А. А. Карацуба, Среднее значение модуля тригонометриче- ской суммы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1973, том 37, выпуск 6, 1203–1227

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Карацуба, Среднее значение модуля тригонометриче- ской суммы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1973, том 37, выпуск 6, 1203–1227

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:12:08

Серия математическая

37(1973), 1203—1227

УДК 511

А. А. КАРАЦУБА

С Р Е Д Н Е Е З Н А Ч Е Н И Е МОДУЛЯ Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К О Й СУММЫ

Получена упрощенная верхняя граница среднего значения модуля тригонометрической суммы, равномерная по всем параметрам.

В настоящей статье продолжены исследования И. М. Виноградова по оценкам сумм Г. Вейля и их среднего значения, изложенные в моногра­

фии (1). Пусть я, &, Р — натуральные числа и

J=Jk.n(P)=l •'.- f

,2k

^_, mi(aix+...+a„xn)

dat . . . dan. (1)

Интеграл / будем называть интегралом И. М. Виноградова. В (') отно­

сительно величины / доказаны две теоремы: одна из них устанавливает общую верхнюю границу величины /, а другая — ее упрощенную верх­

нюю границу. Там же отмечена роль / в решении ряда проблем теории чисел.

В этой статье мы доказываем следующее основное утверждение (теорема 3), устанавливающее упрощенную верхнюю границу величины /, равномерную по всем параметрам.

Существуют две абсолютные постоянные <:>() и CiX) такие, что при п ^ 2 , Р^ 1 и k^Ciri1 log n имеет место неравенство:

J = JKn(P)^ecnnognp * и (2)

Эта оценка уточняет результат работы автора (2).

При доказательстве основного утверждения нам понадобятся новые, равномерные по всем параметрам, оценки сумм Г. Вейля, которые получе­

ны в главе II. Там же дана новая оценка полных тригонометрических сумм; заметим, что применение известных оценок Хуа Ло-кена не дает возможности получить (2). Для полноты изложения в главе I дано /?-ади- ческое доказательство общей верхней границы величины / — теоремы о среднем значении И. М. Виноградова [см. (1), (3), (5)].

Мы существенно пользуемся идеями, методами и результатами работ (1) - (5) .

О б о з н а ч е н и я . п^2 — целое число; арифметическую природу остальных величин (целочисленность или вещественность) мы не будем особо оговаривать, так как она ясна из текста; буквами 0, 94, . . . обозна­

чаем функции, модуль которых не превосходит 1; J = Jk, n(P) —инте­

грал (1).

ГЛАВА I. ОБЩАЯ ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ИНТЕГРАЛА И. М. ВИНОГРАДОВА

Докажем несколько лемм, которые необходимы для доказательства основного результата этой главы — теоремы 1.

ЛЕММА 1. Обозначим через /ft, n(A,4, . . . , %п) яра некоторых целых

?ч, . . . , Хп число решений следующей системы уравнений:

* 1 + • . . +Xk — X^k+i — .*. —X²k=K

2 , | 9 2 2 л

# l -f- . . . -\- Xk -^/г+l " • • • X2k — ^ 2

n , | n n n л X\ "T • • • ~r Xk ' Xfc+i — . . . Х2/г — Л»л

1 < X^x, . . . , X^2k<P.

(3)

Тогда справедливы соотношения:

а)

Jk,n(kii • • • » ^n) — \ • • • j

р |2/г

_ _ 2jtf(ai*+...+a№*n) -2Ш'((Х1?ч+...+аАг^/г) , f

2J ^ в ас^ . . . аал;

б) </м (^i, . . . , * , „ ) < ' м (0, . . . , 0) = </м (Р) - <Л в) 2 Jk,n(Ky -•., ю=р2 \

г) |M<

> IM<

. •••• \K\<kP

\

. п2+п

д) j = ул§я (Р) > (2fe)"nP 22k- ;

е) вела яабор адгевл я?, . . . , x\k удовлетворяв п сиспеме (3) при Х1^К2•= . . - . . . = Х^ == 0, т о яра любом Л набор ч'лсел х\ + Л, . . . , л4 + Л удовлет­

воряет системе (3) яра А,х = А,2 = . . . — Кп = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При целом X имеем:

j

Пользуясь этим равенством, предварительно возведя модуль подынте­

гральной функции правой части равенства а) в степень 2k, получим утверждение а); б) следует из того, что левая часть неравенства — не­

отрицательное число и модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции; в) следует из того, что левая часть равенства равняется числу всех возможных наборов хи . . . , x2h систе­

мы (3), т. е. Р2Й; г) следует из условий на хи . . . , x2k и равенств (3);

д) следует из в), б) и г); утверждение е) получим, если последовательно подставим в первое, второе и т. д., наконец, последнее уравнение систе­

мы (3) числа х\ + Л , . . . , х\к + Л . Лемма доказана.

ЛЕММА 2 (4). Пусть m ^ l , р — простое, р>п^2, Т — число реше­

ний системы сравнений

(Хг+ + Хп = [хх (mod p)

\х\+ ... +х2п = \i2 (nod p2)

(4)

\х"+ . . . + ^ s f in( . T i o d p " )

acte неизвестные хи..., хп принимают значения целых чисел от А до А + пгрп—1, причем при 1Ф] выполняются условия ХгФх^хпойр), а [Ли • • •, \in— фиксированные числа. Тогда при любых \хи . . . , \in имеет место неравенство

п2-п

T^n\mnp 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если набор чисел хи . . . , хп удовлетворяет системе (4) и х^у^тоАр4), / = 1 , . . . , п, то и набор чисел уи . . . , уп

удовлетворяет (4). Поэтому можно считать А — О. Запишем х^и . . . , х^п в /7-ичной системе счисления:

Xj = Xji -f- pXj2 + . . . + p Xjn -f- p X/n+i >

0 < *j r< / ? , r = l , . . . , n, 0^xjn+i<m, / = 1 , . . . , n.

Из условий на ^ следует, что хн=£хи при / ^ / . Сейчас мы последователь­

но получим необходимые условия, которым должны удовлетворять коор­

динаты решений (4) x^ju x^j2, . . . , x^jn, x^jn+u / = 1 , . . . я . Чтобы набор Jti, . . . , хп был решением (4), необходимо, чтобы

(хи + • • • + ^ni = Hi

Uu + . . . + х"пх = fx2 (--nodp) (5)

Последняя же система имеет не более п\ решений. Действительно, если sb 52, . . . , sn — элементарные симметрические функции величин х1и . . . . . . , хпи то su s2, • • •, sn однозначно определяются величинами JLX±, \I2, • • • . . . , \лп. Пусть f(x)=xn—51xn"1 + . . . + (—\)nsn', если xil9 . . . , *n l удовлет­

воряют (5), то xli9 . . . , *п1—корни сравнения / ( * ) = 0 (mod/?); но число корней последнего сравнения не превосходит я, поэтому число решений (5) не превосходит п\.

Далее, если уже получены необходимые условия на координаты до^

v—1-й включительно, v ^ f t , рассмотрим систему [х[ + . . . +Хп = Vv

(-nod/)*)

U?+ . . . +Xn = \l

и п у с т ь

XH + pXj2 + .. .+pv-2Xjx-l = Ujv-u

тогда

Xj ~ щ„-^х + p^x^iv (mod p% j = 1, . . . , ⁿ, x] ~ i/fv.x + rp^u'jv-iXjv (mod pv), r = v, . . . , /2, причем

tt[v-i'+ . . . + M^V-I = Mr (modp^1), r = v, . . . , /<•.

Поэтому для x,v, / = 1 , . . . , n, получаем систему:

(

^ I V - I - ^ I V ~ r • • • t " Unv-iXnv =~ \iv

(modp)

UiV-iXiV -f~ • • • ~t~ Unv-iXnv ЕЕ [1/^.

Так как v ^ 2 , Kiv-i = *ji(modp), / = 1 , . . . , n, то найдется п—v+1 чисел Mjv-! таких, что wi v-i#0 (modp) и ^ v ^ ^ v . ^ m o d / ? ) , хф]* Выбирая v—1 соответствующих координат xjv произвольным образом, остальные п—v+1 определим из последней системы однозначно, т. е. число решений этой системы не более pv_1, v = 2, 3, . . . , п. Координаты xjn+l могут быть любыми. Таким образом,

п2-п

Г < я1р . . . рп^тп = п\тпр 2 . Лемма доказана.

С л е д с т в и е . Пусть неизвестные хи ..., хп удовлетворяют условиям леммы 2 и меняются в пределах от А до А + Р. Тогда соответствующее число Т решений системы (4) не превосходит

пг-п

n\mnp 2 , где

т = =[ Рр- ] + 1 .

ЛЕММА 3. Пусть я > 2 , Р>(2д)^ЗАг, со> —, причем со таково, чпо на интервале

i_ i_

(_L_ p\pn) (6)

есть простое число. Тогда при k^n2 + n выполняется неравенство

2k ЗП-5

J = / м (P) < ЖгпР~ + "/ft-n.n (Рх), где

Р " < Рх< ( 1 + 2 ( о ) Р " .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем простое число р из интервала (6) и положим

pi==[Pp-i]+L

Тогда Pip>P и, следовательно,

h.n(P)^Jk,n(PtP).

Очевидно, что 4 , Л Л р ) —число решений следующей системы уравнений:

(Xi + pyt) +...+ (Хк + рук) = (Хьн + РУън) +• ••+(Х2к + РУ2н)

(xi + pyi)2+...+ (xh+pyh)2=(xk+l+pyk+1)z + ...+ (x2h+py2k)2

{ {xi + pyi)n+...+ {xh+pyh)n={xh+l+pyh+iy + ...+ {Xzh+py2hy (7)

Все решения последней системы разобъем на два класса: к первому классу отнесем те решения хи уи . . . , хгъ y2h, у которых и среди набора чисел хи . . . , хк и среди набора чисел xh+u . . . , x2k есть п различных; ко второму классу отнесем все остальные решения. Обозначая через А число решений системы (7) первого класса, а через /2—число решений

системы (7) второго класса, найдем:

Оценим величину Jv Так как п предметов можно С1 способами разместить на k местах, то Jx не превосходит (CffiJu где j[ — число решений системы (7) при условии, что хг, . . . , хп попарно различны и Xk+ъ • • • > *л+« попарно различны, а остальные переменные—произвольные.

Запишем j[ в виде интеграла. Пусть

/(*) = а1х+ . . . +апхп,

Тогда

y ; _ j . . . j

Pl-1

S(x)= 2 е2Л{Нх+РУК

2 S(x

) ... S(x

)[^]S(x)

k-n

dax dan

где в кратной сумме под знаком интеграла числа хи . личные, положительные и не превосходят р. Так как

2

<*)

ik-m

<P2^-2"-I2 \s(x) ^\2k-2tl

TO

хп попарно раз-

j[ < fFk-*nfu

где

2

ISMf'^doL . . . dan.

Последний интеграл равен (при некотором х) числу решений следующей системы уравнений:

( (Xl + P!fl)+ ••• + (Хп + РУп) + {X + РУп+i) + . . . +(x+ptjk) = I = (Xk+i + РУк+i) + . . • + (Xk+n + РУк+п) + (Х+ РУк+n+i) + . . . + (* + РУ*к)

(Xl + РУ1)² + • . • +{Хп + РУпТ + (Х + РУп⁺1? + ... +(Х + py^kf =

= (X^k+1 +py^k+if + . . . + (X^k+n + РУк+nf +{Х + РУк+nnf + • • • Г (х+РУ2к)²

I (*1 + РУг)П+ . ^ +(Хп+ РУпТ + (X + руп+г)П + • • • + (X + РУк)П - [ = (**+i + РУк+х)п+ •.. + (**+п + Р^+л)" + (* + РУк+п+1)п+- •. + {х+РУ&Т где 1 =^#j^p, 0^r/j<^Pi, / = 1, . . . , 2fe, и числа лгь . . . , хп попарно различ­

ные (так же, как и числа хк+П9 .. ., хк+п). Пользуясь леммой 1, е), за­

меним последнюю систему эквивалентной:

( (Хх — X + РУх) + . . . + (Хп — X + РУп) — (Xk+i —X + pyk+i) — . . . — I — (Xk+n — X + РУк+п) = Р (Уп+1 + • • • Л- У к — Ук+n+l — . . . — fe)

I fo — Л: +- ругУ + . . . + {хп — А: + р#„)2 — {xk+1 — * -f pyk^f — ... —

] — (**+/! — X 4- pt/л+п)2 = P2 (#л+1 + • • • + У1 — yl+n+x — . . . — yl/г), (*! — x + ру^х)^п + . . . + (xⁿ — x -r p#ⁿ)" — (**⁺¹ — дс + p^+i)" — . . . — I — (**+„ — X + РУк+п)П = P" (j/JJ+i + . . . T yt — Ук+n+i — . . . — #&)

Если скобки в правой части равенств принимают любые допустимые зна­

чения, то система уравнений относительно неизвестных, стоящих в левой части, обратится в систему сравнений, соответственно, по модулям р, р2, . . . , рп\ но при любых фиксированных значениях скобок в правой

части число наборов уп+и . . . , yh9 yh+n+i9 ..., ум, при которых могут полу­

чится эти значения, не превосходит (по лемме 1, Ь)) величины

* h-n, n ( - * i ) •

Фиксируя еще xfc+1, yk+u • ., xh+n, yk+n, мы получаем, что величины Xi+pyu . . . , хп+руп удовлетворяют системе сравнений леммы 2 (см. след­

ствие) и, следовательно, обозначая m=[P1p_ n + 1]+l, найдем:

п2-п

A<rAm«p~(P1p)nJk-nAP&

j[ = max f . . . f

1 < * < P

У] Sfo) ... S(*„)

I xlt...xn

Отсюда уже находим:

пг-п

^<((%?р*-*пп\т«р 2 {PtffJk-nAPi)-

Оценим величину /2. Очевидно, что /2 не превосходит числа решений системы уравнений (7) при условии, что среди чисел хи . . . ,xh только п—1 различных, а остальные неизвестные — произвольные. Наборов хи . . . , хк чисел Xj=l, . . . , р, / = , 1 , . . . , к, в которых п—1 чисел различны,

ке более, чем n^hpⁿ~^Y (п—1 чисел выбираются произвольно и размещают­

ся на k местах). Поэтому если xif . . . , x2k принадлежат второму классу, то будем иметь:

X X

J г = j • • • j 2 S fa) • • • S fa) S(xk+i) .. . S (x2k) dax . . . dan <

0 0 Xi, •••X2k

< „ y ^ - i j" . . . j 2 I 5 (x) f* cfax . . . da„ < nkpk+«Jk,n (Px)

0 0 * = 1

(мы воспользовались, перейдя предварительно к модулю слагаемых в подынтегральном выражении, тем, что среднее геометрическое неотри­

цательных чисел не превосходит их среднего арифметического, и лем­

мой 1, е)). Так как

Jk,n(Pl)<PUk-n,n(Pl),

ТО

Ji<n*lfi*»P?Jb-nAPl)' Из оценок величин /4 и /2 получаем оценку:

/ < Я / * - я , » ( Л ) , где

2fc-2«+

В = (Clf n\m*p 2 (Р^)" + nkpk+nPT-

Осталось упростить В. Из определения р, Pj и оценки Р снизу имеем:

Р " < P1 = [Pp-i] + l < ( l + o ) P " + 1 < ( 1 + 2со)Р ", PlP < Р + р < Р(1 -Ь (2яГ), (Р^)" < Р" (1 + (2пГ)п < 2Р\

щп = ([Ptfprn] + 1)" < 2"+1Р>-"2. Поэтому получаем:

пг-п . • пЧьп ik , ъп-ь

2Й-2П+ пП+2Ь2П л и 2 * - — - ОП+2А2И — + —

(Cj?)2«!m"p 2 (РгР)п < ^—Ргпр 2 <1- ^L-p <

2& ЗГС-5

< 8 / Г Р ~+ _ Т~ . (8)

Кроме того,

nkPTpk+n < \nkPmpk~n < AnkPn " ". (9)

k

— +2П-1

Но из того, что k^n2 + n, P^(2n)3n, следует неравенство

2k ЗП-Ь k

— + . — +2ГС-1

к2ПрП 2 > 4Л * РП . (Ю)

Из определения Б и оценок (8), (9) и (10) следует утверждение леммы.

ТЕОРЕМА 1. Пусть л > 2 , со> —, г ричем со таково, что при любом п

(

ЗЯ ( 1+

* /2-1

2Л — + От

J = ум (P) < (9fe2n )T (1 + 2co)2ftTP 2

где

^-^С-т)'-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство будем проводить методом ма­

тематической индукции по т. При т = 0 утверждение теоремы тривиально.

Пусть ra^l; предполагая верность утверждения для т ^ т , докажем его при %=т+\.

Итак, пусть k^n2 + n(m+l),

I 1 \tn+l ЗП 1+

Р > ( 2 п ) 1 ^ ^ .

Применим к оценке / лемму 3 (очевидно, что все условия этой леммы выполняются):

2k ЗП-Ь

J = J^Kn (P) < 9k^ZnP^{n + 2} Jk-n,n (Pi), где

Р " < P i < ( l + 2co)P "•

Теперь к Jh.n.n(Pi) можно применить предположения индукции, так как k — n>n2 + nm, P ! > ( 2 n )

с ¹ \^т

Получаем:

y = yM(P)<(9fe*n)M+1P" 2 о + 2 ® ) * ^ 2 <

ft "Л* д

< (9km )m+1 (1 + 2(o)2ft(m+1)P2 ~

Тем самым утверждение теоремы доказано при любом т ^ О . Следующие две леммы будут нужны при оценках тригонометрических сумм (см.

гл. II).

ЛЕММА 4. Пусть n ^ 8 0 , k^An2 log я, Р > 1 . Тогда

. п2+п 1 2k- • + —

J^J^kn(P)^^ebl2n40gnp 2 10^e

Д о к а з а т е л ь с т в о . Известно, что при х^ 55 [см. (2) ]

<Jt(jc)

log x + 2 log x — 4

Отсюда легко получить, чти при Q > 8я3, ш = на каждом из интерва-

logn

лов ( Q, Q) есть простое число. Следовательно, при k^n2 + пху т > 0 ,

\1 + а> /

Р > (2/i)

/ 1 \Т

по теореме 1

Jk,n(P)<(9km)x(\i- - 2 _ ) Р

\ log /г /

8 \2*t n 2* - " T + ut

Ъ = !*±Л(1-±)\

где

Отг = —

2

Возьмем T0=[2nlogn]-}-4n'^2nlogn-t-4n—1. Тогда будем иметь:

2 \ л / 10

Следовательно, при &0 = я2 + яТо

^п(Р)<(9кГГ(1

1-Г°Р

\ log л /

. . п2+/г 1

8 \2^ ° „2*- ~ Г + То

если только

Р > ( 2 д ) Л я" ^ .

Оценивая коэффициент, зависящий от я, легко найдем:

, п2+п 1_

Jk⁰,n(P)<e^^S^ⁿp²" ^{2 +1}° Б, следовательно, при любом k^k0

Докажем теперь, что (11) имеет место и при

1 \ Т0

Р<(2п) Будем предполагать, 4TG

1024ft3log/l

P > en 2 + n- ° ' \

так как в противном случае (И) очевидно. Возьмем со = —— , хл == (п — 1) log со.

Тогда

. 1024n3logn .

со > > в, 3/2 (п2+ п - 0,2) log 2n ^ т1 = (я — l ) l o g © > l и, кроме того,

3 / г

(

~~г) °

'

Далее, из определения со и т4 следует:

ЗМ ( 1+

(2л) l п~х) <(2/i)3mD = P.

Итак, к оценке /^{ft> n} (Р) можно применить (11) с k"^n* + nxu следова­

тельно, (11) имеет место при k^n2 + nx0 = k0 и любом Р ^ 1 . Так как k0^.4n2 log n, то тем самым утверждение леммы доказано.

С л е д с т в и е . Существует абсолютная постоянная с>0 такая, что при k^4n2 log п, Р ^ 1, п^2

. п2+п 1_

J = уЛ§я ( Р ) < tfnnognp 2 +i0>

При / г ^ 8 0 мы это уже доказали; при 2 ^ п < 8 0 это сразу следует из теоремы 1.

ЛЕММА 5. Пусть q^u q², . . . , qⁿ —произвольные натуральные числа, не превосходящие Р. Обозначим через Nkt п = Мкг n (P; qu q^ • • •, Яп) число решений следующей системы сравнений:

(хх + . . . + xk = Xk+i + . . . + x2k (mod qx) x*+ . . . +jcl = xl+i+ ••• + ^ ( , T i o J ^2)

(12) 1 xnx + . . . + xnk = 4+i + . . . + A (Tioi^)

l < xy< P , / = 1, . . . , 2k.

Тогда существует абсолютная постоянная с>0 такая, что при jk^An2 log n имеет место неравенство

Nk,n < еспЧ^рк+ То (?1 . .. qn) -1. (13) Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать (13) для k^.5n2 log я,

так как при k'^ki Nh}U^:P2hiNk-hun. Система сравнений (12) эквива­

лентна следующей системе уравнений:

Хх + . . . + Xk = Xk+i + • • • + X2k + ^х?!

А + • • • + 4 = 4+1 + . .. + д& + А,272

/г , , /2 п , , я , л л

Xi -f- . . . + ЛГ/г = X£+i -f- . . . -f- *2& + А^/г

1 < * / < P , / = 1, . . . , 26,

\К\<kPq;\ \К\<kP%\ . . . , | К | < * Р V -

Применяя обозначения леммы 1 и утверждение б) этой леммы, найдем:

п2+п

Nk,ⁿ = 2 • • • 2 '*.» (^<7i. • • •, М » ) < (3*)"?"*" ( < / ! . . . <7»)-V^ft.„ (P).

Так как k^4n2 log /г, то для оценки /ft> n (Р) применим следствие лем­

мы 4. Пользуясь тем, что k^5n2 log n, найдем:

k i-

NKn<^^P+1\qi . . . qn)-\

где c > 0 — абсолютная постоянная. Лемма доказана.

ГЛАВА II. ОЦЕНКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

В этой главе получены оценки тригонометрических сумм, которые по­

надобятся при доказательстве основной теоремы.

Леммы 6, 7, 8 взяты из (*) и формулируются без доказательств. Раз­

биение точек я-мерного пространства на точки первого и второго классов

^(см. ниже) несколько иное, чем в (*).

ЛЕММА 6. Пусть f(x) в интервале М<х^М'—вещественная диф­

ференцируемая функция, причем внутри интервала ее производная f'(x) монотонна и знакопостоянна и при постоянном б с условием 0 < 6 < 1 удовлетворяет неравенству \f'{x) | ^ б . Тогда имеем:

2 е™1^ = Г gajtf/w dx + 8 ( з + - ^ Ц .

ЛЕММА 7. Пусть ф(дс) =ипхп + . . . +uix9 где ип, . . ., щ— веществен­

ные числа, u = max (\un\, . . . , \щ\). Тогда для интеграла

1

справедливо неравенство

1

| / | < m i n ( l , 62да~я).

ЛЕММА 8. Пусть Р^пп\ f(x)=anxn + . . . +а4х, где ап, . . . , а,—

вещественные и каждому целому числу у отвечает своя точка (Уп-ь • • • . . . , У4), определяемая разложением

f(x + y)-f(y) = anx« + Yn-lx"-l+ . . . +Y±x

многочлена f{x-\-y)—f(y) по степеням х. Каждому s = n, , 2 приведем в соответствие свое число ^{TS = PS~0 , 5,} причем (что всегда возможно) а*.

представим в виде

as = — + ——, (fls. qs) = l, о < (/s < ts,

а символом Q0 обозначим общее наименьшее кратное чисел qn, . . . , gv Пусть G — число тех из точек, отвечающих числам у ряда О, . . . , Р—Ц которые путем добавления к их координатам чисел, численно не превос- ходящих соответственно

т _ p - n + i т _ p - i

могут быть сделаны сравнимыми по mod 1 с точкой, отвечающей какому- либо определенному числу у0 того же ряда. Тогда будем иметь:

]__ 2_ 1 2_

ЬП „„ ЛЧ, п ^ D2 ьп

G < л"-*Р' 5", есл« Q0 > Р2

>

L L

) 2 "~5Я

G<n^-2PQo\ если Q0<P2

ЛЕММА 9. Пусть q^u . . . , qⁿ— натуральные числа, Q — общее наи­

меньшее кратное этих чисел, (аи qi)= . . . = (ап, qn) = \ и

Тогда существуют абсолютные постоянные с4>0 и с2>0 такие, что

| S | < ^ Q пЧоёП.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем предполагать, что Q > en\ так как в про­

тивном случае утверждение леммы тривиально. При k^l имеем:

|si

*<—^— 51

1 j <f(Q) S i

(y,Q)=i

агУ . «/i«r

2 ^е

2 *

где через V (Яь . . . , %п) обозначено число решений следующей системы сравнений:

, yEEzXi ( m o d q{)

[yn=Kn(mod qn)

Ввиду того, что у взаимно просты с Q, то и К1у . . . , Хп взаимно просты с Q, и так как Q — обдее наименьшее кратное qL> . . . , qn, то (\it qx) = . . . . . . — (Хп, qn) = 1. Пусть Q = pi1 . . . pss — каноническое разложение Q на простые сомножители. Тогда при лобэм / = 1, . . . , s найдется qj, равное одному из qv . . . , qn и такое, что q] кратно pf y. Через d[ обозначим произ­

ведение всех pj^J\ которые делят q^v а если таких |нет, то [полагаем d^x = 1;

через d2 обозначим произведение всех pj;, которые делят q2, но не делят ql%

а если таких нет, то полагаем d2 = 1 и так далее, и, наконец, через dn обоз- начим произведение всех р / , которые делят qn, но не делят qx, .. ., qn-u

а если таких нет, то полагаем dn = 1. Очевидно, что Q=d[ . . . d'n, (di d)) = 1, i =f /.

Отбрасывая d/, равные 1 в этом представлении, получаем:

Q = dx . . . dn r < я, (d,, d7) = 1, i =£ /,

и среди qx, . . . , g„ найдется г таких чисел q^, . . . , qif, что ^ делится на dl9..., <^г делится на dr. Поэтому V (кх, . . . , А,л) не презосходит числа решений такой системы сравнений:

(у** = Xit (mod dx) ( ^ = ^,r(moddr)

Ky<Q, (y,Q)=l.

Записывая у в виде

# = Qi#i +- . . . + Qrf/г, Q = Q/4 К й < й, (#/, d/) = 1, i = 1, • • •, r, получаем систему

f г/11 = ^ (mod dx)

1 ^ = \xr (mod dr) (J5)

1 < / /1< d1, (^, dx) - 1, . . . , 1 < ^ < dr, (yn d,) = 1.

Рассмотрим одно сравнение этой системы:

ут = |х (mod d) l < y < d , (у, d ) = l .

Если d = р?¹ . . . р/' — каноническое разложение d на простые сомножители, то наше сравнение эквивалентно такой системе сравнений:

^ E E ^ x T L O d p / ) ,

(16) 1 < < / / < р Д (#, Р / ) = 1 , / = 1 , . . . , / .

Но каждое из написанных сравнений имеет не более т^п решений, т. е.

вся система (16) имеет не более п1 решений. Обозначая через x(d) число простых сомножителей d, находим, что система (15) имеет не более чем

x(di)+—+n(d^r)

решений. Но к (d4) + . . . + х (dr) = x ( Q ) . Таким образом,

Из полученной оценки и (14), употребляя обозначения леммы 5, найдем:

\Sf< (cp (Q))-1 n^q± . . . qnNKn (Q; qv . . . , qn).

Пусть теперь & = [4/г2 l o g n ] + l ; применяя оценку леммы 5, получаем:

2k+

h

|S|afc<(9(Q)r1/iMW)ecnalc«nQ Но известно, что

- 4 - = О (log log Q),

¥ (Q)

x ( Q ) < l , 0 1 tlQfQn , если Q > Q0.

log log Q

Так как Q>en\ то при Q ^ Q0

log/г 1,01 ;

nx(Q) ^ e*(Q)\ogn ^ Q1 , U i log log Q ^ Q0,337^

Следовательно, при Q^QQ

isr</

V

"\

;>o.

Отсюда уже следует утверждение леммы.

ЛЕММА 10. Пусть npus = 2, . . ., п

а вещественные числа as представлены в виде

а^1Г + ^> {as,qs)^\, 0 < < 7 s < *s, | в8| < 1 .

Предположим, чпо общее наименьшее крапное Q0 чисел q2, . . ., qn удовлет-

1 2_

воряет условию Q0 ^> Р2 ъп. Тогда существуют абсолютные постоянные C j > 0 и с2^>0 такие, что

2

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем предполагать, что Р^>пп\ так как в про­

тивном случае лемма очевидна. Пусть

J 1

1 х 1 -

Г - [ Р п2] < Р п2

Тогда

р Р У Р 1

у e2ni(a1x+...+anxn) _ .у , J N - 1 у у , ^2Я1{а1(х+1/)+...+ая(А:+1/)"} , 20р1 _й"2 # (J 7 )

* = 1 г/=о л:=1

Обозначая кратную сумму последнего равенства буквой W, найдем:

\W\<(Y + irl%

= (к+ 1Г2

1/=0

2

гго'{ а!(д:+г/)+...+ал (*+г/)л

2rt{Ylx+...+Yn_1xn-1+anx«}

где У1 = У1(^), . . . , Уп_1 = Уп_1(г/) определяются, как в лемме 8. Пусть теперь

-п+1-

Тогда

Г' — Р п* Г' — Р "2 I T I K ^ I , . . . , | T / I - I | < ^ - I -

Следовательно, .

2 Серия математическая, № 6

у 2Я/{(К1+у1и+...+(5/я_1-(-7Аг_1)^г-1+а^*"}

* = 1

(18)

+ 2лпР п\

Возведем теперь обе части этого неравенства в степень 2k, k^l:

|0,5^|

<(У + 1Г

2

+

+ (2nnP~n2)2k.

Интегрируя последнее неравенство по области (18), найдем:

0,5 W X\2k я <{Y + 1Г2"-1 (Lx . . . Ln-i^G x

J-I

₂

2k

K\2k

dax. .. dan-г + (2mP r ) , где G — максимальная кратность пересечения областей У^Л-уи

. . . , }'„_! +Yn-i. По лемме 8

G<n2*-2P2 +ъп.

Возьмем k=[4n2 log n] + 1 и применим к оценке кратного интеграла следствие леммы 4 (с заменой п на я—1). Тогда

1 П2~П 1 1 2 П г)2 5Я gcnHognp

ь ^{п п} L

"" 2 10

|0,5№|2* < 2n"1/ i2 MP Л*Р

Из этого неравенства, определения k и (17) следует утверждение леммы.

Введем определение, которым будем пользоваться в этой и следую­

щей главах.

О п р е д е л е н и е . Точки п-мерного пространства при некотором Р^\ разобьем на два класса. К первому классу отнесем каждую точку вида

'а+ + г1у . . . , - + z„) ,

Яг Яп )

где первые слагаемые — рациональные несократимые дроби с положи­

тельными знаменателями, имеющими общим наименьшим кратным чи­

сло Q, не превосходящее Р02, вторые же слагаемые удовлетворяют ус­

ловию

1

| 2s| < P "S + ;\ S = l, . . . ,П.

Ко второму классу отнесем все остальные точки.

ТЕОРЕМА 2. Пусть

р

Т = Т{а

, ... , « = уе

27ti(aiX+. .+anxn)

Существуют абсолютные постоянные с^О и с2>0 такие, что если ось . . . , ап— точка второго класса, то

Г2

\Т\< е^Р ^n2\ogn

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем доказывать теорему при Р>пп\ так как в противном случае она очевидна. При 5 = 1 , . . . , п положим

и каждое a^s представим в виде

as = . — + 2S, (as, qs)=*l, О < qs < ts, 1zs | < . Общее наименьшее кратное чисел q2, . . . , ^п обозначим символом Q0.

1 2

Если Q0^P2 ьп, то утверждение теоремы следует из леммы 8. Пусть

1 2

теперь Q0 < Р2 5,г. Преобразуем нашу сумму Т, сдеязв замену переменной суммирования вида

где ц пробегает значения 1, . . . , Q0, а g при заданном г] пробегает целые числа интервала

Qo ~ Qo Тогда получим:

где

QQ 2Л/ — Т1+...+ — Г]'2

Т]=1

ira | z^tT i + ^ - ^ - + 2 ^⁰] | + 2²( д⁰1⁺т 1 )²+ . . . + ^ ( < 5⁰1 + г 1 ) ^ |

причем a j обозначает наименьший по абсолютной величине вычет числа

#iQo по модулю ^!. Далее, имеем:

тЛ~ + "iQo) § + *.(QoS + л)" + . •. + MQ0£ + Л)л

< { + 2т? PQ

+... + /rtfP-Чг = { + * ± 5 Q

P-

-

< 1 .

Разбивая сумму И^ на не более чем 2/г сумм и применяя к каждой такой сумме лемму 6, найдем:

Q° 2я/1 «1Л+ (-т- +2iQo/1+22((?о1+л)2+...+2л(ед+'п)п f

№л= С е l w* У } dl+l20nQv

_ JL

Qo

2*

или, после замены переменной интегрирования,

№ti = PQo1#+ 120 лОь

где

= ( е М.

я - J

Пусть а^ = 0 , т. е. Q0 не делится на qu Тогда коэффициент при первой степени t в Н по абсолютной величине больше, чем

1 Q0 \ Р Р ^ Р5"

Применяя лемму 7, найдем:

2_ 1 2

Я < 62п(-Р5 / гУ " < 12АпР~ъ"2

и, следовательно, в этом случае теорема справедлива. Пусть ах = 0, т. е. Q0

делится на qv Тогда

Т = UV + 120n6Q0,

Qo 2JTM — Т ] + . . . + К\П

Qo *n=i

0

где

6, = ^ , . . . , 6„ = znP", 60 = max (16,1, . . . . |8»|).

Теперь применим лемму 5 для оценки U и лемму 7 для оценки V (если бо>1):

IТ К Р min (1, б^ ") e4"Q„ "2l0g" + 120 «Р0-5.

1_ *

Если Q0^P0,2 или 80> Р " , то утверждение теоремы следует из полу^еннол

1

оценки. Если же Q0 < Р0'2, 60 < Р", то ввиду того, что Q0 делится на ди

получаем:

1

Q < Q0< P0 , 2. о0< Р \

т. е. это есть случай точек первого класса. Теорема полностью доказана.

ГЛАВА III. УПРОЩЕННАЯ ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ИНТЕГРАЛА И. М. ВИНОГРАДОВА

В этой главе доказывается основная теорема статьи — теорема 3.

ТЕОРЕМА 3. Существуют две абсолютные постоянные с>§ и с{>0 такие, что при п^2, Р^\ и k^c^2 log n справедливо неравенство

J = jK n (P) < ecnnognp

пЧп

2

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем предполагать, что Р^пШп, так как в противном случае теорема очевидна. По определению

М-1

2

Так как подынтегральная функция периодична по аь . . . , ап с периодом 1, то / равен интегралу от той же функции по области

1 1 , i + — -1+ —

— •Р " < а 1 < - Р " + 1 , . . . , _ р " < а „ < _ р «+i . Разобьем эту область на области первого и второго классов. Областью пер­

вого класса, отвечающей точке |—, . . . , — ], назовем область вида

1 -1+ —

£ i _ p " ^а±<^ + Р \ . . . ,

Яг Яг

1 1

а -п+— а ~п+ —

- i - P n< ( x „ < - ^ - + P \

Яп Яп

где <7Ь . . . , qn — натуральные числа, 0 ^ а1< ?1, . . . , 0^an<qn, (ai9 qx) =

= . . . = (ani qn) = 1, причем общее наименьшее кратное Q чисел qu . . . , qn

не превосходит Р°>2. Область, которая останется после выделения обла­

стей первого класса, назовем областью второго класса. Заметим, что если точка (аи . . . , ап) принадлежит области первого (соответственно, второго) класса, то она является точкой первого (соответственно, второ­

го) класса (см. определение).

Области первого класса не пересекаются. Действительно, если Уг и V2 — области первого класса, отвечающие точкам ~ , . . . , ~ | и [ — , . . . , — )

\* Ч W «J