<pQ называется вещественной осью, если Р = = - о о , В дальнейшем, говоря „вещественная о с ь " , мы будем иметь в виду промежуток -ooVco,
Длиной промежутка P<pQ называется вещественное РР-число Q — Р , -если Р и Q — вещественные РР-числа, и оо, если хоть одно из слов Р или Q не является РР-числом.
Длина промежутка P?Q обозначается |P<pQ|.
Объединением и пересечением двух пересекающихся сегментов **
«iAßj и <*2Aß2 называются соответственно сегменты min (alf а2) A max ((V, ß2)
н
max ( а1 ? а2) A min ( ßb ß2),
которые в дальнейшем обозначаются соответственно через a1A ß1| J a2A ß2 и о ^ П * * ^ -
Заметим, что при таком определении объединения из х £ с^А^ U a2Aß2
не следует, что х £ a1Aß1 или л: Ç a2Aß2.
Алгорифм Ф, перерабатывающий любое натуральное число в рацио
нальный интервал, называется рациональным интервальным покры
тием промежутка P<pQ, если для любого вещественного РР-числа х, принадлежащего P<pQ, осуществимо такое натуральное п, что лгСФя.
Алгорифм Ф, перерабатывающий, любое натуральное число в рацио
нальный сегмент, называется рациональным сегментным покрытием промежутка P<pQ, если для любого вещественного РР-числа х, при
надлежащего P<pQ, осуществимы такие натуральные пит, что сег
менты Фя и Фт пересекаются и л : £ Фяи Ф т -
Сегментное покрытие Ф промежутка PfQ называется невырожден
ным, если при любом п сегмент Фп является невырожденным.
В дальнейшем для п р о с т о т ы вместо „невырожденное рациональное сегментное покрытие промежутка P<pQ"t или „рациональное интервальное покрытие промежутка PcpQ" будем говорить п р о с т о : „сегментное покрытие промежутка P<pQ" или „интервальное покрытие промежутка PcpQ",
Алгорифм Ф называется покрытием промежутка P<pQ, если он является сегментным покрытием промежутка P<pQ или интервальным покрытием промежутка P<?Q.
Покрытие Ф промежутка P<pQ называется ^-ограниченным, если для любого п
2|Ф*1<е.
к=о
* Это определение эквивалентно определению сегмента (интервала) в [2]. Отно
шения между промежутками этих видов, не определенные здесь и упоминаемые в дальнейшем (например, отношения дизъюнктности и пересечения), предполагаются определенными так же, как в [ 2 ] .
** Легко распространить это определение на другие виды промежутков.
462 И. Д. Заславский и Г. С. Цейтин
Покрытие Ф промежутка PyQ называется сингулярным, если о с у ществимо такое е, что покрытие Ф является е-ограниченным и
s < ] P c p Q j .
Покрытие Ф промежутка P©Q называется дизъюнктным, если любые два промежутка Ф^ и Фг при k=£l не имеют общих внутренних
точек.*
Покрытие Ф промежутка P&Q называется точным, если для лю
бого п
Фп С PcpQ.
Интервальное покрытие Ф промежутка PyQ называется универсальным, если для любого алгорифма 01, который перерабатывает всякое нату
ральное число в рациональный интервал, содержащийся в РрQ, и у д о влетворяет условию
l i m | 2 l j = 0,
я-> ос-
осуществимы такие натуральные пит, что 91 —Ф
Алгорифм 01 типа ( н - > р ) называется шпекеровым, если последова
тельность рациональных чисел 01„ не убывает, ограничена сверху и не имеет конструктивного предела. Осуществимость таких алгорифмов доказана Э . Штекером [6].
З а м е ч а н и е 1. В соответствии с правилами конструктивного истолкования суждений определение рационального сегментного'покры
тия и рационального интервального покрытия промежутка PyQ следует понимать в том смысле, что осуществимы нормальные алгорифмы, перерабатывающие любое вещественнее РР-число х, принадлежащее
P ? Q , в требуемые натуральные ччела. Эти алгорифмы в дальнейшем называются характеристическими алгорифмами покрытия. Таким о б разом, каждый раз вместе с интервальным покрытием рассматривается один характеристический алгорифм, а вместе с сегментным — пара ха
рактеристических алгорифмов.
Если Ф есть интервальное покрытие промежутка P ? Q , а 9^ — ха
рактеристический алгорифм покрытия Ф, то для любого х, принадле
жащего P ? Q ,
Если Ф — сегментное покрытие промежутка P<pQ, а Й. и £ — харак- теристичеекге алгорифмы покрытия Ф, то при любом х , принадлежа
щем P ? Q , сегменты Ф ^ ) и Ф^) будут пересекающимися, и
Для сегментных покрытий в дальнейшем будет рассматриваться также ограничительный алгорифм, определяемый следующим образом:
если Й и £ — характеристические алгорифмы сегментного покрытия Ф, то ограничительный алгорифм строится таким образом, что для любого х, принадлежащего P<pQ,
9î(*) = max(5Ç(*), £(*)).
* Заметим, что Фк и Ф/ не обязаны быть дизъюнктными.
З а м е ч а н и е 2. В определении рационального сегментного покры
тия требование осуществимости для любого ху принадлежащего P<pQ>
двух пересекающихся сегментов Фт и Фп, таких что x £ Фт U Фп, нельзя заменить требованием осуществимости одного * сегмента Фт, такого что х£Фт. Например, алгорифм Ф, такой ч т о
ФЯ = 0А1, если п четное, ФЯ = 1А2, если л нечетное,
является сегментным покрытием сегмента 0А2; однако он перестал бы быть сегментным покрытием 0А2, если бы определение рационального сегментного покрытия было изменено указанным образом. Э т о выте
кает из теоремы [7: лемма § 2.2] о невозможности алгорифма, разли
чающего неположительные и неотрицательные вещественные РР-числа.
З а м е ч а н и е 3. Легко показать, что в определении рационального интервального покрытия слово „осуществимо" может быть заменено словом „квазиосуществимо" без нарушения смысла определения. Для сегментных покрытий такая замена невозможна. Например, алгорифм Wy такой что
W„ = 1A2, если /2 = 0, Фя = ^ ^ А - ~ - у , если л > 0 ,
не является сегментным покрытием сегмента 0А2; однако он оказался бы сегментным покрытием 0А2, если бы в определении рационального сегментного покрытия слово „осуществимо" было заменено словом
„квазиосуществимо".
То обстоятельство, что алгорифм Ф не является сегментным по
крытием 0А2, вытекает из следующего утверждения:
Если Ф — сегментное покрытие промежутка P<?Q, a n таково, что Эп(Ф„)G PfQ, 3 „ ( ФЯ) < С (или ЭА(Фя)СРс?С, ЭА( ФМ) > Р ) , т/го осуще
ствимо такое т, что
ЭА( Фи) < Эп( Фв) < Эп( Фт) (соответственно
Э л ( Ф „ ) < Эл( Фя) < Эп( Фм) ) .
Доказательство основано на теореме А . А . Маркова о невозмож
ности конструктивного разрыва у конструктивной функции [8: § 5, теорема 5 . 1 ] . Так как в дальнейшем приведенное утверждение исполь
зоваться не будет, т о на доказательстве его мы не останавливаемся.
Конструктивная функция / , заданная на сегменте aAß, называется функцией слабо ограниченной вариации на aAß, если осуществимо такое вещественное РР-число и, что для л ю б о г о дробления ** Т сегмента aAß
2 \ №((М)оТ))-№(кпТ))\^и.
к=1
* Если задан один сегмент Ф#, такой что лгСФд., то тем самым заданы и два сегмента Фт и требуемые определением сегментного покрытия, так как можно положить m = n = k; обратное неверно (см. ниже).
** Понятие дробления и некоторые связанные с ним алгорифмы определены в [2: § 1 ] .
464 //. Л' Заславский и Г. С, Цейтин
Конструктивная функция / , заданная на сегменте aAß, называется полигональной на aAß, если осуществимо такое дробление Т сегмента aAß (называемое определяющим дроблением полигональной функции/), что функция / линейна на каждом сегменте И(kn Т) А И ( ( £ н ~ 1 ) п Г), где 1 < ^ £ < ! Ю ( Г ) — 1 (разумеется, определяющее дробление для поли
гональной функции не единственно).
Пусть конструктивная функция / является полигональной на aAß и пусть Т—ее определяющее дробление. Тогда вещественное РР-число
Ю 2 0 - 1
2 /(И (ft -Ы) • Т)) + / ( И ft • Г)) .( и {{k4_г) a ^ _ и ( f e D ^ называется полигональным интегралом (или просто интегралом) функ
ции / на сегменте aAß. В дальнейшем полигональный интеграл функции / ß
на aAß будет обозначаться через J f(x) dx.
а
З а м е ч а н и е 4. Легко видеть, что если функции / и g являются полигональными на рациональном сегменте aAß, причем их определяю
щие дробления рациональны, т о функции f-*-g и / — g также полиго
нальны на aAè, причем
ß ß ß
\{f{x)±g{x))dx = \f{x)dx±\g{x)dx.
л
a a
(Такое же утверждение справедливо и без предположения о рациональ
ности сегмента aAß и определяющих дроблений функций / и однако доказательство его уже не является столь простым, как в приведенном случае. В дальнейшем указанное утверждение будет использоваться лишь для случая рационального сегмента aAß и рациональных опреде
ляющих дроблений функций / и g).
З а м е ч а н и е 5. Нетрудно построить алгорифм Ц, такой что для любой функции / , полигональной на сегменте aAß, оказывается: *
ß ü№nF)=\f(x)dx,
а
где Р—какое-нибудь определяющее дробление функции / .
Пусть А — некоторый алфавит, Я — некоторый логико-математиче
ский язык описанного в статье [1] типа. Формула / языка Я называется h-местным предикатом над алфавитом А , если нормальный список параметров ** формулы / состоит из А различных предметных перемен
ных Yi> Тг» • • •> ТА» причем любое слово в алфавите А является допу
стимым значением каждой из переменных Тъ Ï 2 > • • •> Тл-
Пусть /—некоторый А-меетный предикат над алфавитом А . Через ЦРъ Ръ •••> Ph) в дальнейшем будет обозначаться результат подста
новки слов Ръ Р2, . . . , РА в алфавите А вместо всех вхождений пере
менных соответственно у1 к у2» • • •> ТА в формулу L При употреблении такого обозначения предполагается, что переменные, входящие в нор
мальный список параметров формулы / , расположены в некотором
* Напомним, что обозначает запись алгорифма /#
ф См. [1: стр. 249].
фиксированном порядке (вообще говоря, отличающемся от их порядка в нормальном списке).
Двуместный предикат / над алфавитом Ч в некотором языке Я на
зывается обобщенным интегралом в языке Я на сегменте aAß, если для любых РР-чисел и, щ и для любых конструктивных функций / , g, заданных на aAß, выполняются следующие условия:
1) ( М о н о т о н н о с т ь ) . Если I(if], и) и V x ( x G a A ß D / ( x ) > 0 ) , т о и 5 ^ 0 .
2) ( А д д и т и в н о с т ь ) . Если I(£fl, и) и I(ig], щ\ то
3) ( П е р м а н е н т н о с т ь ) . Если / полигональна на aAß, т о
З а м е ч а н и е 6. При таком определении обобщенного интеграла не требуется, чтобы предикат / был инвариантен относительно равенства конструктивных функций и равенства РР-чисел. Не требуется также и однозначность интеграла данной функции. В частности, в пункте 3) п о следнего определения не исключается, чтобы
7(£/3>
и) выполнялось для какого-либо РР-числа и, отличного от полигонального интеграла функции / .
З а м е ч а н и е 7. Из пунктов 2) и 3) легко следует, что если 7(с/3> " ) и Щ), то
На основании тех же пунктов легко показать, что если I(lf%9 и) и
/(£#3,
wi)> причем для любого х , принадлежащего aAß, оказывается f(x)^g(x), т о тогда и^иг.§ 2. Сингулярные покрытия и их свойства
Т е о р е м а 2 . 1 . Для любого промежутка PyQ и для любого t осу
ществимо универсальное ^-ограниченное покрытие промежутка P<pQ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Не нарушая общности, можно считать, ч т о PcpQ— -со V со, так как универсальное покрытие промежутка-со V со будет, очевидно, универсальным покрытием любого промежутка P<pQ.
Следующее рассуждение представляет собой в основе применение
„диагональной конструкции" (см. определение алгорифма Jo).
Вводится в рассмотрение множество оМ слов вида тПаУЬ, таких что b — a < ^ 2 ~m. Ясно, что э т о множество алгорифмически разрешимо, следовательно [9: гл. II, лемма (13}], оно алгорифмически перечислимо, а потому [9: гл. II, лемма (9}], осуществим алгорифм 2 , такой ч т о , каково бы ни было т, алгорифм UmD перечисляет без повторений мно
жество всех рациональных интервалов aSb, таких что b — a < 2 ~ "m. Вводится в рассмотрение универсальный арифметический алгорифм U {см. [2:- теорема 1.1]) и строится алгорифм Jo, такой что при любом m
<о(т)~ U(mDm).
30 Труды Математического института
466 И, Д. Заславский и Г. С Цейтин
Область применимости алгорифма &> относительно алфавита Ч0 есть алгорифмически перечислимое множество [9: гл. II, лемма { 1 1 } ] . Согласно леммам {13} и {14} из [9: гл. II], пересечение оМг области применимости алгорифма & и множества натуральных чисел есть алгорифмически перечислимое множество, а тогда [9: гл. II, лемма { 8 } ] оно перечислимо без повторений стройным алгорифмом © . Так как осуществимы сколь угодно большие натуральные числа, к которым применим алгорифм £ (ибо осуществимо сколь угодно много попарно неэквивалентных и всюду применимых арифметических алгорифмов), то алгорифм © является арифметически полным.
Пусть теперь фиксировано некоторое положительное рациональное s_
Тогда осуществимо такое я, что
2~
П<С
£«
Алгорифм Ф строится таким образом, что при любом mФт - Q ( ( л - f - O (т)-*-1)• & ( © {m))).
Алгорифм Ф, построенный указанным образом, будет требуемым. Мы докажем сначала, что Ф удовлетворяет условию ©-ограниченности, затем, что Ф удовлетворяет условию универсальности и, в заключение, что Ф является покрытием вещественной оси.
По определению алгорифма © при любом m алгорифм J5 применим к © ( m ) , а тогда по определению алгорифма 2 слово Фт есть рацио
нальный интервал с длиной,* меньшей 2"~п~~®>№~~1. Следовательно, при
любом I в
i г i 2 I $ * l < 2 2 -я- © ^1 = 2 ~я-1 • 2 2 ^ ® Л .
к=0 Лг=0 к—О
Так как алгорифм © перечисляет без повторений, т о © (k^) 7^= © (&2) при
^ 1 = 7 ^ ^ 2 ) а потому окончательно
2
IФ* f < •2
2-®Ю < 2-"-1- 2
2-* = 2~* < е.fc=0 Ь = 0 *—о
Таким образом, Ф удовлетворяет условию е-ограниченности.
Пусть алгорифм QI перерабатывает любое натуральное число з ра
циональный интервал, причем |2lfc[->0; иначе говоря, fc->00
Yl-ämVk (к > m 3 12lfc | < 2~1).
Согласно правилам конструктивного истолкования суждений, э т о озна
чает, что осуществим алгорифм р типа (н -> н), такой что
Vlk(k>
P(l)z>\%\<2-').
Таким образом, каково бы ни было 7, l % )P +i l < 2 -f,
но тогда, по определению алгорифма 2 , осуществимо такое m, что
%W+i=^^n(m). (1)
Итак, для всякого I осуществимо такое т, что справедливо (1).
Следовательно, алгорифм \ такой что при всяком I
х(0~^(Я
р ( й + 1==д
г а(
т))
(осуществимый согласно [9: гл. II, лемма {2}]), применим к любому на
туральному числу Z. Ясно, что всегда
Я.со+1-ога(М*)).
Пусть, наконец, алгорифм ф таков, что при любом I
<;>(/) = X ( / z - f - Z - 4 - l ) ,
где n — фиксированное выше натуральное число, удовлетворяющее усло
вию 2"~я<^е. Тогда, очевидно, при любом I
Яр(„-и-ы)+1^
2
f l + m D (ф (Z)) =2
( B - H Z H - 1 • Ч> (Z)).(2)
Ho U—универсальный арифметический алгорифм, а потому осуществимо такое /, что при любом m
Зафиксируем такое 7. Имеем
U (In 1)^^(1),
а так как ф — арифметически полный алгорифм, т о ! ф (7); следова
тельно,
U (ID 1)^(1), иначе говоря,
ib(Z)==nO- (3) Так как то осуществимо такое /тг, что
1 = ®(т).
Но тогда, полагая в (2)
1
= ®(т),
имеем
Ир0иЧ8
-
ß<(«
•*-® И "+-1) • 4> (© («))),
откуда, вследствие (3),
V * - < S W + i > «^ 2
((л-*"® Н - * - 1 ) • & (® (»*)))•
Иначе говоря,
или, полагая р ( / г - н © ( / т г ) н - 1 ) - + - 1 = £ , получаем
Таким образом, Ф удовлетворяет условию универсальности.
Пусть х — какое-либо вещественное Р Р - ч и с л о . Т о г д а осуществим алгорифм 51, такой что при любом л
<%„ ~ Р Г (х * Л) V £ )+ (JC * Л),
где D " и D+ — алгорифмы, построенные в лемме { 1 7 } из [9: гл. II].
По определению алгорифмов D+ и Dr, %п при любом n есть интер
вал с длиной, меньшей 2~~п; кроме т о г о , всегда x£tyin. Так как, о ч е - 30*
468 / / . Д . Заславский и Г. С. Цейтин
видно, 101„ 1.^,0, т о по доказанному выше осуществимы натуральные k и /п, такие что
Следовательно, для любого х осуществимо такое т, что x Ç Фт. Таким образом, Ф является интервальным покрытием вещественной оси. Тео
рема полностью доказана.
З а м е ч а н и е . Можно показать,, что алгорифм Ф удовлетворяет и более сильному требованию по сравнению с формулировкой теоремы 2 . 1 , а именно, что любое х покрывается сколь угодно малыми интер
валами Ф^. Это обстоятельство в дальнейшем использоваться не будет, а потому мы не останавливаемся на его доказательстве.
Т е о р е м а 2 . 2 . Для любого е и для любого промежутка PyQ осу
ществимо дизъюнктное ^-ограниченное сегментное покрытие проме
жутка P<?Q-
Д о к а з а т е л ь с т в о . Не нарушая общности, можно считать, что PvQ=-co V оо.
Пусть фиксировано некоторое е. Согласно теореме 2 . 1 , осуществимо e-ограниченное интервальное покрытие Ф промежутка - o o V o o . С о гласно лемме из [9: гл. V , § 3 ] , осуществим стройный алгорифм Ф',
такой что: J
1) если !Ф'ОТ, то Ф'т есть рациональный интервал;
2) если m л, 1Ф'т и ! ФП, то интервалы Фгт и Ф'я дизъюнктны;
3) для любого лг, такого . что ! Ф'т, осуществимо такое л, что Фт С Ф •
m — п7
4) для любого х , такого что при некотором m будет х С Фо т, осуще
ствимы такие £, Z, а, 6, с, что Ф'к = аЧЬ, Ф'; = 6Ус, x Ç a V c .
Так как алгорифм Ф является интервальным покрытием промежутка - со V с о , то из условия 4) следует, что для любого х осуществимы такие к, Z, a, è, с, что Ф'к==аЧЬ, Ф^ = 6Ус, x Ç a V c . О т с ю д а немедленно следует, что алгорифм Ф' является арифметически полным. Из условий 2) и 3) вытекает (так как Ф е-ограничено), что при любом Z
Если теперь ввести в рассмотрение алгорифм 93, определяемый схемой { V - > . A ,
и определить алгорифм таким образом, что при любом m
то алгорифм 4P" будет дизъюнктным е-ограниченным сегментным покры
тием промежутка - со у с о . В самом деле, дизъюнктность W вытекает из условия 2), невырожденность W очевидна, е-ограниченность W по существу доказана выше; наконец, выполнение условий, указанных в определении рационального сегментного покрытия, вытекает из усло
вия 4). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Из теорем 2 . 1 и 2 . 2 вытекает, в частности, что осуществимы как сегментные, так и интервальные сингулярные по
крытия.
Т е о р е м а 2 . 3 . Для любого z и для любого невырожденного рацио
нального сегмента аАЬ осуществимо точное дизъюнктное е-ограни- ченное сегментное покрытие сегмента аАЬ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Не нарушая общности, можно считать, что е < b — а.
Вводятся в рассмотрение алгорифмы Ф и Ф; (при том же е), построен
ные при доказательстве теоремы 2. 2. Л е г к о показать о с у щ е с т в и м о с т ь такого т1у что
э
л* < э
п( ф
т>
В самом деле, согласно свойств}' 4) алгорифма Ф', осуществимы k и Z, такие что Эп (Ф^) = ЭА (Ф';) и Эл( Ф 'йХ а < С Эп( Ф , ) , а тогда м о ж н о по
ложить:
тг = к, если a < 9n( ® 'f c) , т1 = /, если а ^ Эп (Ф^)
(напомним, что а и Эп (Ф^) — рациональные числа, а потому условие а < Эп (Ф^) алгорифмически проверяемо). Найденное таким образом т19 как легко убедиться, будет требуемым.
Точно так же доказывается осуществимость т а к о г о ш2, ч т о
Очевидно, что множество таких л, для которых интервал Фп лежит между Ф^ и Ф ^ , является алгорифмически разрещимым; следовательно (леммы {13} и { 8 } из [9: гл. II]), оно перечислимо б е з повторений строй
ным алгорифмом ® . Так как е < b — а, т о для л ю б о г о к из примени
мости алгорифма © ко всем натуральным числам, меньшим к, следует применимость ® к к; если бы ® был неприменим к к, то оказалось бы, что сегмент аАЬ может быть покрыт конечным множеством сегментов с суммарной длиной что, очевидно, невозможно; таким образом, алгорифм © — арифметически полный. Если теперь ввести в рассмотре
ние алгорифм 95, определяемый схемой { у->-Д, и построить алгорифм 4P* таким образом, что
Уп = аАЭп(Ф'т), если п = 0,
^ - ЭА( Ф ^ ) Д е , е с л и л = 1,
^ 9 3 ( Ф ф( я_2 )) , е с А и п > 1 ,
то, как легко проверить, алгорифм W будет удовлетворять всем требуемым условиям. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Так как мы рассматриваем лишь рациональные по
крытия, то покрытие, удовлетворяющее условиям теоремы 2 . 3 , в о з м о ж н о не для всякого промежутка. Оно невозможно, например, для сегмента с иррациональными концами.
В доказательстве следующей теоремы для у д о б с т в а вводится сле
дующее соглашение: выражению вида
\aAbr\cAd\
в случае дизъюнктных сегментов аАЬ и с Ad приписывается значение 0.
470 И. Д. Заславский и Г. С . Цейтин
Т е о р е м а 2 . 4 . Если покрытые Ф промежутка P<?Q является син- гулярным, то последовательность чисел 2 является шпеке- ровой.
. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Ф — сингулярное покрытие промежутка P p Q . Рассмотрим алгорифм 93. такой что при любом п
fc=o
То обстоятельство, что последовательность чисел 93» не убывает, очевидно. Ввиду сингулярности покрытия Ф осуществимо такое е, мень
шее [ P<?Q I, что при любом п
а потому последовательность чисел 93я ограничена сверху. Остается показать, что последовательность 93 не имеет конструктивного предела.
Допустим, что, напротив, 93 конструктивно сходится.
Так как | P ? Q l ! >e, то осуществим такой рациональный сегмент аАЬ, что a A è c P c p Q и Ъ — а ^ > е . (В самом деле, если, например, Р и Q — /7?-числа, то можно положить
aA6 = Z )+( P * ( l - t - G ( | P ? Q | — e ) ) ) A Z T ( Q * ( l - 4 - G ( | P ? Q | —в))), где Z )+, D"- и G — алгорифмы, построенные в леммах {17} и {18} из [9: гл. П]. Если Р = - о о или Q = co, т о построение требуемого сег
мента производится аналогичным образом). Ясно, что Ф есть сингуляр
ное покрытие сегмента аАЬ,
Так как в<^Ь — а, т о осуществимо такое т, что e-i-2~m<C& — Легко построить алгорифмы 4F и X, такие ч т о при любом п
W, =^ (Эл (Ф„) - 2-—*) V (Эи ( Фв) - | - 2—т~%
Г , = ( Эл (Ф„) - Т м ) Д ( Эп (Ф„)ч-2-"-т-2).
Очевидно, что Фп С Ч?п С Гя при любом л. Так как Ф есть покрытие сег
мента аАЬу то для любого ху принадлежащего аАЬ, осуществимы такие к и Z, что промежутки Фк и Ф; пересекаются и л: принадлежит их объ
единению.* Но тогда интервалы ^ и также пересекаются и х при
надлежит их объединению. Так как Wfc и ЧГ; — интервалы, то
Э л ( ^ ) < Эп( ^ ) ,
а тогда, согласно [2: теорема 1.3], будет
откуда, как нетрудно убедиться, вытекает, что
* Для сегментных покрытий это будет так по определению, для интервальных по крытий можно положить & = / .
Таким образом, для любого х, принадлежащего аАЬ, осуществимо такое л, что х £ Ч?п. Если через d обозначить такой алгорифм, что при любом 71
fc=0 А:=0
т о , как легко проверить, при любом л
£м = 93п-+- 2 2-f ö- ^1 < 9 3w- ^ 2 -m < е - 4 - 2 -м (4) и, кроме т о г о , е-+-2~т<С6 — а.
Таким образом, алгорифм Ф является сингулярным интервальным покрытием сегмента аАЬ. Так как при любом л
О < €я+1 - < £ , = < 2 3я + 1 - 9 3ян - 2 - " - " -1, т о при любых пит
%~о < ея+т - ея < з зя + т—^ „ - t- 2 - " -1,
а потому последовательность (Е, в силу сделанного ранее предположе
ния о сходимости 93, будет также сходящейся в себе и, следовательно, сходящейся к некоторому дуплексу.
Имеем: e - + - 2 ~ ~m< 6 — а, следовательно, b—а—е—2~m>0. Положим Ь— Ъ — а — е — 2~~т. Вследствие (4) при любом п
£п<Ь — а — Ь.
Рассмотрим теперь алгорифм Яр, такой что для л ю б о г о рациональ
ного сегмента аАЬ и для любого п
п п
<Р(аАЬ*п)^аАЦ±, если * ^ | а А ^ П ? * | < - | 2 1 а А Ь ПГ*1 '
Ä = 0 k—Q
n n
< £ ( а Д е*п) ^ - ^ * Д е , е с л и ^ ^ Д - ^ П Г * ^ ! ^ ! ^ ^ 1 * ! - Ясно, что каковы бы ни были аАЬ и п, алгорифм Яр перерабатывает слово аАЬ*п в сегмент аА Q~ £ или в сегмент Q ^ Ь Ab. При этом всегда
п п
Э т о неравенство легко доказывается на основе определения алго
рифма Яр и следующего очевидного утверждения: каковы бы ни были рациональные сегменты аАЬ и cAd, всегда
\aAbr)cAd\= aA^^-CicAd ^AbC\cAd
* Оба условия должны пониматься в соответствии с соглашением, введенным перед формулировкой теоремы 2 . 4.
4 7 2 И. Д. Заславский и Г. С. Цейтин
Так как последовательность (£ по предположению конструктивно сходится, т о осуществим алгорифм 9J, такой ч т о для любых пит
иначе говоря,
2 !
r* i < J r . (б>
Наконец, можно построить алгорифм б , такой что при любом п:
Qn = aàb, если п — 0;
&я^^(&ш^1*Щп))9 если л > 0 .
Построение алгорифма б легко осуществляется при помощи т е о ремы повторения алгорифмов [10: гл. III, § 6, п. 6 . 1 ] . Ясно, ч т о алго
рифм б определяет конструктивную последовательность сегментов, из которых каждый следующий по длине вдвое меньше предыдущего и вложен в него. Очевидно, что последовательность рациональных чисел Эл( бя) конструктивно сходится в себе, а потому осуществимо веще
ственное РР-число ху являющееся пределом этой последовательности.
Легко проверить, что при любом п x£Qn.
Докажем теперь, что при любых тип m
2 l ® - n r » l < | 6 , | - ^ - . (7)
k=Q
Доказательство проводится индукцией по п. Если п = 0, т о при л ю бом» 772
m m
2 1 < З о П Г * | < 2 \ ^ \ < ь - а - ь = \ е
0\ - ^ .
k=0 fr=0
Пусть 7 2^ > 0 и пусть неравенство (7) доказано для меньших значений TZ.
Не нарушая общности, можно считать, что 7 7 г> 9£ ( т г ) [если (7) в ы полнено П р и 772
^>
9? (л), Т О О Н О И П О Д а В Н О В Ы П О Л Н е Н О П р и 772 ^ 9? ( 7 z) ] tТогда, согласно (6) и (5),
2 |©.пг*|=2 is.nr*l-b 2 |б
япг*| =
к=0 fc=0 fr=Cft(n>-HL
