Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Х. Д. Икрамов, Об одной рекурсивной обратной задаче на собственные зна- чения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009, том 49, номер 5, 771–775
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 10:12:26
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, № 5, с. 771-775
УДК 519.614
ОБ ОДНОЙ РЕКУРСИВНОЙ ОБРАТНОЙ З А Д А Ч Е НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
© 2 0 0 9 г. Х.Д.Икрамов (119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК)
e-mail: ikramov@cs.msu.su Поступила в редакцию 28.07.2008 г.
Пусть s\,..., sn - произвольные комплексные числа. Требуется построить нормальную п х я-мат- рицу А так, чтобы ^ б ы л о одним из собственных значений ведущей главной подматрицы Л„
/ = 1,2, п. Показано, что, кроме очевидного диагонального решения d i a g ( ^b sn), эта за
дача всегда допускает гораздо более интересное недиагональное решение Л, представляющее собой (как правило) плотную матрицу. Это решение разделяет с диагональной матрицей то свойство, что каждая подматрица сама является нормальной матрицей. Как следствие, воз
никают л ю б о п ы т н ы е связи между спектрами соседних подматриц Л, и А1 + х. Библ. 1.
Ключевые слова: обратная проблема собственных значений, симметричные матрицы, нор
мальные матрицы, главные подматрицы.
1. В В Е Д Е Н И Е
Понятие рекурсивной обратной проблемы собственных значений ( Р О П С З ) введено в [1].
Пусть фиксировано числовое поле F и Mn(F) - множество п х «-матриц с элементами из F.
Р О П С З формулируется следующим образом: для заданных чисел sb sn и векторов
1\ — (^и)» ' 2 —
( I Л
V '22 J
..Jn =
f \
V n n J
(1)
r\ = ( rn) , r2 l
V ' 2 2 J
(2)
найти матрицу A G Mn(F) такую, что
i = 1 , 2 , . . . , « . (3)
Здесь Ai - ведущая главная подматрица порядка / матрицы А. Таким образом, Р О П С З требует, чтобы величины sh rh lt составляли одну из собственных троек подматрицы Ah i = 1, 2, п.
Условия разрешимости рекурсивной задачи (1)-(3), найденные в [1], сами имеют рекурсивный характер. Если сформулированную выше задачу обозначить через Р О П С З ( я ) , то эти условия описывают разрешимость (или даже однозначную разрешимость) Р О П С З (л) в предположении, что Р О П С З ( я - 1) разрешима (соответственно однозначно разрешима).
Исходя из интересующих их приложений, авторы работы [1] рассматривают преимуществен
но случай F - IR. Н е к о т о р ы е их результаты относятся к матрицам общего вида, тогда как другие специализированы для конкретных классов матриц. Среди этих классов наибольший интерес для
772 И К Р А М О В
нас представляют (вещественные) симметричные матрицы. В этом случае естественно отожде
ствить правые собственные векторы (2) с одноименными левыми векторами (1):
г{ = /,, / = 1, 2, /г.
Следующее утверждение есть перефразировка следствия 32 из [1].
Теорема 1. РОПСЗ(п) разрешима в классе вещественных симметричных матриц, если раз
решима РОПСЗ(п - 1) и rnn Ф 0. Если же гш = 0, то для разрешимости РОПСЗ(п) по-прежнему требуется разрешимость РОПСЗ(п - 1) и должно выполняться дополнительное условие
Здесь гп - вектор размерности п-\, полученный из гп отбрасыванием последней (пулевой) ком
поненты.
В настоящей статье изучается упрощенный вариант рекурсивной обратной задачи, который обозначим через У Р О П С З . В этом варианте задаются лишь числа sb ..., из к о т о р ы х /-е долж
но б ы т ь собственным значением i-й главной подматрицы Аь i - 1, 2, п. Вместо F = Ш м ы по
лагаем F = С, а вместо симметричных матриц рассматриваем нормальные (и, в общем случае, не
эрмитовы) матрицы. Разумеется, такая задача имеет тривиальное решение для л ю б ы х sx, ..., sn в виде диагональной матрицы
diag(s„
Основной результат статьи состоит в том, что всегда возможно гораздо более интересное недиа
гональное решение для А, представляющее собой (как правило) плотную матрицу. Это решение разделяет с диагональной матрицей то свойство, что каждая подматрица А{ сама является нор
мальной матрицей. К а к следствие, возникают л ю б о п ы т н ы е связи между спектрами соседних подматриц At и At + х.
2. Н О Р М А Л Ь Н А Я М А Т Р И Ц А С Н О Р М А Л Ь Н О Й Г Л А В Н О Й П О Д М А Т Р И Ц Е Й Пусть A G МЛ(С) - нормальная матрица, представленная в блочном виде
А =
( \ В с d* е
(4)
где В G Мп_1(С). Предположим, что и блок В является нормальной матрицей. Тогда из условий нормальности
АА* = А*А, ß ß * = В * В в ы т е к а ю т соотношения
ce* = dd* (5)
Bd + êc = B*c + ed. (6) Равенство (5) означает, что векторы с и d различаются разве лишь скалярным множителем, по
модулю равным единице:
с - Kd, |к| = 1. (7)
Подставляя (7) в (6), получаем
(B-KB*)d = (e-Kê)d. (8) Таким образом, ненулевой вектор d должен быть собственным вектором матрицы В - Kß*, а чис
ло е - кё есть соответствующее собственное значение.
Соотношения (7) и (8) можно использовать в обратном направлении, а именно, ч т о б ы достро
ить заданную нормальную матрицу В порядка п - 1 до нормальной ж е матрицы А порядка п. Если исключить тривиальное достраивание с = d = 0, е - произвольное число, то можно действовать следующим образом.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 49 № 5 2009
О Б О Д Н О Й Р Е К У Р С И В Н О Й О Б Р А Т Н О Й З А Д А Ч Е 773 А л г о р и т м 1
Шаг 1. Выбрать произвольный собственный вектор d матрицы В. Отвечающее ему собствен
ное значение обозначим через | 10. Понятно, что d является собственным вектором и для всякого м н о г о ч л е н а / ( ß , В*) от В и ß * .
Шаг 2. Выбрать комплексное число к с модулем единица. Этот выбор определяет вектор с = ка.
Шаг 3. Вектору d, как собственному вектору матрицы В - Kß*, отвечает собственное значение
v0 = J L X0 - к Д0. Всякое число е, удовлетворяющее уравнению
е-кё = v0, (9)
может быть принято в качестве диагонального элемента («, п) матрицы А. Это относится, в част
ности, к исходному собственному значению | 10.
Следующее утверждение описывает решения уравнения (9).
Л е м м а 1. Если к Ф 1 и v0 = [i0 - к Д0, mo все решения уравнения (9) даются формулой
е = | 10 + осо, (10)
где а2 = к м а - произвольное вещественное число. Если же к = 1, то
е = | i0 + а , а G U. (11)
Доказательство. Полагая z = е - |LL0, переписываем (9) в виде
z - Kz = 0.
Если к = 1, то z - вещественное число и мы получаем (11). При к Ф 1 полагаем к = а2, что приводит к соотношению
ö z - ö z = 0,
т.е. Gz есть вещественное число. Отсюда выводим (10).
3. С П Е К Т Р Ы М А Т Р И Ц В И А
Будем считать, что вектор d в (4) выбран в соответствии с алгоритмом 1. Пусть Мю* | 1л_2 - спектр подматрицы В.
Л е м м а 2. Числа \in_2 являются собственными значениями матрицы А.
Доказательство. Предположим, что |10 - простое собственное значение подматрицы В. Тогда
\х{Ф[10, i= 1,2, 2, и соответствующий собственный вектор z-t ортогонален к вектору d:
Полагая
d*n = 0, i = 1,2, . . . , « - 2 . (12)
6 С", (13)
имеем
Л W; -
d*z i J 0
= \itwh i - 1, 2, n -2,
что доказывает лемму для простого собственного значения (i0.
Если J L X0 - собственное значение кратности к > 2, то среди чисел (LL,, [in_2 присутствуют
к - 1 копий числа (IQ. Отвечающие им собственные векторы zt можно выбрать ортогональными к d.
Все последующие рассуждения такие же, как в предыдущем случае. Лемма доказана.
Пусть \ь ... Д „ - спектр матрицы А. В нем нам уже известны числа ( 1ь ..., [in_2- При этом век
т о р ы (13) являются соответствующими собственными векторами.
Х„ - irА -X] - ... -X Пусть
'п - 2 'Чг - 1
W =
trB + e-ll]-...-[ln_2-Xn_] = [10 + е-Хп_}.
z
U J
есть собственный вектор матрицы А, относящийся к собственному значению Хп_х. И з условий ортогональности к векторам (13) находим
z*Zi = 0, / = I, 2, п - 2 .
Если допустить, что z = 0, то из равенства Aw = Xn_}w следует, что с = d = 0. В этом случае связь между спектрами А и В тривиальна: Хп_х =е,Хп = ]Х0.
Итак, предположим, что z Ф 0. Заметим, что в пространстве С" 1 имеется лишь один (с точно
стью до пропорциональности) ненулевой вектор, ортогональный ко всем векторам Z\, z„_2, а именно вектор d. Н е ограничивая общности, можно считать, что w есть вектор вида
w
rd ^
v С у
(14)
Остается найти компоненту Ç и собственное значение Хп_л. Поскольку
Aw = f ( | 10 + к О ^Л
d*d + Bd + ^c I _ f [lod + K^d
d*d + eÇ J [ d*d + e^
то из равенства Aw -Xn_xw вытекают соотношения K-i = До + кС и
d*d + eÇ = 0 I0 + KÇ)Ç.
Пусть вначале к Ф 1. Подставляя (10) в (16), получаем к С2 = ocoÇ + d*d.
Удобно рассматривать (17) как квадратное уравнение относительно t = GÇ:
t2 = at + d*d.
Уравнение (18) имеет вещественные коэффициенты и положительный дискриминант
(15)
(16)
(17)
(18)
a +4d*d, поэтому оба его корня вещественны:
а , а
h г = ^±J^r + d*d. (19)
При этом любое ненулевое вещественное значение t может быть реализовано выбором подхо
дящего значения а .
В дальнейшем будем считать, что
Xt = / = 1 , 2 , . . . , « - 2.
Найдем неизвестные пока собственные значения Хп _, и Хп. В действительности достаточно най
ти, например, Хп_}. В самом деле, предположим, что Хп_х уже известно. Тогда
Деля t на G, получаем последнюю компоненту вектора w. Для Хп _ ] имеем
Хп_{ = ц0 + кС = \i0 + ot. (20)
Пусть теперь к = 1. Тогда вместо (10) м ы используем в (16) соотношение (11), что приведет к уравнению (18) относительно t=Ç Формула (19) дает значение последней компоненты вектора w, а собственное значение Хп_х выражается формулой (20), где G = к = 1.
Суммируя проведенный анализ, подчеркнем, что в качестве к (и, следовательно, G) может б ы т ь выбрано любое число с модулем единица и любое ненулевое вещественное значение t мо
ж е т быть получено подходящим выбором параметра а . В соответствии с (20), э т о означает, что в алгоритме 1 собственным значением Хп _ х может быть сделано любое комплексное число z, от
личное от ц0. Ч т о касается числа |И0, то, как отмечено выше, оно может быть реализовано три
виальным выбором с - d — 0.
4. Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь У П Р О Щ Е Н Н О Й О Б Р А Т Н О Й З А Д А Ч И
Пусть заданы произвольные комплексные числа sb sn. И з анализа, проведенного в преды
дущем разделе, очевидно, что У Р О П С З решается следующим алгоритмом.
А л г о р и т м 2 Шаг 1. Положить аи = sx.
Шаг 2. Для / = 1,2, ,лг — 1 совершить переход от нормальной матрицы В = Ai к нормальной матрице А=А1+[с помощью алгоритма 1, выбирая параметры d, к и е так, ч т о б ы заданное число Si + ! было собственным значением подматрицы А1+х.
Матрица Ап = А будет требуемой нормальной матрицей. При этом, как следует из леммы 2, в последовательности
А2> •••> Ап_ь А
каждые две соседние подматрицы At иА1+] имеют / - 1 общих собственных значений.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Arav M., Hershkowitz D., Mehrmann V., Schneider H. The recursive inverse eigenvalue problem // SIAM J. Ma
trix Analys. Appl. 2000. V. 22. № 2. P. 392-412.
