А. П. Солдатов, Краевая задача линейного сопряжения тео- рии функций, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, том 43, выпуск 1, 184–202

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. П. Солдатов, Краевая задача линейного сопряжения тео- рии функций, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, том 43, выпуск 1, 184–202

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 02:11:01

СЕРИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том43г№ 1,1979

УДК 517.948

А. П. СОЛДАТОВ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

Пусть L — кусочно-гладкая линия на плоскости и F — множество ее узлов.

Задача линейного сопряжения (задача R) заключается в отысканий аналитической вне L функции <p(z), имеющей конечный порядок на оо и предельные значения ф±(/), t^L\F, с обеих сторон L, по краевому условию

<P+(t)—G(t)<p-(t) = x(t), tEEL\F, ( l ) где х и G — заданные функции.

Случай когда все функции принимают числовые комплексные значе­

ния, будем называть скалярным в противоположность матричному слу­

чаю, когда ф и х принимают свои значения в некотором конечномерном векторном пространстве X (кратко: являются Х-значными функциями), а функция G{t)—в пространстве 2' (X) линейных операторов на X.

Ниже пространство X фиксируется и на произведении XXX задается некоторая невырожденная билинейная форма (хи я2)=#1л;2, так что любой оператор Т(=3?(Х) имеет относительно нее союзный Т' : {Тх^)хг —

=xi(T'x2).

Одновременно с задачей R целесообразно рассматривать союзную с ней задачу R':

y-(t)-G'(f)V(t) = y(t)9 te=L\F, ( Г ) где штрих указывает на переход при каждом t от оператора G(t)^

^2?(Х) к союзному с ним G'(f)^2?\X). Ниже будет указано, в каком смысле понимается союзность между R и R'.

Задачи (1), (Г) были предметом многочисленных исследований и детально изучены в скалярном случае для общей кусочно-гладкой ли­

нии L (*) и в матричном случае (2), (3), когда к каждому узлу c^F сходится не более двух дуг линии L. При этом рассмотрения ведутся как в классах кусочно-непрерывных функций (*) — (3), так и в лебего­

вых Lp-пространствах (⁴) (в смысле принадлежности ф*).

Настоящая работа имеет своей целью исследование задач (1), (Г) в матричном случае для произвольной кусочно-гладкой линии L.

Задача линейного сопряжения и теория сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши тесно связаны между собой. По существу это

две эквивалентные теории, связь между ними осуществляется с помо­

щью представлений аналитических функций интегралами типа Коши и формулами скачка для последних. § 1 работы состоит в переложении в этом направлении соответствующих результатов для сингулярных опе­

раторов (5) применительно к рассматриваемому общему случаю.

Известно, насколько важную роль в теории задачи R играет кано­

ническое решение. Оно позволяет конкретно описывать асимптотику ре­

шений однородной задачи в узлах линии L и в явном виде строить ре­

шения неоднородной задачи. В скалярном случае каноническое решение возникает очень простым и естественным образом (*). В матричном слу­

чае его построение наталкивается на определенные трудности, связан­

ные с некоммутативностью & (X). В § 2 работы в предположении кусоч­

ной гельдеровости коэффициента G доказывается существование кано­

нических решений задачи (1) в Я-пространствах и указывается в явном виде их поведение в узлах. Построение и исследование канонических решений следуют известному методу (*) и существенно опираются на результаты предыдущего параграфа и той части (5), где введено поня­

тие ^-неособенных узлов.

Изложение в работе охватывает различные случаи пространств ана­

литических функций ф и придерживается операторной точки зрения, которая позволяет упростить формулировки утверждений и применить некоторую формальную технику (6), связанную с двойственностью. Так, например, с задачей (1) связывается оператор R : ф-жр+—G ф~, дей­

ствующий из пространства кусочно-аналитических функций в простран­

ство функций на L\F и под нетеровостью задачи понимается нетеро- вость этого оператора.

Ниже используются обозначения (5).

§ 1. Нетеровость и соотношения двойственности

В дальнейшем 27(Х)-значная функция G в (1), (V) принадлежит C°(L\ F) и det G отличен от нуля всюду на L\F, включая его предель­

ные значения на узлы. Другими словами,

G(t),G-l(t)^C°(L;F). (2)

Напомним определение Ind G (5). Пусть

пс

Y^ ( 2 m ri28^ : ( l n d e t G ) ,

1

? = (2n:ir

21nC

,

где в первом равенстве непрерывная ветвь логарифма выбрана произ­

вольно на L\F, а во втором суммирование ведется по всем собственным числам £с оператора

^ = {[(S

G)\ (3)

186 СОЛДАТОВ А. П.

причем предполагается, что O ^ a r g £c<2jt. Так как ехр 2л1ус = exp 2niyc = det Дс, то у0—Yc(m°d Z) и полагаем

IndG = y , ( 7c~ Ус)- (4)

Очевидно, изменение порядка сомножителей в (3) с точностью до подобия не меняет Ас и, следовательно, никак не сказывается на £с и IndG.

Пусть 2nvcs , l ^ s ^ gc, — аргументы собственных значений £с в обла­

сти 0 < a r g £<2л;, выбранные в возрастающем порядке:

0 = v S < v ; < . . . < v ^ < v ^+ 1= l .

Пусть kcs — их число на луче arg £ = 2 xvcs я kc0 — число положительных собственных значений. Ясно, что / £ > 0 , s > l , kc0 > 0 и у, kcs =dirnX. Воз- можен случай 9е = 0 , kc0 = dimX.

Следуя (5), узел c^F назовем G-неособенным, если оператор Ас не имеет отличных от £ = 1 собственных значений и

Г) ker (1 — SckG) = ker (1 — Дс).

В частности, при kc0 = 0 узел с G-неособенный.

Удобно еще с G связать дискретное подмножество /G^ / , состоящее из всех элементов А=.{Х^с}е/, для которых при любом C G F X^C совпа­

дает по mod Z с одним из чисел — (2л;)-1 arg £c, где £с пробегает все соб­

ственные значения Ас. Заметим, что в этих обозначениях /G = /G, = — IG- K Задача (1) будет решаться в пространствах аналитических функций, которые мы определим, исходя из семейства [/-пространств {£Л}, А,е/, построенных в (5) по U=U0. Согласно (5) пространство U заданных на L\F Х-значных функций рассматривается в четырех вариантах, ко­

торые мы занумеруем индексом l ^ s ^ 4 : U=Gy,(L\ F), 0 < | л < 1 ( s = l ) , U = G(L; /7)=LJG, (5 = 2), U = H°(L- F) (5 = 3), U = Mp(L-y F), l < p < o o (s = 4). Для всех случаев 1 ^ 5 ^ 4 построения будем вести параллельно, попутно указывая необходимые отличия. Так, коэффици­

ент G и линия L рассматриваются в следующих предположениях:

функция G(t) принадлежит g^ (L; F) ( 5 = 1 ) , g°(L; F)=[jgl (5 = 2,3) и C°(L\ F) (5 = 4); линия L кусочно-ляпуновская ( l ^ s ^ 4 ) , причем производные параметризаций ее дуг принадлежат A ^ ( s = l ) .

Семейству {UK} мы хотим поставить в соответствие монотонно убы­

вающее по X и возрастающее по т семейство ^-пространств {Uxm}y

X^I, m^Z, кусочно-аналитических функций cp(z) с линией скачков L со следующими свойствами:

(а) порядок ф на оо не превосходит т;

(b) существуют предельные значения ф±(/) для всех t^L\F ( l ^ s ^ 3 ) , угловые предельные значения для почти всех t^L\F ( s = 4 ) , причем функции ф-et/x;

(c) функция ф(г) восстанавливается по ф* с помощью некоторого интегрального оператора типа Коши.

Введем интегралы типа Коши и Коши:

2т J t — z

L

(Kx)(t0) = -±-\x-^., t0<=L\F,

L

где второй интеграл сингулярный и понимается в смысле главного зна­

чения.

Для — 1 < Х < 0 и т= — 1 пространство ПКт можем определить сразу:

UK,-i = {Cfx, XEEUK).

Очевидно, функции из UK-i исчезают на оо и из ограниченности К в про­

странствах Uk, — 1 < А < 0 , формулы Сохоцкого — Племеля ( l ^ s ^ 3 ) и теоремы Привалова (7) (5 = 4) следует, что оператор У: Ux->U%-i

является изоморфизмом, 2(Ух)±= ±х + Кх и 5г-1ф=<р+—<р-. В частно­

сти, {/-пространства Ux-i, - К К О , удовлетворяют необходимым условиям (а) — (с).

Определение и^,т для остальных значений X, т осуществим с помо­

щью функций «перехода» w = w6tky б ^ / , k<=Z. Это скалярные функции вида

Иг ) = ( е х р | ^ ) П ( г - / Л 6 С ^ А (5)

\ L Z / F 1

где q(t)^H°(L\ /r) ( 2 ^ s ^ 4 ) , /£ (L; F) (s=\) принимает действитель­

ные значения и выбрана по условиям: 6° + 6 = 0 (modZ), 2(6° + 6С)=&.

Ясно, что функция w(z) нигде в нуль не обращается, включая ее пре­

дельные значения на L\F, w(z)z-k-+l при z->oo и w(z)~(z—с)6с в в окрестности узлов c^F, где ~ означает равенство с точностью до множителей, непрерывно нродолжимых на границу и обладающих той же гладкостью, что и q(t).

В силу (5), для предельных значений w± имеем равенство

w+ (t)lw^ (t) = exp 2mq (t). (6)

Очевидно, произвол в выборе функций q (t) в (5) велик и мы имеем це­

лый класс функций w = w^^ik. Относительно умножения эти классы образу­

е т группу, причем из Wi=^w^iyk., i = 1,2, следует: wxw2 = w&+>k+, wx/w2 =

— W6-,k-> где б^± = 6ⁱ ± б², k± = k^L± k². Положим теперь для любых X^I, m^Z

Ux,m = m,m+iUx-6,-i, A, < 6 < X f 1.

188 СОЛДАТОВ А. П.

Другими словами, пространство Ux,m получается из пространства Ux-6-u определенного выше, умножением на функцию w = w6>m+i. Легко показать, что это определение не зависит от выбора б^(Х, Х+1).

Введем оператор JKm=wJw-1, w = w6im+urjxe здесь и ниже крайние члены означают соответствующие операторы умножения. Согласно определениям этот оператор раскладывается в композицию

и осуществляет изоморфизм UK на UKm (так как каждая стрелка — изо­

морфизм). Отсюда легко вывести, что необходимые условия (а) — (с), которым нужно было подчинить определение пространств Г/^™, выпол­

нены, причем

2 (Ух,тх)± = w±(±l+K) w+x. (7)

Возникает задача внутреннего описания пространств U%jm, которую в силу равенства UK,^=wk>nJfo,o достаточно решить для U0,o. Предвари­

тельно введем необходимые обозначения.

Пусть 2с, c<=F, 1 < & < я^с, —криволинейные секторы, на которые разбиваются круги с центрами в узлах достаточно малого радиуса дугами линии L. Угол между граничными дугами 2£ в вершине с положим равным 8£ и через {уЪ(Щ, О\9<[0£> обозначим семейство исходящих из с дуг, являющихся образами лучей arg £ = 9 при надлежащим образом определен­

ном конформном отображении кругового сектора {0<arg£<<6£, | £ | < M } на 2*.

Введем последовательность кусочно-гладких линий L±n, n=l, 2, . . . , по условиям:

при любом п линии L±7\ L обладают одинаковыми свойствами глад­

кости, имеют одни и те же множества узлов F и число N дуг lfn, lh

l^j^N, соответственно, объединение L+n\JL-n[jL является кусочно- гладкой линией, при любом / дуги lfn, l} имеют общие концы и lj лежит между /+ и lj ; lj -+l5 при п-^-оо в метрике Я для производных пара­

метризаций этих дуг.

ЛЕММА 1. Пусть функция <p(z) кусочно-аналитична с линией скач­

ков L и ограничена на оо. Тогда для включения фЕ[/0)о необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

1) Функция ф непрерывно продолжила с обеих сторон на L\F ( 1 ^

^ 5 ^ 3 ) и на каждом замкнутом подмножестве L\F ф* принадлежат Яц( 5 = 1 ) , H(s = 2, 3); для ф найдутся такие последовательности L±n

с указанными выше свойствами, что величина

( J + ^)W(z)\pU\z-cr\dz\

\L+n IT*) F

равномерно ограничена по n=l, 2, . . . (5 = 4).

2) Для любых C £ F , 1 < & ^пс ср (г) принадлежит G^S^; с) (s ~ 1)э

G (S& с) (s = 2), Я (ЕЙ (з = 3), вгличина v£(9)

равномерно ограничена по 0 <^ 0 < 0£ (s = 4).

Доказательство леммы, которого мы не приводим, основывается на применении результатов (9) (из этой же работы взяты и обозначения пространств). Заметим, что в случае Я-пространств (5 = 3) лемма лег­

ко выводится из известных оценок для интеграла типа Коши (1).

Пусть семейство F-пространств {7к>т} построено аналогично преды­

дущему, исходя из семейства У-пространств {VK}, где V=V0 совпадает с U(l^.s^.3), V=Mq(L; F) с сопряженным показателем q=p/(p—1)»

•(* = 4).

Задачи (1) и (V) будем рассматривать в U- и ^-пространствах и связывать с действующими в этих пространствах операторами R : ф->

—мр+—G<p~ и R': г|э-м|)~—G'ty+ соответственно. Сужения этих операто­

ров на и\>т и Vx,m снабжаем соответствующими индексами. Для Х<^1 и m e Z введем «союзные» показатели X'— —X—1 и т*=—т—2. Пару операторов RK>m, R'K, mубудем рассматривать одновременно, двойствен­

ность между ними иллюстрируется диаграммой UKm { У V»

Ux { }+ Vx;m' в которой { , }± означают билинейные формы

{Ф. «/}_ = А ( V (*)«/(')<«, {*, y}+ = — U(t)V(t)dt,

ш J ш J

L L

а операторы при вертикальных стрелках связаны равенством

{Яф> У}+ ={Ф, # Ч Ь (8)

Здесь «произведения» Х-значных функций под интегралами понима­

ются относительно билинейной формы на XXX и так как Х + Х'= — 1 , то для придания смысла этим интегралам надо потребовать, чтобы один из сомножителей каждой пары «произведений» принадлежал простран­

ству с чуть большим индексом, чем X или X'.

Соотношение двойственности (8) вытекает из равенства

справедливого для любых ф е ^+ 8 ь т, i|^Fr+e2,m*, где е ^ / , ег^ 0 , &i + + 82>>0. Для доказательства этого равенства заметим, что скалярная функция фф имеет на оо порядок т + т*= —2, ее предельные значения (q>ty)± интегрируемы на L и в силу леммы 1 она восстанавливается ин-

190 СОЛДАТОВ А. П.

т е г р а л о м типа К о ш и : yty = 3f (y+ty+—ф_гф~). Р а з л а г а я в этом п р е д с т а в ­ лении qn|) в р я д по с т е п е н я м г- 1 н а оо, п р и х о д и м к н у ж н о м у р е з у л ь т а т у .

С л е д у ю щ а я т е о р е м а п р е д с т а в л я е т основной р е з у л ь т а т .

Т Е О Р Е М А 1. Пусть пара (£/, V) отвечает случаям s = 1, 2, 4. Тогда имеют место следующие утверждения.

1) Операторы RKm и Rfytm* свойством нетеровости обладают одно­

временно и тогда и только тогда, когда

Ь&1а. (9) При условии нетеровости

ind/4,m = — 'mdRl^=diJ]Rx>m — dim i^,>m, = — IndG — ^ tfs [Iе + \cs +

F,S>0

+ 1] + ( m + l)dimX, (10) lmRKm - [ker#v,m.]-4 Ioi/?^,m. = [ к е г Д ^ - Ц (11)

где ортогональность принимается относительно форм { , }± в ( 8 ) . 2) Для любой c p e k e r R существуют такие a £ /G, m<=Z, что

ф € = ( П Ut,m)\( U Ufi,m)<

•\Р<а / \ \ ~1( Р < а ) I

(12).

где П ( Р ^ а ) означает отрицание неравенства р ^ а . Аналогично для ker /?' с заменой I^G на —I^G.

З а м е т и м , что в силу (9) и (12) и н т е г р а л ы в (11) имеют с м ы с л . К р о ­ ме того, п е р в ы е д в а р а в е н с т в а в (10) я в л я ю т с я с л е д с т в и я м и ( 1 1 ) , а у т в е р ж д е н и е о ker R' — с л е д с т в и е м ( 1 2 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . С о г л а с н о (7) о п е р а т о р R%^jm^K,m м о ж н о р а з ­ л о ж и т ь в к о м п о з и ц и ю

/*• Ш+ NK-6 W +

Rl,mJk,m ' U% £Л-6 "* U% -б * U\>

1Де w = w6>m+n Х < б < л + 1 , N — а\ + ЬК, 2а= 1 + (wjw+) G, 26 =

= l — (w-/w+)G. Так как А / < — 6 < А / + 1 и — ( / n + l ) = m * + l , то в ка­

честве 5V,m* можно взять оператор w~l£/w+ и аналогично предыдуще­

му получить:

1Де № = аЧ+Ь*К, 2а1 = — (wJwJ)— G', 2b1 = (wJwJ)— G'.

Таким образом, с точностью до изоморфизмов операторы R%,^m и Rx',^m* совпадают с сингулярными операторами А^-б и Л^,+б, к которым приложи- ма теорема 1 из (5), и наше доказательство будет заключаться в последо­

вательном применении к ним всех утверждений этой теоремы (с учетом ре­

з у л ь т а т о в § 3 в (5)).

Положим для краткости G=(w-/w+)G. Тогда, поскольку

(а + Ы1 (а — Ь)= Ъ, (а1 + b1)'1 (a1 — Ь1) = (G'T\ (Ь — *)' = V + в, операторы Л/^-б и Л/^+б свойством нетеровости обладают одновременно и тогда и только тогда, когда (в наших обозначениях) К — б ^ / ^ . При ус­

ловии нетеровости

jnd Nx-6 = - ind Nl+6 = — Ind G — 2 *s [V - ^ + vj + 1].

F,s>0

Здесь и ниже все введенные в (3), (4) для G характеристики примени­

тельно к G снабжаются волной в обозначениях.

Наша ближайшая цель — доказать, что условие Я—Ьф.1% равно­

сильно (9), а выражение для ind Л^_б совпадаете (10).

В силу (3) —(6),

Лс = (ехр 2ШЬС) Ас, ус = ус = — (di n X) б°.

Отсюда сразу следует: IQ = /G — б, т. е. аргументы собственных чисел дс получаются из аргументов собственных чисел Ас прибавле­

нием 2тсбг. В частности, условия XE/EIG И K — 6^I^ = IG — б равносильны. Кроме того, в качестве v^cs и k^cs можно взять v^cs + д^с — [v^cs + 6^С] и kcs соответственно, если только пренебречь тем обстоятельством, что v£

не будут, вообще говоря, упорядочены по возрастанию s. Поскольку v£

ниже участвует только в суммировании, это обстоятельство для нас несу­

щественно. Теперь можем записать:

IndG = 3 ( V - d i m X d ; ) - S kcs(vcs+bc)+ У> kes[ye, + 6e] =

F F,s^o F,s>o

-IndG — (m+ l)dimX+ S #[vj + aj,

F,s>o

?j # [^ - 6, +VS + 1] = Vj kl IX' + VCS + 1] - ?j tf [VCS + M где учтено условие 2(6° +Sc)=k = m+l на функцию g ( 0 в (5). Под­

ставляя эти выражения в формулу для ind А^_б, получим (10).

Остается доказать (11) и (12). Начнем с последнего. Пусть ф £ U%tm и Ф+ = GqT. Тогда согласно установленной выше связи между R^m и А^_б, А,<б<А, + 1, функция х = &>+ф+ — ^_ф~ принадлежит кегЛ^_б и в силу теоремы 1 из (5) она имеет асимптотику Р Д О в интервале (—оо, 0) с не­

которым |3 <ЕЕ Лз — б, где (к1 Д №)с = min (Xj, Я?). Могут представиться две возможности: либо р < 0 и тогда <р удовлетворяет (12) с а = р + б, ли­

бо рс> = 0 для некоторого e ' e f и тогда х е £/^6, где 1С совпадает с %е

при c=f=c' и Х^С' — K^f > — min^c(6^f — Х^с).

192 СОЛДАТОВ Л. П.

Следовательно, если ср не удовлетворяет (12), то, повторяя предыдущие рассуждения, придем к такой по:ледовательности {А/1}, п > О, элементов /, что Х^1 > Хп, у, (Хпс+1 — К)> — minc (¥ — 1ф и ср €= fl U . Посколь- ку б" в интервале (Хп9 А/1 + 1) может выбираться произвольно, отсюда следует, что некоторый узел c<=F является для ср нулем бесконечного порядка. Поэтому вместе с ср ядру кег/?^°,m будет принадлежать и се­

мейство линейно независимых функций ср^ (z) = ф (г) (г — с)~ку k > 1, что невозможно в силу его конечномерности (утверждение о нетеровости Як,т, Х<^Х°, X^IG уже доказано). Полученное противоречие доказы­

вает (12).

Равенства (11) теперь установим с помощью стандартных рассуж­

дений, использованных в (5), (6). Именно, если X удовлетворяет (9), то в силу (12) можно воспользоваться соотношениями (8), откуда имеем:

I m ^ m S I k e r / ? ^ ^ . ]1, Im Rl,m*(^ [kerRKm]L.

Так как операторы ф-хр* инъективны на ядрах кег R и ker /?', то послед­

ние соотношения можно переписать в терминах размерностей и на осно­

вании противоположности индексов ind Rx>m=—indi?V,m* они должны быть точными равенствами. Теорема 1 доказана.

З а м е ч а н и я . 1. Теорема 1 исходила из семейства D-пространств Di = (£Д, Ум, (,)) (5), (6). Если за основу взять D-пространства D^ = ((7jf, Vv, (,)) и построенные по ним соответствующие пространства Uh,m, Vt'tm*

аналитических функций, то получится совершенно аналогичный результат.

При этом операторы Rx,m и Rx'tm* всегда нетеровы и для тех А,, в которых условие (9) нарушено, индекс в (13) понимается как предел ind£?a,m при а ~>-Х ± 0. В частности, как и в (5) на основании равенств Нх = Gx откры­

вается возможность охватить в рамках двойственностей Dx оставшийся случай Я-пространств (s = 3).

2. При фиксированном X существует такое целое т(Х), что для т<Ст(Х) ядро ker RKm= {0}. В качестве т(Х) можно взять, например, min порядков всех базисных элементов ker /?*,_!. Поскольку аналогич­

ным свойством обладает и оператор R', из соотношений двойственности оператор Rx,m сюрьективен при достаточно больших т (точнее, при т>—т(Х/)—2). Другими словами, при этих т задача R всегда раз­

решима В Uxjm.

Аналогичное утверждение можно сформулировать, фиксируя и варь­

ируя X.

3. Пусть в теореме выбран случай G-пространств (s = 2) и функция Ф^кегТ? обращается в нуль в некоторой точке t0^L\F : ф±(/0) ==0.

Тогда функция ty(z) = <p(z) (z—/0)- 1 также принадлежит keri? (т. е. ф*

обязательно удовлетворяют условию Гёльдера в окрестности t0).

В самом деле, включим /0 в число узлов и условимся множества F=F\J{t0} и Г с элементами Х={ХС}, c<=F, обозначать снова через F и /. Тогда ij)eker R и для некоторых Х е / , m^Z -фе!7л|Г?1, причем

— 1<Я*0<0. Следовательно, в функции «перехода» w = w6,m+i можно

считать 6*0=0. Остается заметить, что узел t0 является G-неособенным (см. определение в начале параграфа) и поэтому применительно к вве­

денному в доказательстве теоремы оператору N мы оказывается в си­

туации, рассмотренной в § 3,2° работы (5), откуда следует нужный ре­

зультат.

§ 2. Канонические функции задачи R В этом параграфе условие на G(t) в (2) усилим:

G ^ ^ E f f f L i F ) . (2P)

В соответствии с этим кусочно-аналитические функции, если не огово­

рено особо, рассматриваются в классе Н*= (J Нь- Изолированные особые точки на расширенной комплексной плоскости у аналитических функций всегда предполагаются полюсами. В частности, аналитическая в окрестности оо функция cp(z) допускает разложение 2 а^-> ашФ^.

Целое число т назовем порядком ф на оо и обозначим deg ср.

Ц:& Любая достаточно малая окрестность узла CE=LF дугами II разбивается на пс секторов 2j£, 1 < & < / гг (в границу 2& входят точки дуг lck и 1%+г,

lnc+i = h).

Будем говорить, что кусочно-аналитическая функция принадлежит Н° в окрестности узла c^F, если она определена и аналитична в неко­

торой окрестности с вне L и в каждом секторе 2£ продолжается до функции, удовлетворяющей условию Гёльдера в его замыкании.

Для 27(Х)-значной кусочно-аналитической функции cp(z) могут пред­

ставиться две возможности: либо detcp = 0, либо detcp(z) обращается в нуль на изолированном множестве точек, конечном вне любой окрест­

ности линии L. В последнем случае можно говорить о кусочно-меро- морфной функции cp-1(2), обратной к ф(-г) относительно умножения.

Пусть {Л}, 1^*^л,— фиксированное семейство одномерных проек­

торов в X, дающих разложение единицы: 2!Р;=1, PiP3=6ijPi) где 8ц — символ Кронекера и n=AimX.

Пусть «2?(Х)-значная функция ф(г) аналитична в окрестности оо и detф=7^:0. Эта функция имеет нормальную форму на оо (относительно системы {Рг}),если

deg(detV) = 2deg(9/>,). (13)

i

Если <p(z) =4)(z)I>z-miPu mi=deg(фPг), то deg<p=0 и deg(detф)==

= d e g ( d e t ф)+Smt-, так что (13) эквивалентно deg(det ф ) = 0 , или, что одно и то же, det ф(оо) =^=0.

Следующая лемма установлена в (*) (в матричных терминах).

ЛЕММА 2. 1) Если ф аналитична в окрестности оо и det<p#0, то существует такой 2?(X)-значный многочлен p(z) с d e t / ? = l , что фр име­

ет нормальную форму.

13 Серия математическая, № 1

194 СОЛДАТОВ А. П.

2) Если две функции фь <р2 аналитичны в окрестности оо, имеют нормальную форму на оо и связаны равенством ф1 = ф2/? с некоторым 2? (X) -значным многочленом p(z), d e t / ? = l , то наборы {det Ф1Л} и {degф2Л}, l ^ i ^ / г , с точностью до перестановки совпадают.

О п р е д е л е н и е 1. 2'(X)-значная кусочно-аналитическая функ­

ция ф е Я * называется канонической функцией задачи R, если d e t ф ^ 0 и ф^{- 1}^Я*, ф имеет нормальную форму на оо и

Ф+ = Сф"\ (14)

Ясно, что любые две канонические функции ф4, ф2 связаны равен­

ством ф1 = ф2^, где рациональная функция R(z) вместе со своим опре­

делителем det R (z) не имеет нулей и полюсов вне F и оо. Верно и об­

ратное, если в определении отказаться от условия нормальной формы на оо.

Чтобы сформулировать основной результат о канонических функ­

циях, введем некоторые обозначения из спектральной теории конечно­

мерных операторов (8).

Пусть оператор Т^2(Х) и о(Т) —его спектр. Семейства собствен­

ных проекторов {PJ и нильпотентов {Л7^}, £ е а ( Г ) , определяют спек­

тральное разложение

PlPf = kvPb Nfi* = бк^ с , где 6^'—символ Кронекера.

Образ Im P$ описывает пространство корневых векторов собствен­

ного значения £, размерность ^ = d i m I m Ps совпадает с кратностью £ (кратностью z—£ в характеристическом многочлене Н(Г, z) операто­

ра Г), а минимальное натуральное г, для которого N^ = 0 , определяет порядок £ (кратность z—£ в минимальном многочлене М(Т, z) опера­

тора Т).

Значение аналитической в окрестности сг(Г) функции f(u) от опера­

тора Т определяется равенством

<ЦТ)

/(С)Pi + S - ^ г ^

k>l

При этом отображение f-^f(T) алгебры аналитических в окрестности о(Т) (скалярных) функций в алгебру &(X) является гомоморфизмом алгебр.

Пусть оператор Т обратим, так что £=^=0, £ е а . Для произвольного комплексного v ветви функции f(u) =uv=exp(v In и) в окрестности а фиксируются неравенством 0 ^ a r g w < 2 n , и^а(Т). Непосредственно проверяется- что

7* = 2 № + Л*с(»)1,

где

M

(v) = J, [I)ГХ (°) = ' ( - ' > • - < ' - * + ! ) ,

есть нильпотентный многочлен по v, степень которого не превосходит порядка собственного числа £. Заметим, что

7* = 1, TVl+V2 = TVtTv\ det Г = ТТ Г . (15) Введенные обозначения применим к операторам Г = Аг в (3), зависимость

от с помечаем индексом сверху: {Р£}, {&£}, (Л4£(у)}, C^F, ^ G a ( Af) . ТЕОРЕМА 2. Пусть семейство {|3£}, c^F, ^ G a ( Af) , комплексных чисел выбрано по условию

P H - ^ l n E (modZ), E e a ( Af) . (16) Тогда существует такая каноническая функция <р задачи R, что в окре­

стности каждого узла c^F

<P(Z) = I M * ) 2 ( 2 - ^ [ ^ + Mc(»)]*2W, (17)

ст(Ас)

где и = :ln(z—с), ветвь In (г—с) выбрана с разрезом вдоль одной

2ш

из дуг / | , а кусочно-аналитическая функция ^{ и аналитическая функ­

ция г|)2 обратимы и вместе со своими обратными принадлежат Н° в рас­

сматриваемой окрестности. При этом

deg det Ф = Ind G — 2 ^ [р|]. (18)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Следуя (*), расширим понятие канонической функции, определив фундаментальные и нормальные функции задачи R. Первые введем как 5⁷(Х)-зпачные кусочно-аналитические функции

•фе/Г", detcp^O, удовлетворяющие (14). Если дополнительно ф_ 1еЯ*, то приходим к нормальным функциям.

Ясно, что умножение справа на рациональные функции R(z) с deti?=£0 не выводит из класса фундаментальных функций, если оно не выводит из класса Н*. То же можно сказать и для нормальных функ­

ций, если R и det R не имеют нулей и полюсов вне F и оо. В соответствии с определением 1 нормальные функции, имеющие нормальную форму на оо, являются каноническими. От любой нормальной функции можно всегда перейти к канонической указанным в лемме 2 способом.

В скалярном случае нормальные и канонические функции совпада­

ют. Если ф — фундаментальная (нормальная) функция задачи R, то det ф — фундаментальная (каноническая) функция соответствующей

13*

196 СОЛДАТОВ А. П.

скалярной задачи, в которой G заменено на det G. В частности (*),

detcp = ехр Г-L rl n ( d e t G ) dn R(z), (19) 2ni J t — z

где R(z)—произвольная скалярная рациональная функция, не имею­

щая полюсов (нулей и полюсов) вне F и оо.

Отсюда, как следствие, det <p любой фундаментальной функции ф задачи R обращается в нуль вне F в конечном числе точек (для t^L\F под det ф понимается det ф±).

Фундаментальные функции всегда существуют и от каждой из них с помощью умножения справа на подходящую рациональную функцию можно перейти к нормальной функции. Опираясь на результаты § 1, это можно показать совершенно аналогично (*). В связи с несколько иным, чем в (1), подходом воспроизведем соответствующие рассужде­

ния.

Пусть для краткости Y=3?(X) и через G{t) обозначим 2?(У)-знач- ную функцию, значениями которой являются операторы T-+G(t) -Т.

Ясно, что G удовлетворяет (2°) и фундаментальные функции задачи R можно рассматривать как решения однородной задачи Л (которой от­

вечает коэффициент G) с дополнительным условием d e t ф ^ 0 .

Чтобы доказать существование таких решений, введем на У двой­

ственность и определим союзную с Л задачу Л'. С этой целью для 7\, Г2еУ положим (7\, Т2) = sp(7\7Y), где sp — след оператора (8), а опе­

ратор Т2/ союзен с Т, относительно двойственности на X. Легко видеть, что (7\, Т2) —невырожденная билинейная форма на УхУ и если зада­

ча Л ' получена из R' также, как выше, то относительно введенной двой­

ственности она является союзной с Л, т. е. R'= (Л)'.

Пусть теперь Г е У — произвольный обратимый оператор, У-значное решение ф однородной задачи Л ищем в виде ф = ф + Г, где y<=HK-Y. В силу замечания 2 к теореме 1 соответствующее неоднородное урав­

нение для ф будет всегда разрешимо для достаточно больших по мо­

дулю отрицательных Х<=1. При этом ф будет фундаментальной функ­

цией, так как det ф^О в окрестности оо.

Укажем способ выбора рационального множителя, приводящего фундаментальную функцию ф к нормальной. Как было отмечено выше, det ф обращается в нуль в конечном числе точек вне F. Пусть z0^L—

одна из таких точек. Для нее найдется такой одномерный проектор Р5

что Im P ^ k e r ф(гр), или, иначе, ф(г0)Р = 0. Следовательно, ф1(г) =

==ф(г)[(г—z0)- 1P+l—Р] аналитична в zQ и потому также фундамен­

тальная функция. Поскольку det[(z—z0)-iP+l—P] = (z—z0)~\ поря­

док нуля функции ф! в точке z0 на единицу меньше, чем у ф, вне z0 нули и их кратности функции ф и <pi совпадают. После конечного числа ша­

гов такого типа придем к фундаментальной функции, не имеющей ну­

лей вне L. В соответствии с замечанием 3 к теореме 1 аналогичные рас­

суждения применимы и для точек L\F9 что и приводит нас к нормаль­

ной функции.

Таким образом, в теореме 2 можно доказывать существование не канонической, а фундаментальной функции со свойством (17).

Заметим, что операторы AC = AC(G) в (3) определяются с точностью до подобия, на равенстве (17) этот произвол в выборе почти не сказы­

вается: операторы преобразования подобия можно ввести в множители

г|?1 и \|э2.

Задачу построения канонической функции задачи R можно локализовать описанным в (х) способом. Пусть Lc состоит из дуг /£, 1 < ^ ^ / гс, взятых со своими ориентациями, узлы линии Lc, отличные от точки с, назовем свободными концами. Множество узлов F упорядочим: с — си \^i*Cm, и

т

G представим в виде произведения G = J~[ Gt-, где G((t) удовлетворяет (2°)

1

и тождественно равна 1 в окрестности свободных концов L l (на L\L l ее можно считать продолженной 1).

Искомую нормальную функцию задачи R будем искать в виде произве-

т

д е н и я ф = у | ф 1 , гДе кусочно-аналитическая функция ф^ вместе со своей

1

обратной принадлежит /Г, аналитична вне L l и фГ * & Нр в окрестности свободных концов L \ Непосредственно проверяется, что (14) для ф будет выполнено, если Ф# удовлетворяет на L^ условию щ = вкщ, где Gk опре­

деляется по Gt-, 1 .< i < k, и Ф/, 1 < i ^ k — 1, рекуррентно: Gx = Gv

Gk = (фТфГ . • • Фй-хГ1 G* (фТфГ • • • 4>k-i)-

Ясно, что Gk удовлетворяет (2°) и подобна Gk. Поскольку Gk тождест­

венно равна G в окрестности ck, операторы A k (Gk) и A k(G) подобны. При этом функция ф удовлетворяет условию (17), если этим свойством обладает

<Pk(c = ck).

Таким образом, вопрос существования канонического решения с за­

данным поведением (17) в окрестности узлов сводится к решению сле­

дующей задачи. Пусть функция Q(t) удовлетворяет (2°), тождествен­

но равна 1 в окрестности свободных концов Lc и операторы AC(G), AC(G) подобны. Требуется найти аналитичную вне Lc 2?(Х)-значную функцию феЯ*, которая вместе со своей обратной принадлежит Я° в окрестности свободных концов Lc, в окрестности с удовлетворяет (17)

и для которой ф+(^) =G(t)q>-(t), t^Lc\{c}.

Пусть для краткости

A = Ar( G ) , A = AC(G). (20)

Для одного частного случая эта задача решается в явном виде. Рассмот­

рим скалярную достаточно гладкую функцию /(/), / е Lc\{c}, которая отлична от нуля лишь на одной из дут /£, скажем на 1си причем на этой дуге она тождественно равна г[ в окрестности с и 0 в окрестности другого

198 СОЛДАТОВ А. П.

конца 1[. В соответствии с определением функций от операторов <3?(Х)-знач- ная функция

G0(t) = Am = exp[f(t)\nA]

удовлетворяет сформулированным выше условиям на (7, причем ДС(£0)=А. На основании (15) и (16) кусочно-аналитическая функция

J _ С f(t)dt

2m'J t-z ~[P£]

Ф0(г)=Д L 2 <г-с) Я служит решением поставленной задачи с G=G0.

Для решения задачи в общем случае воспользуемся следующим при­

емом. Если 2'(Х)-значная функция ty^H* аналитична вне Lc и удовле­

творяет краевому условию

я|)+30 = Ог|Г, (21)

то ф = г|)фо удовлетворяет краевому условию ф+ = £ф~. Поэтому функ­

ция ф будет искомой, если мы покажем, и этот момент является цен­

тральным в доказательстве, что г|з может быть выбрана с дополнитель­

ным требованием

d e t i f ^ O , ty^s//0, (22) в окрестности всех узлов Lc.

Пусть функция г|)⁰ обладает всеми свойствами г|), кроме условия (21), которое надо заменить на

g ( 0 = * J G o - G * o u ° (²³)

(аналогичное условие для свободных концов Lc всегда выполнено, так как обе функции Q и Q0 тождественно равны 1 в их окрестности). Та­

кая функция яро существует. В самом деле, если Tk, \^.k^ncy—пре­

дельные значения ty⁰(z) при z—к; в секторе 2£ (напомним, что Е£ , 1 ^ & ^ пс, — секторы, на которые разбивается окрестность с дугами /£; их отсчет ведется, начиная с 1[ в положительном направлении), ко­

торые в силу (22) должны быть обратимыми операторами, то (23) эквивалентно соотношениям:

7 A+I ( ^ Д ) ^1 = (Sf$)kTk, 1 < 6 < nc,

где Tnc+i = Tl. Из первых пс—1 соотношений все 7\, k^2, определяются однозначно по Т=Ти последнее соотношение с учетом (3) и (20) пере­

пишется в виде Г=ДГД- 1.

Таким образом, существование искомой функции гр0 вытекает из по­

добия операторов А и А.

Теперь остается повторить рассуждения, использованные выше при доказательстве существования фундаментальной функции задачи R.

Пусть, как и ранее, Y=2f(X)9 <2Р(Х)-значную функцию G{t) здесь определим в соответствии с краевым условием (21): при каждом / ^ Lc\

\{с} G(t) есть оператор T->G{t)T[GQ{t)]-\ Тогда -ф можно рассма­

тривать как решение однородной задачи R с дополнительным услови­

ем (22). Это решение будем искать в виде г^ = гр0 -Ьгр, где ty0 фиксирована и определена выше. На основании (23), g^H% с некоторым Х > 0 . По­

этому -ф ищем в классе Н%т; в силу замечания 2 к теореме 1 при доста­

точно большом положительном т соответствующее неоднородное урав­

нение для г|э разрешимо. Найденная функция гр=/ф0 + г^ будет искомой и это завершает доказательство первой части теоремы.

Для доказательства (18) заметим, что det ф построенного в первой части теоремы канонического решения <р представляется в виде (19), где в качестве R(z) надо взять П"(г—с)тс с некоторыми целыми тс.

F

Следовательно, в окрестности с det ф (z) = 0(1) (z—c)~T<r+mc, где уе фи­

гурирует в (4). Сравнивая это с выражением (17) и пользуясь послед­

ним равенством в (15), получим:

<ПДС)

Из определения (4) Ind G и (16)

IndG = 3tY

I- S

^ШЬ

F F,a(Ar)

где {${} — дробная часть Re (3^: {|3£} = Re |3£ — [Re p|]. Здесь учтено, что

^s = {fii} Для £ = о (Лс) П {arg £ = 2jtVs} и что ^ k\ = /£, где суммирование ведется по указанным £. Поскольку degdetф = SJ mc, равенство (18) полу- чается отсюда непосредственно. Теорема 2 доказана.

С помощью канонической функции задаче R можно придать форму, аналогичную скалярному случаю (*).

О п р е д е л е н и е 2. Пусть Х^1. Каноническая функция ф=ф* за­

дачи R называется Я-канонической функцией, если в представлении (17) для ф

A*<Re(—р£)<А,^с+1, с е Л £ е а ( Д^с) . (24) Если выполнено условие (9) (т. е. если Яс^—Re(—# In £) (mod Z),

c e f , £ ^ G (Ac)), то для любой Я-канонической функции ц>%

degdetф^ = IndG + ^ kc8[Xc + vc8 + l]. (25)

F,s>o

В самом деле, из (16) следует, что

Rep£ = vS + [ReP'c], aig£ = 2jivS, и поскольку в (24) неравенства строгие, то

- [ R e $ ] = [bf + vS + l], так что (25) следует из (18).