Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. И. Киприянова, О равномерной сходимо- сти разложений по собственным функциям B - гармонического оператора в замкнутой области, До- кл. АН СССР, 1991, том 318, номер 5, 1063–1067
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
3 ноября 2022 г., 22:24:11
З а м е ч а н и е . Впервые класс рекуррентных функций, не обладающих свой
ством эргодичности, был открыт Марковым. Теорема 8 показывает, что этот класс функций является весьма широким и пространство этих функций подлежит дальней
шему исследованию.
Обратимся теперь к исследованию простых волн.
О п р е д е л е н и е 5. Простая волна U = U(co), со = co(t,Xi,... ,Х/с), назы
вается с т а ц и о н а р н о й , если векторная функция U = U(co) является рекуррент
ной функцией, при этом фронт волны co(t, Х\ хк) = С может быть произволь
ным: сферическим, плоским и т.д.
Если U = U(co) является периодической или почти-периодической функцией своего аргумента со, то наложение волн такого рода с одинаковой фазой со приводит к волновым движениям того же типа.
Т е о р е м а 9. Если Ut (со) и U2 (со) являются волнами, зависящими от одной фазы со = co(t, xt, . . . , хк), и если эти волны являются рекуррентными, ина
че говоря, представляющими стационарные колебания наиболее общего вида, то их интерференция может привести к возникновению одиночной волны.
З а м е ч а н и е . При изучении этой теоремы следует иметь в виду, что опре
деление Биркгофа рекуррентных движений было заменено странными аттракторами, а одиночные волны в терминах Даламбера были заменены солитонами. Естественно, это не продвигает вперед развитие науки и вносит дополнительные вопросы, связан
ные с эквивалентностью определений.
Ленинградский государственный университет Поступило
9 IV 1991
ЛИТЕРАТУРА
Х.БиркгофГ. Динамические системы. М.: Гостехиздат. 1941. 2. Марков A.A. Избранные труды. М.; Л., 1948. 3. Боголюбов H.H. - Зап. Каф. мат. физики АН УССР, 1939, № 4.
УДК 517.956.2 М А Т Е М А Т И К А
© Н.И. КИПРИЯНОВА
О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В -ГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ
(Представлено академиком А.Н. Тихоновым 16 XI 1990)
В работе [1] В.А. Ильиным получен ставший уже классическим результат о равномерной сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа, удовлетворяющим однородным краевым условиям первого, второго или третьего рода в замкнутой области, граница которой принадлежит классу поверхностей Ляпу
нова. При этом от разлагаемой функции требуется выполнение условий, введенных ранее O.A. Ладыженской [2] и названных В.И. Ильиным о б ы ч н ы м и у с л о в и я м и р а з л о ж и м о с т и . В [1] также показана неулучшаемость этих условий.
В данной работе рассматриваются разложения по собственным функциям
сингулярного дифференциального оператора вида
N Э2 к Ъ
АВ=Х—г-+ . к>0 i=i Эх? xN bxN
фиксировано в конечной области £2 + , прилегающей к гиперплоскости xN = 0. Опе
ратор Дв будем именовать 5 - г а р м о н и ч е с к и м .
1. Ф о р м у л и р о в к а о с н о в н о г о р е з у л ь т а т а . Пусть ограничен
ная область £2+ расположена в евклидовом полупространстве Rfc точек х = ( х1 (. . .
• • •. *лг-1> XN) = С*'» *jy)> *лг ^ 0 и прилегает к гиперплоскости xN = 0. Часть границы области £2+, расположенную в R^, обозначим Г+, а часть границы, лежащую на гиперплоскости xN = 0, обозначим Г°.
С о б с т в е н н ы м и ф у н к ц и я м и о п е р а т о р а Ав будем называть решения уравнения Ави + \и = 0, удовлетворяющие на Г условию —
Эй а на Г + — одному из трех однородных краевых условий
Эй
= 0,
и\ г + = 0, —
1 Эй
= 0 или ( — + h(x)u /Эй
г + \Ъп = 0,
г*
где А(х) > 0, и — внешняя нормаль к поверхности Г*. Известно [3], что для опе
ратора Ав в области SI* с однородными краевыми условиями существует неубываю
щая бесконечная последовательность собственных значений \\j] и соответствующая им последовательность сколь угодно раз непрерывно дифференцируемых внутри £2+, четных по xN собственных функций \и/\, удовлетворяющих указанным выше од
нородным граничным условиям.
Поверхность Г+ будем называть п о в е р х н о с т ь ю Л я п у н о в а с s - к р а е м, если для каждой внутренней точки поверхности выполняются три широ
ко известных условия Ляпунова (см., например, [ 4 ] ) , а в точках пересечения по
верхностей Г+ и Г° выполнено условие симметрии (см. [ 5 ] ) .
Обозначим: Wlpk(p.*) — линейное многообразие функций, четных по пере
менной xN, суммируемых с весом х^, имеющих в области Sî+ обобщенные (в смыс
ле С.Л. Соболева, где регулярные функционалы задаются в весовом пространстве (см. [6])) производные D^.D^ , где
XN
D.., = (-—,•••.- ) . Вх =
х \bxi dxN_l/ лг Эх^ xN dxN Bßl2
если ß четное,
N Э bxN
ß(ß 0/2^ е с л и ß н е ч е т н о е )
до порядка la I + ß < /, суммируемые по области £2+ со степенью р > 1.
Подобласти области £2+, прилегающие, так же как основная область £2+, к гиперплоскости xN = 0 и являющиеся внутренними по отношению к границе Г+, будем называть s - в н у т р е н н и м и ( с и м м е т р и ч н о в н у т р е н н и м и ) .
По аналогии с [7] (см. также [8]) введем понятие обобщенных краевых условий. Рассмотрим последовательность £2,+ s-внутренних областей, стремящихся к Î2+. Пусть границы Г,+ этих областей стремятся к границе Г+ так, что не только точки i y стремятся к точкам Г+, но и нормали в этих точках стремятся к соответ
ствующим нормалям Г+ (предполагается, что поверхность Г+, по крайней мере, кусочно-гладкая).
1064
О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что ф у н к ц и я f(x) в о б о б щ е н н о м с м ы с л е у д о в л е т в о р я е т о д н о р о д н о м у к р а е в о м у у с л о в и ю п е р в о г о р о д а , если для любой ф(х) S W^ k(ß +)
lim Jf-\px%dT = 0.
г}-*г+ r t
Будем говорить, что ф у н к ц и я f(x) в о б о б щ е н н о м с м ы с л е у д о в л е т в о р я е т о д н о р о д н о м у к р а е в о м у у с л о в и ю в т о р о г о и л и т р е т ь е г о р о д а , если для любой ф(х) е W^ k№+)
lim / Ъп
• г+ r t
+ h{x)f\^xKNdr = Q,
при этом предполагается, что функция h(x) является предельным значением неко
торой функции, заданной в области £2 +. Имеет место
Т е о р е м а 1. Пусть в области £2+, граница Г+ которой является поверх
ностью Ляпунова с s-краем, функция f удовлетворяет следующим двум требо
ваниям :
1) / ( x ) e ^+ f c> /2l+ 1( n+) ,
2) / такова, что/, ABf, ABf,..., ABf (где I = [(N+ k)/2] для случая первой краевой задачи, I = [(N + к — 2)/4] для случая второй или третьей краевых задач) в обобщенном смысле удовлетворяют соответствующему однородному краевому условию.
Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится абсолютно и равномерно в замкну
той области £2+. Более того, при суммировании в порядке возрастания собственных чисел для m-го остатка ряда Фурье справедлива следующая равномерная в замкнутой области £2 + оценка :
I 1Л-и,(*)1 = o ( - V
i=m \ Km
где а - любое фиксированное число, удовлетворяющее требованию 1 - }(7V + fc)/2j
а < >
2
здесь | (N + k)j2 \ - дробная часть числа (N + к)/2.
2. В с п о м о г а т е л ь н ы е у т в е р ж д е н и я . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1 построено по схеме работы [1].
Л е м м а 1. Пусть f(x) - произвольная функция, заданная в области П+ и удовлетворяющая следующим двум требованиям:
1) f(x) € W"+l(£l*), n - произвольное натуральное число;
2) f(x) такова, что функции / , ABf,..., AlBf (где 1 = [n/2] для случая первой краевой задачи, I = [(и - 1)/2] для случая второй или третьей краевых за
дач) в обобщенном смысле удовлетворяют соответствующему однородному крае
вому условию.
Тогда для функции f(x) справедливо неравенство типа Бесселя следующего вида:
а) для случая первой краевой задачи
/ Igrad A^2f\2xkNdx для четного п,
2-v л + 1
/ (A<g+l)l2f?xkNdx для нечетного п;
б) для случая второй или третьей краевых задач J \mdAnB'2f\2xkNdx+ fh(pc)(&
»=i ' ' "" / (Д("+ 1 ) / 2/)2*Ыс для нечетного п.
f \gradA"J2f\2xkNdx+ fh(x) (Д^2ffxkNdx для четного п,
N
В частности, сходится числовой ряд 2 ff Л "+ ' .
Существенную роль при доказательстве теоремы 1 играет поведение основно- го билинейного ряда 2 —-— • Имеет место следующая
i = i Лу
Т е о р е м а 2. Для произвольной области £1*, прилегающей к гиперплос
кости xN = 0 и ограниченной поверхностью Ляпунова с s-краем, билинейный ряд вида
(1) 2 î-b-i , е > 0 ,
1 = 1 X(JV+fc)/2+e/2
составленный из собственных функций первой, второй или третьей однородных краевых задач, сходится равномерно во всей замкнутой области Î2 + .
Из теоремы 2, в частности, следует фундаментальное следствие для ядер дробного порядка, введенных в [9].
С л е д с т в и е. Для произвольной области £2+, прилегающей к гиперплос
кости xN = 0 и ограниченной поверхностью Ляпунова с s-краем, ядро дробного порядка Жа (х, у) при любом а > (N + к) /2 представляет собой функцию, непре
рывную по совокупности переменных х, у во всей замкнутой области Î2 +. Приведем теперь оценки, необходимые при доказательстве теоремы 2.
у
Обозначим через Т N оператор обобщенного сдвига, определяемый по фор-
XN
муле (см. [10])
'У Г((к + 1)/2') п :
4ПХ) = Г(1/2)Г(*/2) 1ПХ'' V ^ + ^ - 2 ^ ^ c o s a ) sin*"»вda.
Л е м м а 2. Пусть £1* - произвольная область в R^, прилегающая к гипер
плоскости xN = 0, г {у, z) - расстояние между двумя произвольными точками у и z этой области, а и ß — два числа, удовлетворяющих требованиям
0<a<N + k, 0<ß<N + k, a + ß>N + k.
Тогда положительная функция v(y,z), определяемая интегралом вида v(y,z)= ПТУх"г~«(х-у',Щ . [ r V ( x) Z' , 0 ) ] 4 ^ ,
n* N *
может быть мажорирована следующим образом :
v(y,z)<
CTZNrN+k-a~ß(y;z',0) при a + ß>N+k,
yN
AT Nz . \nr1(y;z',0) + Bnpu a + ß = N + k,
yN
где А, В, С - некоторые постоянные, зависящие от вида области SI* и от парамет
ров а и ß.
1066
Л е м м а 3. Пусть X^y.z) - функция Грина для уравнения Ави = 0 в об
ласти Q+, ограниченной поверхностью Ляпунова с s-краем, соответствующая лю
бому из трех однородных краевых условий на Г+, а ОС „(у, z) - ее п-я повторная итерация.
Тогда справедливы следующие оценки:
\JCn(y,z)\<CTZvNr2n~(N+k\y;z',0) для n<(N + k)l2,
I CVn(y,z)\< ATZN\nr1(y;z',0)+B для n=(N + k)/2;
yN
здесь A.BuC — некоторые постоянные, зависящие лишь от вида области £2+. Имеет место следующий достаточный признак сходимости основного билиней
ного ряда (1).
Л е м м а 4. Пусть х и у - две s-внутренние точки области П+ (т.е. х, у е S SI* и Г°) такие, что расстояние между ними равно R, a минимум расстояния каждой из этих точек от границы Г+ области SI* не меньше, чем R.
Тогда достаточным условием сходимости ряда (1) во всей замкнутой об
ласти £2 + является справедливость оценки - щ(х) -Ui(y) ,„
2 _iü 4LL = 0(Re'2), e > 0 .
i'
В заключение автор выражает глубокую признательность акад. В.А. Ильину и чл.-корр. АН УзССР Ш.А. Алимову за постановку задачи и внимание к работе.
Воронежский государственный университет Поступило им. Ленинского комсомола 15 III 1991
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А. - Мат. сб., 1958, т. 45(87), № 2, с. 195-232. 2. Ладыженская O.A. - ДАН, 1950, т. 74, № 3, с. 417-420. 3. Киприянов И.А. Тр. МИАН, 1972, т. 117. 4. Гюн- тер НМ. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.:
Гостехиздат, 1953. 5. Киприянов ИЛ., Богачев БМ. - ДАН, 1975, т. 225, № 4, с. 756-758.
6. Лейзин MA. - ДАН, 1973, т. 212, № 6, с. 1293-1296. 7. Соболев С.Л. Некоторые примене
ния функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 333 с. Ъ.КураитР., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951. 544 с. 9. Киприяно- ва Н.И. - ДАН, 1976, т. 231, № 2, с. 281-284. 10. Левитан БМ. - УМНД951, т. 6, № 2, с. 112-127.
