Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Л. В. Канторович, М. К. Гавурин, О некоторых новых при- ёмах вычислений на табуляторе, связанных с использова- нием двоичных разложений чисел, УМН , 1948, том 3, вы- пуск 4(26), 160–162
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 10:44:47
ф НЕКОТОРЫХ НОВЫХ ПРИЁМАХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ТАБУЛЯТОРЕ, СВЯЗАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВОИЧНЫХ РАЗЛОЖЕНИИ
ЧИСЕЛ
Л. В. К а н т о р о в и ч и М. К. Г а в у р и н
1. Среди новых методов, относящихся к использованию счётно-ана
литических машин для математических вычислений, весьма плодотвор
ным оказался предложенный И. Я. Акушским [1] метод образования
п
сумм произведений 2 аФь на табуляторе при помощи разложения
i = l
множителей bt по двоичной системе. Однако само разложение чисел по двоичной системе составляло весьма громоздкий и трудоёмкий этап под
готовительной работы, как в том случае, когда оно делалось вручную, так и в том случае, когда для этого использовались специальные таблицы.
Мы имеем в виду предложить способ образования двоичных раз
ложений чисел на табуляторе с «горизонтальными передачами» г) (напр.
Д-11), а также некоторые новые приёмы вычислений на табуляторе, также связанные с двоичными разложениями.
2. Пусть требуется найти написание в двоичной системе числа 6, о котором известно, что оно меньше чем 2Р + 1. Образуем массив и з / ? + 2 карт. В первой из них содержится число 6, в последующих (не зави
сящих от 6) числа 2Р, 2р~1, . . . , 2 , 1 . Посылая число Ь в счётчик а19
а число 2р в счётчик с2, образуем затем в счётчике вг разность тр = 6 — 2*\
Дальнейшую работу табулятора ставим в зависимость от знака числа тр, что осуществляется использованием имеющегося в табуляторе Д-И специального реле (так называемого «двухшагового реле»). В случае / яр> 0 заставляем табулятор отпечатать в табулограмме число 1, а в случае тр < 0 посылаем снова из о2 в ог число 2Р со знаком плюс и печатаем в табулограмме число 0. Таким образом, в обоих случаях в табулограмме будет отпечатан р + 1 двоичный знак числа Ь, а в счёт
чике Oj останется остаток от деления Ь на 2р. Повторяя этот процесс, найдём последовательно знаки двоичного разложения числа 6, которые могут быть отперфорированы вручную или при помощи итогового пер
форатора.
*) «Горизонтальной передачей» мы называем передачу числа из одной части счётной системы в другую; частным случаем этой операции является удвоение числа передачеж его из счётчика на тот же счётчик.
О НЕКОТОРЫХ ПРИЁМАХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ТАБУЛЯТОРЕ 1 6 1
Разумеется, скорость этой работы может быть увеличена за счёт использования нескольких счётчиков для разложения по двоичной системе нескольких (не более 7) чисел одновременно.
3. Предварительное разложение числа 6 по двоичной системе с фик
сацией результатов на карточках может быть целесообразным лишь тогда, когда это число Ъ входит сомножителем в несколько произведений вида av • 6. В тех же случаях, когда требуется получить единичное произве
дение а • 6, несомненно выгоднее получающиеся двоичные знаки Ь сразу же использовать для образования произведения а • 6. Д л я этого надлежит в счётчиках ах и а2 вести процесс разложения числа Ъ по двоичной системе, описанный в пункте 2, в счётчике а3 иметь зафиксированным число а, а в счётчике а4 образовывать произведение а • Ь, посылая туда слагае
мым а всякий раз, когда /-й двоичный знак b равен единице, и удваивая накопление после каждого изменения / . (См. И. Я . Акушский, [1].)
4. Нетрудно видеть, что описанный в пункте 2 процесс есть не что иное, к а к деление числа b на единицу с получением частного в двоич
ной системе. Если заменить карточки, содержащие 2*, на карточки, со
держащие с • 2У, то этот же процесс даст в результате частное — (напи
санное в двоичной системе, конечно).
Если теперь использовать получающиеся двоичные знаки так, к а к
о - а • Ъ
описано в пункте о, мы получим дробь при той же схеме коммута
ции и с той же затратой времени, что и просто произведение а • 6.
Этот метод может быть признан целесообразным в тех случаях,
а\ • К
когда нужно получать выражения *—, где к и [х принимают много значений, а у лишь немного.
Описанные в этом и предыдущем пунктах операции требуют четырёх счётчиков, и потому можно производить на табуляторе одновременно два расчёта, а в случае совпадения 6 —три.
5. Тем не менее, скорость, с которой табулятор производит умноже
ние, сравнительно невелика, в 2 — 3 раза уступая скорости мультиплейера и лишь не на много превосходя скорость ручных вычислений. Более выгодное соотношение получается в случае работы, описанной в пункте 4, так как для мультиплейера здесь требуются двухкратное умножение и предварительная выборка из таблицы обратных величин, более трудоём
к а я , чем образование карточек с числами с • 2L
Во всяком случае заслуживают внимания описанные методы, ког
да образование произведений или выражений вида —— является про
межуточным этапом в цепи вычислений, призводимых на табуляторе, т. е. непрерывность действий есть фактор, в высшей степени существен
ный в практике механизированных вычислений.
Считаем уместным здесь же упомянуть о некоторой модификации метода Янжула для образования сумм произведений, которая делает его применение более удобным и эффективным.
11 УМН, т. I I I , вып. 4
162 Л. В. КАНТОРОВИЧ И М. К. ГАВУРИН п
Для получения сумм произведений вида 2 ai^i поступаем по следую- щему плану:
1) Образуем массив перфокарт, состоящий из р частей (/? —макси
мальное число десятичных разрядов в множителях bt). Каждая такая часть содержит призначные данные, соответствующие i, j (/ = 1, 2,. . ., р), множитель аи смещённый на /—-1 колонку вправо, и на некоторой фиксированной колонке X /-й десятичный знак множителя bt.
2) Производится сортировка массива по колонке X с расположением в порядке убывания цифр (9, 8, . . ., 1).
3) Расположенный таким образом массив пропускается через табуля
тор, причём устанавливается контроль по колонке к. В счётчике ог
образуется сумма at. Каждый раз при смене пробивки в колонке X на
копившаяся сумма перебрасывается в счётчик а2 а в счётчике ах нако
пление продолжается. Легко видеть, что после прохождения всех карт
п
на счётчике а2 будет получена сумма S ^ ^ i1) *
i = i
Если требуется вычисление многих сумм произведений вида
п
2 Жк) bt (к — параметр), указанная работа может вестись в нескольких
i - i г
парах счётчиков (до 4 пар) одновременно.
Особенно целесообразно применять этот метод, если требуется вести вычисления с большим числом знаков (до 10 —11).
Указанный метод допускает различные модификации, в частности,
п
применим для вычисления сумм вида 2 а\ ^г ci*
i = l
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] И. Я. А к у ш с к и й , ДАН, Ы Х , № 9, 1948.
1) В случае, если по колонке Я встречаются не все цифры, надо добавить карты с недостающими значениями по этой колонке с нулём на месте а-х.
