Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. И. Вишик, Задача Коши для уравнений с операторны- ми коэффициентами, смешанная краевая задача для си- стем дифференциальных уравнений и приближенный ме- тод их решения, Матем. сб. , 1956, том 39(81), номер 1, 51–
148
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 01:20:02
Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для [систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их
решения
М. И. Вишик (Москва)
Настоящая работа посвящена изучению задачи Коши и смешанных краевых задач. В ней подробно излагаются и развиваются результаты, опубликованные в наших заметках [3], [4], [5].
В §§ 2—4 рассматривается задача Коши для дифференциального урав
нения
Lu = A(t)%£+B(t)%+C(t)u = h(t) (1) в гильбертовом пространстве Н\ A(t), B(t), C(t) — действующие вН
операторы, вообще говоря, неограниченные, зависящие от времени; u(t), h(t) — функции от t со значениями в Н. Задача Коши для уравнения (1) состоит, как известно, в нахождении решения u(t) этого уравнения удовлетворяющего начальным условиям:
da
— Щ, -17 = ux (u0> & i € / / ) . (2) В § 2 выделены некоторые классы уравнений (1), для которых задача
Коши (1)—(2) в определенном смысле корректна, доказаны теоремы су
ществования и единственности решения этой задачи, а также рассмотрен вопрос о непрерывной [зависимости решения от правой части Л и от начальных условий и0, иг. Далее, изучаются дифференциальные свойства по t решений u(t) и применяется аналог метода Галеркина для прибли
женного решения задачи. Аналогичное исследование проведено и для некоторых классов уравнений первого порядка по t. В изученные классы уравнений входят, в частности, уравнения следующего вида:
а) -т-у — A (t)u = h(t), где A(t) — при каждом t полуограниченный снизу самосопряженный оператор;
б) B(t)-j£ — A(t)u = h(t), где оператор A(t) «подчинен» оператору B{t) (см. § 2);
в) уравнение Шредингера - ^ — iA (t) a = h (t), в котором самосопря
женный оператор A (t) зависит от t;
г) ^ — (A (t) + iB (tj) u = h(t), где A(t), В (t) — самосопряженные операторы, причем A(t) полуограничен снизу (A(t) + iB(t) имеет, сле
довательно, структуру сильно эллиптических операторов [6]).
4 *
Для уравнения -гт + Аи = h, рассматриваемого в пространстве типа Банаха, начальная задача исследована методом полугрупп в работах Хилла [23], а в случае оператора А, зависящего от t, —в работах Т. Като [16] и Иосида [24], [25]*. В том случае, когда в качестве пространства Банаха взято гильбертово пространство, ограничения, налагаемые в статье [16], более стеснительны, чем те; которые приведены в настоящей работе.
К задаче Коши вида (1), (2) приводится так называемая смешанная краевая задача в цилиндрической области Q = Z ) x ( 0 < 4 < / ) , D а Е{п\ для систем дифференциальных уравнений вида
и=л*(х. t,±у-^й + в
г,(
х, 1.1)^> + с,(*. *. £).(,. t) -
= h(x,t), (3) rj\eu=(u1(x, t),... ,uN(x, t)),h = (hxixj),... \HN(x, t)),x = (xl9... ,xn);
Am', Br', Cs> — дифференциальные операторы соответственно поряд
ков m', r\ s' с коэффициентами, зависящими от х и t. Смешанная краевая задача для системы уравнений (3) состоит в нахождении решения этой системы, удовлетворяющего заданным начальным условиям (2) (где и0 = и0 (Л:), их = и± (х)) и, например, однородным граничным условиям вида:
= 0 ( 1 < 4 < я ) , (4)
дХ: . . . ОХ: . - ix £Х—1 ь
где X = j m a x (m\ г', s'), причем max (m\ r', s') — четное число; Б — 1
боковая поверхность цилиндра Q. Задача (3), (2), (4) сводится к начальной задаче для уравнения (1) следующим образом: операторы Am'lx, t, j - \ ВГ' (x, t, -т-J, Cs>(x, t, j - ) , определенные на многообразии Qjr всех функций u(x,t), к которым применим оператор L и которые удовлетворяют граничным условиям (4), можно рассматривать как опера
торы A(t), B(t), C(t), зависящие от t и действующие в некотором функ
циональном пространстве, a u(x,t) и h(x,t) при каждом t — как эле
менты и (t), h (t) этого функционального пространства. Таким образом, задача (3), (2), (4) приводится к задаче (1), (2), причем вместо граничных условий (4) теперь указана область определения Qi всего оператора L (которая, как сказано выше, состоит из функций, удовлетворяющих гра
ничным условиям (4)).
Изучаемые системы вида (3) в том случае, когда коэффициент Ат> = Е, охватывают некоторые важные подклассы систем уравнений, параболиче
ских и гиперболических в смысле И. Г. Петровского [20]; в частности, охвачен случай общего гиперболического уравнения второго порядка.
* Некоторое обобщение доказанной нами в [3] теоремы о разрешимости начальной задачи для таких уравнений дано Лионом [19].
Кроме того, в рассматриваемые классы уравнений входят системы, у которых коэффициент Ащ', стоящий при -т-2 , является дифференциальным оператором (к последнему типу относится, например, уравнение, изученное С. Л. Со
болевым в [21] и С. А. Гальперном в [11] и [Па]). Отметим, что для таких систем уравнений вторая производная по t от решения задачи (-Л) непрерывно зависит от правой части h (x, t), если порядок оператора Ат—максимальный (в уравнении (3)); в противном случае такой не
прерывной зависимости нет. Поэтому в § 2 и в § 5 отдельно рассматри
ваются эти два случая.
Для случая общего гиперболического уравнения второго порядка сме
шанную краевую задачу подробно исследовала О. А. Ладыженская в [17].
В ее работе [18] для параболического и гиперболического уравнений разрешимость и единственность решения смешанной краевой задачи уста
новлены методом априорных оценок и при помощи замыкания опера
тора, отвечающего задаче, в соответствующих метриках. Этот же метод применен ею при изучении некоторых классов операторных уравне
ний [18а].
Изучение указанных выше задач можно разбить на три этапа.
I. В § 2 и § 5 для довольно широких классов операторных уравне
ний (1) и систем дифференциальных уравнений (3) доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши, соответственно смешанной задачи, а также приведены оценки, указывающие на характер непрерывной зависимости а от правой части h и начальных условий и0, иг.
Решение этих задач сначала понимается в обобщенном смысле: наряду с задачей (1), (2), соответственно (3), (2), (4) (для краткости будем на
зывать ее з а д а ч е й I), рассматривается сопряженное уравнение при сопряженных начальных условиях (они задаются при t~l), соответ
ственно начальных и граничных условиях, т. е. рассматривается сопря
женная задача, которую будем называть з а д а ч е й Г. Как задаче I, так и задаче Г отвечают некоторые функциональные уравнения в соответ
ствующих пространствах:
In - h, (!)
Vv = Аь ( П
причем операторы Z и Z* сопряжены друг с другом.
Под о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м исходной задачи понимается реше
ние уравнения (I), в котором оператор Z— сопряженный с Z , т. е, Z = (Z*)*. * Существование такого решения доказывается следующим образом: оператор Z*, соответствующий задаче Г, в определенной ме
трике— положительно определенный, и, значит, для сопряженной задачи Г имеет место единственность решения и существует ограниченный обрат
ный оператор (Z*)-1. Отсюда вытекает, что оператор Z имеет область изменения, совпадающую со всем функциональным пространством, и,
* Легко заметить, что принятое здесь определение обобщенного решения, выра
женное при помощи сопряженных операторов, в случае смешанной задачи для гипербо
лического уравнения совпадает с данным в [17] с помощью интегральных тождеств.
следовательно, задача I разрешима при любых h, u0, иг (принадлежа
щих определенным пространствам).
Приводятся два метода доказательства единственности. Первый из них состоит в следующем: сначала устанавливаются дифференциальные свойства по t решения задачи, полученного в теореме существования, причем достаточно установить наличие у него всех тех производных по t, которые входят в уравнение (1). Далее, из «энергетического» неравен
ства сразу получается единственность. При доказательстве единствен
ности вторым способом устанавливается, что оператор Z*, соответ
ствующий задаче Г, имеет всюду плотную область изменения.
II. § 4 и п. 8 § 5 посвящены изложению аналога метода Галеркина для приближенного решения задачи (1), (2), соответственно (3), (2), (4).
Для случая смешанной задачи этот метод сводится к следующему:
приближенное решение задачи ищется в виде конечной суммы
п
iin(x,t) = %c\
nHt)ui(x),
где {ui(x)}—фиксированная система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям (4) и образующих полную систему в пространстве W^ (0) [22]; неизвестные коэффициенты с^ (t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной при помощи скалярного умножения (по х-ш) обеих частей уравнения (3) на Uk(x):
(Ltin(х, t), uk(x)) = (h(x, t),\ uh (x)) ( £ - = 1 , 2 , . . . , n). (5) Начальные условия с\п) (0) = cffl, c{f (0) = cff берутся такими, чтобы функ
ции
Un (X, 0) = 2 <t> Hi (X) И > * * ' = 2 Cft> И* (X)
при /z->oo сходились в определенном смысле к и0(х) и иг{х) (см. (2))' соответственно. Этот метод в том случае, когда задача (3), (2), (4) до
пускает разделение переменных, а щ (л:) являются собственными функ
циями, соответствующими задаче, совпадает с методом Фурье, причем un(x,t) — п-я частичная сумма ряда Фурье, дающего решение задачи.
С другой стороны, если Лт' = #г' = 0 и, следовательно, уравнение (3) не содержит производных по t, этот метод совпадает с известным методом Галеркина. В § 4 и п. 8 § 5 доказана сходимость при п—>оо прибли
женных решений ип (х, t) к точному решению u(x,t) для всех классов рассматриваемых уравнений (см. также [15], где для простого параболи
ческого уравнения применяется такой метод в случае Uk (х) = sin kx\
в [12] аналог метода Галеркина применен для доказательства существо
вания решения краевой задачи для уравнений Навье — Стокса и уста
новлена слабая сходимость этого метода).
III. Приведенный выше приближенный метод используется для дока
зательства дифференциальных свойств по t решений задач (1), (2) или (3), (2), (4).
При наличии у коэффициентов и правой части h уравнения (1) или (3) производных по t до определенного порядка и при выполнении не
которых условий на начальные значения и0 и их решение и задачи
также допускает производные по t до соответствующего порядка, причем нормы этих производных оцениваются сверху, например, при помощи формул (45.4), (48.4). Для любых решений u(x,t) систем (3), кроме того, изучены дифференциальные свойства решений по л>ам и по t.
А именно, доказан следующий общий факт (теорема 12): если решение и (х, t) системы (3) рассматриваемого класса имеет производные по t до определенного порядка внутри Q, то оно обязательно имеет также про
изводные по х-2м и смешанные производные по х-гм и по t до опреде
ленного порядка, причем нормы последних производных по подобласти Qs оцениваются сверху через нормы производных по t от и (и нормы h и производных от Л), взятые по несколько большей подобласти Q$s о'<<о; при этом предполагается, что коэффициенты системы (3) и h(x,t) имеют производные до определенного порядка. (Аналогичный факт для сильно эллиптических систем был раньше установлен Фридрихсом [9].) Зная по теореме 10' число производных по t от решения и (х, t) смешанной задачи (3), (2), (4) и пользуясь теоремой 12, получаем число производных от и{х, t) по л>ам и по t внутри Q. Пользуясь этим и теоремой вложения С. Л. Соболева [22], мы формулируем достаточные условия на коэффициенты и правую часть h (и0 = 0 и1 = 0) для того, чтобы у решения u(x,t) были непрерывными в Q все производные, входящие в (3). Таким образом, выясняется вопрос, при каких условиях обобщенное решение, построен
ное в § 5, удовлетворяет системе (3) в обычном смысле и допускает не
прерывные производные по х и по t высших порядков.
В п. 10 § 5 излагается метод прямых разложений (см. [4]) реше
ния смешанных задач при неоднородных граничных условиях. В п. И
§ 5 для уравнений типа г) доказана теорема о стремлении при t—>+oo решения и (х, t) смешанной краевой задачи к решению краевой задачи для предельного сильно эллиптического уравнения А (оо) w + iB (oo)w =
= — А(оо).
Отметим, наконец, что требуется произвести лишь небольшие изменения в нижеизложенном,; чтобы предложенным методом можно было исследо
вать смешанные задачи при граничных условиях, отличных от граничных условий первой краевой задачи.
§ 1. Предварительные сведения
1. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство; скалярное произведение элементов / , g£H обозначается через (/, g), а норма
( f , / ) ^ 4 / l -
Через ig обозначается гильбертово пространство всех функций h(t)9
0 < ^ < / , принимающих значения в Я и измеримых по Бохнеру ([1], [14]), причем \h(t)\€L2(Q<t<l). Скалярное произведение и норма в © задаются формулами:
i _i_
[h(t)h1(t)] = ^(h(t)1 hx(t))dt, [h(t), h(t)]2 = \\h(t) || . (1.1) о
Интегралы от суммируемых функций обозначаются следующим образом:
i t
U h (т) fc = Iih, ^h (т) d4 = Ih = F(t) (О < t < /). (2.1)
и о
Оператор / действует в § : функцию h(t)t& он переводит в функцию F(t)d$ (если / конечно). Обратным оператором к / является оператор дифференцирования ^ - , заданный на функциях типа F(t) (т. е. являю
щихся интегралами), обращающихся в нуль при t = 0:
nF(t) = ^P-, F(0) = 0. (3.1)
Очевидно, для А(^)6|> справедливы следующие оценки:
| М | < У 7 | | All, \\F(t)\\ - ||/А | | < С || А || . (4.1) 2. Пусть A(t) при каждом фиксированном t — ограниченный оператор в Н. Мы скажем, что он н е п р е р ы в е н в с и л ь н о м с м ы с л е в т о ч к е t0, если вектор-функция A(t)л, х£Н, непрерывна в точке t0, и что он д о п у с к а е т п р о и з в о д н у ю в э т о й т о ч к е , если существует в сильном смысле производная от A(t)x в точке t0.
Оператор A (t) называется н е п р е р ы в н ы м н а и н т е р в а л е С К * К Л если он непрерывен в сильном смысле в каждой точке этого интервала. Мы скажем, что оператор A(t) о г р а н и ч е н на С К * К А если его нормы равномерно ограничены по t\ || A (t) \\ <С С.
Ограниченный и измеримый на 0 <^ t <^ I оператор A (t) естественно можно доопределить до оператора, действующего на всем § . Действи
тельно, если функция A (t) € § и A (t) непрерывна в Н по t> то функция A(t)h(t) ограничена и измерима в Н по t, и, значит, A(t)h(t)£ $Q.
Легко видеть, что || A (t) h(t) || < С \\ h(t) || , поэтому для любых функ
ций A (t) € § значение A (t) A (t) можно определить при помощи процесса замыкания.
Мы скажем, что оператор A(t) на 0 < ; ^ < ; / д о п у с к а е т о г р а н и ч е н н у ю п р о и з в о д н у ю , если в каждой точке t этого интервала су
ществует в сильном смысле производная A (t) (т. е. функция A (t) A, А 6 / / , допускает производную по t)y причем оператор A1 (t) ограничен на интервале 0 < ; £ < ; / .
Если оператор A (t) допускает ограниченную производную в некото
рой окрестности точки t, a A (t) — дифференцируемая функция в точке t, то функция A (t) A (t) также допускает производную в точке t, причем справедлива формула
A(A(t)h{t)) = d-^h{t) + A{t)d-^. (5.1)
3. О п е р а т о р н ы е у р а в н е н и я т и п а В о л ь т е р р а . Рассмотрим интегральное уравнение вида
t
с? (t) — ^K(t, т) ? (т) d* = h(t), (6.1) о
где h (t) — суммируемая функция на 0 •< t < / со значениями в Н, K(t, т)—
при любых фиксированных t9 т, 0 <:т < ; £ < / , ограниченный оператор, действующий в / / *. Пусть ядро /((£, т) равномерно ограничено по t и т:.
| /((*,*) | < A f при 0 < т < £ < / .
Решение уравнения (6.1), точно так же как для обычных уравнений типа Вольтерра, можно получить методом итераций:
т (t) = h (t) + Kh + K2h + . . . + Knh +..., (7.1) где
t
0
Оценка по норме в Н дает:
оо t
|?(*)|<|А(*)| + S l S y r 5 |А(т)|Л<
< | h(t) | + A f e ^ | A ( * ) l < k - (8.1)
§ 2. Операторные дифференциальные уравнения первого и второго порядков по t
1. Рассмотрим операторное уравнение вида
U^A{t)d^ + B{t)ft + C{t)ii^h{t)^ (1.2) где h(t) и и (t) — функции со значениями в Н\ A(t), B(t)y С (^ — опе
раторы (при каждом фиксированном t), действующие в И. Начальная задача для уравнения (1.2) состоит в нахождении такого решения этого уравнения, которое при t = 0 удовлетворяет начальным условиям:
i da
ll\t=Q — ll0, — ^ = « 1 . (2-2)
где UQIUX&H. При этом, очевидно, предполагается, что A(t)=^=0. Если A(t) = 0 и В^)фО, то следует задавать лишь первое из начальных условий (2.2).
* Всюду, где встречаются вектор-функции и операторные функции, мы предпола
гаем, не оговаривая этого отдельно, что они измеримы.
В настоящем пункте мы считаем оператор A (t) самосопряженным, положительно определенным и представленным в виде произведения двух
JL J_
сопряженных операторов: A (t) = G* (t)G (t) (например, А = А2 • A2) *.
Оператор G мы предполагаем всегда замкнутым и имеющим ограничен
ный обратный.
В дальнейшем мы, как правило, предполагаем, что оператор G (t)
«однороден» по t, т. е. он имеет область определения 0G (^, не зависящую от t: Q>G(t) = ^G(O)» причем выполнены неравенства
k\G(0)v\<^\G(t)v\<CK\G(0)v\
для любого t, О < ; г - < / , и V^QG(O)- Поэтому оператору A (t) естественно придать следующий вид:
A (t) = G* (t) G (t) - G* (0) (G* (0))"1 G* (t) G (t) (G(O))"1 G (0) =
= G* (0) [G (t) G"1 (0)]* [G (t) G"1 (0)] G (0) = G*A (t) G, где
G = G (0), A (t) = [G (*) G"1 (0)]* G (t) G"1 (0).
При проведении этих преобразований мы воспользовались указанными выше условиями на оператор G(t), из которых вытекает ограниченность операторов G (t) G"1 (0) и [G (t) G"1 (0)]*. В силу этого, для наших целей достаточно
ограничиться оператором A(t) вида G*A{t)G, где G — оператор, отобра
жающий некоторое всюду плотное в Н множество QQ В пространство Ни
A(t) — самосопряженный, положительно определенный, ограниченный оператор, действующий при каждом t в //х:
(A (t) Gu, Gu) > a2 (Gu, Gu), (2'.2) где а2 не зависит'ни от t, ни от и, a G* отображает некоторое плотное
в Нг множество в пространство Н.
В дальнейшем мы, как правило, будем придавать операторам такой же вид, как оператору A(t).
Уравнение (1.2) после умножения его на е~ы приведем, действуя пока формально, к следующему виду:
e-^Lu = e~ktG* -^ (A (t) G ^ - ) + е~м B(t)% + е~ы C(t)u = е~ы h (t), (3.2)
* Оператор G(t), как и вводимые ниже операторы Gt(t), могут действовать из Н в //]_. Тогда G* (t) действует из Нг в Н. ^Скалярные произведения в Н и Нг мы обо
значаем круглыми скобками: ( , ), причем из текста всегда будет ясно, к какому про
странству относится данное скалярное произведение.
— dA
где В = В — G*-7T-G. Значение постоянной k мы уточним ниже. Для того чтобы охватить сразу случаи уравнения второго порядка по t и
, du d2u dw
первого порядка по г, подставим в это уравнение — = w, 7Ж = ~йГ>
и = \wd-z + иt 0: о
t
e-htLu = Lxw = e~ktG* •— (A (t) Gw) + e~ktB (t) w + е~ыС(t) [ wdi = о
= e-*'(A —C(*)tt0) = Ai. (4.2)
Вместо задачи (3.2), (2.2) достаточно решить начальную задачу для урав
нения (4.2) при начальном условии
w 1/м) = %• (5.2) В случае C(t) = 0 (4.2) является уравнением первого порядка по t.
Точно так же уравнение (1.2) при G = 0 будет таким уравнением.
Поэтому все нижеизложенное относится также к начальной задаче для некоторых классов уравнений первого порядка по t.
Пусть при каждом t оператор
5(*) = fii(*) + r 52( * ) + £8( * ) .
где Вх (t) = Gl B± (t) Ol9 Bx (t) — ограниченный *, самосопряженный, поло
жительно определенный оператор:
(В1 (t) G±w, G±w) > ос2 (Gxw9 Gtw), (6.2) а2 не зависит ни от t, ни от w, В2 (t) — симметрический оператор, на
B3(t) мы ниже наложим некоторые метрические ограничения; оператор C(t) = C1(t) + C2(t),
где Ct (t) = G2C1 (t) G2, C± (t) — ограниченный *, самосопряженный, поло
жительно определенный оператор:
(С1 (t) G2 w9 G2w) > a2 (G2w, G2w), (7.2) относительно С2 (t) ниже мы введем некоторые метрические ограничения
Предположим, что операторы A(t), B(t) и С (t) при каждом t определены на некотором многообразии О, всюду плотном в Н.
Оператор L± будем рассматривать как оператор, действующий в про
странстве §. Точнее, сначала мы допускаем, что он определен на неко-
* Легко видеть, что ряд предложений, например теоремы существования, остаются в силе и для неограниченного оператора. Для простоты мы рассматриваем лишь случай ограниченных операторов.
тором плотном в £> многообразии QLl * всех функций w(t), обладающих следующими свойствами: 1) w(t) при каждом t принадлежит О, 2) ка
ждое слагаемое оператора Lx непосредственно применимо к функции w(t) (:&£.!> и в результате мы получаем функцию из ф, т. е. для w (t) б QZl
G*-~ (A(t)Gw) = G*A(t) G^- + G*d-^Gw
fdA (t) „ \ (—j-1 предполагается всюду в дальнейшем ограниченным оператором у
причем ^ 6 йа,Ха , a w (t) <Е Q ^ , О* A (t)G%* §, О* ^ Gw € fr далее, w (t) принадлежит областям определения всех других операторов, входящих в Lx, причем В± (t) w, B2 (t) w, B3 (t) w, Cx (t) Iw, C2 (t) Iw при
надлежат £>. В дальнейшем мы еще предполагаем, что любой элемент wd& принадлежит также &Ll> т. е. для wd£l G* -^{A (t) Gw) 6 ф , и т. д.
Наряду с уравнением (4.2) с начальным условием (5.2) рассмотрим сопряженное ** (пока формально) к (4.2) уравнение
i
L\v = - G*A -^ (Ge-ktv) + B*e~ktv + J Ce~^v (x) d* = g (t) (8.2)
t
при условии v\t=i = 0; B*(t), С* (t) при каждом £ —операторы, сопря
женные (в И) с операторами B(t) и C(t). При этом мы воспользовались тем, что
/ i
К w di, v\ = \w, [vdi]. (9.2)
о /
Для краткости положим
i
Pv = \ vfo.
t
В этих обозначениях формула (9.2) выглядит так:
[Iw, v] = [w, I*v].
Предполагается, что операторы A (t), В* (t), С* (t) при каждом t определены
* Многообразия в § мы будем обозначать, например, так: Q, а многообразия в И—
без волнистой черты, например, Q. Кроме того, мы пользуемся следующими обозначе
ниями: QQ — область определения оператора G в пространстве § ; область опре
деления этого оператора в Н обозначается без волнистой черты сверху, т. е. через QG. От оператора С?, заданного на £10 с Н, мы переходим к естественному продолжению этого оператора на QG аналогично тому, как это указано в § 1. В обоих случаях мы считаем, что оператор G замкнут.
** Относительно скалярного произведения в §^
на некотором плотном в Н линейном многообразии £}*, причем для v € П*
Б* (t) v=B1(t)v — iB2 (t)v + Bl (t) v, * где B*3(t) — оператор, сопряженный с B3(t) (в Я), а
С* ( « ^ ( f l * + £(*)*,
где Cl (t) — оператор, сопряженный с С2 (£) (в Н). На операторы В3(^)> B3(t) и С2(£), С2 (0 налагаются следующие ограничения:
Л(В\(t) v, v) > ( — а2 + f) | G ^ |2 + М\ Gv |2, (10.2) M (B3 (t) w,w)> (—а2 + т2) | QlW |2 + M | G ^ |2 (10'.2) для i>6 0*, wGO, где а2 — постоянная, входящая в (6.2), М — некото
рая постоянная (вообще говоря, отрицательная),
|(«r, Cl(t)v)\ = \(C2(t)w, v)\<M1(\Gv\ + \G1v\)\G2w\ (11.2) для ед 6 £2, i; б Q*; все постоянные не зависят ни от t, ни от v, w.
Через Нъ обозначим многообразие всех элементов вида Gz =
= (Gz; Gxz\ G2z) **. Очевидно, Q^ = DG fl ^G\ П ^G2; ЭТО многообразие предполагается плотным в И. Метрику в И3 зададим формулой:
| Gz |2 = | Gz |2 + | G±z |2 + | G2z |2.
Во всем дальнейшем мы предполагаем, что по крайней мере один из операторов Gt имеет ограниченный обратный, и, следовательно, оператор G также обладает этим свойством:
| * | < C | G z | . (12.2) Относительно Q, и Q* наложим лишь следующее ограничение: много
образие элементов Gw, где w G Q, и многообразие элементов Gv, где v (: Q*, плотни в Н3.
Оператор Lx будем также рассматривать как оператор, действующий в ф.
Предположим, что он определен на некотором плотном в § множеств Q* достаточно «гладких» функций v(t), обращающихся в нуль при t = /,
причем все слагаемые, входящие в L[, определены на Q * и принимают 1
на нем значения в £>. Точнее, потребуем, чтобы многообразие Q * заве-
1
домо обладало следующими свойствами: 1) функции v (t), принадлежащие
£1 * , непрерывны по t и при каждом t, 0 < ^ < 7 , принимают значения в Q*; 2) функции Gv(t), G1 xv(t), G2v(t) непрерывны по t на O^t^l,
* Вместо В2 (t) можно было бы взять здесь и в дальнейшем^1 оператор В2 (t) и по
требовать, чтобы он был симметрическим на П*.
** Операторы G, Gi, С/2 замкнуты.
причем Gv (t) допускают ограниченную производную по t; Gv (/) = 0;
3) любая функция v из U* принадлежит также Й *, т. е. G*A-TT-GV G § ,
&I {t) v € & и т. д. Последнее требование, очевидно, связано с некоторой гладкостью по t операторов, входящих в L[.
Заметим, что из этих условий вытекает, в частности, что G2Iv (t) =
= IG2v(t). Действительно,
Iv(t) = lim 2\v(ti)Ath
Atro t
lim G2 (%v (tt) Mi ) = lim 2 MtG2v {U) = /С/аг> (*).
ДЛ-0 X T- 7 длн.0 Т
Отсюда, в силу замкнутости оператора G2, вытекает, что /г> (t) 6 Цза и G2/^ = /G2^.
Л е м м а 1. Пусть выполнены условия (2'.2), (6.2), (7.2) # операторы A (t) и Сх (t) имеют на интервале [О, /] ограниченную производную по t, и пусть справедливы соотношения (10.2), (11.2). Тогда при доста
точно большом k оператор Ll {рассматриваемый на &*) имеет по- ложительно определенную вещественную часть, точнее, справедлива оценка:
Я\Ь\ч), v]>
>*2((Gv (0), Gv (0)) + [Gv, Gv] + [Gxv9 Gxv] + [G2fv9 G2Iv] + (G2Iiv, GJiv)) (13.2) Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем для v(t)(:U *:
Li
Л[L\v, v] = ^{~\A-^Ge~ktv, Gv] + [B&e-^v, Gxv] —
—i [B2e~ktv, v] + [Ble~ktv, v] + [FC^^-^v, G2v]+ [ГСГ2е~кЪ, v] }. (14.2) (В ряде членов правой части (14.2) мы некоторые операторы перебрасы
вали на второй сомножитель.) Далее,
— Я \ А ^ Ge~ktv, Gv] = k [e~ktAGv, Gv] — Л \^е-ыА-^ Gv, Gv] =
i
= k [e-k'AGv, Gv] - у Я^ - ^ (e-k*AGv, Gv) М + \ я [e~k^Gv, Gv] —
0
— \ k [e~k*AGv, Gv] > (^- ЛГ) [Gv, Gve~kt] + \ (A (0) Gv (0), G^ (0)), (15.2)
причем мы воспользовались ограниченностью оператора — и оценкой dA
(2/.2). В силу симметричности оператора В2 (t),
i
Я (— i [e~ktB2v, v]) = fl\ — ie~ht (B2 (t) vy v) dt = 0. (16.2)
0
В силу (10.2),
M [Ble~ktv, v] > (—a2 + f) [er^GyV, Gxv\ + M [e~ktGv, Gv], (17.2) Л [rc&e-b'v, G2v] = Я [e-^C&v, G2Iv] -
i
= ^ \ \ 4 i (e-ktCiG2lv, Gjv)dt+\ [e-^C&Iv, G2Iv] -
о
\e-k^Q2Iv, G2Iv]
^Я dt >
> 4" (e-"C, (/) GJiv, GJtv) + (j - M) [e~MGJv, GJv], (18. 2) причем м ы воспользовались ограниченностью оператора -~\ наконец,со
гласно (11.2),
Я [I*C'2e-ktv, v]=M [Cle~htv, Iv] >
(
II ^ II l l kt i\\ и kt it| | e_ TG ^ | | + | U " "TG1^ | | j | | e_~ G2/ f | | >
и ft£ ||2 „ и ft£ ||2 и _kt ц2
>-M1b2\\e 2G2Iv\\ ~^\\e 2Gv\\ ~^\\e W&W . (19.2) Взяв достаточно малое 8 и затем выбрав достаточно большое k, из оце
нок (14.2)—(19.2), учитывая (6.2) и (7.2), получим неравенство (13. 2) (а2 в (13.2) не совпадает с а2 в (6.2)).
Лемма доказана.
Введем в многообразии R (F) элементов
Fv = (Gv(0); Gv(t); G&tf); G2lv\ G2hv), где v(t)£&.9 (20.2) скалярное произведение по формуле, совпадающей с правой частью (13.2):
[Fv, Fv] = (Gv (0), Gv (0)) + [Gv, Gv] + [Gxv, Gxv] +
+ [GJv, GJv] + (GJiv, GJiv), (20'.2) и обозначим замыкание R{F) в этой метрике через R (F) *. Предполо-
* Легко видеть, что, взяв вместо функций v (t) функции w (t) £ QL и пополняя пространство элементов Fw в метрике (20'.2), м ы придем к тому ж е простанству R(Fy Это следует из условия на Q и £1*, сформулированного на стр. 61.
жим, что по крайней мере один из операторов G и G± имеет ограничен
ный обратный. Тогда после замыкания оператор F отображает некоторое всюду плотное в § множество £1? на R(F), причем имеет место оценка:
\\w\\^c\\Fw\\ A (21.2) Если w (t) € Ц^, a v {£) Q *, то выполняется соотношение:
[Ltw, v] + (Л (0) Gw (0), Gv (0)) = [w, L{v].
Если w{t)— решение задачи (4.2), (5.2), то, подставляя в эту формулу Lxw = h± и w (0) = %, получим:
[Alf v] + (Л (0) Gttls Gi; (0)) - [w, L[v]. (22.2) Предположив, кроме того, что w 6 £V, мы сможем придать формуле (22.2)
следующий вид:
[Ах, *>] + (Л (0) Ottlf G^ (0)) = [Fw, ZlFv], (23.2) где Zi = (F-1)* ^F"1. (Так как оператор F"1 ограничен (см. (21.2)), то
(F"1)* также ограничен.)
О п р е д е л е н и е . Под р е ш е н и е м з а д а ч и (4.2), (5.2) мы будем понимать такую функцию w (t) б Й/?, для которой тождество (22.2) (или (23.2)) выполняется при любой функции v(t)GCi*.
Li
Из доказанной полуограниченности оператора L\ (формула (13.2)) и соотношения (23.2) сразу вытекает теорема существования решения на
чальной задачи (4.2), (5.2) (см. теорему 1).
Предварительно укажем на класс допустимых правых частей h (t) уравнения (1.2) и допустимых начальных условий и0 и иг. Из доказа
тельства теоремы существования, которое приведено ниже, видно, что мы используем лишь непрерывность функционалов lx (v) = [e~kth, v], 12(^) =
= [e-ktC(t) и0, v] и /3 (v) = (Л (0) Gitx, Gv) относительно функций v(t), норма которых берется равной | | / ^ | | .
Придадим первому и второму функционалам следующий вид:
/ i W = [(F-iye-u/i, Fv], l2(v) = [(F-iye-MC(t)Uo, Fv].
Очевидно, (Z^1)*, как ограниченный оператор, действующий и з ф в / ? ^ , определен на всем ф. Замыкая этот оператор по области значений, мы
* Отметим, что элементы Fv, принадлежащие замыканию R(F), вообще говоря, уже нельзя реализовать в виде (20.2), так как первая компонента Gv(0) может не быть связанной со второй компонентой соотношением Gv(t)\t==0 = Gv(0). Однако осталь
ные компоненты элемента Fv, входящие в (20.2), имеют вполне естественный смысл и после замыкания. В связи с этим мы во всем дальнейшем будем считать, что оператор F отображает функции v(t) £ QF С § в Fv (t) е R (F), причем под Fv (t) мы будем пони
мать некий абстрактный элемент замыкания, для которого реализация (20.2) необяза
тельна, хотя элементы Gv, G\V, G2Iv, G2I fu однозначно определены и имеют конечную норму, не превосходящую || Fv || .
можем доопределить его на более широком пространстве, чем ф. Именно, введем многообразие £1— _ы, являющееся пополнением § в метрике II (F'1)* e~hth\\. Таким образом, всякий элемент А 6: Q '•—- может быть
11 ' " * (F^ )*в— *
представлен в виде предела последовательности {hn}, причем {(F~1)*e-kthn} сходится в метрике R(F). Предел последней последовательности мы будем обозначать через (F~1)*e-~kt h. Функции h б О—i ф _м мы будем считать допустимыми правыми частями. Аналогично, замыкая по области значе
ний оператор (F-1)* e~ktC(t), мы получим класс допустимых начальных условий и0: и0 6 О—^ t _ы . Для таких правых частей h и и0 мы по
лагаем
[(^Уе-Щ, Fv] = \е~*К v] и [(F"1)* e~ktC (t) и0, Fv] = [e~ktC(t) u0, v]. * (23\2) Третий функционал lB(v), очевидно, непрерывен при % 6 ^ G .
Т е о р е м а 1. ( Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я ) . Если правая часть h (t) € ii г/» #о б П г.—, а их 6 £JG, и относительно коэффи- циентов уравнения (4.2) выполнены условия леммы 1, /по задача (4.2), (5.2) имеет по крайней мере одно решение w(t)> для которого справедлива оценка
|| fte || < tf( || (F-i)V-«ft II + II ( / " Г ^ ' С Д О и о || + | G% | ). (24.2) З а м е ч а н и е . Легко видеть, что условия теоремы относительно дан
ных задачи выполняются, если h £ ©, и0 € OG2, % € C*G, а операторы Сх (*) = (Gr1)* Сх (*) G2-x и С2(*) = (G"1)* C2 (*) G^1, где 6 = (G; Ох) (см.
стр. 67), ограничены и имеют ограниченную производную (см. стр. 120).
Оценка (24.2) может быть тогда записана так:
|| Fw | | < /С( II А || + | G2u0 ! + | Gth | ). (24'.2) Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как, согласно (13.2),
М[Fv, l{Fv] =Я [V, L[V]>O? [I Fv ||2, (25.2) то оператор L*± имеет ограниченный обратный. Следовательно, сопряжен
ный с ним оператор (ZJ)* имеет своей областью изменения все R (F).
Правую часть формулы (23.2) представим в виде
[Fw, L[Fv] = [(VjFw, Fv]. (26.2) По условиям теоремы, левая часть формулы (23.2) является непрерывным
функционалом относительно Fv: таковым является первое слагаемое [hl9 v] (в
* Правые части этих формул понимаются, следовательно, в обобщенном смысле.
Отметим, что h, вообще говоря,—обобщенная функция (распределение).
5 Математический сборник, т. 39 (81), № 1
силу условий на А и на и0) и второе слагаемое (Л (0) Gul9 Gv (0)), так как
|С?Й1 К••+<*> и \Gv(0) \<C\\Fv ||. Следовательно, по теореме Ф. Рисса левую часть формулы (23.2) можно представить в виде:
[Ах, v] + (Л (0) Gux, Gv (0)) = \Fi, Fv]. (27.2) Так как Fv пробегает в R(F) всюду плотное множество, искомое
решение w должно, в силу (26.2) и (27.2), удовлетворять уравнению
{LlTFw=F-£. (28.2) Так как область изменения оператора (Zi)* —все R{F), то уравнение
(28.2) имеет хотя бы одно решение Fw, и, тем самым, существование по крайней мере одного решения задачи (4.2), (5.2) доказано.
Так как оператор Zx имеет ограниченный обратный с нормой, не пре- восходящей —г (см. (13.2)), то (Z,x) , рассматриваемый на ортогональном дополнении к пространству нулей этого оператора, также имеет ограни-
1
ченный обратный с нормой, не превосходящей — . Отсюда, взяв Fw, удо
влетворяющее уравнению (28.2) и лежащее в этом ортогональном допол
нении, получим:
II Fw | | < ^ г II FX II . (29.2) Далее, согласно (27.2) и (23'.2), получим:
[FX, Fv] = [hly v] + (Л (0) Guly Gv (0)) <
< * i ( i l " (F-*yer**h II + II (F-iye-vC(t)u0 || + | Gux \) || Fv \\
(мы воспользовались при этом тем, что | Gv (0) | <J || Fv || , и формулой для hx (см. (4.2))). Следовательно,
1 Fx||<Кг(||(F-Г er»h|| +1|(F-i)*er" С(t) u0\\ + \ Gu± |), и, учитывая (29.2), получаем требуемую оценку (24.2).
Теорема доказана.
В дальнейшем будут использованы следующие условия, касающиеся операторов B2(t) и B3(t).
Пусть для любого элемента v 6 £i* и любого элемента w 6 £2 выпол
нено неравенство
\(Bt{t)w,v)\ = \{w,B%{t)v)\<
</C(|Gx»| + | G1« | + | G ^ | ) ( | C ? w H - | G1« f | ) (30.2) или
|[В2(t)w{t), v(t))\ = \[w{t), B2(t)v(t)]|<
< K(\ Gv (t)\\ + || Gxv (t) || + II G2v (t) |)(|| Gw {t) fl + 1 | QlW (t) ||) (30'.2) для w (t) 6 &L„ v (t) € UL. и
