Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Стасенко, Коронавирус на звездолете, Квант , 2022, но- мер 2, 43–45
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220104
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразуме- вает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
5 ноября 2022 г., 23:04:27
Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В
Коронавирус на звездолете
А.СТАСЕНКО
«Земля — колыбель челове
чества, но человечество не мо
жет вечно оставаться в колы/¬
бели», — так говорил Кон
стантин Циолковский. Это — одна из моих любимы/х цитат великого человека.
Илон Маск Как известно, на каждом приличном звез
долете вращательное движение использует
ся для создания искусственного тяготения - чтобы растения тянулись « в в е р х » , яблоки падали « в н и з » - так же, как и микрокапли из носа чихнувшего астронавта, несущие - не дай Бог - разнообразные вирусы.
Всякий здравомыслящий ЕГЭшник дол
жен знать, что во вращающейся оранжерее приличного звездолета центробежное уско
рение равно ат = со2т и направлено по ради
усу (индекс r; см. р и с у н о к ) . Поскольку его величина пропорциональна радиусу, то на оси вращения ( r = 0 ) оно равно нулю.
Но, как тоже х о р о ш о известно, на тело, движущееся во вращающейся системе коор¬
динат с радиальной скоростью vT, действует еще и сила Кориолиса ( 1 7 9 2 - 1 8 4 3 ) , перпен¬
дикулярная как вектору линейной скорости, так и вектору угловой скорости, а значит - касательная к окружности радиусом r. Она сообщает телу ускорение аф = 2vTto; здесь индексы наглядно указывают, вдоль какой из осей направлен соответствующий вектор.
Именно сила Кориолиса делает крутыми правые берега рек в северном полушарии Земли и левые - в южном.
А какие еще силы действуют на каплю, движущуюся под воздействием центробеж¬
ной и кориолисовой сил? Ну, конечно, сила аэродинамического сопротивления вязкого воздуха f. В научно-популярной литературе
неоднократно обсуждалась зависимость этой силы от скорости v движения шарика ради
усом b, от плотности р и вязкости ц воздуха (см. например, статью Р.Коркина «Капля д о ж д я » в « К в а н т е » №11-12 за 2020 г . ) . Поэтому можно привести ее выражение, не противоречащее, по крайней мере, сообра¬
жениям размерности:
f
2 I кг 2 м
— T • M • —тг = H ' м3
Здесь это единичный вектор, указываю- v
щий направление силы. А множитель C, называемый коэффициентом сопротивле¬
ния, - безразмерный, и его значение измеря¬
ется во множестве аэродинамических труб для тел различной формы и разных условий обтекания. Для шара этот коэффициент мож¬
но приблизительно представить в виде сум¬
мы двух его предельных (асимптотических) выражений:
1 6ц C
4 bpv
Первое слагаемое близко к значению, най¬
денному еще И.Ньютоном ( 1 6 4 3 - 1 7 2 7 ) , вто
рое характеризует силу Стокса ( 1 8 1 9 - 1 9 0 3 ) , важную для мелких шариков. Поскольку С - безразмерная величина, коэффициент вязкости воздуха должен иметь ту же раз¬
мерность, что и знаменатель второго слагае¬
мого, а поскольку — является коэффициен¬
том диффузии в газе, вместо скорости v нужно подставить среднюю тепловую ско¬
рость ( с ) , вместо радиуса капель - среднюю длину / свободного пробега молекулы между столкновениями. А молекулярная динамика советует не забыть для приличия еще множи- тель
1
3
если молекулы рассматриваются как жесткие шары.Итак,
ц.
3
Р'< С C 1 + 2^ £ )4 bv где ( с ) = . T.
Видно, что сюда вошли только геометричес¬
кие и кинематические характеристики капли и воздуха, универсальная газовая постоян¬
ная R и молярная масса М . Причем размер капли измерен в длинах пробега молекулы, а скорость ее движения - в единицах (с}.
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220104
44
К В А Н Т • 2 0 2 2 / № 2Будем считать, что капли, порожденные чихающим астронавтом, достаточно мелкие и быстро достигают установившейся скорос
ти падения. Собирая в с ю накопленную ин
формацию, для радиально падающей капли в звездолете получим следующее прибли¬
женное уравнение:
dv dt
1
mto2r — J i b4 2p v2 - 2тг/ (с) pvb, ( 1 )
4 3
где m = з Jib рв, рв - плотность в о д ы . В левой части этого уравнения можно избавиться от
dv 1 dv2
времени, сделав замену —— = — - — (учиты-
dr dt 2 dr
вая, что v = — ) ; при этом оно определяет dt
изменение с расстоянием кинетической энер¬
гии капли.
Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В
45
Казалось бы, пора пытаться решить это уравнение. Да, но! - подумал талантливый ЕГЭшник, - ведь плотность воздуха в потен
циальном поле сил должна зависеть от коор
динаты, что имеет место и в поле тяготения Земли! Несомненно. И эту зависимость лег¬
ко установить:
( M i o2r2 ^ р = р0 exp
2RT ( 2 )
Здесь, как и в известной барометрической формуле, показатель экспоненты есть отно¬
шение потенциальной энергии молекулы к ее средней тепловой энергии, ро - значение плотности воздуха на оси вращения (при r - 0; см. р и с у н о к ) . И тут Он осознал, что подстановка выражения ( 2 ) в уравнение ( 1 ) отнюдь не облегчает решения этого уравне¬
ния (хотя ничто не мешает решить его чис¬
ленно). Следовательно, пора упрощать и пренебрегать.
Ранее уже предполагалось, что капли, порожденные чихающим астронавтом, на¬
столько мелкие, что почти мгновенно дости¬
гают установившейся скорости «падения».
Это значит, что в левой части уравнения ( 1 ) можно поставить ноль, т.е. пренебречь ради¬
альным изменением кинетической энергии капли. Тогда уравнение ( 1 ) превращается в квадратное уравнение для v (г), решение которого имеет вид
v = 4 1<е>
b 1 + 3
Рв.
р
2 V2
( 3 )
(При желании можно сделать такую замену:
Не) = ^ ) . Р
Для численных оценок примем «типич
ный» радиус оранжереи звездолета равным r = 100 м, температуру « в о з д у х а » (чистого к и с л о р о д а ) Т = 3 0 0 К , е г о п л о т н о с т ь р = 0,4 к г / м3. Тогда длина свободного пробе¬
га молекулы будет вдвое больше, чем при н о р м а л ь н ы х у с л о в и я х на З е м л е : / =
= 2,5 • 10~7 м, а средняя тепловая скорость молекулы будет равна
, . /8 1,4 • 1 0 '2 3 • 300 . . ( с ) = м/с = 450 ш с .
V ' \ я 32 • 1,67 • 10~2 7
э М ni0
Здесь учтено, что r = - у , где m0 - масса
куле кислорода 32 и масса каждого из них 1,67 • 1 0 ~2 7 кг, постоянная Больцмана k =
= 1,4 • 10~2 3 Д ж / К . А углекислым газом, ко¬
торый выделяют растения, пренебрежено для простоты.
Разумеется, приведенные численные оцен¬
ки относятся к случаю, когда астронавт находится в кольцевой оранжерее (как на рисунке). В радиальном же коридоре (разу¬
меется, разделенном на отдельные отсеки) будут другие значения радиуса r, определя¬
ющего центробежное ускорение ю2г . Далее, при обеспечении условий, близких к зем¬
ным, центробежное ускорение должно быть равно ускорению свободного падения на поверхности Земли:
ю 2г = g0 = 9,8 м / с2, откуда со2 ~ 0,1 с ~2. При этом показатель степени в выражении ( 2 ) будет порядка 10~2, что позволяет пре¬
небречь радиальным изменением плотности воздуха.
Наконец, оценим установившуюся скорость п а д е н и я к а п л и р а д и у с о м , н а п р и м е р ,
b = 10 мкм = 10~5 м : 4 • 2,5 • 10~7 • 450 v = -
1 +
( ю -5 )3
м/с х
3 103
0,5
102 • 0,1 (2,5 • 10~7 • 450)2
lV2
~ 1 с м / с . Впрочем, причем здесь коронавирус ... Да и растениям в космической оранжерее не обязательно обеспечивать давление воздуха, близкое к атмосферному. Как известно, от¬
ношение длины свободного пробега молеку¬
лы к размеру частиц характеризует степень разрежения газа и называется числом Кнуд- сена ( 1 8 7 1 - 1 9 4 9 ) Kn
2b Так что выраже- ние ( 3 ) можно переписать в этих терминах.
Считается, что при Kn > 0,1 уже надо учиты¬
вать влияние разрежения. Конечно, при этом все большую роль должен играть пар воды, важный для растений, что будущим ботани¬
кам придется учесть в выражениях для вязко¬
сти, средней тепловой скорости молекулы.
А что же сила Кориолиса? М о ж н о пока¬
зать, что при данном наборе параметров она приводит лишь к незначительному смеще¬
нию капли вбок.
молекулы, среднее число нуклонов в моле-
