К. Н. Ефимов, В. А. Овчинников, А. С. Якимов, Численное исследование вли- яния колебаний сферически затупленного конуса при обтекании сверхзвуко- вым потоком воздуха на характеристики сопряженного тепломассообмена, ТВТ , 2021, том 59, выпуск 1, 100–108

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

К. Н. Ефимов, В. А. Овчинников, А. С. Якимов, Численное исследование вли- яния колебаний сферически затупленного конуса при обтекании сверхзвуко- вым потоком воздуха на характеристики сопряженного тепломассообмена, ТВТ , 2021, том 59, выпуск 1, 100–108

DOI: https://doi.org/10.31857/S0040364420060071

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 22:37:46

(2)

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОЛЕБАНИЙ СФЕРИЧЕСКИ ЗАТУПЛЕННОГО КОНУСА ПРИ ОБТЕКАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВОЗДУХА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ

СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛОМАССООБМЕНА

1Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, Россия

*E-mail: yakimovas@mail.ru Поступила в редакцию 06.11.2019 г.

После доработки 15.05.2020 г.

Принята к публикации 14.10.2020 г.

Работа посвящена изучению воздействия флуктуаций тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком воздуха, на сопряженный тепломассообмен в теплозащитном материале при наличии вдува продук- тов термохимического разрушения и тепломассообмена между телом и набегающим потоком.

Представлены результаты численного исследования пространственного сверхзвукового потока около сферически затупленного конуса, совершающего колебательное движение в плоскости тан- гажа. Рассматривается влияние колебаний тела с угловой скоростью в диапазоне 0–100 градус/с на температуру поверхности и теплообменные характеристики.

DOI: 10.31857/S0040364420060071 ВВЕДЕНИЕ

Летательные аппараты при движении с гипер- звуковыми скоростями в плотных слоях атмосфе- ры Земли подвергаются сильному тепловому воз- действию, приводящему к изменению их формы и аэродинамических характеристик. Колебатель- ные движения меняют условия обтекания и теп- ловое состояние тела по сравнению со случаем его отсутствия. Ранее, например в работах [1, 2], были проведены исследования влияния перемен- ных углов атаки на аэродинамические характери- стики обтекаемых осесимметричных тел. В связи с этим интересно проанализировать влияние та- ких колебательных движений на тепловое состоя- ние тела при взаимодействии с высокоэнталь- пийными потоками. При обтекании тела с посто- янным углом атаки [3, 4] разница тепловых потоков на подветренной и наветренной сторо- нах может быть очень значительной, что приво- дит к неравномерному нагреву. Для уменьшения этого эффекта сверхзвуковым летательным аппа- ратам могут придавать вращательные и колеба- тельные движения. Взаимосвязанный характер протекания тепловых и аэродинамических про- цессов приводит к необходимости при математи- ческом моделировании решать задачу в сопря- женной постановке [5]. В публикациях [6–8] про- ведено исследование влияния вращения тела вокруг оси на характеристики сопряженного теп- ломассопереноса при пространственном сверх- звуковом обтекании.

В настоящей работе движение газового потока описывается уравнениями пограничного слоя с учетом ламинарного и турбулентного режимов течения. Для описания теплового состояния тела выписывается система уравнений сохранения для пористой среды. Учитываются различные про- цессы разрушения на конической части поверх- ности обтекаемого тела и фильтрация охлаждаю- щего газа в порах на сферическом затуплении. За- дача решается в сопряженной постановке [5, 9], так как это позволяет существенно повысить точ- ность определения аэродинамических и тепло- вых характеристик по сравнению с раздельными оценками аэродинамики, термохимического раз- рушения, параметров движения тела.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работах [5, 9] проведены оценки времен ре- лаксации в газовой и конденсированной фазах.

На основании этих оценок характеристики со- пряженного тепломассообмена находятся из ре- шения квазистационарных уравнений простран- ственного пограничного слоя при различных ре- жимах течения. Тепловое состояние пористой оболочки определяется из решения нестационар- ного уравнения сохранения энергии для пористого сферического затупления и квазистационарного уравнения для скорости фильтрации охлаждаю- щего газа в порах в рамках однотемпературной модели.

УДК 533.526:536.24

(3)

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР том 59 № 1 2021

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОЛЕБАНИЙ 101

Для модели химически равновесного воздуха по гипотезе “пассивности” и равенства единице чисел Льюиса для всех компонентов система уравнений пространственного пограничного слоя в естественной системе координат, связанной с внешней поверхностью обтекаемой оболочки, имеет вид [3, 8] (рис. 1)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Для пористой сферической оболочки ( ) при одномерности процесса фильтрации вдувае-

(

^ur^w

) (

^r^w

)

⁽ ^w⁾ ^0,

s n

∂ ρ + ∂ ρ + ∂ ρ =

∂ ∂ v ∂η

( )

2

,

w

w w

e

u u w u w r

u s n r r s

P u

s n ^Σ n

 ∂ ∂ ∂ ∂ 

ρ ∂ + ∂ + ∂η− ∂ =

∂ ∂ ∂

= − + μ

∂ ∂ ∂

v

( )

1 ,

w

w w

e w

w w w w uw r

u s n r r s

P w

r n ^Σ n

 ∂ ∂ ∂ ∂ 

ρ ∂ + ∂ + ∂η+ ∂  =

∂ ∂ ∂

= − + μ

∂η ∂ ∂

v

(

^Pr ¹

)

² ² ^,

Pr 2

w

H H w H

u s n r

H u w

n n n

Σ Σ

Σ

 ∂ ∂ ∂ 

ρ ∂ + ∂ + ∂η =

μ   

∂ ∂ ∂ +

=∂  ∂ + − ∂   v

ef ef

2 2

( 1) , ( , ),

( ) 2 , ( Г ) Pr Pr

, Pr .

Pr Г Pr

e

T T

T

T Т

P h P P s

H h u w

Σ Σ

= ρ γ − γ = η

= + +

μ + μ

μ μ =

μ + μ

= μ + Γ

0< <s s_A

мого газа в направлении нормали к поверхности в рассматриваемой системе координат, связанной с осью симметрии тела, имеем [9, 10] при 0 ≤η < 2π

(6)

(7)

(8)

(9) Для конической части тела ( ) урав- нения сохранения энергии и массы в подвижной системе координат записываются по математиче- ским моделям [6, 10] при 0 ≤η < 2π

(10)

(11)

(12) В отличие от работ [6–8] в данной статье рас- сматриваются периодические колебания угла ата- ки в плоскости тангажа. Это движение описыва- ется выражением

(13)

2 1 1

1

( )

r H 0, n

∂ ρ ϕ =

∂ v

( )

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

(1) 1 1

2

1 1 1

( ) (1 ) 1 (1 )

(1 ) 1

,

p

w

p w

T T

c r H

t r H n n

r T H T

s H s r

r T

c r H n

  

∂ ∂ ∂

ρ − ϕ ∂ = ∂  λ − ϕ ∂ +

 λ ∂   λ ∂ 

∂ ∂

+ ∂  − ϕ ∂ +∂η − ϕ ∂η+ + ρ ∂

v ∂

2

1

P,

A B

n μ + ρ ϕ = −∂

v v v ∂

2 1 1

1

1 1 1 1 1

, , ,

( ) sin( ), ~ , ~ ,

const.

N

N N

N

RT R n s

P H s

M R R

r R n s T T

ρ −

= = =

= − μ λ

ϕ =

A k

s < <s s

( )

2

1 1 1 1

2 2

1 ,

c p p

c c

T T T T

c c G

t n n n n

T T d

s s r Q dt

∂ ∂  ∂ ∂  ∂ 

ρ  ∂ − ψ∂ + ∂ =∂ λ∂ +

  ρ

∂ ∂ ∂ ∂

+ ∂ λ ∂ + ∂ηλ∂η−

( ) ( )

1

*

0 *

0

*

1 2 1

0

1 0

exp , ,

0, ,

, cos sin ,

( ), ( ) , ( ) ,

c c c

c c c c

c

c c

l c

N A

t

w w

d

dt t n

k E

RT

G d dn r R n s s

dt

l L x t x t d G

 

ρ =∂ρ∂ − ψ∂ρ∂  =

− ρ ρ − ρ  −  ρ > ρ

    

=   ρ   

 ρ ≤ ρ



= ρ = − θ + − θ

= − = ψ τ ρ =



^v

(2)

1 2 3

3

2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) .

w w w w

iw i= cw

ρ = ρ + ρ + ρ

ψ = ρ



ρ

v v v v

v

( 1) ,

( 1) 2 ,

( ) 3 2 ,

2 .

m f m f

f f

f m m f

f f

t i B

i B t B i

t t B i

B i t B i β − ω − β − −

 − ≤ <

β = ω − β − β −

 ≤ <



Рис. 1. Схема обтекания тела: 1 – пористое сфериче- ское затупление, 2 – коническая часть тела из угле- пластика или графита.

r

z s

A

(ρv)(1)w

B

C D

R_N 1

2 E

θ s_A

n₁

s_k

β O O₁

(4)

В формуле (13) t – длительность процесса, i =

= 1, 2…, – период флуктуации, – угловая скорость изменения угла атаки β, βm – максимальный угол атаки.

Вводятся следующие допущения: 1) характер- ная линейная скорость колебания тела много меньше скорости набегающего потока: Ωf =

; 2) характерное время колебатель- ного процесса много больше времени релаксации газовой фазы (t_ω t_a, t_ω = 4βm/ωf , t_a = R_N/V_∞). Это позволяет использовать уравнения пограничного слоя в квазистационарном виде.

Начальные условия:

(14) Граничные условия в газовой фазе записыва- ются следующим образом: на внешней границе пограничного слоя при

(15) где и в (5) определяются из решения системы уравнений Эйлера [11];

на поверхности обтекаемого тела при

(16) На обтекаемой внешней поверхности оболоч- ки ( ) имеют место условия [6, 9] при

(17)

(18) На внутренней поверхности полусферы и ко- нической части выписываются соотношения [9]:

(19)

(20) На кольце сопряжения сфера‒конус ис- пользуются условия идеального контакта, а при

− адиабатическое условие

(21)

f 4 m f

B = β ω ωf

f RN V_∞ 1

= ω !

@

1_t 0 _t 0 0, _{c t} 0 _c0.

T ₌ =T ₌ =T ρ ₌ = ρ

n→ ∞

( )

^, ^,

( )

^, ^,

( )

^, ^,

e e e

u →u s η w→ w s η h→h s η , ,

e e e

u w h P_e

0 n=

( )

^, ^0, ^0, ^w^,

(

⁰ ^A

)

^.

u s η = w = v =v < <s s

1 0

n= n = 0≤ η < π2

( )

¹ ¹⁴ ¹

⁽ ⁾

1¹

(1 ) 1 ,

Pr

0 ,

w

w w

A

h T

n T n

s s

∂  μ ∂∂ − − ϕ ε σ = −λ − ϕ ∂ 

< <

( ) ⁽ ^{) ( )}

( ) ( )

1

3

2 1 0 ( )

4 1

Pr

, .

w c iw

w i

n x t

w g w A k

w

T h

h h

n n

h h T s s s

= − =

∂ μ ∂

−λ = − − ρ −

∂ ∂

− ρ − − εσ ≤ ≤



^v

v

( ) ( )

1

1 1, 0

1

1 _L , 0 _A,

n L

T T T s s

n ₌

−λ − ϕ ∂ = δ − < <

∂

1

0 1

, 0, .

cn l c A k

n

T s s s

= n

=

ρ = ρ λ∂ = ≤ ≤

∂ ,

s = sA

s = sk

( )

1 1

1 0 0

1 ,

, 0.

A A

k

s s s s

s s

T T

H s s

T T T

s

= − = +

=

λ − ϕ ∂ = λ∂

∂ ∂

= ∂ =

∂

На внешней и внутренней поверхностях обла- сти сферического затупления имеет место равен- ство давлений в порах и во внешней среде

(22) При отсутствии плоскости симметрии течения имеют место условия периодичности

(23) На границе раздела сред при рассматри- валась следующая кинетическая схема протекания неравновесных химических реакций ( К) [9, 10, 12]:

(24)

Молярные и массовые скорости протекания данных химических реакций (24) и выражение для массовой скорости уноса подробно описаны в [5, 9], а формулы для , из (12) имеют вид

(25)

В (24), (25) порядковый номер компонентов соответствует следующему порядку их перечисле-

ния: . C – обозначе-

ние твердофазного углерода, который принадле- жит материалу теплозащитного покрытия. В по- граничном слое имеются четыре компонента:

, которые участвуют в двух равновес- ных химических реакциях: , . На границе конденсированной и газовой фаз при- сутствуют четыре компонента: , ко- торые возникают в шести гетерогенных реакциях горения и сублимации из (24). Учитываются так-

1 0 ( , ), 1 .

wn e n L L

P ₌ =P s η P ₌ =P

1 1 1 1

1 1

( , , , ) ( , , , 2 ), ( , , , ) ( , , , 2 ).

T t n s T t n s T t n s T t n s

η = η + π

s≥ sA w 4000 T ≤

2 2 2

2

2 2

1 3

C O CO , 2 C O 2 CO,

C O CO, C CO 2 CO,

2 O C O C, 2 N C N C,

C C , C C .

+ → + →

+ → + + → +

↔ ↔

(ρv)2_w (ρv)₃_w

( )

6 5

2 2 1 2 2

2 2

5 5

1 3 6 4

1 6

8

3 0.5

7 5

( ) 1 2 1

1 2 1 ,

( * )

( ) ,

(2 )

* 10 exp( ),

exp , 1,

7,8,

4, , 7,8,

w w w w

w w

i ci ci ci w

i w i

ci i i w

i iw iw w

ci e iw w i

m m

c B c B

m m

c B c B

m m

m A P P RT m

P D E T

B k E RT i

P P c m

i

i m

=

   

ρ = ρ  −  + −  +

  

 

+ −  + −   ρ = −

π =

=

= −

= − =

=



v

8

1 8

1

2 1 2 2

1 0

( ), ,

, , .

w e w w w i iw

i T

w iw i p g p

i

P m T h h c

m c m c b b T h c dT

R

=

−

=

ρ = =

= = + =



 

2 2 2 1 3

O, O , N, N , CO, CO ,C ,C

2 2

O, O , N, N

O2 ↔2 O N2 ↔ 2 N

2 1 3

CO, CO ,C ,C

(5)

же две реакции каталитической рекомбинации компонентов .

Балансовые соотношения для массовых кон- центраций компонент ( ) запишем, используя закон Фика для диффузионных потоков и анало- гию процессов тепло- и массообмена [10]:

где и – коэффициенты теплообмена и мас- сообмена соответственно. Считается, что продук- ты разрушения слабо разбавляют воздушную смесь в пограничном слое. Это позволяет исполь- зовать принятую выше постановку для уравнений в пограничном слое.

Здесь и ниже − компоненты вектора среднемассовой скорости в естественной системе координат ( ); Г – коэффициент перемежае- мости; H, m – полная энтальпия и молекулярная масса; – радиус сферического затупления;

− коэффициенты Ламе; h и − энтальпия и расход газа-охладителя с поверхности сферического затупления; ρ − плотность; μ − ди- намическая вязкость; P − давление; T – темпера- тура; − полный массовый унос с углерод- ной поверхности конической части тела; A и B − вязкостный и инерционный коэффициенты в нелинейном законе Дарси (8); v − скорость филь- трации; ϕ − пористость сферического затупления;

– коэффициент теплоемкости при постоянном давлении; λ – коэффициент теплопроводности;

R– универсальная газовая постоянная; M – мо- лекулярная масса газа в пористой оболочке; L – толщина оболочки; θ − угол конусности; β – угол атаки; – нормаль к поверхности направлена в глубь оболочки; ψ − линейная скорость переме- щения поверхности разрушения; − граница раздела газообразной и конденсированной фаз (глубина выгорания); (i = 1, …, 4) – энер- гия активации и предэкспонент i-й гетерогенной реакции оболочки конической части тела; , и − предэкспонент, энергия активации и тепло- вой эффект реакции пиролиза; , V_∞ − высота и скорость набегающего потока на бесконечности;

σ − постоянная Стефана‒Больцмана; ε − излуча- тельная способность поверхности; G − массовый унос продуктов пиролиза углепластика; δ − коэф- фициент теплоотдачи на внутренней холодной поверхности сферической оболочки; Pr − число Прандтля.

Индексы e, e0 и w соответствуют величинам на внешней границе пограничного слоя, на внеш- ней границе в точке торможения и на поверхно- сти обтекаемого тела; (1), (2) внизу − характери- стики каркаса и газа на сфере; g – газовая фаза на

2 2

O , N ciw

( ) ( )

(2) , 1,8,

, ,

iw w iw iw

iw i iw ie i p

J c R i

J c c c

+ ρ = =

= γ − γ = α

v

cp

α γi

, , u v w , ,

s nη RN

, ( 1, 2), 1 w i

r r i = H

( )

ρv ⁽¹⁾w

( )

ρv ⁽²⁾w

cp

n1

( ) x t

iw, iw

E k

kc E_c Qc

H_∞

конической части поверхности; ∞ − величина набегающего газового потока на бесконечности;

T, 0 – характеристика турбулентного переноса и начальные условия; L – внутренняя оболочка сферической части тела; – периферийный уча- сток оболочки; (1), (2) вверху − характеристики, связанные с расходом охладителя на пористой полусфере и поверхностные химические реакции на конической части тела; черта вверху – безраз- мерный параметр; z – время окончания теплового воздействия; ef − эффективная величина; m – максимальное значение; с – углепластик.

МЕТОД РАСЧЕТА И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Система уравнений (1)−(4), (6)−(8), (10), (11) с начальными и граничными условиями (14)−(23) решена численно. Система уравнений простран- ственного пограничного слоя решалась в пере- менных типа Дородницына с учетом ламинар- ной, переходной и турбулентной областей те- чения. Для описания турбулентного течения применялась двухслойная модель турбулентного пограничного слоя [13, 14]. Рассматриваемая трехслойная алгебраическая модель турбулентно- сти учитывает наличие ламинарного вязкого под- слоя, внутренней области турбулентного ядра, которая описывается формулой Ван-Дрий- ста‒Себечи [14], и внешней области, в которой используется формула Сполдинга [13]. Коэффи- циент перемежаемости и переход от ламинарного к турбулентному режиму течения описывался с помощью формулы Дхаваны‒Нарасимхи [15].

При численном интегрировании Pr = 0.72, . Для уравнений пограничного слоя с по- мощью итерационно-интерполяционного метода [16] были получены комбинированные разност- ные схемы, обеспечивающие сращивание иско- мых характеристик на границе ламинарного под- слоя и турбулентного ядра и учитывающие харак- тер изменения поперек пограничного слоя.

Параметры методики [15], в том числе положение точек потери устойчивости ламинарного и пере- хода к турбулентному течению, подбирались ис- ходя из экспериментальных данных [17, 18], кото- рые также использовались для тестирования опи- санной модели пограничного слоя, показав ее хорошую работоспособность.

Численное решение трехмерных уравнений (7), (10) проводится методом расщепления [19]. Ис- пользована неявная, абсолютно устойчивая, мо- нотонная разностная схема с суммарной погреш- ностью аппроксимации О(τ + + ), где , , – шаг по пространству вдоль коорди- нат , s, η соответственно; τ − шаг по времени.

Для проверки программы численного расчета в пористом теле использовалась последователь- ность сгущающихся сеток по пространству:

k

Pr_T =1

μТ

1

2 2

n s

H +H H_η²

n1

H H_s H_η n1

h1 =

(6)

= = м, = 0.925 × (на сфере), = (на конусе), = 0.087 и бра- лось , , , , i= 1‒4. Температура каркаса фиксировалась по глубине тела в различные моменты времени. Во всех вариантах задача решалась с переменным шагом по времени, который выбирался из усло- вия заданной точности, одинаковой для всех ша- гов по пространству. Различие относительной по- грешности по температуре падало и к моменту времени t = составляло = 10.3%, = 6.5%,

= 3.4%. Ниже результаты расчета получены для шагов по пространству , i = 1‒4.

Для тестирования процессов взаимодействия высокоэнтальпийных потоков воздуха с графито- выми поверхностями использовались результаты теоретических [20] и обобщенных эксперимен- тальных исследований [21].

Квазистационарное уравнение неразрывности (6) = (знак минус обусловлен тем, что нормальная координата направлена в глубь тела (см. рис. 1), а охладитель течет в проти- воположном направлении) совместно с первым выражением (9), нелинейным законом Дарси (8) и граничными условиями (22) можно проинте- грировать и найти расход газа и давление в обла- сти 1 [9]:

Давление на внутренней “холодной” поверх- ности пластины задано в виде

где k – некоторая постоянная. Это обеспечивало необходимый расход охладителя (в частности, не была достигнута температура плавления каркаса из пористого металла [10, 22]) на участке теплово- го воздействия от t = 0 до t = .

Расчеты обтекания конуса, затупленного по сфере, с углом полураствора θ = 15° потоком хи- мически равновесного воздуха с переменным уг- лом атаки – βm≤β≤βm, βm = 10° проводились для следующих условий [11], которые соответствуют параметрам: = 2.3 × м, V_∞ = 3000, 5000 м/с, = 0.1 м, = 0.02 м, k = 2. При данных пара-

n1

h 10⁻³ h₂ = h_s₁ 10⁻²

3 s2

h =h 10⁻² h₄ = h_η

1,_i 2 _i

H = h H2,i =hi H3,_i = h_i 2 H4,_i =h_i 4

tz Δ₁ Δ2

Δ3

3,_i _i 2 H = h

1 1 1

(ρv)_wr_w (H r) −ρ ϕ₂ v

n1

2 2 2 0.5

2 ( )

( ) ( , ) ,

2

L w L L L

w

L

B P P MD R E E

s BD

 − ϕ +  −

 

ρv η =

2 0.5

( , , )1 { _w 2 ( ) [ (_w )_w ] } , P n sη = P + Rρv B ρv D+E Mϕ

1

2 1

1 1

1 1 0

1

1 1

1 1 0

( , , ) ,

( , , ) .

n w

n

w

D n s T r dy

r H E n s A T r dy

r H

 

η =  

η = μ



L

0,

L e

P =kP

tz

H_∞ 10⁴

RN L₀

метрах задачи характерными являются время ко- лебательного процесса t_ω = 0.4 c, время релакса- ции газовой фазы t_a = 3.3 × c, число Струхаля St = t_a/t_ω = 8.25 × . Кинетические константы (25) гетерогенных реакций (24) брались из [9], эн- тальпия графита рассчитывалась по формуле [23].

Эффективный показатель адиабаты в первой формуле (5) определялся согласно работе [11].

Для углеродного материала конической оболочки теплофизические коэффициенты известны из [9], для пористой стали – из [24]. Для графита кони- ческой части тела решается уравнение (10) при

= 0, G = 0.

Приводимые ниже результаты получены при = 4.7197 × 10⁶ и 1.272 × 10⁷ Дж/кг, = 0.34, =

= 300 К, , М = 29 кг/кмоль,

σ= 5.67 × Вт/( ), , = 1400 кг/ , = 1300 кг/ , = 3.15 × , = 8.38 ×

× Дж/моль, = 1.26 × Дж/кг, = 40 с.

Теплофизические характеристики пористого за- тупления соответствовали пористой стали:

, = 2.92 + 4.5 × Вт/(м К), =

= (1252 + 0.544 ) × Дж/(K ) [24], A = 2.3 ×

× 1/ , B = 5.7 × 1/м. Теплофизические характеристики конической части тела отвечают уг- лепластику [4, 9] или сплошному графиту ВПП [25].

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ И ИХ АНАЛИЗ

В дальнейшем результаты относятся к сече- нию = 5.0, находящемуся на конической ча- сти тела. При таком выборе координаты сечения на подветренной части тела не наблюдались пре- дотрывные состояния во все время процесса.

В силу малых времен тепловой релаксации угле- пластика [7] для иллюстрации нестационарных тепловых процессов (рис. 2–7), возникающих вследствие колебательного движения и сильного аэродинамического нагрева, удобнее использо- вать графит. Тем не менее результаты на рис. 2–7 качественно отражают влияние колебаний на уг- лепластик. Интегральные количественные срав- нения графита с углепластиком представлены на рис. 8.

На рис. 2 показана временнáя зависимость температуры поверхности тела из графита при скорости набегающего потока V_∞ = 5000 м/с и фиксированном угле атаки β = βm = 10°( = 0):

кривые 1−2 и = 5 градус/с (кривые 3−5). В от- сутствие колебательного процесса наблюдается монотонный рост температуры в точках η = 180° (кривая 1) и η = 0° (кривая 2). При наличии ос-

10⁻5

hc

γef

Qc 0

he ϕ T0

1 965.5, 2 0.147

b = b =

10⁻8 м К² ⁴ ε =0.9 ρc0 м³

*

ρc м³ k_c 10⁶ c⁻¹ E_c

104 Q_c 10⁶ t_z

1 0.8

ε = λ1 10⁻³T₁ ρ₁c_p₁ T1 10³ м³

1011 м² 10⁵

s RN

ωf

(7)

циллирующего движения (кривые 3–5) происхо- дит немонотонное изменение температуры по- верхности в точках с координатами η = 0, 90, 180°, которым соответствуют кривые 3‒5. При этом происходит одновременное периодическое пере- сечение кривых 3−5 в определенные моменты времени. Как видно из рис. 2, колебательное дви- жение приводит к снижению перепада темпера- тур с 1563 до 463 К при t = 10 c.

Это также может быть продемонстрировано посредством распределений температуры поверх- ности графита вдоль окружной координаты, по- казанным на рис. 3 для момента времени t = 10 с.

Здесь кривым 1‒4 соответствуют ω_f = 0, 5, 10,

100 градус/с. Из рис. 3 видно, что в этот момент времени η = 180° соответствует наветренной сто- роне для кривых 1‒3 и подветренной для кривой 4.

Максимальный перепад температуры в 1538 К на поверхности по окружной координате достигает- ся в отсутствие осцилляций тела = 0 градус/с (см. рис. 3, кривая 1). С увеличением угловой ско- рости колебаний до 100 градус/с происходит снижение перепада температур до 83 К.

Рассмотрим 37 временных кривых , опи- сывающих изменение температур поверхности конической части из графита в точках η = 0, 5, …, 175, 180° исследуемого сечения s. Введем функции

ωf

w ( ) T _ηt

Рис. 2. Зависимость температуры поверхности гра- фита в сечении = 5.0 при V_∞ = 5000 м/с: 1, 2 ‒

= 0 градус/с; 3‒5 – 5.

1000

2000 1

10

2 4 6 8

0

t, c T_w, K

2 3

4 5

s RN

ωf

Рис. 3. Распределение температуры поверхности гра- фита по окружной координаты при V_∞ = 5000 м/с: 1 ‒

= 0 градус/с, 2 ‒ 5, 3 ‒ 10, 4 ‒ 100.

1000

500 1500 2000

1

360

90 180

0 η, град

T_w, K

2

3

4

ωf

Рис. 5. Образующие семейства кривых при V_∞= 5000 м/с и = 40 градус/с для графита.

500 1000 1500

1

10

4 6

2 8

0

t, c Ψ, K

2

w ( ) T _ηt ωf

Рис. 4. Образующие семейства кривых при V_∞= 5000 м/с и = 5 градус/с для материала графи- та на конической части оболочки.

500 1000 1500

1

10

4 6

2 8

0

t, c Ψ, K

2

w ( ) T_ηt ωf

(8)

Ψmin(t) и Ψmax(t), которые являются огибающими семейства 37 кривых , полученных из реше- ния сопряженной задачи, при фиксированных и . На рис. 4 и 5 показаны зависимости Ψmax(t) (кривая 1) и Ψmin(t) (кривая 2) для угловых скоростей колебаний тела = 5 и 40 градус/с со- ответственно. Из рис. 4 и 5 видно, что в опреде- ленные моменты времени сплошные и штрихо- вые кривые имеют точки соприкосновения друг с другом. Это означает, что поверхность в сечении в эти моменты времени становится близкой к изотермической.

Как известно, при = 0 температура поверх- ности постоянна вдоль окружной координаты η при нулевом угле атаки [3]. В случае колебатель- ного движения температура приближается к по- стоянному значению через некоторый промежу- ток времени, после того как угол атаки β проходит через нулевое значение (см. рис. 6). Как видно из рис. 4‒6, переход в локальный изотермический режим носит циклический характер и зависит от угловой скорости колебаний . Из результатов расчетов при = 40 градус/с следует, что по- верхность становится близкой к изотермической с нерегулярной цикличностью при различных уг- лах атаки βiso, представленных на рис. 7. Как вид- но из этого рисунка, значение |βiso| уменьшается с течением времени и на величину |βiso| влияет знак угла атаки. При β < 0 значение |βiso| меньше, чем при положительных углах атаки β. Максимальное время между изотермическими режимами на- блюдается в начальные моменты времени и со- ставляет 5.4 и 0.7 с для = 5 и 40 градус/с соот- ветственно (см. рис. 4 и 5). Причиной затянувше- гося процесса перехода в изотермический режим по сравнению с последующими является силь- ный аэродинамический нагрев, действующий на тело в начальные моменты времени, который также определяет разницу в значениях |βiso| для положительных и отрицательных углов атаки в последующие моменты времени.

В целях более детального изучения влияния осцилляций тела на теплообмен в теплозащитном материале введем следующую величину:

Как видно из приведенной выше формулы, ве- личина численно равна площади области (за- штрихованной на рис. 4) между образующими, ограничивающими решение задачи и характери- зующими интегральный перепад температур на поверхности тела, отнесенной к промежутку вре- мени полета. На рис. 8 показаны зависимости ин- тегрального перепада температур поверхности те-

w ( ) T _η t

ωf

s RN

ωf

s RN

ωf

[

^max ^min

]

0 0

1 ( ) ( ) .

t w

z

I t t dt

t t

= Ψ − Ψ

−



Iw

ла от скорости колебаний в течение рассматрива- емого промежутка времени от t = до t = для V_∞= 3000 и 5000 м/с соответственно. Данные за- висимости построены по результатам серии из 24 расчетов, соответствующих варьированию скорости набегающего потока V_∞ = 3000 и 5000 м/с, угловой скорости = 0, 5, 10, 20, 40, 100 градус/с и материалов (углепластика и графита). Кривые 1 на рис. 8 соответствуют углепластику, кривые 2 – графиту. Как видно из рис. 8, даже при малых уг- ловых скоростях колебаний ( = 5 градус/с) про- исходит сильное снижение перепада температур (для УП ‒ на 58–67%, для графита ‒ до 74–76%) по сравнению со случаем движения с постоян- ным углом атаки. Для достижения уровня перепа-

t0 t_z

ωf

Рис. 6. Временнáя зависимость угла атаки: точки ‒ моменты времени перехода в изотермический режим при V_∞ = 5000 м/с и = 40 градус/с для графита.

5 β, град

0

2 4 6 8 10

t, c –5

ωf

Рис. 7. Модуль угла атаки в моменты времени перехо- да в изотермический режим при = 40 градус/с и V_∞ = 5000 м/с для графита: 1 ‒ β > 0, 2 – β < 0.

6

5

7 1

2

10

2 4 6 8

0

t, с

|βiso|, град

ωf

(9)

да температур поверхности графита, например,

< 300 К при использовании углепластика в ка- честве теплозащитного материала требуется бо- лее высокая скорость колебаний тела = 40 гра- дус/с, тогда как для графита достаточно =

= 5 градус/с (см. рис. 8).

В результате при наличии осцилляций измене- ние формы тела вследствие линейного уноса ма- териала с поверхности, обусловленного аэроди- намическим нагревом, будет более равномерным (см. рис. 9). Кривые 1‒3 на рис. 9 отвечают угле- пластику и = 0, 5, 40 градус/с. При наличии колебаний = 5–100 средние значения функ- ций распределения глубины выгорания x(η), представленных на рис. 9, по сравнению с =

= 0 градус/с будут меньше на 18–19%. Макси- мальное отклонение функции x(η) от своих сред- них значений 76% для = 0 уменьшается до 1.5%

Iw

ωf

для = 40 градус/с. Это говорит о том, что ос- цилляции в целом приводят к меньшему измене- нию формы летательного аппарата как в каче- ственном, так и количественном отношении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках сопряженной постановки задачи оценено интегральное влияние регулярного ко- лебательного движения тела на перетекание теп- ла в теплозащитном покрытии. Показано, что да- же при небольших значениях угловой скорости колебаний значительно уменьшается перепад температур (на 58–78% в зависимости от матери- ала и условий обтекания) на поверхности тела.

Показано, что изотермические режимы поверх- ности тела возникают с нерегулярной циклично- стью. Скорость изменения угла атаки ≥ 5 гра- дус/с приводит к более равномерному и меньше- му (на 18–19%) изменению формы летательного аппарата по сравнению с движением с постоян- ным углом атаки. Тем самым обеспечивается луч- шее сохранение аэродинамических характери- стик летательного аппарата и меньший линейный унос теплозащитного материала.

Работа выполнена при поддержке фонда Д.И. Менделеева (грант № 8.2.15.2018).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hoffman G.H., Plastzer M.F. On Supersonic Flow Past Oscillating Bodies of Revolution // AIAA J. 1966. V. 4.

№ 2. P. 370.

2. Telionis D., Gupta T. Compressible Oscillating Boun- dary Layers // AIAA J. 1977. V. 15. № 7. P. 974.

3. Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Якимов А.С. Исследо- вание характеристик сопряженного тепло- и мас-

ωf

Рис. 8. Зависимость интегрального перепада темпера- туры поверхности от угловой скорости колебаний те- ла при V_∞ = 5000 (а) и 3000 м/с (б).

400

200 600

(б)

1 2

100

20 40 60

0 ω, град/с

I_w, K 900 600 300 1200

(а)

1 2

100

20 40 60

0 ω, град/с

I_w, K

Рис. 9. Зависимость глубины выгорания материала от окружной координаты для углепластика при V_∞ =

= 5000 м/с: 1 ‒ = 0 градус/с, 2 ‒ 5, 3 ‒ 40.

2 4

1

2 3

360

90 180

0 η, град

x × 10⁴, м

ωf