Т. Жанлав, И. В. Пузынин, О комбинации метода установ- ления и метода Ньютона для решения нелинейных диффе- ренциальных задач, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, том 34, номер 2, 175–184

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Т. Жанлав, И. В. Пузынин, О комбинации метода установ- ления и метода Ньютона для решения нелинейных диффе- ренциальных задач, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, том 34, номер 2, 175–184

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 07:15:01

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И

Том 34, 1994 № 2

УДК 519.62

© 1994 г. Т. ЖАНЛАВ, И. В. И У З Ы Н И Н (Дубна)

О КОМБИНАЦИИ МЕТОДА УСТАНОВЛЕНИЯ И МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Изучается итерационная схема для нелинейного уравнения ф ( г ) = 0 в банаховом пространстве, полученная на основе метода установления. Исходной задаче сопоставлено нелинейное эволюционное уравнение. Соответствующая дискретная схема приводит к

«почти линейным» задачам с регулируемой нормой нелинейности, для численного решения которых был использован непрерывный аналог метода Ньютона. Преимущество построенной итерационной схемы перед схемой, вытекающей из непрерывного аналога метода Ньютона, состоит в более широкой применимости для "случаев, близких к вырожденным (Ikp' (z) II -> 0). Результаты применены к решению граничной задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Доказаны теоремы о мо­

нотонной сходимости как итерационной схемы в целом, так и итерационной ньютоновской схемы на каждом шаге итераций. Рассмотрены численные примеры.

• Введение .

Один из способов построения итерационных схем для решения нелинейных стационарных задач базируется на методе установления [1]—[3]. Такие итерационные схемы получаются как результат применения разностной аппроксимации по параметру стабилизации для соответствующих эволюционных уравнений. При этом условия сходимости этих схем могут быть исследованы как самостоятельно, так и в связи со свойствами аппроксимации и устойчивости решений эволюционных уравнений. В данной работе рассмотрен первый подход к изучению свойств одной из таких итерационных схем.

В § 1 рассматриваются условия сходимости итерационной схемы., полученной формально путем разностной аппроксимации соответствующей эволюционной задачи. Специфика схемы заключается в том, что решение исходной нели­

нейной задачи сведено к решению бесконечной последовательности также нелинейных задач. Однако последние в силу почти линейности более пригодны для решения итерационными методами для случаев, близких к вырожденным, нежели исходная задача. В этом состоит преимущество данной схемы перед непрерывным аналогом метода Ньютона (н. а. м. Н.). На каждом шаге основного итерационного процесса, вытекающего из метода установления, используются ньютоновские итерации для определения следующего приближения к искомому решению.

В § 2 изучаются условия сходимости итераций и свойства последовательных приближений для "нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями. В § 3 рассмотрены численные примеры.

176 Т. Жанлав, И. В. Пузынин

§ 1. Метод установления и итерационная схема Рассмотрим нелинейное уравнение

( 1 . 1 ) q>(z) = 0 ,

где нелинейная функция <р отображает ^-пространство X в ^-пространство У.

Предположим, что (1.1) имеет единственное решение z* в выпуклой области D пространства X и в D существуют непрерывные производные ф' (z), ф" (z), причем линейный оператор ф' (z) имеет ограниченный обратный оператор

[ф' С²)]"¹- Введя непрерывный параметр * е [ 0 , <»), сопоставим уравнению (1.1) абстрактную нестационарную задачу Коши

(1.2) В (0 dz/dt = ф (z (0), z (0) = z0.

Здесь z⁰ — заданный элемент из пространства X и Bit) — некоторый линейный оператор, переводящий ^-пространство X в У. Предположим, что задача (1.2) имеет решение. Если z (/) н> z* при то уравнение (1.2) соответствует методу установления [Г}, [2]. Заметим, что известные методы решения нели­

нейных функциональных уравнений (такие как н. а. м. Н. [4], [5], непрерывные аналоги i^-процессов | 6 ] , [7], эволюционный ньютоновский процесс [8]), могут быть записаны в виде (1.2) с различными операторами В. При некоторых условиях гладкости и обратимости оператора В имеет место соотношение z (t) -> z* при t -з> со. Таким образом, эти методы могут быть отнесены к методу установления.

Рассмотрим случай, когда В (t) = Е — единичный оператор, а ф (z) переводит пространство X в себя. Тогда задача (1.2) имеет вид

(1.3) dz (t)/dt = ф (z (0), z ( 0 ) = z⁰.

Рассмотрим следующее дискретное по параметру t приближение задачи (1.3):

которое в случае установления можно рассматривать и как итерационный процесс решения задачи (1.1), на каждом шаге которого необходимо решать нелинейную задачу относительно z^{n +}О д н а к о норму нелинейности можно регулировать выбором параметра х^п. Сформулируем одно достаточное условие сходимости итераций (1.4).

Т е о р е м а 1. Пусть выполняются такие условия,

1. Для каждого п решение задачи (1.4) существует и принадлежит выпуклой области D.

2. В области D существуют производная Фреше ф' (z) и обратный оператор [Е — Тф' (z)]"¹, причем выполняется условие

(1.5) \\[Е- тф' ( z ) ] - 4 l < q< 1, 0 < т < 1 .

Тогда решение задачи (1.4) сходится при п оо к решению z* задачи (1.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы легко получить из рассмотрения последова­

тельности уравнений для ошибки б"^{+ 1} = z"^{+ 1} — z*:

( 1 . 4 ) (z" ⁺ » - zT)/xⁿ = ^Ф (z" ⁺ •), z° = z⁰, 0 < xⁿ < 1,

(1.6) _{[ я}- тлф ' ( ?я) ] е^{я +} ' = е^я,

где zⁿ = aⁿzT •• + ( 1 - aⁿ) z\ aⁿ G(0^V 1).

О комбинации метода установления и метода Ньютона ^{1 7 7}

Легко видеть, что уравнение (1.6) однозначно разрешимо и имеют место оценки

п е^{я + ,}и < д\\в^п\\< . . . < 5^{Я + 1} и е⁰и .

Отсюда следует, что z" н> z* при п -*» <».

Если z" известно, то для определения z" ^{+ 1} надо решать нелинейное уравнение (1.4) или

z* ^{+ 1} - ад (z* ⁺' ) = z".

Его можно решать различными способами, например методом простой итерации, поскольку подбором хп можно добиться выполнения условия llyp' (z)ll< 1 в окрестности решения. Однако более эффективным является ньютоновская схема, имеющая более высокую скорость сходимости. Она сводится на каждом шаге вспомогательных итераций к решению линейной задачи относительно итерационной поправки

(1.7) [Е - у р ' (*Z + ') 1 vk = - хл [ *к * ' ~ - у (z* + ')] , 2 г : ! = 2 г^{+ |} + о^Л; o < 6 , < i , * = o , i , . . . .

По сравнению с ньютоновской схемой для уравнения (1.1) данная схема обладает свойством регуляризации, если оператор ср' (z) близок к вырожденному. При достаточно малом значении хп в качестве начального условия для итераций (1.7) можно задать zj4"1 = z \ -В итерациях (1.7) величина ок играет роль параметра и ее выбор можно связать с минимизацией невязки [9], [10]. •

§ 2. Итерации для дифференциальных уравнений

•1. Рассмотим краевую задачу

( 2 . 1 ) z" = / (х, z, z'), 0 < х < /, z(0) = z (Г) = 0.

Пусть uix)> Щх) —дважды непрерывно дифференцируемые на [0, •/] функций, удовлетворяющие однородным краевым условиям' и неравенству и(х) < Щх) при 0 < х < I. Пусть D в {0 < х < /, и (х) < z (х) < U (х)} — выпуклая область. Пред­

положим, что задача (2.1) имеет единственное решение -z* в области В. Для задачи (2.1) итерации (1.4) имеют вид

(2.2) (? + ¹-*<)/х^я = (? + ¹)" -f(x, z" ^{+ l}, (z" ⁺ ')'), z° = z0, z" ^{+ l}( 0 ) = z- ⁺ ,( 0 = 0 ,

где z0 (я) Е D . Предположим, что при каждом фиксированном п задача (2.2) имеет единственное решение в области D. Условие (1.5) для задачи ( 2 . 1 ) выполняется при определенных ограничениях.относительно нелинейной функции fix, z," z') и ее производных.

Т е о р е м а 2. Пусть функция fix, z, z') имеет непрерывные производные по аргументам z, z' до второго порядка включительно и выполнено условие (2.3) ^ S > 0

178 Т. Жанлав, И. В. Пузынин

в области D. Тогда итерации (2.2) сходятся при п -> <» к решению z* задачи (2.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 1. Уравнение" для ошибки 6^{я + 1} имеет вид

(2.4) е" + 1" - / л ^ ? ; , Гя' ) ( е - + ' ) ' - [ / Л х , К , К ' ) + {] ея + , = - Ц , в"\' ( 0 ) = 6 "+ 1 (/) = 0.

где zⁿ = <x„z" ^{+ 1} + (1 - a„) z*, a„ е (0, 1). В силу условия (2.3) и т„ > 0, задача (2.4) имеет единственное решение и для него справедлива оценка [11 ]

(2.5) М е^{я + |}ИС< < 7 Ив"11с, q = . ,1. < 1, II9IIC = max IG (JC)I.

Из (2.5) ясно, что 116^я11^с -* 0 при п -* оо, т. е. z" -*> Z* при л -*> <».

З а м е ч а н и е 1. При исследовании сходимости итерационного процесса для задачи (2.1) обычно накладываются ограничения на нелинейную часть уравнения [12]. Для определенного класса нелинейностей в [13] найдены условия стабилизации решения эволюционного уравнения, для которого можно построить дискретную по t аппроксимацию. Условие (2.3) часто встречается в [14], [15] при исследовании краевых задач (2.1), и в данном случае оно обеспечивает единственность решения задачи (2.2).

2. Для численного решения нелинейной задачи (2.2) применим н.а.м.Н. [4 ], [5]. В результате получим итерационный процесс

(2.6) ^L>* = V " /Л*. 4⁺(4⁺')') V - [/.(*, 4⁺(4⁺')'). + т^я]ч ⁼ 1 ⁺ \

% (0)

= v

(l) =

(2Л ) ^ 1 = ^ ' + %

4*\=z">

(2.8) * Г¹ т ~ *" - ( * Г ' ) " + / ( * , 4⁺'. (4+ ')').

Можно сформулировать условие глобальной сходимости итераций (2.6), (2.7).

Т е о р е м а 3.. Предположим, что все условия теоремы 2 выполнены и в области D справедливо неравенство

<

-

> L

Пусть при некотором значении Jc > 0 выполняется условие (2.10) r" + ,> 0 ( < 0 ) .

Тогда имеет место монотонная сходимость итерационного процесса (2.6), (2.7):

( 2 . 1 1 ) z* ^{+ 1} < . . . < z * : i < z * : | < z r ' (z^-» < z j - < z«:» < . . . < ^{2 я + 1}).

Д о к а з а т е л ь с т в о . При выполнении условий (2.3), (2.10) диф­

ференциальный оператор в (2.6) является оператором монотонного типа [16] и,

О комбинации метода установления и метода Ньютона 179 следовательно, из гя + ,. > 0 вытекает vk<0. Тогда из (2.7) следует, что z£ * | < z£ + Запишем r\ * j в виде

(2.12) -П t j = (1 - ^:+^(/А + 2 / > Л ' + £ v к ; )²) .

где J— значение функции / в некоторой точке из области D. Если учесть неравенства, (2.9) -и (2.10), то из (2.12) следует неравенство г^Ц > 0. Отсюда, как и на предыдущем шаге, получаем zj * \ < z\ \ j и т. д. Легко видеть, что при фиксированном п последовательность { z j⁺' } монотонно убывающая. Обозначим

1 = z" + 1 — z " /1, причем 0я/1 удовлетворяет уравнению (2.13) ад*¹ = (егг - Ъ ос')' - (Z+ {) ^ ^{1 =} ^'>

в Г¹( 0 ) = в Г Ч 0 = 0 , . m = &, * + 1 , . . . ,

где производные /2 функции / вычислены в некоторой точке области Z).

Отсюда, как и выше, получаем неравенство 0^я/ ¹ < 0 для всех т> к. Таким образом, верно (2.11) и, следовательно, монотонная, ограниченная снизу после­

довательность имеет предел. Покажем, что, Mm z* + 1 = z"+ '.

к

->

Действительно, для решения задачи (2.13) справедлива оценка [ 1 1 ] (2.13') ||в; + Ч 1^с < qll^ ^{+ ,}ll^c.

Из (2.7) ясно, что для сходимости последовательности {z^{w + l}} необходимо, чтобы v^k 0 при к оо. С другой стороны, в силу, условия (2.3) и х^п > 0, оператор Ь\ в (2.6) имеет ограниченный обратный оператор \}{L^nk)~^x\\< q. Из уравнения

(2.6) найдем

г,;=(^)-',г'.

Отсюда ясно, что г". + | - * 0 при к^> «>. Тогда из (2.13')- вытекает, что II z" ^{+ 1} - z* ^{+ 1}1 1с 0 при к н> оо.

Аналогичным образом доказывается вторая часть неравенства (2.11).

Теорема 3 уточняет доказательство теоремы из [17].

3. Теорема 2 устанавливает сходимссть итераций (2.2). Справедлива также следующая

Т е о р е м а 4. Пусть r£, m > 1, знакопостоянна на интервале (О, D и выполняются все условия теоремы 3. Тогда имеет место монотонная сходи­

мость итераций (2.2), т. е. справедливы неравенства

(2.14) z* < . . . < z" < тГ~ ¹ при г% > 0 (z* > . . . > z^m > тГ~^х при г% < 0 ) .

1 8 0 Т. Жанлав, И. В. Пузынин

Д о к ,а з а т е л ь с т в о. Пусть г£ ^ 0, т > 1. Тогда согласно теореме 3 справедливы неравенства

z* < . . . < z£ < zf < z£ = z™ ~ Отсюда и из (2.2), {2.8) имеем

- - ( О " + / ( х , z * (z")') = - ?Г. г Г " > о,

хт - I

Следовательно, вгаолняюгся неравенства f**¹ < z"¹ < z^m~\ r% ^{+ i} > 0, i = 1, 2, Необходимо доказать неравенство z* < z* при любом натуральном п > т . Для этого рассмотрим равенства

- (z*)" + / ( х , Л (z*)') r% * z«(0) = zr(7) = О, +f(x,z^(z*y)~Q⁹ z*(0) = z*(Z) = a Из них вытекает задача

(z* - z*) = 0, х « © , £

Производные f²,, /^z вычислены 'в •некоторой точке области Д. Отсюда с учетом условия (2.3) и rg * ¹ > -0 получаем неравенство .г* - z" < 0. Аналогичным образом доказывается вторая часть неравенств (2.14).

Рассмотрим еще одно утверждение, .характеризующее качественное свойство решения дифференциальной задачи (2.1).

Т е о р е м а 5. Пусть выполняются неравенство (2.9) и условия теоремы % Пусть также дифференциальное неравенство

(2.15) z" - f(x, z, z'). < © { > 0)

имеет хотя бы одно неположительное ^неотрщошельное) решение, удовлет*

воряюгцее условиям z(D) =z<Z) = 0 . Тогда решение краевой задачи <2.1) неполо­

жительно {неотрицательно) на отрезке | 0 , if.

Д о к ,а з д т е л ь с т в о,. Неположительное решение неравенства ( 2 4 5 ) возьмем в качестве начального щшбляшения в итерациях (2>6), (2.7), т/ е. z ° . £ 0 , (z⁰)" - f(x, z°, {z⁰)') < 0. Тоща из <2Д) вытекает нераренетво

4

- — ^ - <4)" •+ /(*> 4 (4)1 - - (*°г

(*

Г)

Z* ;•< .. , . ; < Z* < . . < Z¹ < Z° £ й.

^Совершенно аналогично доказываются обраетые неравенства..

1 качестве иллюстрации к теореме 5 рассмотрим пример | 3 j

О комбинации метода установления и метода Ньютона 1 8 1

(2.16) z" = e% z ( 0 ) = z ( l ) = 0,

для которого выполняются условия (2.3), (2,9), т. е.

Д<х, z, z') = e*>0, fj* + 2£Дт1 + f^£rf - > 0 .

При удачном выборе начального приближения можно не только построить 'Мо­

нотонно сходящуюся последовательность приближений, но и доказать неположи­

тельность решения задачи (2.16). Выберем z⁰ (х) SE 0. Легко видеть, что z^Q(x) удовлетворяет условию (2.15), т.. е. z⁰" - ехр (z⁰) < 0. Таким образом, все условия теоремы 5 выполняются. Следовательно, по теореме 5, решение задачи (2.16) неположительно..

З а м е ч а н и е 2. Очевидно, имеет место монотонная сходимость н.а.м.Н. для задачи (2.1) при выполнении условий (2.3), (2.9). Связь этого метода с рассмотренным нами подходом указана в

[17].

§ 3. Численные эксперименту

1. Для иллюстрации монотонной сходимости итераций, (2.2) и (2.6), (2.7) рассмотрим тестовую .задачу

( З Л ) z" = - z, + 2, z, = ехр ( - х²), (3.2) z(0)=®, z(l) = L-

Относительно правой части уравнения (3.1) выполняются условия (2.3) и (2.9),

•причем озоггоегатвуюшдя квадртичная<форма в теореме 3 положительно нолуонредел ена, В качестве начального приближения возьмем z⁰(x) = х. При этом г⁰ = •— z, 4- 2 > 0, х Е fO, 11. Тогда, согласно теоремам 3 и 4, должны сходиться монотонно итерационные процессы (2.2) (внешние итерации) и (2,6), (2.7) (внутренние итерации)., т. е. z* < , , , < z" *¹ < zⁿ < . , . < z^l < z° = z⁰, z" + ^J < . . . < z j * | ^

4 + *

Дискретизация краевых задач (2,6) осуществлена с помощью еплашьехемы точности .0(й²), где к — шаг равномерной сетки. Значения приближенного и точного решений приведены в табл. 1, 2", в которых число п(к) указывает номер внешней -(внутренней) итерации. Шаг сетки h = 0.002, Из таблиц видно, что имеется монотонная сходимость как внешних (табл. 1), так и внутренних (табл. 2) итераций,

2. Сходимость обсуждаемой вычислительной схемы на практике .возможна • даже в тех случаях, когда хотя бы одно из условий (2.3) и (2.9) ще выполнено.

В качестве примера, подтверждающего это, рассмотрим задачу (3.3) ^ - У р - ( f ^{а > 1} > * *⁰>

(3.4)

у

у

у (х)

которая встречается в «елинейной теории .ноля т статистической теории ядра, а ее решения носят название частицеподобных (181. "В- [191, (201 показано, что .задача (3.3), (3.4) имеет положительное решение при 1 < а < 4 и не имеет положительных решений при а > .5, Насколько нам известие», при 4 < а < 5 вопрос о существовании решений задачи не исследован.

182 Т. Жашшв, И. В. Пузынин

Таблица J

X ПУЛ/

0.2 0.4 0.6 0.8

0(0) 0.2 0.4 0.6 0.8

1(3) 0.06329694 0.19709144 0.39683106 0.66284490

2(2) 0.04350809 0.16563286 0.36558143 0.64341999

3(2) 0.04053066 0.16085290 0.36084456 0.64051644

4(2) 0.04008030 0.16012907 0.36012778 0.64007811

5(2) 0.04001215 0.16001954 0.36001933 0.64001182

6(2) 0.04000028 0.16000045 0.36000044 0.64000027

2* 0.04 0.16 0.36 0.64

Таблица 2

п к

X

п к

0.2 0.4 0.6 0.8

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 0.06453281 0.19926286 0.39912272 0.66426204

1 2 0.06329706 0.19709166 0.39683130 0.66284505

3 0.06329694 0.19709144 0.39683106 0.66284490

2 1 0.04353346 0.16567774 0.36562852 0.64344857

2 0.04350809 0.16563286 0.36558143 0.64341999

С помощью предлагаемого итерационного процесса нами численно решена задача (3.3), (3.4) на отрезке [0, R], для которой правая часть уравнения (3.3) не удовлетворяет условиям (2.3) и (2.9"). В табл. 3 приведены значения поло­

жительного решения в некоторых точках трех равномерных сгущающихся сеток при различных значениях а.

Численные расчеты показали, что по мере возрастания а > 4 требуется .более мелкий шаг сетки. Нам удалось вычислить приближенное положительное решение задачи (3.3), (3.4) при 4'< ос < 4.8. В процессе численного решения требуемая точность результатов достигалась путем изменения параметров сетки А и Л. При этом наблюдалась квадратичная сходимость приближенного решения по шагу А равномерной сетки.

Проведенные расчеты позволяют заключить, что существует положительное решение задачи (3.3), (3.4) по крайней мере при всех а, удовлетворяющих неравенствам 4 < а < 4.8.

Отметим, что в [21] доказано существование положительного решения задачи

О комбинации метода установления и метода Ньютона 183 Таблица 3 уОс, а)

«1 = 0.006

X «1 = 0.006

а = 4 а = 4.2 а = 4.4 а = 4.6

0.6 Л 0.45579 0.35741 0.27226 0.19752

Л/2 0.45540 0.35678 0.27107 0.19463

Л/4 0.45530 0.35662 0.27076 0.19385

1.8 Л 0.13827 0.10793 0.08206 0.05956

Л/2 0.13814 0.10779 0.08170 0.05863

Л/4 0.13811 0.10769 0.08161 0.05839

3.0 Л 0.04156 0.03244 0.02467 0.01788

Л/2 0.04152 0.03238 0.02456 0.01762

Л/4 0.04151 0.03236 0.02453 0.01755

У-(г+ ч-и*...

у(0) = у (оо) = 0

при всех 1 < а < 5. Проведенный численный анализ задачи (3.3), (3.4) указывает на возможность существования положительного решения в «открытой» области изменения параметра а (4 < а < 5 ) и существования в ней «критического» зна­

чения параметра а^{к р}, после которого такое решение перестает существовать.

Авторы благодарят И. В. Амирханова за обсуждения численных результатов по

часгицеподобным

• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1983.

2. Бахвалов Я . С. Численные методы. M.: Наука, 1976.

3. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. M.: Мир, 1968.

4. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов / / Изв. вузов. Сер. матем. 1958. № 5(6). С. 18—31.

5. Жидков Е. Я , Макаренко Г. И., Пузынин И. В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах ф и з и к и / / Физ. элементарных частиц и ат. ядра. 1973. Т. 4. Вып. 1.

С. 127—165.

6. Александров Л. Регуляризованные вычислительные процессы Ньютона — Канторовича//

Ж . вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 11. № 1. С. 36—41.

7. Александров Л. Регуляризованные траектории приближения ньютоновского типа для решения нелинейных уравнений / / Дифференц. ур-ния. 1977. Т. 13. № 7.'С* 1281 — 1292.

8. Жанлав Т., Пузынин И. В. О модификации непрерывного аналога метода Ньютона: Препринт Р11-91 -100. Дубна: О Ш Ш , 1991.

9. Красносельский М. А., Вайникко Г. М.} Забрейко Я. Я. и др. Приближенное решение операторных уравнений. M.: Наука, 1969.

10. Кивистик Л. А. Об одной модификации итерационного метода с минимальными невязками для решения нелинейных операторных уравнений / / Д о к л . АН СССР. 1961. Т. 136. № 1. С. 22—25.

184 Т. Жанлав, И. В. Пузынин 11. Треногий В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

12. Глинская Я. # . , Мысовских И. Я . О численном решении граничной задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения / / Вестн. ЛГУ. Сер. матем. 1954. № 8. С. 49—54.

13. Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state / / J . Math, and Mech.

1959. V. 8. № 1. P. 57—76.

14. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: Мир, 1978.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. M.: Наука, 1976.

16. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. M.: Мир, 1969.

17. Жанлав Т., Пузынин И. В. Численные схемы в методе стабилизации для нелинейных диф­

ференциальных уравнений второго порядка: Препринт Р11-87-722. Дубна: ОИЯИ, 1987.

18. Гласко В. Б., Лерюст Ф., Терлецкий Я. П., Шу шурин С. Ф. Исследование частицеподобных решений нелинейного уравнения скалярного п о л я / / Ж . эксперим. и теор. физ, 1958. Т. 35.

Вып. 2(8). С. 452—457.

19. Nehari Z, On a nonlinear differential equation arising in nuclear p h y s i c s / / P r o c . Roy. Arish. Acad.

1963. V. A62. № 9. P. 118—135.

20. Жидков E. П., Шириков В. Я , Пузынин И. В. Задача Коши и краевая задача для некоторого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка / / Материалы сове­

щания по матем. методам решения задачи ядерной физ. Дубна, 17—20 ноября 1964: Препринт

2005. Дубна: ОИЯИ, 1965. С. 13—18. - , 21. Амирханов И. В., Жидков Е. Я , Макаренко Г. И. Достаточное условие существования положи­

тельного частицеподобного решения нелинейного уравнения скалярного поля: Препринт Р5-11-705*

Дубна: ОИЯИ, 1978.

Поступила в редакцию 06.11.91 Переработанный вариант 06.08.93