и матем. физ., 1980, том 20, номер 5, 1174–1204

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. М. Белоцерковский, А. И. Ерофеев, В. Е. Яницкий, О нестационарном методе прямого статистического модели- рования течений разряженного газа, Ж. вычисл. матем.

и матем. физ., 1980, том 20, номер 5, 1174–1204

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 23:03:28

Ж У Р Н А Л

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И Том 20 Сентябрь 1980 Октябрь № 5

УДК 517.958 : 533.7 О НЕСТАЦИОНАРНОМ МЕТОДЕ ПРЯМОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО Г А З А О . М. ВЕЛОЦЕГЕОВСЕИЙ, А. И. ЕРОФЕЕВ, В. Е. ЯНИЦКИЙ

(Москва)

Приводятся р е з у л ь т а т ы разработки прямого статистического метода м о д е л и р о в а н и я течений газа. В его основе л е ж и т синтез идей р а с щ е п л е ­ н и я и построения строго м а р к о в с к о й модели д л я столкновительных про­

цессов в идеальном газе. Такой метод х а р а к т е р и з у е т с я у м е р е н н ы м и тре­

б о в а н и я м и к ресурсам ЭВМ, ч т о позволяет э ф ф е к т и в н о р е ш а т ь много­

м е р н ы е задачи обтекания т е л и л е т а т е л ь н ы х аппаратов р а з р е ж е н н ы м газом н а в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н а х средней мощности.

Введение

Интенсивное применение численных методов является в настоящее- г.ремя одним из основных направлений в исследовании динамики разре­

женного газа. Разработка теоретических основ методов, поиски эффектив­

ных алгоритмов позволили расширить круг решаемых задач, усложнить их физическую постановку. Анализ численных методов приведен в обзо­

рах О. М. Белоцерковского и В. Е. Яницкого t¹'²] . Прежде чем перехо­

дить к рассмотрению конкретных численных подходов в динамике разре­

женных газов, естественно привести классификацию исжользуемых здесь численных подходов f^{1 , 2}] и режимов течения разреженных газов.

С физической точки зрения оправдано разделение режимов течения на 4 группы: 1) при малых числах Кнудсена ( К л < 0 . 1 ) , т . е . режимы те­

чений, близких к сплошной среде; 2) при умеренных числах Кнудсена (Кп~0.1-^-1) — так называемый переходной режим; 3) при умеренно боль- ших числах Кнудсена ( K n ~ 1-И0) — течения, близкие к свободномолеку- лярным; 4) при больших числах Кнудсена ( К п > 1 0 ) — свободномолеку-

лярный режим. •• ' ' . ^v

Численные методы для расчета течений типа 1 ) , по-видимому, только- зарождаются. Методы расчета течений типа 3) уже достаточно сформиро­

вались и успешно применяются на практике. В настоящее время особенно интенсивно развиваются методы расчета течений типа 2 ) . В основном о них и пойдет речь дальше. В соответствии с этим каждую численную методику следует рассматривать с той точки зрения, каким образом в дан­

ном подходе предлагается преодолеть основные трудности в решении уравнения Больцмана и как это может повлиять на точность и эффектив­

ность его численного моделирования.

О нестационарном методе прямого моделирования 1175 Представляется целесообразным разделить методы решения кинетиче­

ских уравнении на три основные группы []*²];.*

а) регулярные методы, где решаются р а з н о с т н ы е аппроксимации кине­

тических уравнений, причем интегралы от функции распределения заме­

няются обычными квадратурными формулами (Симпсона, Гаусса и т. д . ) ; б) полурегулярные методы, отличающиеся от регулярных использова­

нием квадратурных формул Монте-Карло, для вычисления интегралов от функции распределения;

в) методы статистического моделирования, которые непосредственно используют метод Монте-Карло для моделирования течений разреженного газа без обращения на какой-либо стадии к решению кинетических урав­

нений.

Наибольшее развитие получили численные методы групп а) и в ) . Подход, предложенный в данной статье, по сути является статистиче­

ской разновидностью методов «частиц в ячейках», основные идеи которых

заключаются в следующем. ^;

1. Моделируемую среду можно заменить, системой из Jf частиц'фик­

сированной массы (жидких частиц для сплошной среды и молекул для дискретной). Частицы распределены в начальный момент времени - по ячейкам неподвижной эйлеровой сетки в координатном пространстве г в соответствии с начальными данными. ^{1 ;} '

2. Процесс эволюции такой системы на временном шаге Д£ можно рас­

щепить на два этапа.

Э т а п 1. Изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках, в предположении неподвижности¹ частиц («эйлеров» этап для сплошной среды и столкновительная релаксация для дискретной).

Э т а п 2. Смещение частиц пропорционально их скоростям и шагу по времени At без изменения внутреннего состояния подсистем («лагранжев»

этап для сплошной среды и бесстолкновйтельное движение молекул для дискретной).

3. Для решения стационарных задач используется принцип установ­

ления.

Первые схемы такого типа в динамике разреженных газов были пред­

ложены Бёрдом [^{3 4}] и получили широкое распространение. Б Советском Союзе ведется разработка и реализация некоторых более эффективных алгоритмов [^{5 - 1 3} ] . Их отличает достаточно пблное теоретическое обоснова­

ние, применение марковских случайных процессов, более высокая точ­

ность аппроксимации уравнения Больцмана, что достигается практически без потерь быстродействия метода. Все это позволяет достаточно обосно­

ванно и эффективно решать задачи с двумя и тремя пространственными координатами на ЭВМ средней мощности. {

В данной статье излагается подробный теоретико-вероятностный ана­

лиз основных схем моделирования. Показана необходимость использова­

ния марковских и строго марковских процессов [^{1 4}] для моделирования столкновений, и приводятся соответствующие алгоритмы. Рассматрива­

ю т с я физические аспекты постановок задач, решаемых предложенным ме-

1176 О. М. Белоцерковский и др.

тодом. Описываются вопросы организации вычислений, относящиеся к выбору сеток, размеров расчетной области, анализу погрешности вычис­

лений и т. д. Приводятся в качестве примера результаты расчетов аэроди­

намических характеристик тел простой формы для двумерной и трехмер­

ной задач. • L ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ А С П Е К Т Ы МЕТОДА

§ 1. Анализ частоты столкновений в схемах прямого статистического моделирования

1. Многие результаты приводимого анализа основаны наг¹ теории п р о ­ цессов восстановления [^{1 4}] . Приведем некоторые положения этой теории, которые будут использованы в дальнейшем. Рассмотрим суммы Sⁿ вида

( 1 . 1 ) .

S

⁰

=0, S

^u

=T

^t

+-+T

ⁿ

, '

Е которых слагаемые 2^ — взаимно-независимые положительные случай­

ные величины с общим распределением F, удовлетворяющим условию F ( Q ) = 0 .

О п р е д е л е н и е . Процессом восстановления называется последова­

тельность {Sⁿ}, п=0, 1 , . . . , случайных сумм вида (1.1).

Представим себе бесконечное число независимых экспериментов,, в каждом из которых накапливается сумма вида (1.1) до тех пор, пока ее значение не превысит заданной величины t. Максимальное число членов последовательности S⁰,-. . . , £ⁿ, . . . таких, что Sⁿ^t, будет случайной вели­

чиной, меняющейся от эксперимента к эксперименту. Обозначим через.

U(t) среднее число таких членов. Таким образом,

г / ( 0 = * 7 м ,

где число слагаемых s^t в сумме (1.1) определяется условием

(1.2) s

^§t

<t<s

^9t

^^ ;

Функция U(t) всегда существует, и для нее справедлива следующая Т е о р е м а в о с с т а н о в л е н и я (см. [^{1 4}] ) . Если распределение F пег является арифметическим *\ то при любом фиксированном h>0 и t-^oo-

h ' °°

(1.3) U(t)-U(t-h)-*—, n=[TdF(T) = T. •

•u о

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что при больших t функция U(t) ведет себя, как tj\i. Справедлив и более сильный результат (см. [^{1 4}] ) , который можно сформулировать как

*> Этот частный случай соответствует максвелловским молекулам и я в л я е т с я на самом деле наиболее простым [⁷>^{1 7}] .

О нестационарном методе прямого Моделирования 1177

У т в е р ж д е н и е .

Если неарифметическое распределение F обладает -дисперсией о

²

, то

<1.4) 0 ^ ( 0 - — ^ - ^ ^ , о²= f ( Г - ц )^аЛ Р ( Г ) .

fx 2ц,² о •

Основой для получения свойств (1.3) ж (1А) и многих других является уравнение восстановления, которое нам потребуется в частной форме.

Пусть F имеет плотность / , тогда решение уравнения восстановления

t ^ . _ .... '

.(1.5)

u(t) = f(t) + ^u(t-T)f(T)dT •

0 , .

является плотностью функции V (I) в смысле;

t • • I

U{t)=l+\u(x)dx ;

о

и утверждение (1.3) теоремы восстановления; формулируется в" следующем

виде: ^!

u(t)-^\xr^x при t-+<x>. j ^J . 2. Схема моделирования столкновений по Бёрду [³'⁴] допускает экви­

валентную формулировку [⁵] , удобную для аналитического исследования.

Пусть в ячейке с объемом V находится точно N частиц со скоростями d , . . . , c^N. Через g = c¹— с² и o ( g ) будем обозначать относительную скорость двух сталкивающихся частиц и полное сечение столкновений соответ­

ственно. Тогда алгоритм Бёрда можно реализовать следующим образом.

Ш а г 1. Разыгрывается номер га=1, 2, J . . , k=N(N—l)/2 пары час­

тиц ( C i , Cj) в ячейке в соответствии с вероятностным распределением

< ',-/

ft

<1.6) Р^{д а} = - ^ , ' . Я = ^ « ^т , c o - g a ( g ) / F . га=1

Ш а г 2. «Счетчик в р е м е н и » ^ Tj увеличивается на соответствующую

выбранной паре m величину ^г

Т^т=(Ы^т)~¹.

Ш а г 3. Скорости (с^г-, C j ) пары частиц ш заменяются на их значения ( С г * , C j * ) после столкновений, вычисленные в соответствии с принятой мо­

делью межмолекулярных сил. ;

Процедуры 1—3 циклически повторяются; до тех пор, пока не выпол­

няется (в том или ином смысле, например в среднем за большой интервал

1178 О. М. Белоцерковский и др.

Бремени) условие '

5

(1.7) £ Tⁱ⁼At, i = l

где i=--l, 2 , . . . , s — номер столкновения, реализованного на данном интер­

вале времени At.

Таким образом, задача сводится к исследованию процесса восстанов­

ления {$^п}у где

и каждое слагаемое с вероятностью (1.6) принимает значение ( А с о т ) "¹. Начнем со случая, когда число столкновений s^t на полуинтервале вре­

мени (0, t] определяется условием

(1.8) S

^a

<t<S

^t

В силу теоремы восстановления, при t-*o° имеет место следующее асимп­

тотическое равенство для среднего числа столкновений s^t*:

St—Si-M->At/T*, t->oo.

Среднее время Г. ожидания столкновения равно

Т* = ^ ( / с о )^ш)^{- 1}

7 7 1= 1

Таким образом, при имеем

(1.9) s^c* s s^t*-s^t-At At К. • ,\

Отметим, что X имеет смысл условной частоты столкновений пар при фиксированном наборе g^t, . . . , g^h относительных скоростей g. Действи­

тельно, если / ( g ) — плотность распределения относительных скоростей^>

то абсолютное среднее величины

Я = ^(Om=k(gu gh)

есть

N(N-l) ~gp Я = J ^ ( g ! , . . .,g^k) J^f(gm)dgm=kco = •

V

что совпадает с известным выражением кинетической теории для частоты столкновений молекулярных пар в объеме V. (Использовано предположен

О нестационарном методе прямого моделирования 1179 ние, что совместная плотность распределения относительных скоростей

к

gi,...,gk равна

JJ/(#m)>

Это соответствует гипотезе о молекулярном

m = i • '

хаосе [^{1 5}] . ) В левой части (1.9) стоит также условное среднее числа столк­

новений. Для получения аналогичного соотношения для безусловных зна­

чений средних s^t и Я необходимо (1.9) проинтегрировать по всем g^m с ве- сом J~ f{gm), в результате чего получим при

и = 1

(1.10) s^c=St-s^t-M^Mh.

Следовательно, используя условие (1.7) для прекращения расчета столк­

новений, получаем верное предельное выражение для частоты столкнове­

ний 5^с-(оо)/Д2. \

Оценим теперь величину ошибки в частоте столкновений на первом шаге по времени, когда t=At. Условие прекращения расчета столкнове­

ний на этом шаге примет вид

(1.11) S^Sc<At<S^Sc+i. !.

При Л £ > л^{- 1} можно воспользоваться оценкой (1.4). Заметим, однако, -что- s^c*=U(At)-l, значит,

(1.12) -Ks^c*-Aa-+—JL = _ ^ - i . i

; 2\x² IT²

Здесь учтено, что pi=r* и о²= Г *²— Т². Очевидно, что

m = l m==l Следовательно,

: Е ^ > - ^ г ( * + £ £ - ) . .

Т.² к² к²

Проинтегрируем (1.12). по всем g^m с вебом

JJ/(g

^m

).

Интегрирование

| ??г = 1

всех слагаемых со^п/со^т суммы даст одно и то же значение со о "¹ (в силу независимости со^п и со^ш при

п¥=пг).

Тогда •;

J

"=T~JJ

^f(Sm)dgm = — [ / с + / с ( А : - 1 ) ( о а ) -¹] « с о со"¹ при к>1.

Т*

m = 1

1180 О. М. релоцерковский и др.

Следовательно, интегрирование (1.12) дает при &>1 - 1 < 5^с- А а - > ( 7²б а о Р " - 1 ) .

Величина AA£=(AV2) vA£=<? есть среднее число столкновений, вычислен­

ное по точной формуле для частоты столкновений в разреженном газе. Та­

ким образом, при 5 > 1 имеем асимптотическое равенство .

Пусть, например, моделируется газ из упругих шаров ( a ( g ) = c o n s t ) и плотность f(g) соответствует максвелловскому равновесию, тогда со с о^{- 1} =А/л и оценка ошибки при расчете частоты столкновений

(1.13) Sc/s-l-^-s-¹..

2

Оценка (к—2)/2s для относительной ошибки в частоте столкновений при значении безразмерного шага по времени v A £ = l и числе частиц в ячейке 7V=20 дает значение 0.085, но при меньших интервалах АГприхо-

дится, вводить пропорционально большее число частиц N. На эту не­

приятную особенность схемы Бёрда указывалось в ряде работ [5 , 7 > 1 6] . Если на любом временном шаге At применять условие (1.11) так же,, как на первом,, то к моменту времени

£^гуже накопится значительная ошиб-

50

N^{0 к а} порядка

О(2t

^r

/(NAt)),

что и за­

ставляет ставить вопрос об усовер­

шенствовании метода.

3. На первый взгляд кажется, что указанный выше недостаток метода легко преодолеть. Действительно, используя условие (1.8), получаем вер­

ное предельное выражение (1.10) для частоты столкновений, значит,, трудность будет преодолена по крайней мере для стационарных задач.

Именно такой путь и предлагается в [³'⁴] .

Практически все сводится к тому, что после каждого цикла расчета столкновений в ячейке за время At значение счетчика времени ЕГ* запо­

минается для использования на следующем временном шаге. Однако мето­

дические расчеты по схеме Бёрда указывают на зависимость результатов от характерного значения N⁰ числа частиц в ячейках (это отмечается и в

I

³

'

⁴

]).

На фиг. 1 в качестве примера представлена зависимость безразмерного коэффициента нормальной силы С^п от iV⁰, полученная при расчетах обте­

кания пластины потоком разреженного газа из молекул-шаров [^{1 1 , i 7}] . . Легко видеть, что при

N

⁰

<30

схема обладает заметной вычислительной ошибкой, которая уменьшается от 0.2 до 0.1 при увеличений N^Q от 10^v до 20. Такое же поведение результатов предсказывает и оценка (1.13) для

О нестационарном методе прямого моделирования 1184.

общей схемы, использующей неравенство (1.11) независимо на каждом интервале At. Таким образом, схема, использующая условие (1.8), пол­

ностью не устраняет отмеченного недостатка метода.

Кажущееся противоречие расчетов и соотношения (1.10) лег^ко понять, если заметить, что теорема восстановления утверждает лишь эргодичность,.

т . е . существование стационарного значения Я среднего числа столкнове-

« . . . ' _ \

кий в единицу времени. Конкретные же значения Я = k g o ( g ) / V определя­

ются плотностью f{g) распределения скоростей g, которая для теоремы восстановления является заданной. Напомним здесь связь значений -ga с f(g):

go = J gc(g)f(g)dg.

Этой теореме не противоречит никакая степень отличия / (а следователь­

но, и go) от истинных их значений в газе. ;

Таким образом, никакие результаты теории восстановления, в том чис­

ле правильный в пределе общий вид формулы _ 7 ~gb N N - 1 — !

Я = к = — v, v = go,

V 2 V

не являются достаточными для утверждений, касающихся поведения функции распределения скоростей. Для этого! необходимо рассмотреть ки­

нетическое уравнение df/dt=L[f] модели, соответствующей данной схеме вычислений. i

§ 2. Оценка ошибки функции распределения в схеме Бёрда •

Ограничимся качественным анализом решения кинетического уравне­

ния, соответствующего алгоритму Бёрда и вытекающего из схемы его реа­

лизации.

Оператор L[f] кинетического уравнения исследуемой модели состоит из двух частей: оператор L^r[f], соответствующий этапу расчета бесстолк- новительных перемещений модельных частиц> (он аппроксимирует конвек­

тивную производную (—cd//dr)), и оператор / [ / ] , соответствующий этапу расчета столкновений частиц в ячейках (он аппроксимирует больцманов- ский интеграл столкновений). Таким образом, кинетическое уравнение имеет следующую структуру: '

(2.1) .df/dt=L^r[f]+I[j].' ^; I

Интеграл столкновений / [ / ] определяется, в частности, условной и безус­

ловной частотами столкновений (в схеме Бёрда они не равны, соответ­

ственно, Я и Nv/2 при конечных значениях^). (Далее в этом параграфе, где это допустимо, конечный интервал At заменяется дифференциалом dt

:1182 О. M. Белоцерковский и др.

1Б связи с качественным характером анализа.) Обозначим через 6v* не­

вязку условной частоты столкновений:

<2.2) 6,:=-

²

-\

^sr

-

^Cdt

-%\

N

I

^dt

f{gm) даст невязку безусловной частоты

т— 1

(2.3) ' 6 v = 6 v

ⁱ

[ / ] = j A ( f L ^ ) J J

/ ( g m ) d g m

_

^v

.

m = l

При любом стационарном распределении / величина 6v^t[f] ведет себя, как 2/Nt, в силу асимптотических законов (1.4) и (1.13). Невязкам (2.2) и (2.3) соответствует аналогичная невязка интеграла столкновений

б /^г [ / ] = / [ / ] - / „ [ / ] , .

где /⁰[ / ] — интеграл столкновений, построенный по верной формуле

^ " ^ L J ⁽°^{т Д ЛЯ} У^{с л о в н}° й частоты и соответствующий выражению Nv / 2 для безусловной частоты. Итак, кинетическое уравнение алгоритма Бёрда имеет вид

<{2А)

^{^ Ы} Я + Ш + б Ш . at

Наряду с (2.4) рассмотрим уравнение

•(2.5),

dfldt=L

^r

[f]+I

⁰

[f],

которое условно назовем уравнением Больцмана (см. § 3 ) . Очевидно, что алгоритм столкновений, использующий условие (1.8), может быть приго­

д е н лишь для нахождения стационарных решений уравнения Больцмана ( 2 . 5 ) . Если при заданных граничных условиях решение /^Б уравнения

(2.5) имеет стационарный предел / ,

lim/

^Б

=/,

* - > о о

то этот предел является решением уравнения

<2.6) L

^r

[f]+Io[f]=0.

Покажем, что стационарное решение / уравнения (2.5) не является стационарным решением уравнения (2.4), и оценим соответствующее от­

клонение. Для этого рассмотрим решение задачи 5 / / 5 i = L^r[ / J + / „ [ / ] + 6 /⁽[ / ] ,

( 2 . 7 ) ,

/ ( 2= 0 ) = / , / г = / г .

О нестационарном методе прямого моделирования 1183:

Здесь последнее равенство означает совпадение / и / на границах Г фи­

зического пространства. Решение задачи ( 2 . 7 ) ищем в виде / = / + г | ) , где возмущающая функция г|)</. Тогда, учитывая линейность оператора Ь^т и условие ( 2 . 6 ) , получаем уравнение для яр:

^=ш]+ы^]+81А1+т1 at

где /у[г|з] — линеаризованный в окрестности решения / интеграл столкно­

вений I⁰[f], Заметим теперь, что

8I

^t мало по сравнению с / , значит, можно- пренебречь \[) в аргументе /+д|) последнего члена. Окончательно задача для нахождения л|) принимает вид

~ 7 = ^ [ ^ ] + /⁷[ ^ ] + б / , [ / ] , at

( 2 . 8 )

i | ) ( £ = 0 ) = 0 , г|)^г=0.

Обозначим через со⁰(£) и LO⁰(£) следующие интегралы по физическому и скоростному пространствам: !

(uo(t)= ^J

rfr J

C O 1 2 / 1 / 2 rfCi

dc

²

, Ш о = | й г |

C 0 i²/ i /²d C i ^ C 2 , ( 0 i 2 = | c i — c2| o ( I ' C i — c2| ) / 7 , : / г = / ( с г ) , t = l , 2 .

Разность Л ( £ ) = а > о ( £ ) — с точностью до;величин порядка "равна Л = J df J со^{1 2} (it>i+if)²) dCi dc²,

и ее можно принять в качестве меры отклонения функции if> от нуля.

Учитывая ( 2 . 8 ) , находим

dA р р !

( 2 . 9 ) — = J d c ^ J co

^{1 2}

(L

^r

[i|)i]+L

^r

[^

²

])dr+

+ j J co1 2(/^{7 ( 1 )}[я|>⁴] + ^} Ш)dd ^ c²+ . + J ^ | c o^{1 2}( 6 / ^ / J + 6 / , [ /²] ) d c ; : d c^{2 r} .

Первый интеграл в правой части ( 2 . 9 ) равен нулю, так как Z ,r[ i | ) i ] с о ­ ответствует производной (—Cidtyi/dr) и интегрирование по dr можно за­

менить интегрированием функции ( — с о ^ ф г ) по dT границы Г в физиче­

ском пространстве, на которой г | ) г = 0 .

Второй интеграл равен нулю, так как величина А [ с о ] = J с о^{1 2}( / 7^{( 1 >}[ ' ф¹] + / j^{2 )}[ i | )²] ) d c^{i :}d c²

имеет смысл линеаризованного интеграл4 столкновений, характеризую­

щего изменение условной частоты столкновений молекулярной пары в результате ее столкновения. Но со зависит лишь от относительной скоро-

'1184 О. М. Белоцеркрвский и др.

At ж л и, учитывая (2.6),

q(At)=f{At)-J=At6ht[J].-

Соответствующее выражение для Л будет иметь вид 2

Л ( Д * ) = - — W o .

1\ о •

Это равенство может служить начальными условиями для нахождения A(t) при t~>At из уравнения (2.10). Принимая отношение Л / ш⁰ за меру относительной ошибки в функции распределения / и сохраняя за ней прежнее обозначение Л, приходим к следующей задаче для нахождения этой ошибки:

dA 2 ^w • • 2

— = - - — , t>At, A(At)=--—.

dt N⁰t N⁰

Решение данной задачи имеет вид 2 / et

<2.И> Л « — - l n ( ^ - )

Итак, вопреки ожидаемому результату, что

A(t)-+0

при форму­

ла (2,11) показывает, что Л (t) неограниченно возрастает. Это означает, что отклонение частоты столкновений от выражения

N (N-i —\

затухает слишком медленно, в результате чего происходит накопление локальных ошибок и линеаризованный вариант (2.8) схемы Бёрда ока­

зывается неустойчивым алгоритмом.

сти g и поэтому не меняется в этом процессе. Остается последний инт теграл, который убывает во времени как 8v/ ~ 2 / / (Not) (см. асимптотики .«(1.4) и ( 1 . 1 3 ) ) . Учитывая, что нас интересует лишь порядок величины Л,

последний интеграл в (2.9) заменим на — ( 2 / Л ^ ) ш⁰. Таким образом, бу­

дем исследовать модельное (по отношению к (2.9)) уравнение ,(2.10)

£ ~ J - * . ' • . ' •

dt N⁰t

«Заметим, что это уравнение, так же как (2.4), (2.5) и (2.8), правильно отражает поведение решения лишь при больших t. При t~At нужно учесть дискретное изменение времени в схеме моделирования и соответ­

ственно заменить производную д / dt в указанных уравнениях ее разност­

н ы м аналогом А / At. Тогда, принимая / за начальное приближение для решения задачи (2.7), получаем

fi A t )~ ^f =L^r[f] + I⁰[f]+6h^t[f],

О нестационарном методе прямогоХмоделирования ч\ 1185 Эта неустойчивость слабая, поскольку ошибка Л(t) нарастает по ло­

гарифмическому закону. Можно надеяться, что по истечении характер­

ного времени релаксации t^r (когда начнут проявляться нелинейные эф­

фекты исходной задачи (2.7)) произойдет выход на некоторое стационар­

ное решение /^г. Наличие процесса1 установления действительно подтвер­

ждается численными экспериментами. ТогдН максимальная накопленная ошибка в функции распределения будет равна ^;

(2.12) max

Логарифмический закон нарастания ошибки предпочтительнее, чем линейный (к которому мы пришли бы, обривая процесс столкновений по условию (1.11) на каждом шаге At). Однако и такая погрешность оста­

ется существенным недостатком метода. Необходимо также отметить, что при решении пространственно-однородной задачи аппроксимационную ошибку схемы Бёрда можно вообще не обнаружить. В этом случае ста­

ционарным решением уравнения Больцмана'является максвелловское рас­

пределение /^м, которое инвариантно по отношению к преобразованию ско­

ростей при столкновении. Следовательно, /^м не искажается при любом развитии процессов столкновений во времени,¹ важно только, чтобы ско­

рости после столкновении рассчитывались по верным формулам. Значит, максвелловское распределение удовлетворяет условиям

/ О [ / М ] + 6 Ы /^м] = 0 , /⁰[ / м ] = 0

и является стационарным решением для схемы Бёрда. Это единственное исключение для логарифмического закона (2.12).

§ 3. Марковские модели столкновительных процессов и уравнение Больцмана

1. Предыдущий анализ показал необходимость того, чтобы на каждом шаге по времени At выполнялось равенство

S

^c

* = Ath=At У

^{1 1}

; ;

m»=l

либо точно, либо с погрешностью существенно иного вида, чем в схеме Бёрда. Попытаемся изменить основную формулу Бёрда, связывающую приращение времени Т с относительной скоростью g.

Найдем такую плотность f(T) распределения слагаемых 7\, чтобы ус­

ловное среднее число столкновений s^t* удовлетворяло равенству

(3.1) s

^t

*=tX. '

Искомая плотность f(T) является решением уравнения (1.5), в котором

u(t)=ds

^t

*Idt^K.

Подстановка вместо

u(t)

величины

К

приводит (1.5) к виду

t • '

%=f(t) + K§f(T)dT. ; ;

о !

4 ЯШМ и М Ф , N* 5 ' ¹

1186 О. М. Белоцерковский и др.

После дифференцирования по t получим (3.2) ^ = - л / .

at

Только одно решение уравнения (3.2) является плотностью вероятности, а именно

Z(0=Ae-*';

соответствующее ему распределение F имеет вид

(3.3) F(t)^jf(T)dT=l-e-», K = J^

k

m = l

Принципиальная особенность распределения (3.3) состоит в том, что время ожидания Т очередного столкновения определяется состоянием всей подсистемы из N частиц в ячейке, и, следовательно, оно одно и то же не­

зависимо от того, какая пара m выбрана в качестве претендента на оче­

редное столкновение. Такой процесс является марковским, а показатель­

ный закон (3.3) для распределения времени Т делает его строго марков­

ским [^{1 4}] .

Схема же Бёрда порождает типичный полумарковский процесс, в ко­

тором время ожидания зависит от будущего состояния системы (от номе­

ра пары ттг, которая столкнется, и, следовательно, от состояния системы после столкновения).

Алгоритм моделирования столкновений строго марковским процессом может быть описан следующим образом.

Ш а г 1. В системе из N векторов ( c j , . . . , e^N} выбирается пара ( с^г, с,) с номером m в соответствии с условной вероятностью столкновения Р^т—

= ( 0т / Я .

Ш а г 2. Разыгрывается в р е м я . ожидания Т столкновения данной пары в соответствии с распределением (3.3), и это время накапливается в счетчике:

t ^T< = ^s » -

Ш а г 3. Если 5^П< Д £ , то скорости с* и с^;- заменяются на скорости с** и с / после столкновения.

Цикл, состоящий из этих трех шагов, повторяется ровно s^c раз, где

S

^Sc

<At<S

^8c+i

.

Данный алгоритм впервые был предложен в [⁹»^{1 0} J. Он точно отражает статистику столкновений в идеальном газе на любом интервале време- . ни At, но с вычислительной точки зрения является громоздким. Полное

число операций, необходимых для точного моделирования столкновений, пропорционально N³. Следовательно, применение этого алгоритма для

О нестационарном методе прямого моделирования 1187

dt V

(3.5) i ~

gij= I d—CiJ, daij=G (g^ih 0) s i n МЩ%,

4 * решения реальных многомерных задач вряд ли может быть оправданным, но такой подход дает теоретическую основу для построения приближен­

ных алгоритмов, обладающих хорошей аппроксимацией [⁵>⁷] .

Один из наиболее простых и эффективных в реализации приближен­

ных алгоритмов [⁷] состоит из поочередного перебора всех пар m=l, 2 , . . . . . . , к вида (с», Cj) и выполнения для каждой из них следующих про­

цедур:

1) разыгрывается факт столкновения ттг-й пары (c», Cj) с вероятностью (3.4) P^m= c o^mA £ ;

2) если столкновение принято, то скорости (с^г, с,-) заменяются на ско­

рости после столкновения (с^г*, с / ) , в противном случае значения скоро­

стей не изменяются. , Данная схема моделирования аппроксимирует точный процесс столк­

новений с интегральной ошибкой (на полном времени наблюдения t^r) порядка

0(t/At').

Через

t'

обозначено безразмерное время (т. е. отнесен­

ное ко времени свободного пробега молекулы). * Эффективность предложенного алгоритма не сразу очевидна, так как

число операций, необходимых для ее реализации, пропорционально числу пар k~N². Однако, как показывают численные эксперименты, расчеты с применением такого подхода можно проводить при малом числе частиц в ячейке, 7V⁰~1, причем квадратичная зависимость времени счета от N заметно не проявляется. С другой стороны, принципиальная возможность проводить расчеты при малых N⁰ и At' существенно расширяет область применимости метода и его эффективность. ;

Слабая зависимость ошибки данного метода от N⁰ иллюстрируется фиг. 2, 3, на которых сравниваются результаты расчетов по указанной методике структуры ударной волны в газе из молекул-шаров при числе Маха в набегающем потоке Моо=3 и при средних значениях N в ячейках набегающего потока^ равных 7V⁰=1 (точки) и ' Д⁰= 1 2 (крестики) [⁸] .

2. Полный теоретический анализ моделирующего процесса предпола­

гает построение и исследование соответствующего ему кинетического уравнения и сравнение последнего с уравнением Больцмана.

Рассмотрим эволюцию ЗЛ^-мерного вектора 0 ( £ ) , компонентами кото­

рого являются скорости Ci(t) молекул, предполагая, что столкновения моделируются алгоритмом с распределением времени ожидания Т по по­

казательному закону (3.3). Указанный вектор C = { d , . . . , c^N} характери­

зует состояние TV-частичной модели пространственно-однородного идеаль­

ного газа. Основным уравнением случайного процесса C(t) является урав­

нение эволюции плотности ф(£, С) распределения состояний С в момент времени t. Оно может быть выведено непосредственно из приведенного выше описания алгоритма моделирования столкновения и имеет вид [⁷]

3<p(t,C) 1

1188 О. М. Белоцерковский и др.

• 4* » +

»

; I | + . l i l i U l.-tiU И ^I J L

в z ч в в

Фиг. 2

J I W 12 14 х 16

В

| I I I 1 ,1

В 8 10 1Z 14 х 15 Фиг. 3

О нестационарном методе прямого моделирования 1189 Су*— { С^А, . . . , С г - 1 , Ci*, Ci + i, . . . , C j - 1 , Cj. , Cj + i, . . . , CJV}

здесь Су* — состояние модели после столкновения пары, частиц (с*, с,-)..

Это уравнение master equation [^{1 8}] было получено Кацом для модели упругих шаров ( d o = c o n s t / 4 я ) . ;

Алгоритм приближенного моделирования, основанный на вероятности (3.4), является разновидностью схемы из N(N—1) / 2 испытаний Бернул- ли с разными вероятностями успеха. Он -j порождает марковскую цепь С ( а ) , которая аппроксимирует на сетке Ц процесс столкновений С (t) в смысле приведенного выше конструктивного определения модели Каца/

Этот факт станет очевидным, если заметить, что распределение ф(а, С ) состояния С (а) является решением разностной схемы уравнения ( 3 . 5 ) ;

А*

ф ( а + 1 , С ) = JY- — «Г«а*/| ф"(а, С>+' •

V

3i Этап расчета II (бесстолкновительнбе смещение частиц), как и

^зтап I, может быть реализован в двух формах — точной и приближенной.

Алгоритм точного сдвига тривиален: каждая 1-я частица смещается по формуле (£+Д£)=г^г-(t)

+c

^{

At.

Приближенный алгоритм сдвига, так же как и приближенный алго­

ритм столкновений, может быть реализован схемой испытаний Бериул- ли [⁶] .

Соответствие построенной модели уравнению Больцмана проще всего устанавливается в случае использования приближенных алгоритмов мо­

делирования столкновений и смещений частиц.

Пусть / — номер ячейки координатного пространства, а а —момент дискретного времени, соответствующий t^a. Обозначим через / Д а , /, с⁴,\ . . . . . , с⁸) аналог ^-частичной функции распределения частиц, находящихся в момент ta в ячейке с номером /. Величина /i(cc, /, с) dc — математическое ожидание числа частиц в ячейке / в момент^,» со скоростями в элементе dc окрестности значения с. Пусть / / = Д / V^s ц течение одномерное. Тогда с помощью рассуждений, учитывающих конечность At и Дж, а в остальном подобных феноменологическому выводу уравнения Больцмана, полу­

чим [⁷J

Ло.о).

• + с^х— — - = / [ /²

] - A t c

^x

— : At Ах , \ Ах

При дополнительном предположении /²' ( а , h 3i» c²) = / i^/( a , /, d ) / / ^ , / , ^ ) (гипотеза о статистической независимости частиц или о молекулярном хаосе) соотношение (3.6) превращается в условно устойчивую схему (см.

также [⁶] ) уравнения Больцмана с точностью аппроксимации О (At, Ах), Таким образом, модель, использующая Схемы испытаний Бернулли на этапах столкновений и смещений частиц, ; имеет в качестве основного

119Q О. М. Белоцерковский и др.

уравнения разностную схему уравнения Больцмана. В этом и состоит со­

ответствие нестационарного метода прямого статистического моделирова­

ния уравнению Больцмана. -

Отметим, что метод Бёрда имеет те же составляющие ошибки плюс добавочный член

/ 2

et

^r

\ О

I — I n — ) ,

\N

⁰

At J

¹

обусловленный нарушением частоты столкновений. Следовательно, пред­

ложенная здесь модель точнее аппроксимирует уравнение Больцмана при малом числе частиц в ячейке N^Q: Она позволяет более эффективно решать задачи на координатных сетках с мелкими или неравномерными шагами, что необходимо при расчетах течений с малыми числами Кнудсена, с боль­

шими градиентами плотности, при решении трехмерных задач и т. д. Кро­

ме того, она обеспечивает существенно большую точность расчетов неста­

ционарных во времени и пространственно-неоднородных процессов.

I I . П Р И М Е Н Е Н И Е МЕТОДА К Р Е Ш Е Н И Ю З А Д А Ч

| АЭРОДИНАМИКИ Р А З Р Е Ж Е Н Н О Г О . ГАЗА

\ § 4. Постановка задачи. Некоторые вопросы методики расчетов

Остановимся на некоторых аспектах постановки задачи обтекания тел. Около обтекаемого тела выделяется область Р с границей Г (фиг. 4 ) .

Область разбивается на ячейки, ли­

нейный размер которых h выбирает­

ся меньше местной длины свобод­

ного пробега. При решении двумер­

ных задач сетки принимались равно­

мерными, в трехмерном случае при­

менялось также неравномерное раз­

биение области на ячейки. В каждую пространственную ячейку в началь­

ный момент помещается некоторое число молекул со скоростями, соот­

ветствующими начальной функции . распределения (вообще говоря, про­

извольной) .

На границах вверх по потоку функция распределения молекул по Фиг. 4

скоростям предполагается максвелловской:

(4.1)

М С )

= (2я^)^

^{е Х}

4"1й?г1'

и на границах х=0 и г/=0 (см. фиг. 4) на каждом шаге по времени в рас­

четную область влетает необходимое число молекул в соответствии с по-