Э. Г. Кирьяцкий, Точные оценки коэффициентов Нью- тона однолистных функций, Матем. заметки , 2008, том 84, выпуск 5, 724–731

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Э. Г. Кирьяцкий, Точные оценки коэффициентов Нью- тона однолистных функций, Матем. заметки , 2008, том 84, выпуск 5, 724–731

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3869

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 11:17:36

Математические заметки

Том 84 выпуск 5 ноябрь 2008

УДК 517.54

Точные оценки коэффициентов Ньютона однолистных функций

Э. Г. Кирьяцкий

В данной работе рассматривается класс однолистных голоморфных в еди- ничном круге функций F(z), нормированных условиямиF(0) = 0, F^′(0) = 1.

Установлены оценки для модулей коэффициентов Ньютона этих функций. По- казано, что эти оценки являются точными.

Библиография: 7 названий.

Введение. Пусть E – единичный круг |z|<1. Разделенную разностьn-го по- рядка голоморфной в E функции F(z) по точкам z0, . . . , zn ∈ E можно записать с помощью формулы (см. [1])

[F(z);z0, . . . , zn] = Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn, (1) где

ζ=z0+t1(z1−z0) +· · ·+tn(zn−z_n−1)∈E,

06t161, 06t26t1, . . . , 06tn6t_n−1. (2) Точки z₀, . . . , z_n ∈ E могут совпадать между собой. Если z₀ = · · · = z_n = 0, то разделенная разность (1) превращается в коэффициент Маклорена. Еслиz0 =

· · · = zn = ξ, то получим коэффициент Тейлора. В общем случае разделенную разность (1) можно назвать коэффициентом Ньютона.

Обозначим черезS класс однолистных вEфункцийF(z)вида F(z) =z+

∞

X

k=2

akz^k.

Л. де Бранжем (см. [2]) была положительно решена гипотеза Л. Бибербаха о ко- эффициентах Маклорена функций из классаS.

Теорема 1. ЕслиF(z)∈S,то 1

n!|F⁽ⁿ⁾(0)|6n, n= 0,1,2, . . . . (3) Знак равенства в (3)для любогоn>2 реализуется только функциями

F(z) = z

(1−e^−iαz)² ∈S, 06α <2π. (4)

⃝c Э. Г. Кирьяцкий, 2008

724

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЬЮТОНА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 725 Применяя теорему 1, Александров (см. [3], [4]) осуществил переход от точных оценок коэффициентов Маклорена к точным оценкам коэффициентов Тейлора для функций из классаS.

Теорема 2. ЕслиF(z)∈S,то 1

n!|F⁽ⁿ⁾(z)|6 n+|z|

(1− |z|)ⁿ⁺² ∀z∈E, n= 0,1,2, . . . . (5) Знак равенства в (5) для любого n > 0 и фиксированного z0 = |z0|e^iα0 ̸= 0 из E реализуется только функцией вида (4),гдеα=α0.

Заметим, что теорему2также доказал в 1926 г. Ландау, однако в предположении справедливости гипотезы Бибербаха (см. [5]).

Автор этой заметки осуществил переход от точных оценок коэффициентов Тей- лора к точным оценкам коэффициентов Ньютона для функций из класса S. Целью нашей работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. ЕслиF(z)∈S,то

|[F(z);z0, . . . , zn]|6

−1 +

n

X

m=0

1 1− |zm|

ⁿ Y

m=0

1

1− |zm| (6) при любом n>0 и любыхz₀, . . . , z_n∈E.

Знак равенства в (6) имеет место тогда и только тогда,когда zm =|zm|e^iα, m= 0,1, . . . , n,где06α <2π,а функция F(z)имеет вид (4).При этом

z

(1−e^−iaz)²;|z0|e^iα, . . . ,|zn|e^iα

=e^{−i(n−1)α}

−1 +

n

X

m=0

1 1− |zm|

ⁿ Y

m=0

1 1− |zm|. Если z0 = · · · = zn = 0, то неравенство (6) сразу следует из теоремы 1. Если z₀ = · · · = z_n, то неравенство (6) легко следует из теоремы 2. Поэтому нам надо будет доказать теорему3 для случая, когдаn>1и не всеz0, . . . , zn∈E совпадают между собой.

1. Пусть M(r) – непрерывная в промежутке [0,1) функция, имеющая на этом промежутке строго возрастающую непрерывную n-ю производную M⁽ⁿ⁾(r). То- гда для функции M(r) справедлива формула, аналогичная формуле (1), а именно (см. [1]):

[M(r);r0, . . . rn] = Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt1. . . dtn, где r0, . . . , rn принадлежат промежутку06r <1 и

ρ=r0+t1(r1−r0) +· · ·+tn(rn−r_n−1), 06t161, 06t26t1, . . . , 06tn6t_n−1.

ПустьTn– множество точек(t1, . . . , tn), гдеt1, . . . , tnподчинены условиям (2),L(γ)– луч, выходящий из начала координат под углом γ к вещественной оси,|zm|=r_m, m = 0,1, . . . , n, и N – наименьший отрезок, содержащий все точки rm, m = 0,1, . . . , n. Обозначим также через Qнаименьший выпуклый многоугольник (который может вырождаться в отрезок), расположенный в кругеE и содержащий все точки z0, . . . , zn.

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения.

1)Для любой точки(t1, . . . , tn)∈Tn и любыхz0, . . . , zn∈E имеют место нера- венства |ζ|6ρиρ <1,где

ζ=z₀+t₁(z₁−z₀) +· · ·+t_n(z_n−z_n−1)∈E, ρ=r₀+t₁(r₁−r₀) +· · ·+t_n(r_n−r_n−1).

2) Если все точки z₀, . . . , z_n ∈ E и расположены на луче L(γ), то для любой точки (t1, . . . , tn)∈Tn имеет место равенство |ζ|=ρ.

3) Пусть z0, . . . , zn ∈ E и в какой-либо точке (t1, . . . , tn) ∈ Tn имеет место равенство |ζ|=ρ,причем числа t₁, . . . , t_n попарно различны и отличны от нуля и единицы. Тогда все точкиz0, . . . , zn лежат на некотором лучеL(γ).

4) Если точка (t1, . . . , tn) пробегает все точки из Tn, то при фиксированных z₀, . . . , z_n ∈ E точка ζ пробегает все точки из Q ⊂ E, а точка ρ пробегает все точки из отрезка N.

Доказательство. Очевидность пунктов 1) и 2) леммы1не вызывает сомнений.

Рассмотрим пункты 3) и 4) леммы 1. Пусть z0, . . . , zn ∈ E и в какой-либо точке (t₁, . . . , t_n)∈T_n, где числаt₁, . . . , t_nпопарно различны и отличны от нуля и единицы, имеет место равенство |ζ|=ρ, т.е.

|ζ|=|(1−t1)z0+ (t1−t2)z1+· · ·+ (t_n−1−tn)z_n−1+tnzn|

=ρ= (1−t1)r0+ (t1−t2)r1+· · ·+ (tn−1−tn)rn−1+tnrn. Так как|zm|=rm,m= 0,1, . . . , n, и

(1−t1)>0, (t1−t2)>0, . . . , (t_n−1−tn)>0, tn >0,

легко видеть, что точкиz₀, . . . , z_n изEлежат на некотором лучеL(γ). Мы доказали пункт 3) леммы 1. Далее, пустьz0, . . . , zn∈E и положим

τ0= 1−t1, τ1=t1−t2, . . . , τ_n−1=t_n−1−tn, τn=tn. (7) Тогда

ζ=τ₀z₀+τ₁z₁+· · ·+τ_nz_n и ρ=τ₀r₀+τ₁r₁+· · ·+τ_nr_n, (8) причем

τ0+τ1+· · ·+τn = 1 и τ0>0, τ1>0, . . . , τn >0. (9) Множество точек (τ0, τ1, . . . , τn) с условием (7) обозначим через H. Рассматри- вая (7)–(9), приходим к выводу, что если точка (t1, . . . , tn)пробегает все точки из T_n, то точка (τ₀, τ₁, . . . , τ_n)пробегает все точки изH. Кроме того, известно (см. [1], [6]), что если точка(τ0, τ1, . . . , τn)пробегает все точки изH, то при фиксированных z0, . . . , zn ∈ E точка ζ пробегает все точки из Q. При этом точка ρ пробегает все точки отрезкаN. Мы доказали пункт 4) леммы1.

Лемма 2. Пусть F(z) – голоморфная в E функция и M(r) – непрерывная на промежутке[0,1)функция,имеющая на этом промежутке строго возрастающую непрерывную n-ю производную M⁽ⁿ⁾(r). Еслиn>1 и

|F⁽ⁿ⁾(z)|6M⁽ⁿ⁾(r) ∀ |z|=r <1, (10) то справедливы следующие утверждения.

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЬЮТОНА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 727 1)При любыхz₀, . . . , z_n∈E выполняется неравенство

|[F(z);z0, . . . , zn]|6[M(r);r0, . . . , rn], (11) где |z0|=r0, . . . ,|zn|=rn.

2)ПустьF⁽ⁿ⁾(z)не равна тождественно постоянной и не все точкиz₀, . . . , z_n ∈ E совпадают между собой. Для того,чтобы приz0, . . . , zn ∈Eв (11)имело место равенство

|[F(z);z₀, . . . , z_n]|= [M(r);r₀, . . . , r_n], (12) необходимо и достаточно существование вещественных чисел α и β, удовлетво- ряющих следующим условиям:

a) все точки z₀, . . . , z_n лежат на радиусе круга E, наклоненном под углом α к вещественной оси,т.е.zm=rme^iα,z= 0,1, . . . , n;

b) выполняется равенство

F⁽ⁿ⁾(re^iα) =M⁽ⁿ⁾(r)e^iβ для любого r,взятого изN.

3) Пусть F⁽ⁿ⁾(z) ≡ c и не все точки z0, . . . , zn ∈ E совпадают между собой.

Для того, чтобы при z0, . . . , zn ∈ E имело место равенство (3), необходимо и достаточно,чтобы

M⁽ⁿ⁾(r)≡ |c|

при любом r,взятом изN.

Доказательство. Докажем утверждение 1) леммы2. При любыхz₀, . . . , z_n∈E имеем

|[F(z);z₀, . . . , z_n]|=

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt₁. . . dt_n

6 Z 1

0

Z t1

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt1. . . dtn. (13) Пользуясь принципом максимума модуля для голоморфных функций, пунктом 1) леммы1 и неравенством (10), получим

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|6 max

|z|=|ζ||F⁽ⁿ⁾(z)|6max

|z|=ρ|F⁽ⁿ⁾(z)|6M⁽ⁿ⁾(ρ) (14) для любой точки (t1, . . . , tn)∈T. Отсюда

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt1. . . dtn6 Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt1. . . dtn

= [M(r);r₀, . . . r_n]. (15)

Из (13) и (15) следует (11), что и доказывает утверждение 1) леммы2.

Докажем утверждение 2) леммы 2. Необходимость. Пусть F⁽ⁿ⁾(z) не является константой и дляz0, . . . , zn∈E, среди которых есть различные, имеет место равен- ство (12). Тогда, объединив (13) и (15), получим

|[F(z);z0, . . . , zn]|=

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z t_n−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn

6 Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt1. . . dtn

6 Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt1. . . dtn= [M(r);r0, . . . , rn]. (16) Из (12), (16) следуют два равенства

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt1. . . dtn= Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt1. . . dtn, (17)

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn

= Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt1. . . dtn. (18) Заметим, что|F⁽ⁿ⁾(ζ)|иM⁽ⁿ⁾(ρ)являются непрерывными в областиT_nфункциями отt1, . . . , tn. Тогда, рассматривая (14) и (17), приходим к выводу, что

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|=M⁽ⁿ⁾(ρ) ∀(t1, . . . , tn)∈Tn. (19) Если точка (t₁, . . . , t_n) пробегает все точки из T_n, то согласно пункту 4) леммы 1 при фиксированныхz0, . . . , zn∈E точка

ζ=z0+t1(z1−z0) +· · ·+tn(zn−z_n−1) пробегает все точки из Q, а соответствующая ей точка

ρ=r0+t1(r1−r0) +· · ·+tn(rn−rn−1)

пробегает все точки изN. Поэтому равенство (19) имеет место при любом ζизQи соответствующем ρиз N. Далее, согласно пункту 1) леммы 1имеем |ζ|6ρ. Если предположить, что в некоторой точке (t⁰₁, . . . , t⁰_n)∈T_n для

ζ0=z0+t⁰₁(z1−z0)+· · ·+t⁰_n(zn−z_n−1) и ρ0=r0+t⁰₁(r1−r0)+· · ·+t⁰_n(rn−r_n−1) будет|ζ0|< ρ0, то с учетом того, чтоF⁽ⁿ⁾(z)не есть константа, получим

|F⁽ⁿ⁾(ζ₀)|6 max

|z|=|ζ0||F⁽ⁿ⁾(z)|< max

|z|=ρ0

|F⁽ⁿ⁾(z)|6M⁽ⁿ⁾(ρ₀), т.е.

|F⁽ⁿ⁾(ζ₀)|< M⁽ⁿ⁾(ρ₀).

Последнее неравенство противоречит (19). Следовательно, имеет место равенство

|ζ| = ρ для всех точек(t1, . . . , tn) ∈ Tn. Но тогда среди этих точек найдется точ- ка (t¹₁, . . . , t¹_n) ∈ Tn, гдеt1, . . . , tn – попарно различные числа, отличные от нуля и единицы, для которой

|ζ1|=|z0+t¹₁(z1−z0) +· · ·+t¹_n(zn−zn−1)|=ρ1=r0+t¹₁(r1−r0) +· · ·+t¹_n(rn−rn−1).

Применив пункт 3) леммы 1, получим, что все точкиz0, . . . , zn из кругаE должны лежать на некотором луче L(α). Значит,z_m=r_me^iα,m= 0,1, . . . , n. Но тогда

ζ=ρe^iα ∀(t1, . . . , tn)∈Tn. (20)

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЬЮТОНА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 729 Теперь равенство (19) можно заменить равенством

|F⁽ⁿ⁾(ρe^iα)|=M⁽ⁿ⁾(ρ) ∀ρ∈N . (21) Рассмотрим теперь отдельно равенство (18). Положим

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn=

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn

e^iβ. Тогда равенство (18) можно переписать в виде

Z 1

0

Z t1

0

. . . Z tn−1

0

Re{e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)}dt₁. . . dt_n

= Z 1

0

Z t1

0

. . . Z tn−1

0

|e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)|dt₁. . . dt_n. (22) Кроме того,

Re{e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)}6|e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)| ∀(t₁, . . . , t_n)∈T_n. (23) Функции Re{e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)} и|e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)|непрерывны вT_n. Поэтому из (22) и (23) следует, что

Re{e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)}=|e^−iβF⁽ⁿ⁾(ζ)| ∀(t1, . . . , tn)∈Tn.

Но тогда легко понять, что все значения функцииF⁽ⁿ⁾(ζ)лежат на лучеL(β). По- этому, учитывая (20) и (21), получим

F⁽ⁿ⁾(re^iα) =M⁽ⁿ⁾(r)e^iβ ∀r∈N .

Из сказанного выше следует справедливость пунктов 2a) и 2b) леммы 2.

Достаточность. Пусть имеют место условия, указанные в пунктах 2a) и 2b) лем- мы2. Тогда нетрудно убедиться в справедливости равенств

|[F(z);z0, . . . , zn]|=

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

F⁽ⁿ⁾(ζ)dt1. . . dtn

=

Z 1

0

Z t1

0

. . . Z tn−1

0

|F⁽ⁿ⁾(ζ)|dt₁. . . dt_n

=

Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z t_n−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt1. . . dtn

= Z 1

0

Z t₁

0

. . . Z tn−1

0

M⁽ⁿ⁾(ρ)dt₁. . . dt_n= [M(r);z₀, . . . , z_n].

Мы доказали утверждение 2) леммы 2. Справедливость утверждения 3) леммы 2 устанавливается аналогичным образом.

2. Перейдем к доказательству теоремы3. Для любыхz₀, . . . , z_n∈Eимеют место формулы (см. [7])

1

1−cz;z₀, . . . , z_n

=cⁿ

n

Y

m=0

1

1−cz_m, |c|61, ∀n>0, (24)

1

(1−cz)²;z0, . . . , zn

=cⁿ

n

X

m=0

1 1−cz_m

n

Y

m=0

1

1−cz_m, |c|61. (25) Далее,

z

(1−cz)² = 1 c

−1

1−cz + 1 (1−cz)²

.

Пользуясь формулами (24), (25) и элементарными свойствами разделенных разно- стей, получим

z

(1−cz)²;z₀, . . . , z_n

=cⁿ⁻¹

−1 +

n

X

m=0

1 1−cz_m

ⁿ Y

m=0

1

1−cz_m. (26) Пусть

M(r) = r

(1−r)², 06r <1.

Если в формуле (26) положимc= 1иzm=rm, m= 0,1, . . . , n, то получим [M(r);r0, . . . , rn] =

−1 +

n

X

m=0

1 1−rm

ⁿ Y

m=0

1 1−rm

∀n>0. (27) Если, кроме того, все r0, r1, . . . , rn равны между собой, то приходим к хорошо из- вестной формуле (см. [3], [4])

1

n!M⁽ⁿ⁾(r) = r+n (1−r)²⁺ⁿ,

где M⁽ⁿ⁾(r) – непрерывная и строго возрастающая на промежутке [0,1) функция.

Применяя теорему2 к функцииF(z)∈S, получим

|F⁽ⁿ⁾(z)|6M⁽ⁿ⁾(r) ∀ |z|=r <1, n>0.

Из (27) и леммы2 следуют оценки

|[F(z);z0, . . . , zn]|6[M(r);r0, . . . , rn] =

−1 +

n

X

m=0

1 1−r_m

ⁿ Y

m=0

1

1−r_m, (28) имеющие место при любом целом z >0 и произвольно взятых z0, . . . , zn ∈E, так как случай совпадения всех точек между собой приведет нас снова к теореме 2.

Рассмотрим вопрос о знаке равенства в (28). Пусть знак равенства в (28) имеет место в точках z0, . . . , zn ∈E, среди которых есть различные. Тогда на основании леммы2 существуют такие вещественныеαи β, что

zm=rme^iα, m= 0,1, . . . , n, F⁽ⁿ⁾(re^iα) =M⁽ⁿ⁾(r)e^iβ =n! r+n

(1−r)²⁺ⁿe^iβ ∀r∈N .

По теореме 2функцияF(z)должна иметь вид (4). Согласно формуле (26) имеем z

(1−e^−iaz)²;r0e^iα, . . . , rne^iα

=e^{−i(n−1)α}

−1 +

n

X

m=0

1 1−r_m

ⁿ Y

m=0

1 1−r_m

= [M(r);r0, . . . , rn]e^{−i(n−1)α}.

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ НЬЮТОНА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 731 (Здесьe^{−i(n−1)α}=e^iβ). Значит,

z

(1−e^−iαz)²;r₀e^iα, . . . , r_ne^iα

= [M(r);r₀, . . . , r_n].

Теорема3 доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] А. О. Гельфонд,Исчисление конечных разностей, Наука, М., 1967.

[2] L. de Branges, “A proof of the Bieberbach conjecture”, Acta Math., 154:1–2 (1985), 137–152.

[3] И. А. Александров, “Доказательство Л. де Бранжем гипотезы И. И. Милина и гипо- тезы Л. Бибербаха”,Сиб.матем.журн.,28:2 (1987), 7–20.

[4] И. А. Александров,Методы геометрической теории аналитических функций, Изд-во Томск. ун-та, Томск, 2001.

[5] E. Landau, “Einige Bemerkungen ¨uber schlichte Abbildung”,Jahresber.Deutsch.Math.- Verein.,34(1926), 239–243.

[6] И. И. Ибрагимов,Методы интерполирования функций и некоторые их применения, Наука, М., 1971.

[7] Э. Г. Кирьяцкий, И. Б. Меляускас, “О признаках принадлежности некоторых рацио- нальных функций классуKn(D)”,Литовский матем.сб.,22:4 (1982), 82–89.

Э. Г. Кирьяцкий

Вильнюсский технический университет им. Гедиминаса E-mail:eduard.kiriyatzkii@takas.lt

Поступило 19.04.2007