(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Э

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Э. Б. Дубро, О построении проверяющего теста комбина- ционного устройства из тестов для путей, Автомат. и те- лемех. , 1973, выпуск 11, 127–135

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

4 ноября 2022 г., 21:21:56

(2)

У Д К 681.325.6.001.4 О П О С Т Р О Е Н И И П Р О В Е Р Я Ю Щ Е Г О Т Е С Т А

К О М Б И Н А Ц И О Н Н О Г О У С Т Р О Й С Т В А И З Т Е С Т О В Д Л Я ПУТЕЙ Э. Б. ДУБРО

(Ленинград)

Рассматривается задача вычисления входных наборов, обнаружи

вающих множество одиночных константных неисправностей всех эле

ментов пути от входного полюса до выхода комбинационной схемы.

Предлагается метод вычисления тестовых наборов, обнаруживающих указанное множество неисправностей. В основе метода лежит рассмотре

н и е неисправности элемента с разветвлением по выходу как кратной неисправности и анализ проявления неисправности на выходе элементов типа ИЛИ, НЕ - И, НЕ - ИЛИ в случае, когда в схеме присутствуют и другие неисправности. Излагается процедура построения проверяющего теста устройства из тестов для путей.

Введение

З а д а ч е п о с т р о е н и я теста к о м б и н а ц и о н н о г о у с т р о й с т в а и з тестов для:

п у т е й п о с в я щ е н а работа [1]. О д н а к о п р е д л о ж е н н ы й в [1] метод по с у т и д е л а н е у ч и т ы в а е т н а л и ч и я в с х е м е с х о д я щ и х с я р а з в е т в л е н и й и потому п р и г о д е н л и ш ь д л я д р е в о в и д н ы х схем. Н а н е к о р р е к т н о с т ь такого подхода у к а з ы в а е т с я , в ч а с т н о с т и , в [2].

В н а с т о я щ е й с т а т ь е п р е д л а г а е т с я метод в ы ч и с л е н и я м н о ж е с т в а в х о д н ы х наборов, о б н а р у ж и в а ю щ и х н е и с п р а в н о с т и всех элементов п у т и от входного полюса до в ы х о д а с х е м ы , и о п и с ы в а е т с я п р о ц е д у р а п о с т р о е н и я п р о в е р я ю щ е г о теста с х е м ы и з тестов д л я п у т е й .

В д а л ь н е й ш е м п р е д п о л а г а е т с я , что к о м б и н а ц и о н н а я с х е м а и м е е т один выход, построена н а э л е м е н т а х И , И Л И , Н Е — И , Н Е — И Л И , в схеме в о з м о ж н ы о д и н о ч н ы е к о н с т а н т н ы е н е и с п р а в н о с т и т и п а «постоянно в 0» и «по

стоянно в 1». К о м б и н а ц и о н н а я с х е м а о т о б р а ж а е т с я о р и е н т и р о в а н н ы м г р а ф о м , у з л ы которого Х\ соответствуют в х о д н ы м п о л ю с а м и ф у н к ц и о н а л ь н ы м э л е м е н т а м с х е м ы , а р е б р а щ — с в я з я м м е ж д у н и м и . Р е б р о щ^э- исходит и з у з л а Xi и з а х о д и т в у з е л х^}.

Определения. 1. У з е л р а з в е т в л е н и я — у з е л , и з которого исходит более одного р е б р а .

2. У з е л с л и я н и я э л е м е н т , н е м е н е е д в у х входов которого с в я з а н о с выходом н е и с п р а в н о г о э л е м е н т а ( н е и с п р а в н ы х э л е м е н т о в ) .

3. В е т в ь — п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р е б е р от н е и с п р а в н о г о э л е м е н т а до у з л а с л и я н и я .

4. Ф у н к ц и я ч у в с т в и т е л ь н о с т и н е и с п р а в н о с т и ( Ф Ч Н ) т и п а о* у з л а Xi — ф у н к ц и я от в х о д н ы х п е р е м е н н ы х Тцу) =Fy®Fy(Fi==ai),- г д е Fx — ф у н к ц и я , , р е а л и з у е м а я у з л о м ж » ; / ^ — ф у н к ц и я , р е а л и з у е м а я в ы х о д н ы м э л е м е н т о м

х^у и с п р а в н о й с х е м ы ; F^y{Fi==0i) — ф у н к ц и я , р е а л и з у е м а я с х е м о й п р и н а л и ч и и д а н н о й н е и с п р а в н о с т и : 0^=0,1.

5. П о л н а я ф у н к ц и я ч у в с т в и т е л ь н о с т и ( П Ф Ч ) у з л а х^{ — ф у н к ц и я

Т — т

^{( 0 )}

\ / т

^{( 1 )}

J- г{у) — 1Цу)У-1- i(y).

(3)

Постановка задачи

П Ф Ч р е б р а щ, з а х о д я щ е г о в у з е л x^h м о ж е т б ы т ь в ы р а ж е н а ч е р е з П Ф Ч у з л а ^ с л е д у ю щ и м о б р а з о м :

( 1 ) Тц^{у)—Т^Ку)

Q ^J-F^

1фг

З д е с ь и д а л е е Fi=Fi(Fi), е с л и э л е м е н т х$ р е а л и з у е т ф у н к ц и ю И , Н Е —И"

( И Л И , Н Е — И Л И ) , Fi — ф у н к ц и я от в х о д н ы х п е р е м е н н ы х н а в ы х о д е э л е м е н т а x^h я в л я ю щ е г о с я н е п о с р е д с т в е н н ы м п р е д ш е с т в е н н и к о м у з л а x^jt

В ы р а ж е н и е Q^J Р^г ^ о п р е д е л я е т у с л о в и я , п р и к о т о р ы х и з м е н е н и е зна-

1фг

ч е н и я ф у н к ц и и у з л а Хг п р и в о д и т к и з м е н е н и ю з н а ч е н и я ф у н к ц и и у з л а х^}. И з (1) следует, что T^T^h и д л я с х е м т и п а д е р е в а ( д л я к о т о р ы х с п р а в е д л и в о Ti=Tij) е д и н и ч н ы е н а б о р ы П Ф Ч в х о д н ы х полюсов будут п р о в е р я т ь н е и с п р а в н о с т и всех у з л о в , л е ж а щ и х н а п у т я х от д а н н ы х полюсов до в ы х о д а с х е м ы . В к о м б и н а ц и о н н о й с х е м е со м н о г и м и в ы х о д а м и П Ф Ч у з л а р а з в е т в л е н и я х^и с в я з а н н о г о с к а ж д ы м в ы х о д о м не более ч е м о д н и м п у т е м , р а в н а д и з ъ ю н к ц и и П Ф Ч и с х о д я щ и х и з Хг р е б е р : о—

о

у. О д н а к о е с л и у з е л р а з в е т в л е н и я с в я з а н с в ы х о д о м Рис. 1 с х е м ы более ч е м о д н и м п у т е м , это равенств!) н е в ы п о л н я е т с я в с л е д с т в и е « в з а и м о д е й с т в и я » п а р а л л е л ь н ы х п у т е й р а с п р о с т р а н е н и я н е и с п р а в н о с т и . Ч а с т ь н а б о р о в , в х о д я щ и х в П Ф Ч T^ih м о ж е т н е п р и н а д л е ж а т ь Г^г. М н о ж е с т в о т а к и х н а б о р о в

о б о з н а ч и м ГА И н а ч е г о в о р я , r f = Г^г (Jj^ T^{j j. В то ж е в р е м я н е и с п р а в -

5

я о с т и у з л а р а з в е т в л е н и я могут п р о в е р я т ь с я н а т а к и х н а б о р а х , к о т о р ы е н е ц р и н а д л е ж а т П Ф Ч , и с х о д я щ и х и з х^{. М н о ж е с т в о т а к и х наборов б у д е м обо

з н а ч а т ь Ti^p. И н а ч е г о в о р я , r f= Г^г Tⁱ³^ . В к а ч е с т в е п р и м е р а р а с с м о т -

3

р и м схему, п р е д с т а в л е н н у ю н а р и с . 1. Д л я у з л а x^f

^ = { 1 , 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 3 , 1 4 , 1 5 } ; T^fi={2, 6, 8 } ,

^ = { 0 ^ , 3 , 4 / 5 ; 7 } ; r^{/ A}= { M^ l , 1 3^f1 5 } .

В ы д е л и м м н о ж е с т в а T^fk и T^f* д л я у з л а x^f: Г / = = { 0 , 2, 4, 6 } ; Т У = { 1 0 , 12, 1 4 } . Н е и с п р а в н о с т и к а к у з л а р а з в е т в л е н и я т а к и и с х о д я щ е г о и з него р е б р а Uij будут о б н а р у ж и в а т ь с я н а м н о ж е с т в е в х о д н ы х н а б о р о в , соответ

с т в у ю щ е м к о н ъ ю н к ц и и Ti*=TiTⁱ⁵. У с л о в и м с я н а з ы в а т ь т а к и е н а б о р ы н е - к о м п е н с и р у ю щ и м и .

П у с т ь в п р о и з в о л ь н о й к о м б и н а ц и о н н о й с х е м е P=ijk...pf — п у т ь от в х о д ного п о л ю с а Xi до в ы х о д н о г о э л е м е н т а х^г. Д л я о п р е д е л е н и я м н о ж е с т в а в х о д н ы х наборов, о б н а р у ж и в а ю щ и х все н е и с п р а в н о с т и п у т и Р , необходимо н а й т и метод в ы ч и с л е н и я е д и н и ч н ы х наборов к о н ъ ю н к ц и и Г^{Р н}= Г г / Т #^н. . .

Т^н

128

(4)

Описание множества наборов, обнаруживающих кратную неисправность

Д л я д а л ь н е й ш е г о н а м необходимо р а с с м о т р е т ь особенности к р а т н ы х н е и с п р а в н о с т е й в с х е м а х без р а з в е т в л е н и й .

В схеме б е з р а з в е т в л е н и й П Ф Ч у з л а х^ь с в я з а н н о г о с в ы х о д о м с х е м ы п у т е м P=ijk.. .рг, м о ж е т б ы т ь п о л у ч е н а и з (1) п у т е м п о с л е д о в а т е л ь н о й з а м е н ы Т³ у с л о в и я м и р а с п р о с т р а н е н и я и з м е н е н и й з н а ч е н и я ф у н к ц и и у з л а Xj н а в ы х о д п р и е м н и к а .

Р е з у л ь т и р у ю щ е е в ы р а ж е н и е будет и м е т ь в и д

(2) Ti{r)=Tiu)Tm---Tp(r)=

(JJ-^) ( П ^

^{7 7 1}

) ( П ^

⁹

) *

1Ф% тФз qФp

Ф Ч Н Ог у з л а «xt будет р а в н а

;(3) T^=F^THr), где Fi^H) =Fi{Fi) п р и 0 * = О( 1 ) .

В в е д е м п о н я т и е T Y V v -⁰^ — Ф Ч Н а^г у з л а Xi п р и н а л и ч и и в схеме н е и с п р а в н о с т е й G z , — , Gm у з л о в Хц . . . , я™. Ф о р м а л ь н о о п р е д е л и м Тг^(а*^/а1—^ат}

с л е д у ю щ и м образом. О б о з н а ч и м ч е р е з^T^(a^i...^aⁿ⁾ м н о ж е с т в о в х о д н ы х н а б о ров, о б н а р у ж и в а ю щ и х к р а т н у ю н е и с п р а в н о с т ь S'=(GI,\.о^т), т . е.

( 4 ) Tfc-^-FM,,^

Т о г д а

<5)

JV-1

где TV — к р а т н о с т ь н е и с п р а в н о с т и 5 = ( о^г- , о * , . . . , o^m) .

В ы р а ж е н и ю (5) м о ж н о д а т ь с л е д у ю щ е е т о л к о в а н и е . Б у д е м г о в о р и т ь , что н а наборе в х о ж д е н и е н е и с п р а в н о с т и о* в с о ч е т а н и е S= (о^г-, Oz, . . . , а™) с у щ е с т в е н н о , е с л и н а этом н а б о р е о б н а р у ж и в а е т с я н е и с п р а в н о с т ь 5 = ( о^г, G z , . . . , о™), н о н е о б н а р у ж и в а е т с я н е и с п р а в н о с т ь S'=(ci,..., o^w) . Р а с п р о с т р а н и м это о п р е д е л е н и е и н а в ы р о ж д е н н ы й с л у ч а й к р а т н о й н е и с п р а в н о с т и S?=(o^ir 0) ( о д и н о ч н о й н е и с п р а в н о с т и о*) и б у д е м г о в о р и т ь , что н а наборе 4 в х о ж д е н и е о^г в £ " = ( О г , @) с у щ е с т в е н н о , е с л и fee^y**)..

Тогда (5) о п р е д е л я е т все т е н а б о р ы и з T^(at. V . . .^am\ н а к о т о р ы х с у щ е с т в е н н о в х о ж д е н и е н е и с п р а в н о с т и о* во в с е с о ч е т а н и я S'^S=(GU GZ , , o^m): Д р у г и м и словами, Ti^(ai^/ai^arr) о п и с ы в а е т в с е т е н а б о р ы и з T ^ W - v ^ к о т о р ы е о б у с л о в л е н ы н е и с п р а в н о с т ь ю о*.

Теорема 1. М н о ж е с т в о в х о д н ы х наборов, о б н а р у ж и в а ю щ и х к р а т н у ю н е и с п р а в н о с т ь 5 = ( G I , G², . , о * , . . . о.#), о п р е д е л я е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м :

Д о к а з а т е л ь с т в о н е п о с р е д с т в е н н о с л е д у е т и з о п р е д е л е н и я (5) и здесь н е п р и в о д и т с я .

П о к а ж е м , к а к в схеме б е з р а з в е т в л е н и й в ы ч и с л и т ь 2YV^{f f}i ^ н а осно

ве в ы р а ж е н и й д л я ТУ⁰^.

Р а с с м о т р и м в е т в ь о т у з л а х^{ до у з л а х^п. Н а з о в е м д о м и н и р у ю щ е й ( н е д о м и н и р у ю щ е й ) н е и с п р а в н о с т ь ю в е т в и i . . .п т а к у ю н е и с п р а в н о с т ь о» у з л а

(5)

x^tj для которой выполняется условие

(6) Qi®BⁿQCⁱⁿ=i^f

(7) ( * ® 5 « ® C « „ = 1 ) , .

где Вп — вид функции узла хп; Бп= 0 ( 1 ) , если хп — элемент ИЛИ, НЕ — ИЛИ (И, НЕ — И); Cⁱⁿ — число по модулю 2 инверсий ветви i ...п

(исключая узел х^п). Другими словами, доминирующей (недоминирующей) неисправностью ветви i...n является такая неисправность узла х^ для обнаружения которой на входы элемента хп нужно подать набор, на кото

ром все переменные (только одна переменная) узла хп существенны.

Из условий (6) и (7) следует, что для ветви i.. . тг неисправность о*, узла Xi может быть только доминирующей или недоминирующей. В дальнейшем будем говорить об изменении ФЧН d при наличии неисправностей

G i , . . . , От, понимая под этим переход от Ti^iat) к Ti^(ai/ai •»>

Теорема 2. а) ФЧН а* узла х{, доминирующей для ветви i.... тг, не из

меняется при наличии неисправности az в ветви I... тг, т. е. Т{^1)==Т{^)Л

б / Функция чувствительности Tf^l) неисправности аг- узла х{, недо

минирующей для ветви г— тг, при наличии неисправности Gi в ветви I... тг может быть получена заменой в выражении для Тцп) функции F^t констан

той, соответствующей Gi, т. е. Т^^Т-^⁹ (Доказательства тео

ремы 2 и последующих теорем 3, 4 даны в приложении.)

Условимся говорить, что имеет место компенсация (расширение) ФЧН Gi под влиянием неисправности o^h если

Цп) Цп)^V < ( n >^Х г ( п ) ' *

Теорема 5. ФЧН о* узла недоминирующей для ветви г.. . тг:

а) компенсируется под влиянием доминирующей неисправности <тг

ветви Z , . . тг, т. е. Г ^ с Г ^ •"

1 г(п) г ( п ) '

б) расширяется под влиянием недоминирующей неисправности Gi ветви 1...п, т. е. Т^^Т™.

7 г ( п ) г ( п )

Из теоремы 2 следует, что (7) можно рассматривать как условие изме

нения ФЧН Gi по ветви i... тг в случае неисправностей Ф, . • , , am в ветвях Pi=l. . . тг, , . , , P^m=m , . . тг. Это условие позволяет по типу неисправности Ог выделить на пути P=ijk , . , т г . , . рт те узлы слияния, по отношению к которым неисправность а*-узла х^{ является недоминирующей. Заменив в (3) в выражениях для функций узлов, связанных со входами выделен

ных узлов слияния, функции неисправных элементов х^г,... ,х^щ констан

тами, соответствующими типам неисправностей G i , . . . , о^т, получим В соответствии с теоремой 3 из общего условия изменения ФЧН (7) можно выделить условие компенсации

(8) (о^ВЛЪп) ( a i ® B » ® C i n) = l^f

позволяющее найти множество некомпенсирующих наборов (МНН), про

веряющих как одиночную неисправность о*, так и сочетание?

S=(Gi, Gi, . . . . , О т ) .

Нахождение множества некомпенсирующих наборов пути

Представим узел разветвления х{ в виде N неразветвляющихся узлов Хи, xⁱ²,..., х^ш, где N — число всех путей от х^{ до выхода схемы. Для каж

дого Xfj ( / = 1 , 2 , . . . , iV), представляющего путь Pj=i]k ... п ... рг, по

строим выражение (2), которое будем называть ПФЧ пути — T^Pj. Заме

тим, что физически ТР- соответствует ПФЧ узла xi3- в древовидной схемег

эквивалентной исходной [ 3 ] . Неисправность узла разветвления можно»

130

(6)

р а с с м а т р и в а т ь к а к о д н о в р е м е н н у ю н е и с п р а в н о с т ь всех N н е р а з в е т в л я ю * щ и х с я у з л о в . С л е д о в а т е л ь н о , Т№ м о ж н о в ы ч и с л я т ь к а к

E

^{T(at) Tio}ⁱ^j/aiⁱ^,aⁱ²^,...,Oi^j^.ⁱ^,o^i}^{^}^l^,...,a^iN^{) .}

i = i 3=1

У с л о в и м с я н а з ы в а т ь T^i/P.==Ti*^P.VTi^IP\ с о с т а в л я ю щ е й П Ф Ч у з л а х^{ по п у т и Н е и с п р а в н о с т ь у з л а р а з в е т в л е н и я я в л я е т с я ч а с т н ы м с л у ч а е м к р а т н ы х н е и с п р а в н о с т е й д р е в о в и д н ы х схем, п р и котором в к о н с т а н т н о м з н а ч е н и и О и л и 1 ф и к с и р у е т с я одна и та ж е переменная• F%. Это п о з в о л я е т в ы ч и с л я т ь с о с т а в л я ю щ у ю П Ф Ч у з л а х^х по п у т и Р³ без п р е д в а р и т е л ь н о г о в ы ч и с л е н и я т^{( 0 )} „ т⁽¹⁾

i^ty^P^j И J-i/p..

Теорема 4. С о с т а в л я ю щ а я П Ф Ч у з л а х^{ по п у т и Р³ р а в н а П Ф Ч п у т и Р³¹ в в ы р а ж е н и и д л я которой к а ж д о е в х о ж д е н и е ф у н к ц и и Fi з а м е н е н о н а к о н с т а н т у а, о п р е д е л я е м у ю по п р а в и л у

(9)^a=Bⁿ®C^ijn.

Следствие 1. П Ф Ч у з л а х^х р а в н а д и з ъ ю н к ц и и с о с т а в л я ю щ и х П Ф Ч у з л а

N

Хг по в с е м п у т я м , и с х о д я щ и м и з Хи т. е. 7 . = ^ T^i/P.. '

Очевидно, что, п р и м е н я я ( 8 ) , м о ж н о в ы ч и с л и т ь в х о д н ы е н а б о р ы , обна

р у ж и в а ю щ и е н е и с п р а в н о с т и к а к у з л а р а з в е т в л е н и я х^ь т а к и и с х о д я щ е г о и з него р е б р а и*,-. ".Кроме того, п о с к о л ь к у в д а н н о м с л у ч а е Оц=Оц=Ог, то

(8) п р и в о д и т с я к в и д у (Gi®Bⁿ®C^ijn) (Сг^3п®Сц^п) = 1 .

Следствие 2. М Н Н п у т и P³=ijk ...п.*.. рг о п и с ы в а е т с я П Ф Ч п у т и Р³, в в ы р а ж е н и и д л я к о т о р о й з а м е н а в х о ж д е н и й F^{ к о н с т а н т а м и а, о п р е д е л я е м ы м и по п р а в и л у ( 9 ) , п р о и з в е д е н а л и ш ь д л я тех в е т в е й И... п, д л я к о т о р ы х в ы п о л н я е т с я у с л о в и е

(10) С «^ЛФ С « „ = 1 .

Пример 1 . Найдем множество некомпенсирующих наборов пути P i = a g k m схемы (рис. 1).

В целях удобства определения взаимного влияния ветвей в выражениях ПФЧ будем отмечать каждую пару скобок индексом реализующего их узла, а функции элементов, поступающих на входы узлов слияния, отмечать индексами не узлов, а соответствующих ребер. Тогда ПФЧ пути Pi

T^{P t}= F^fgF^hhFîm= ((FâF^b)^tVF^c)^fg {FâF^b)êVF^c)^f)^{h h} (FâF^b) VF^C)^f VF^d)^{i m}.

Условие компенсации (10) будет выполняться для ветвей a h k , a e f h k , a e f j m . Опреде-*

лим по правилу (9) типы неисправностей о узла х^а, недоминирующих узлов слияния с данными ветвями: <Ть=1, < т^т= 1 . Для вычисления МНН пути Р± заменим вхождения Fa в формулах компенсирующих ветвей определенными константами

Любая пара наборов (например, 0,8) из полученных множеств Тр^ =F^aFbF^c' й FaFbFс будет обнаруживать все неисправности элементов пути Pi—agkm.

Построение проверяющего теста

П р о ц е д у р а п о с т р о е н и я п р о в е р я ю щ е г о теста с в о д и т с я к следующему*

1. Д л я к а ж д о г о входного полюса с х е м ы н а й т и М Н Н д л я в с е х п у т е й от д а н н о г о входного полюса до в ы х о д а с х е м ы . ( П р и этом н е к о т о р ы м п у т я м м о г у т соответствовать п у с т ы е м н о ж е с т в а ТЩ^{) .)

2. Д л я к а ж д о г о п у т и с н е п у с т ы м м н о ж е с т в о м Т^^г) о т м е т и т ь п р о в е р я е м ы е д а н н ы м м н о ж е с т в о м наборов н е и с п р а в н о с т и .

(7)

3. Е с л и к а к о й - л и б о н е и с п р а в н о с т и у з л а х^г (ребра uⁱ³) с о о т в е т с т в у ю т п у с т ы е М Н Н по в с е м п у т я м , п р о х о д я щ и м ч е р е з Xi(uⁱ³), п р и н я т ь этот у з е л

(ребро) за в х о д н о й п о л ю с и в ы ч и с л и т ь М Н Н д л я п у т е й , и с х о д я щ и х и з 4. П у с т ь после в ы п о л н е н и я п.З н е н а й д е н о н а б о р о в , о б н а р у ж и в а ю щ и х д а н н у ю н е и с п р а в н о с т ь у з л а х^{ (ребра щ³) . Т о г д а необходимо в ы ч и с л и т ь ' д о с т а в л я ю щ и е П Ф Ч Xi{uⁱ³) по и с х о д я щ и м и з н е е п у т я м .

5. П р о и з в о л ь н ы м о б р а з о м и л и с п о м о щ ь ю п р о ц е д у р ы п о к р ы т и я в ы б р а т ь по одному н а б о р у и з к а ж д о г о п о л у ч е н н о г о м н о ж е с т в а Tⁿ^^l) и Т¹**^ш

{ ] . О с т а н о в и м с я н а н е к о т о р ы х особенностях и з л о ж е н н о й п р о ц е д у р ы . О ч е в и д н о , ч т о д л я схем, в к о т о р ы х к а ж д о м у п у т и Р³ с о о т в е т с т в у ю т н е п у с т ы е м н о ж е с т в а Г**^{0 )} и п о с т р о е н и е т е с т а о б х о д и т с я без в ы п о л н е н и я ж . 3 , 4 . Н у ж н о , о д н а к о , с к а з а т ь , что пустое м н о ж е с т в о е щ е н е с в и д е т е л ь с т в у е т о н а л и ч и и н е с у щ е с т в е н н о й н е и с п р а в н о с т и в п у т и P j . П р и ч и н о й этого я в л я е т с я н е п о л н о т а и н ф о р м а ц и и об у с л о в и я х о б н а р у ж е н и я н е и с п р а в н о с т е й э л е м е н т о в п у т и , с о д е р ж а щ е й с я в М Н Н . Д е й с т в и т е л ь н о , жри в ы ч и с л е н и и Тр^ м ы о т б р а с ы в а е м в х о д н ы е н а б о р ы и з м н о ж е с т в Tif^TiTi^i Ti^3p=TiTi³. О д н а к о в н е к о т о р ы х с л у ч а я х это м о г у т б ы т ь е д и н -

^ственнще: н а б о р ы , н а к о т о р ы х о б н а р у ж и в а е т с я н е и с п р а в н о с т ь о^1г- у з л а х, и л и р е б р а ^ . П р о и л л ю с т р и р у е м эти с л у ч а и п р и м е р а м и .

Пример 2. Рассмотрим порядок нахождения входных наборов, обнаруживающих неисправности ребра и^ае j(pnc. 1).

МНН пусты для всех путей P ^ a e f g k m , P s = a e f h k m , Р^к= а е ] Ц т , проходящих

через и^ае- Действительно, •• \ .

T^P*=F^bF^cFâg{l ( (lF^b) е Vê) f)hk(((lFb)êVF^c)fVF^d) ^ = 0 , TP*=FbFcFah (0 V ((0Fb) е VFC) f) gk(((FaFb)eVFc) fVFa) i m= 0 ,

, В соответствии с п. 3 процедуры примем начало ребра иае за входной полюс убудем искать тестовые наборы для ребра иае, но не узла ха) . Вычислим МНН для

путей P^{2 f}, i V , исходящих из и^ае:

о— T*p2r=FbFcFag (Fq( (lFb) g VFc) /) ни*

X (((№ь)^eV F^c)^f VF^d) jm= FaFbFcFd, T*^P2, =F^bFcFah (F^aV ( (OFb) e VF^fi) f)^gkX

X (((FâFb)êVF^c)fVF a) jm=FâFbF^cF^d. Тем'самым найдены тестовые наборы для не

исправностей ребра и^ае.

ри с 2 Пример 3. Найдем входные наборы, обна

руживающие неисправности входного полюса хь ( р и с . 2 ) . Для путей P i = b d f i и P2= b d e i (10) не выполняется, следовательно.

T^Pi=T^Pi= FadFcdFcf ((FâVF^bVF^c)^dyFâ)êi= FâF^bF^Ci

Тр2=ТРг= FadFcdFae ((FсУFb4Fc)dSFc) / i = FaFbFc.

-Неисправность О ь = 0 узла xb не обнаруживается на найденных наборах, так как ТРУ^^Т'РУ^FaFbFc', Tpi0)=Tp20)=0. В соответствии с п . 4 процедуры вычислим

составляющие ПФЧ жь по P i и Р2:

Tb/Pl= FadFcdFcf ((FqyOVFfiydVFa) ei= FaFc, T^b,P²= FadFcdFae ( (F^aV0 VF^C)^dV F^c)^H= F^aFc.

Тем самым найдена =F^aF^bFc. 7

К а к с л е д у е т и з р а с с м о т р е н н ы х п р и м е р о в п . З и 4, п р о ц е д у р ы п р е д н а з н а ч е н ы д л я в ы ч и с л е н и я т е с т о в ы х наборов д л я т а к и х н е и с п р а в н о с т е й , к о т о р ы е н е о б н а р у ж и в а ю т с я н а М Н Н . И з о п и с а н и я п р о ц е д у р ы следует, ч т о в ы п о л н е н и е с о в о к у п н о с т и п. 3 и 4 д л я у з л а Хг ( р е б р а uⁱ³) о б е с п е ч и в а е т '432

(8)

в ы ч и с л е н и е м н о ж е с т в а наборов, с о о т в е т с т в у ю щ и х П Ф Ч у з л а х^{ (ребра щ³)ь С л е д о в а т е л ь н о , е с л и и после в ы п о л н е н и я п . З и п . 4 не н а й д е н о н а боров, о б н а р у ж и в а ю щ и х н е и с п р а в н о с т ь у з л а Xi (ребра uⁱ³), то н е и с п р а в н о с т ь н е с у щ е с т в е н н а . В в е д е н и е с п и с к а н е и с п р а в н о с т е й (п.2) п о з в о л я е т н а й т и т е с т о в ы е н а б о р ы д л я всех с у щ е с т в е н н ы х н е и с п р а в н о с т е й с х е м ы . В с и л у у к а з а н н ы х п о л о ж е н и й с п р а в е д л и в о с л е д у ю щ е е у т в е р ж д е н и е .

Теорема 5. М н о ж е с т в о в х о д н ы х наборов, п о л у ч е н н о е после п р и м е н е н и я п р о ц е д у р ы , есть п р о в е р я ю щ и й тест с х е м ы .

З а м е т и м , что в п р и н ц и п е вовсе н е о б я з а т е л ь н о п р о в е р я т ь все п у т и в с х е м е , достаточно л и ш ь н а й т и М Н Н д л я с о в о к у п н о с т и п у т е й , н а к р ы в а ю щ и х все р е б р а и в х о д н ы е полюса в схеме. П р о ц е д у р а п о с т р о е н и я п р о в е р я ю щ е г о теста и з тестов д л я т а к о й с о в о к у п н о с т и п у т е й здееь не и з л а г а е т с я , однако п р и н ц и п ы ее н е п о с р е д с т в е н н о в ы т е к а ю т и з р а с с м о т р е н н о й п р о ц е д у р ы .

А в т о р б л а г о д а р и т Л . А . М е е р о в и ч а и В . Ф . Х а л ч е в а за ц е н н ы е з а м е ч а н и я п р и подготовке с т а т ь и .

ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство теорем 2, 3, 4

Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть в схеме без разветвлений Т[°$ - ФЧН Gi узла х% при контроле по выходу узла x^h, узел х^п — непосредственный преемник узла х*.. Тогда T[°fy<=Fk, если неисправность Gi узла Xi является доминирующей для ветви i.. .кп, T[fy<^F^k — в противном случае.

Доказательство., В соответствии с определением доминирующей (недоминирую

щей) неисправности ветви i... к п для нее справедливо

( и ) -T™<=F^h

( П ^ Н ^ ^ М П / ' ) ) '

Хфк 1Фк

ПФЧ узла Хг при контроле по выходу узла хп может быть выражена через ПФЧ узла Хг по выходу xh следующим образом:

(12) T^l{n)=T^w ( Д ^ ) -

1фк •

Из ( И ) и (12) непосредственно следует

<*г) <<*г) — Тцк) (Ti(k) ^Fk), что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 2. Любой элемент типа И, ИЛИ с N входами можно представить "в виде N — 1 последовательно соединенных однотипных элементов с двумя входами. Поэтому без потери общности случай слияния N неисправных ветвей можно заменить рассмотрением слияния в у з л е х^п двух ветвей: i... кп ж

I... тп. • - Л.,

Из определения булевых производных [4] следует, что множество входных на

боров, на которых кратная неисправность (a*, Gi) обнаруживается на выходе узла хт

можно задать в виде

i°i>4) (^Gl ) (^ai ) ш

(13) Г(п) =Ti{k)Fm®Ti{m)Fh®Ti(h)Ti{m),

где х^к и Xm - непосредственные предшественники узла хп. Представим (13) в дизъюнктивной форме:

(<*i><4)

<о _(г)

^{(Ч) _(0}^{^{) (<*г)}

(<*z)

(14) Т^{п)

Для сочетания (oi, сг^г) (5) приводится к виду (15) Т{ = № > ° 1> ( Гг- VTi ).

В соответствии с (15) умножим (14) на

(T⁴ⁿ⁾VT^l{n)) = (T^iih)F^mVT^l{m)VF^h)

133

(9)

и получим выражение для T\fy. при наличии неисправности Gi В ветви l:..mn (ч/ч) (ч)_(ч) (°0 (ч) •

(16) Тц^пу

=^(ft)r

^Z(m)

^

^w

Vr,

^(ft)

!r

^Z(w)

(^

^m

V^

^m

).

а. Пусть неисправность Gi - доминирующая для ветви i...kn, тогда из леммы следует, что

(ч) (ч) (ч) — Отсюда

(Ч/Ч) (Ч)_(Ч) (Ч) (Ч) (ч) (ч)

Ti(n) =?Ti(k) ТцщРтУТцк) Ti^m)Fm=Ti(k) Рт~Тцпу

о. Пусть неисправность GI - недоминирующая для ветви i.. .кп, Тй^ Fk=0:

(ч) — (ч) • " * ' fi(k) Fk~Ti(k)<

Тогда

(Ч/Ч) (Ч)_(Ч) (Ч) (ч)-~ (Ч) (Ч)

(17) Тцп) —Тцк) Ti(m)FmVTi(k) Тцт)Рт=Тцъ) (Ti(m)®Fm).

„ (Ч)

По определению 4 Tiim)=Fm®FmiFl==ai). Следовательно, (ч/ч) (ч) (ч)

Ti{n) =Ti{k) Fm(Fi=Oi) — Ti(ⁿ)(Fl=aiy

Доказательство теоремы 8. Пусть неисправность ог- узла xi - недоминирующая для ветви i... кп. ФЧН ог при наличии неисправности Gi в ветви I.. .тп определяет

ся выражением (17). •

а. Пусть Gi - доминирующая неисправность ветви I... тп. Тогда в соответствии с леммой 'Тцт^Рт^ТцщРтС'Рт. Следовательно, имеет место компенсация

(ч/ч) (ч) так как ТЧп) <=ТЧп).

б. Пусть Gi — недоминирующая неисправность ветви l...mn. Поскольку

(а ) (Ч) (Ч)

Тцт/^Ъ то Tl(m)®Fm=(Tiim)VFm)=>Fm

(0.) (Ч) (ч/ч) и имеет место расширение Т^, так как ТцП)сТцп) *

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим ветвь ij ...кп от узла разветвления xi до узла влияния хп. Для ребра щ3-

(0) (1) ( 0 ) ( i ) Т щП) = Т id\n)V Т ij\n) — T i^k)FТ i3(k)F т.

Из (7) следует, что недоминирующей для ветви # ...кп будет неисправность 0i==Bn®Cijn узла я*. Пусть, например, ( 7 г = 1 . Тогда в соответствии с теоремой 2 со

ставляющую ПФЧ узла Xi по ветви ij. ..кп можно представить в виде

ш

^J

ш

^iAJ(n) = ^ i j ( f c ) ^ ]

_ Представим1 \Fm в виде Fm(Rt=i)®FiTu(m). Очевидно, что Ti/i^n)—Ti3{k)(FiFmLFi^i)

vFiFm(Fissi))=Tij(n)(Fi=i)- Доказательство для случая о,-—0 проводится аналогично.

Поступила в редакцию 31 января 1973 г.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Marinos Р. N. Derivation of minimal complete sets of testinput sequences using boolean differences. IEEE Trans. Comput., k C-20, No. 1,1971.

2. Yau S. S., Tang' Y.-S. A n efficient algorithm for generating complete test sets for combinational logic circuits. IEEE Trans. Comput., v. C-20, No. 11, 1971.

3. Пархоменко П. П. Диагноз технического состояния дискретных устройств методом выделения подозреваемых неисправностей. I. Комбинационные устройства.

Устойчивые неисправности. Автоматика и телемеханика, № 6;, 1971.

4. Ackers S. В. On a theory of boolean functions. J. Soc. Ind. Appl. Math., v. 7, No. 4, 1959.

134

(10)

ON C O N S T R U C T I O N O F A T R O U B L E S H O O T I N G T E S T F O R A C O M B I N A T I O N A L C I R C U I T F R O M T E S T S F O R P A T H S

E . B . DUBRO

The problem discussed is computation of input sets detecting a set of single con

s t a n t faults of all elements of the path from the input pole to the output of a com

binational circuit. A method to compute testing sets detecting a specified set of faults is proposed the essense of which is that a> fault of an element with fan-out i s considered as a multiple fault and whereby ithe appearence of faults at the o u t p u t of A N D , OR, NAND, NOR elements in the case of other faults also present i n t h e circuit i s analyzed. A procedure for the construction of a troubleshooting test from t e s t s for paths is described.