Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. Н. Тихонов, Об одном обобщений метода Ньютона вы- числения корней алгебраических многочленов, Изв. вузов.

Матем., 1976, номер 6, 122–124

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 07:04:31

(2)

1976

И З В Е С Т И Я В Ы С Ш И Х У Ч Е Б Н Ы Х З А В Е Д Е Н И Й

МАТЕМАТИКА № 6 (169)

УДК 517.51 0 . Н. Тихонов

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА НЬЮТОНА ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Ниже рассматривается в определенном смысле обобщение метода Ньютона вычисления корней алгебраических многочленов вида

•f(x)=x» + alxn-l + ... + ап^гх+ ап. (1) Метод Ньютона, как известно, заключается в следующей формуле:

a/ = * * - A , (2) г д е а^г- и а* — уточненное и приближенное значения одного из корней,

Д^{5 =} 5—

— аддитивная поправка, равная длине подкасательной к графику f (х) в точке

J cfc^{= = а}Г • Заметим, что метод Ньютона пригоден не только к алгебраическим много

членам, но и к другим уравнениям, а ниже речь идет только о корнях алгебраиче

ских многочленов вида (1).

В качестве обобщения формулы (2) здесь предлагается следующая группа формул:

1 1 —

а. / si sm—\ \

(3)

где т = 0, 1, 2, . . . — у к а з а т е л ь номера конкретной формулы, s0, su..., sm_t— суммы степеней корней многочлена — от нулевой до (яг— 1)-й, которые можно вычислить по формулам Ньютона [1]:

п

S ^

= S Q = П]

i=l п

X

^ = = 5 ! = — ^ ; / = 1

п

X

а? = s² = — + а²2; (4)

/ = 1 п

X а? = S3 = — fli^i — ^ 2 ^ 2 — /«1

При яг = 0 из (3) получается формула (2) Ньютона.

(3)

Об одном обобщении метода Ньютона 123

11ри т = 1 из (3) получается формула

щ _

a(l ~

¹

] =

°*i

(l +

¹

Л <

⁵

>

1 + — - ( * о + 0 + . . , + 0) л - 1 ~ —

Формула (5) была опубликована и проанализирована в работах [2] — [4], где было показано, что она дает более быструю сходимость, чем формула (2), осо

бенно для случаев, когда первым вычисляется наибольший по модулю корень.

Например, для уравнения

/ (х) = ^ + 8 , 1 х⁴ + 0,7Л:³ — 5 0 , 7 *² — 5,3х + 46,2 ==0

вычисления, начатые со значения корня а* = — 47,2, соответствующего отрицатель

ной границе корней, по формуле (2) Ньютона дают ряд (при т = 0):

а / = — 4 7 , 2 ; — 3 8 , 5 5 ; - 3 1 , 1 8 ; — 2 5 , 3 3 ; — 2 0 , 3 ; - 1 6 , 7 ; - 1 3 , 9 6 ; - 1 1 , 7 7 ; — 1 0 , 1 ; - 8 , 8 ; - 7 , 9 7 ; - 7 , 4 5 ; - 7 , 1 9 ;

— 7,07; —7,026; — 7 , 0 1 . . . ,

который сравнительно медленно стремится к истинному корню a^t = — 7,00000.

Вычисления же по формуле (5) (при т—\) сходятся значительно быстрее:

а / = — 4 7 , 2 ; — 1 4 , 6 ; — 8 , 1 ; — 7 , 0 4 ; — 7 , 0 0 0 1 . . .

Здесь потребовалось всего четыре шага, чтобы получить результат более точный, чем достигаемый за 15 шагов методом Ньютона, хотя каждый шаг в обоих мето

дах требует почти одинакового объема вычислений (ибо основной объем вычис

лений затрачивается на А). В этом примере границы корней вычислялись по из

вестной формуле 1 + ^ £ = 1 +y^50T7 = 4,8; а также 1 + ^ " F = — ( 1 + 4 6 , 2 ) = - 4 7 , 2 , где k — номер первого отрицательного коэффициента многочлена; В — модуль наибольшего отрицательного коэффициента. При отыскании границы отрица

тельных корней оперируют с f(—x).

При т = 2 , 3 , . . . получаем из (3) новые формулы:

(6)

Здесь основной объем вычислений приходится на А, как и в случаях т — 0 и ж = 1 , поэтому каждый шаг уточнения корня не на много сложнее, чем в ме

тоде Ньютона (при т = 0).

Таково предлагаемое обобщение. Практическим достоинством его является уменьшение объема вычислений и удобство для машинного счета, который всегда можно начать с границы корней; для вычисления [^комплексных корней надо начи

нать с комплексного а ? ; признаком комплексности корней является расходимость последовательного ряда ц. (Строгий сравнительный анализ быстроты сходимости для группы формул (3) получить пока не удалось). Вычисления на машине „МИР-2"

показали преимущества формул (6) перед другими.

(4)

124

О. Н. Тихонов

ЛИТЕРАТУРА

1. Э й л е р Л е о н а р д . Введение в анализ бесконечных. М., Физматгиз, 1961.

2. Т и х о н о в О. Н. О быстром вычислении небольших корней многочлена.

Зап. Ленингр. горн, ин-та, т. 48, № 3, 1968, с. 3 6 - 4 1 .

3. Т и х о н о в О. Н. Решение задач по автоматизации процессов обогащения и металлургии. Л., „Недра", 1969.

4. T i k h o n o v О. N. Generalization of the N e w t o n Method to Calculate the Roots of Polynomials. Technical and scientific Series. Faculty of Engineering, Cairo University. № 1, v. 6, p. 11—16, 1972.

г. Ленинград Поступила

11 XI 1974