А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев, Температурная функция Грина для ани- зотропных сред, Докл. РАН, 1994, том 337, номер 3, 389–392

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев, Температурная функция Грина для ани- зотропных сред, Докл. РАН, 1994, том 337, номер 3, 389–392

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

2 ноября 2022 г., 22:46:18

= ГЕОФИЗИКА = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

УДК 550344

Т Е М П Е Р А Т У Р Н А Я Ф У Н К Ц И Я Г Р И Н А Д Л Я А Н И З О Т Р О П Н Ы Х С Р Е Д

© 1994 г. А. С. Вшивцев, А. В. Татаринцев

Представлено академиком В.А. Магницким 20.11.93 г.

Поступило 25.11.93 г.

1. При изучении вопросов распространения уп­

ругих волн в анизотропных средах наиболее уни­

версальным инструментом, позволяющим конст­

руировать решения волнового уравнения для компонент вектора смещения и,(/>

х

)

с

произволь­

ными начальными и граничными условиями, является динамическая функция Грина G(t, x) [1], удовлетворяющая уравнению

(L)

im

G

mn

(t,x) = -b

in

b(t)b\x). (1) Здесь введен дифференциальный оператор

Э

2 at

зависящий от упругих свойств рассматриваемой среды (с

1;Ы

- абсолютно симметричный тензор модулей упругости 4-го ранга) и ее плотности р.

Правая часть уравнения (1) содержит возму­

щение, создаваемое точечным источником еди­

ничной интенсивности.

Для различных типов сред, не обладающих вырождением, в общем случае существует три волны для произвольного направления распрост­

ранения волнового фронта, задаваемого векто­

ром волновой нормали п = п(а, (3), зависящим от двух углов. Для каждой волны из функции Грина, задаваемой уравнением (1), может быть выделе­

на часть, описывающая распространение волны именно этого типа. Таким образом, становится возможным разделять вклады каждого типа волн в любой физический процесс волновой природы.

Процедура разделения функции Грина по трем реальным волнам описана в работе [2].

Наряду с указанной процедурой представляет большой интерес изучение влияния термализа- ции среды на характеристики распространения волны. Рассмотрение вопросов распространения упругих волн в сплошной среде с ненулевым по­

лем температур осуществляется обычно в рамках уравнений теории термоупругости и соответству­

ющих им термодинамических условиях. Указан­

ный подход является весьма трудоемким. В на­

стоящей работе предлагается развить иной ме­

тод, основанный на построении температурных функций Грина G{t, x, •&), где Ь = кТ, к - постоян­

ная Больцмана, Г - абсолютная температура.

Процедура построения температурной функции Грина была разработана для теории поля в работах Мацубары [3], Боголюбова, Тябликова [4] и др.

2. Исходным выражением для построения тем­

пературной функции G(t, x, •&) является функция Грина в импульсном представлении G(co, k).

В соответствии с результатами работы [2] фу- рье-образ функции Грина может быть разбит (для случая, не содержащего вырождения свойств среды) на слагаемые типа

F„(n)

pG„(co,k) =

aV

(2)

*2v > ) - ( 02

отвечающие аддитивным вкладам каждого типа волн. Значения v

fl

(n), а = 1, 2, 3, соответствуют скоростям волн в среде в направлении, задавае­

мом углами ориентации вектора п, и удовлетво­

ряют уравнению Грина-Кристоффеля:

det(r

i

,-pv

2

5

lt

) = 0, (3) где T

ik

= с^цпр!- тензор Грина-Кристоффеля. Ве­

личина к отвечает абсолютному значению волно­

вого вектора к = пк, а Р

а

(п) - угловая матрица для данного типа волн и среды, которая определяется только углами ориентации единичного вектора п.

Для динамической функции Грина в коорди­

натном представлении задача сводится к вычис­

лению интеграла

где бесконечно малая величина е добавлена для сходимости интеграла по к. Результат интегриро­

вания зависит от способа обхода полюсов подын­

тегрального выражения, который может быть фиксирован с помощью дополнительных началь­

ных условий на функцию Грина. Так, для запаз­

дывающей функции Грина G

ret

(t, x), удовлетворя­

ющей условию G

ret

(t < 0) = 0, контур интегриро­

вания можно выбрать в виде прямой, параллельной действительной оси со, смещенной на величину +/8 —> 0. Замыкание контура в этом случае происходит в верхней полуплоскости для

389

390 ВШИВЦЕВ, ТАТАРИНЦЕВ t < 0 и в нижней для t ^ 0. Результат, полученный

для запаздывающей функции Грина, после интег­

рирования по со будет иметь вид

pG(t,x) = c(t)\-^F(n)e

J ( 2 я )³

d к *,, . /kx- гк sin vkt vk ⁽⁵⁾

Здесь a(t) = ступенчатая функ­

ция Хевисайда (более подробно см. [2]). После ин­

тегрирования по к получим следующее представ­

ление для запаздывающей функции Грина:

- о ( 0 Э rdQ.

— Oil) О tail *

G(t,x) = —±L \--F(n)[8(b_) + Ub+)]

l6nodtJ v3

(6) Здесь b± = t± (nx)/ v - аргументы 5-функции Дира­

ка. Интегрируя (6) по времени, стационарную функцию Грина запишем в виде

G (х) 1 rdQ., „

— - Г — F ( n ) 5 ( n x ) . 8n2pJ v2

(7) Выбирая контур интегрирования по перемен­

ной со, обходящий полюса выражения (2) с раз­

ных сторон, получим причинную функцию Гри­

на, удовлетворяющую условию четности по пере­

менной t. После интегрирования по со (с помощью теории вычетов) и по А: для t > 0 получим

G(t, x) = - 1 д rdQ.. „

J_F(n)5(6J.

1б7С2р dti v3 (8) Используя четность функции G(t, x), для стацио­

нарной функции Грина легко получить выраже­

ние, совпадающее с формулой (7). Указанное сов­

падение отражает тот факт, что для стационар­

ной функции Грина в уравнении (1) должно быть положено d/dt —> 0 и результат не будет зависеть от со.

3. Процедура введения температуры в функ­

цию Грина может быть представлена в виде за­

мены интегрирования по со на суммирование по собственным частотам сол = 2тпЪ (для статисти­

ки Бозе-Эйнштейна) [4]. При этом в процессе ус­

реднения по гиббсовскому распределению ан­

самбля частиц, подчиняющихся статистике Бо­

зе-Эйнштейна, на волновые функции должны быть наложены условия квазипериодичности [7]

/(/ ± /'Р) =f{t), где Р = 1/тЭ- - обратная температура.

С учетом сказанного из (4) в соответствии с рабо­

тами [3, 4] получим

G(x, x, 0 ) - =

= г- — F ( n ) kdke

167i3pJ V { sh [pV*/2]

Формула (9) справедлива для 0 < т < р, т.е. на всем мнимом периоде функции Грина. Заметим, что мы рассматриваем ситуацию, в которой отсутст­

вует вырождение собственных значений мат­

рицы Грина-Кристоффеля. Если же она имеет место, то обобщить результат не представляет особого труда. Произведя вычисления интеграла по к, возвращаемся к действительному времени х -» it, а выражение (9) представим в виде интег­

рала по углам (dQ, = d2n):

G(t, x, d) = - Д - f — F t n ) ! - {iic&cthndb. +

\6n3pJ v3 ot

+ 0 [ y ( l - i f l f c _ ) - V ( l - i f l &+) ] } - (10) В формуле (10) \\i(x) - пси-функция. Используя свойства у-функции, для действительной и мни­

мой частей легко получить

Imv)/(1 + iy) = - — + ^cthny, 1 К

R e y ( l + i » = - Y + / £ „ , 2 2 '

„ = i « ( " +y) что позволяет представить выражение для темпе­

ратурной функции Грина (10) при / > 0 в виде 1 д fdll* i dt, х, fl) = _ | - Г _ F ( n ) { ±- +

IKnnOtJ v3 b_

(9)

1671 p

+ l- ( л й с т л й Ь . - — +7idcthnu£+ - —) +

+ flRe [y(l - I 4 W L ) - \ | / ( 1 - i t o j ] }• ( 1 1 )

Первое слагаемое в формуле (11) соответству­

ет бестемпературному вкладу. Действительно, преобразуя выражение для него по формуле Сохоцкого

- — - = Ti7c8(x) + v.p. ( - )

X±l£ X

и опуская регулярную часть (так как функция Грина определяется с точностью до регулярного решения однородного уравнения (1)), из (11) по­

лучаем при •& -» 0

G(t,x,-&) = G(t,x) + 0(b2).

Отметим, что зависимость -д2 температурного вклада в функцию Грина является характерным свойством G(t, х, Ь) [7, 9].

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 337 № 3 1994

Используя свойства функций F(n) и v(n) для температурной функции Грина, получим в окон­

чательном виде следующее представление G(t, х, 0) =

-

^{1 Э ;}

| ^ ( „ ) Д О _ ) -

\6n2pdtJ v3

nb ^{) } •} (12) Второй член формулы (12) содержит регуляр­

ную зависимость от температуры •& и при ~д —» О убывает ~#2. Для вычисления стационарной температурной функции Грина произведем ин­

тегрирование по времени с учетом четности выражения (12) относительно замены t —» - / . Полученное выражение представим в виде

G (х, Ъ) = 1 8л2р

| — F ( n ) { 5 ( n x ) + — } . (13) Отметим линейную зависимость стационарной функции Грина от температуры.

4. Приведем в качестве иллюстрации вычисле­

ния температурной функции Грина для изотроп­

ной среды. Фурье-образ динамической функции Грина для данного случая можно представить в виде формулы [10, 11]

п п, 5 , — п„п, pGpl(co, k) = " -• " " _{2;2 ,3-}

v^Lk - со

+

^{2 2 2 '}

vTk - рсо

(14) где vL = J(2\i + X) / p , vT = Tjl/p - скорости про­

дольной и поперечной волн в изотропной среде, а

\1,Х- упругие модули Ламэ.

Как следует из структуры выражения (14), для получения функции Грина изотропной среды до­

статочно вычислить вспомогательную величину

d(o

^e

A

- /cor + ikx "pnl

(2ку

^{I2 2 , ^2'}

к v - d ) (15) где параметр v соответствует постоянной скоро­

сти распространения волны, а угловая матрица описывается выражением Рр,(п) = прщ. Динамиче­

ская функция Грина изотропной среды связана с функцией, определенной выражением (15), следу­

ющим образом:

GJt,x) = (G

~ЧЧ pi ^e

A/-G

^Bpi)

,)„

⁼

„+G,

~pl\ v = v, (16) Воспользовавшись общим результатом, пред­

ставленным в виде (12), для функции Qpl получим Q, - 1

pi 16к2р

У<Шп„п,ДО_)-

i(flcthnd&_-

nb_ ^{• ) } •} (17)

Выделим бестемпературную часть функции <2^р;

Gp/ = GP^ = 0) + AGp/(i5),

соответствующую первому слагаемому форму­

лы (17). Используя единичную матрицу и вектор х, представим тензорную структуру функции Qpl

в виде

QP, = (2(1)(5Р, - x^lr3) + QWxpXl/r>.

Здесь Qm и £)(2) - функции, которые необходимо определить. Производя свертку матрицы Qp, с тензорами bph хрх,/г2 и вычисляя соответствую­

щие интегралы по Q для t > 0, легко получить 1 x„x,b{t-r/v)

+ [o(r-

V

г ,* « V

) } • (18) r / v ) - l ] ^ ( 8 „ - 3 -

г г Используя формулы (16), (18), бестемператур­

ную причинную функцию Грина изотропной среды можно выразить в виде

GJt, х) = 1 8лрг хx,b(t-r/vL)

_ХрХ, }5(t-r/v^T)

pi V^T

Г V , Г

r/v^L)-

•a(t-r/vT)]

(19) Выражение (19) совпадает с имеющимися в лите­

ратуре [2, 11]. Вычислим теперь температурный вклад. Производя аналогичные преобразования, получим

AQpl($) = AQ«\5pl - ^ , / r2) + A<2<2V//'-2. (20) где для функций Д£)(1,2) может быть получено представление

Ag(1.2) - ^(1.2)(Г + r / v) _ ^1.2)(, _ r / v. ) (21) через функции ^(1,2)(г), выражающиеся следую­

щим образом:

4°\z)

Sn2pr

(22)

( 2 ) , .

9 (г) _ ^ { 2 / ^ ( г ) + ф F2(z)}.

Sn2pr v

Функции /^(г) и F2(z) зависят от переменной г и температуры Ь:

ч2 * 2 * + 1

1 ' (23) Л(г) = fin ( shrcOz

>-2 ^B

^2k

^(2n$f

z • ** (2Jfe+l)!

k=\

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 337 № з

F2(z) = ndcthn$z-l/z.

Выражения (16), (20) - (23) задают точную за­

висимость функции Грина от температуры Ф.

1994

392 ВШИВЦЕВ, ТАТАРИНЦЕВ Используя формулу (17), получим разложение

Аб(^) Дл я случая •д —> 0:

Ы2

^Р

№ = ^-^[$

²

5

^pl

+0(tf)].

⁽²⁴⁾

В этом случае зависимость самой функции Грина Gpfa, х, Ъ) от температуры будет иметь вид ряда по переменной •&, аналогичный (24):

Gpl{t, х, Ь) = Gpl(t, x) + 36р

_2_

v3/

1 Л

'L )

Ьр1 + 0(Ъ2) (25) при этом бестемпературное слагаемое Gp£t, x) описывается формулой (24). Для стационарной функции Грина изотропной среды

G > , f l ) = GJx) + _plK

блр V (26)

Зависимость от температуры в формуле (26) является точной.

5. В статье разработана процедура введения температурной зависимости в динамическую функцию Грина анизотропной среды, связанная с усреднением по равновесному ансамблю гиббсов- ских частиц. Получено представление для темпе­

ратурной функции Грина (12), имеющее вид инте­

грала по сферическим углам ориентации вектора волновой нормали п. Указанная функция Грина позволяет рассматривать влияние температуры на свойства распространения волн в упругих ани­

зотропных средах на макроуровне.

В качестве иллюстрации проведено вычисле­

ние температурной функции Грина для среды с изотропными характеристиками. В пределе д —> 0 полученная величина совпадает с хорошо извест­

ным выражением для динамической функции Грина [3, 11]. Наличие мнимой части функции

Грина в соответствии с работой [12] приводит (при усреднении микроскопических уравнений) к тому, что в процессе распространения волны в среде с изотропным распределением ориентации кристаллитов будет происходить затухание вол­

ны, связанное с рассеянием энергии волны на температурных осцилляциях гиббсовских частиц.

При этом коэффициент поглощения (рассеяния) энергии волны будет ~д2.

Работа выполнена при частичной финансо­

вой поддержке Международного научного фонда Сороса (№ MR U000).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л Д., Лифшиц ЕМ. Теория упругости. М.:

Наука, 1987. 246 с.

2. Вшивцев А.С., Татаринцев А.В., Чесноков ЕМ. //

ДАН. 1993. Т. 333. № з. С. 385 - 388.

3. Matsubara Т. // Progr. Theor. Phys. 1955. V. 14.

P. 351 -378.

4. Боголюбов Н.Н., Тябликов СВ. // ДАН. 1959.

Т. 126. № 1.С. 53-56.

5. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир, 1970. 304 с.

6. Лифшиц ЕМ., Питаевский Л.П. Статистическая физика. М.: Наука, 1980. Ч. 2. 448 с.

7. Вшивцев А.С., Жуковский В.Ч., Старинец А.О. //

Изв. вузов. 1991. № 7. С. 32 - 40.

8. Соколов АЛ., Иваненко Д.Д. Классическая теория поля. М.: ГИТТЛ, 1951. 500 с.

9. Вшивцев А.С., Лоскутов ЮМ., Скобелев В.В. //

ТМФ. 1990. Т. 84. № 3. С. 372 - 387.

10. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. М.: Недра, 1965. 405 с.

11. Шермергор ТД. Теория упругости микронеодно­

родных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

12. Лифшиц ИМ., Пархомовский Г Д. // ЖЭТФ. 1950.

Т. 20. В. 2. С. 175 - 182.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 337 J* 3 1994