В. В. Козлов, Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2000, номер 5, 43–47

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. В. Козлов, Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2000, номер 5, 43–47

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 11:02:41

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. №5 43

Р а б о т а выполнена п р и финансовой поддержке п р о г р а м м ы "Университеты России. Фундамен­

тальные направления" и Ф Ц П "Интеграция".

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Карапетян А.В., Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа / / Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1998. № 5. 29-33.

2. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

Поступила в редакцию 17.03.99

У Д К 521.14 + 531.01

Т Е О Р Е М Ы Н Ь Ю Т О Н А И А Й В О Р И О П Р И Т Я Ж Е Н И И В П Р О С Т Р А Н С Т В А Х П О С Т О Я Н Н О Й К Р И В И З Н Ы

В. В . Козлов

Посвящается памяти В. Г. Демина

1. Классические т е о р е м ы Ньютона и Айвори. К а к установил Ньютон, однородная сфера не п р и т я г и в а е т внутренних точек, а внешние т о ч к и притягиваются к а к бы одной материальной точкой, которая помещена в центр сферы и масса которой равна массе сферы. С ч и т а е т с я установленным, ч т о Ньютон нашел доказательство этой замечательной т е о р е м ы лишь з а г о д до публикации своих Principia. Поучительное обсуждение хода рассуждений самого Ньютона, а т а к ж е д р у г и х подходов к доказательству т е о р е м ы о притяжении сферы можно н а й т и в [1, 2].

Из т е о р е м ы о сфере сразу выводится, ч т о однородный ш а р п р и т я г и в а е т т о ч к и внешней области т а к же, к а к если бы его зйасса была сосредоточена в центре, а сила притяжения внутренних точек линейно зависит о т расстояния до центра (по закону Гука).

Хорошо известно, ч т о поверхности уровня гравитационного потенциала однородного стержня — конфокальное семейство эллипсоидов вращения, фокусы которых совпадают с концами о т р е з к а (см., например, [3]). Э т о т р е з у л ь т а т был обобщен Айвори.

Р а с с м а т р и в а е т с я бесконечно тонкий однородный слой, заключенный между двумя подобными концентрическими эллипсоидами. Он называется эллиптическим слоем. Оказывается, г р а в и т а ц и ­ онный потенциал в н у т р и эллиптического слоя постоянен (теорема Ньютона, обобщающая теорему о п р и т я ж е н и и сфер), а поверхности уровня потенциала во внешней области суть софокусные ему эллипсоиды (теорема Айвори). Доказательство см., например, в [3].

Эллиптический слой проще представить себе к а к эллипсоид с, вообще говоря, непостоянной го- меоидной плотностью d c r / | V / | , где da — элемент площади эллипсоида, V / — г р а д и е н т к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы / , задающей ф о р м у эллипсоида [4]. Гомеоидная плотность с ф е р ы и отрезка, очевидно, посто­

янна.

2 . Гравитация в пространствах постоянной кривизны, Заменим евклидово простран­

ство Е³ п р о с т р а н с т в о м постоянной кривизны S³ (трехмерная сфера в Е⁴) или L³ (пространство Ло­

бачевского). Э т о однородные пространства: к а к и на Е³, н а них действуют шестимерные г р у п п ы изометрий. Свойство однородности позволяет определить аналог ньютоновского потенциала: э т о решения уравнения Л а п л а с а - Б е л ь т р а м и на S³ или L³ соответственно, зависящие лишь о т расстояния между т о ч к а м и .

Первые ш а г и по развитию теории притяжения в L³ были сделаны самим Лобачевским (см. [5]).

Явная ф о р м у л а для ньютоновского потенциала в §³ была получена впервые, по-видимому, Шредин- гером для целей квантовой механики [6]:

V = - 7 c t g # , 7 = const > 0.

(i)

44 В Е С Т Н . М О С К . У Н - Т А . С Е Р . 1 , М А Т Е М А Т И К А . МЕХАНИКА. 2 0 0 0 . № 5

Здесь 0 ^ г? ^ 7Г, — угол между радиус-векторами г р а в и т и р у ю щ и х т о ч е к н а S³. О т м е т и м , ч т о к р о м е т о ч к и # = 0 потенциал (1) имеет особенность в антиподальной т о ч к е # = 7г: если исходная т о ч к а п р и т я г и в а е т (7 > 0), т о антиподальная о т т а л к и в а е т с т о й же интенсивностью.

Если надо п о д ч е р к н у т ь , ч т о гравитационное поле создается материальной т о ч к о й массы га, т о в в ы р а ж е н и и для потенциала (1) надо добавить множитель га; при э т о м 7 следует и н т е р п р е т и р о в а т ь к а к г р а в и т а ц и о н н у ю постоянную. Ниже (для удобства записи) постоянный множитель —7 опущен.

В р а б о т а х [7-9] с разной общностью была решена з а д а ч а Б е р т р а н а для п р о с т р а н с т в постоянной к р и в и з н ы — н а й т и потенциалы, порождающие центральные силовые поля, в к о т о р ы х все ограни­

ченные о р б и т ы з а м к н у т ы . К р о м е ньютоновского гармонического потенциала н а д о д о б а в и т ь еще потенциал у п р у г о г о взаимодействия. Для §³ потенциал Гука имеет вид

V = Ktg к = c o n s t . (2)

В р а б о т а х [5, 7-10] содержатся начала небесной механики в п р о с т р а н с т в а х постоянной к р и в и з н ы . Дальнейшие р е з у л ь т а т ы в э т о м направлении можно н а й т и в [11].

В настоящей р а б о т е основные т е о р е м ы т е о р и и ньютоновского потенциала в Е³ переносятся (с не­

к о т о р ы м и оговорками) н а п р о с т р а н с т в а постоянной кривизны. Для определенности р а с с м а т р и в а е т с я случай с ф е р ы — п р о с т р а н с т в а с нетривиальной топологией. Для п р о с т р а н с т в а Лобачевского т р и г о ­ нометрические ф у н к ц и и заменяются гиперболическими.

3. П р и т я ж е н и е сфер. Р а с с м о т р и м трехмерную сферу единичного радиуса в четырехмерном

евклидовом п р о с т р а н с т в е §' . Введем сферические к о о р д и н а т ы 0 ^ t? ^ 7г, 0 ^ у> < 7г, ф m o d 2тг по ф о р м у л а м

х\ = sin # sin <р sin ф, х² = sin # sin <р cos I/J,

£3 = sin cos Я 4 = cos

М е т р и к а н а S³ и м е е т вид ds² = d-д²+sin²1? (dtp² + s i n² ipdtp²), а определитель м а т р и ц ы коэффициентов этой к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы равен д = s i n4 # s i n2 ip.

Р а с с м о т р и м н а S3 двумерную сферу

S² = {# = <?⁰, 0 < #о < тг/2}

и изучим ее п р и т я ж е н и е в предположении однородности распределения массы. Следует и м е т ь в виду, ч т о на S³ имеется еще одна с ф е р а §?L = { # = п — #о}> конгруэнтная §², т о ч к и к о т о р о й производят о т т а л к и в а ю щ е е действие. Трехмерная с ф е р а §3 делится двумерными с ф е р а м и S2 и н а т р и связные области.

Элемент площади S2 равен

da = у/д dip d^ = s i n² #0 sin dip dij), а ее полная площадь р а в н а

J J da = 4 7 r s i n²#⁰- 0 0

Введем п л о т н о с т ь распределения массы р = М/ где М — масса S².

Теорема 1.

если 0 ^ $ < #о и 7г — i?o < $ ^ к-

Т а к и м образом, с ф е р а не п р и т я г и в а е т т о ч к и , лежащие "внутри" S² и S?L, а "внешние" т о ч к и п р и т я г и в а ю т с я т о ч н о т а к же, к а к если бы сферу S2 з а м е н и т ь одной т о ч к о й в ц е н т р е S2, а ее массу положить равной массе всей с ф е р ы .

Доказательство. Ввиду симметрии д о с т а т о ч н о вычислить потенциал в т о ч к е с к о о р д и н а т а м и Х\~ Х² — 0, Z3 = sint9, Х4= cos

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. № 5 45

Он равен интегралу

7Г 2тг

V = pJ J ctg$y/gd(pdip, о о

где cos д = sin $0 sin д cos (р + cos t?0 cos Нахождение потенциала сводится к вычислению и н т е г р а л а М Г costi simp dip

~ ~ 2 ~ /

S

"

о Он равен

М К / l - c o s² (tf + tf⁰) - \ / l - c o s² (i9 — г?⁰) 2 sin #о sin t? (3)

Пусть #⁰ < # < я" - t?o (#o ^ ^ / 2 ) . Тогда # - 1 ?⁰> О и # < 1 ? + # о < я " . Следовательно, согласно (3) 7 = М [sin(0 + tf⁰) ~ sin(i9 - #<>)] / ( 2 sintf⁰ sintf) = M ctg tf.

Пусть теперь г? < i?o ^ тт/2. Тогда i? — #o < 0 и # + #⁰ < тг. Следовательно, У = М [sin(tf + о) + sin(0 - tfo)] / ( 2 sin tf⁰ sin ) = M ctg tf⁰ = c o n s t . Ч т о и требовалось.

Из т е о р е м ы 1 сразу выводится т е о р е м а о притяжении однородного шара, ограниченного сфе­

рой # = #о < тг/2: внешние т о ч к и (#о ^ # ^ я" — #о) п р и т я г и в а ю т с я т а к же, к а к если бы его масса была сосредоточена в центре. Потенциал в н у т р и ш а р а единичной плотности определяется к а к 7Г (2$ — sin 2д) cos # / sin ч т о отличается о т гуковского потенциала (2). Лишь п р и малых $ получаем потенциал у п р у г о г о взаимодействия 47и9²/3 4- о ( #²) .

4. П р и т я ж е н и е отрезка. В случае евклидова п р о с т р а н с т в а э т а задача, по существу, является плоской: в любой плоскости, содержащей гравитирующий отрезок, линии уровня потенциала будут семейством эллипсов с фокусами в концах отрезка. Для п р о с т р а н с т в а постоянной к р и в и з н ы ситуация аналогичная. В случае §³ роль плоскости и г р а е т двумерная сфе ра единичного радиуса.

И т а к , н а двумерной сфере

х2 + у2 + ^2 = 1 (4)

рассмотрим о т р е з о к — дугу большого к р у г а с концами в т о ч к а х F i = (а,/3,0) и F2 = (or,.-/3,0).

Разумеется, а2 + /З2 .= 1. Ч т о б ы выбор дуги был однозначным, будем с ч и т а т ь , ч т о она содержит точку с к о о р д и н а т а м и 1, 0, 0. Э т а д у г а допускает параметризацию >

7Г _ 7Г

х = sin<p, у = cos ip, z = 0; - - ( р ^ ( / ? ^ - + <£, где cos (р — a , sin ф ~ (5.

В т о ч к е с координатами у, z значение потенциала (с т о ч н о с т ь ю до постоянного множителя) равно

sint?

7г/2-<£

/* cos'д dip \ ./ smt?

где cos $ = х sin ^ + у cos ip. Аналогом конфокального семейства эллипсов является семейство овалов, которое получается пересечением конусов

с²х² с²у² о ^л , ^ч

^

*Тр

*

= ° (в)

со сферой (4); с — п а р а м е т р (см., например, [12]). К о г д а с -> 0, т о э т и овалы с т р е м я т с я к исходному отрезку. По аналогии с евклидовым случаем их можно н а з в а т ь сферическими кониками, или п р о с т о

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1 , МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2 0 0 0 . № 5

кониками. О н и обладают многими свойствами, х а р а к т е р н ы м и для обычных плоских коник. Напри­

мер, их можно определить к а к совокупность точек, сумма расстояний (измеряемых по д у г а м больших кругов) о т к о т о р ы х до фокусов F\ и F² постоянна [13].

Теорема 2.

S

—

Доказательство основано на прямых вычислениях. И н т е г р а л (5) равен

0x-ay + Jl-(ax + /Зу)² In у , = •

-(/Зх + ау) + ^/1-{ах-Ру)²

Приравнивая в ы р а ж е н и я под логарифмом 1 / к , к — const, можно получить уравнение конуса

[к2 - l ) V = 8 «2 {fx2 + а2у2) + 4к (к2 + if ((32х2 - а2у2) . (7) Пересечение конуса (7) со сферой (4) д а е т семейство з а м к н у т ы х кривых. Б у д е т ли оно семейством

софокусных коник?

Уравнения конусов (6) и (7) тождественны, если с2

а 2- с2 " ' (32 + с где

с2

л 8 к² + 4 к ( к² + 1 Г 8 к²- 4 / ф² + 1 ) '

А = —-—ту——, Ц — — — ^ —9 . (9)

И - i )

( *

- i )

Соотношения (8) д а ю т одно и т о же значение с т о г д а и только тогда, когда А + /i + A/i = 0. Однако справедливость последнего т о ж д е с т в а легко в ы т е к а е т из ( 9 ) . Ч т о и требовалось.

5. П р и т я ж е н и е квадрик. Пусть А — симметричный оператор в евклидовом п р о с т р а н с т в е Е4, / — т о ж д е с т в е н н ы й оператор. Оператор (А — А / ) "1 (А — резольвента, А — с п е к т р а л ь н ы й п а р а м е т р ) т о ж е симметрический и определяет пучок к в а д р а т и ч н ы х ф о р м

f(x)=((A-XI)-1x,x).

Приравнивая к нулю э т и ф о р м ы , получим семейство конусов, к о т о р ы е пересекаются со сферой д(х) = (ж, х) = 1 по двумерным поверхностям. Э т и поверхности мбжно н а з в а т ь к о н ф о к а л ь н ы м и к в а д р и к а м и . Например, разделив уравнение (6) н а с², получим уравнение вида f(x) = 0, где А = diag ( — а², / 3², 0 ) ,

А = с2. *

На к в а д р и к а х можно ввести гомеоидную плотность iofW^ где da — элемент площади к в а д р и к и к а к поверхности в Е4, a W2 — евклидов объем параллелепипеда, построенного н а г р а д и е н т а х функ­

ций /яд к а к н а в е к т о р а х .

Теорема 3.

Э т о аналог т е о р е м ы Н ь ю т о н а - А й в о р и . О н доказывается п р я м ы м вычислением с использованием сфероконических координат.

Р а б о т а выполнена п р и финансовой поддержке г р а н т а Р Ф Ф И (проект № 9 9 - 0 1 - 0 1 0 9 6 ) и про­

г р а м м ы "Университеты России" (проект № 5581).

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука. 1990.

2. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории ката­

строф, от эвольвент до квазикристаллов. М.: Наука, 1989.

3. Жуковский Н.Е. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехиздат, 1952.

4. Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС, 1997.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2000. № 5 47

5. Chernikov N.A. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solutions / / Acta phys. pol. 1992. 2 3 . 115-124.

6. Шредингер Э. Метод определения квантомеханических собственных значений и собственных функций / / Избранные труды. М.: Наука, 1976. 239-247.

7. Higgs P.W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / / J. Phys. A. 1979. 1 2 , N 3. 309-323.

8. Slawianowski J. Bertrand systems on 5 0 ( 3 , Д ) , SU(2) / / Bull. Acad. pol. sci. 1980. XXVIII, N 2. 83-94.

9. Kozlov V.V., Harin A.O. Kepler's problem in constant curvature spaces / / Celest. Mech. and Dyn. Ast. 1992.

54. 393-399.

10. Козлов В.В. О динамике в пространствах постоянной кривизны / / Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.

1994. № 2. 28-35.

11. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд.

дом "Удмуртский университет", 1999.

12. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. Т. I. М.: ИЛ, 1958.

13. Берже М. Геометрия. Т. II. М.: Мир, 1984.

П о с т у п и л а в р е д а к ц и ю 0 3 . 0 9 . 9 9

У Д К 5 3 1 . 0 8

К О Л Е Б А Н И Я Ш А Г А Ю Щ Е Г О А П П А Р А Т А В О К Р У Г ОСИ Г Л А Д К О Г О О П О Р Н О Г О Ц И Л И Н Д Р А

Е. В . Мел кумова

Памяти В. Г. Демина посвящается

1. Постановка задачи и общие свойства движения. Р а с с м о т р и м скольжение многоногого шагающего а п п а р а т а к а к абсолютно твердого тела по внутренней поверхности горизонтального пря­

мого к р у г о в о г о цилиндра. Поверхность цилиндра представляет собой одностороннюю связь. Пред­

полагается, ч т о а п п а р а т движется по инерции под действием силы т я ж е с т и и т р е н и е о т с у т с т в у е т . Шагающий а п п а р а т имеет корпус и к ног, п из которых находятся в опоре. К а ж д а я из опорных ног соприкасается с поверхностью цилиндра в одной точке.

Свяжем с цилиндром правую декар- тову систему к о о р д и н а т Oxyz, т а к у ю , ч т о т о ч к а О расположена н а оси ци­

линдра, ось Оу направлена по оси ци­

линдра, а ось Oz — вертикально (рису­

нок). Пусть Са — ц е н т р масс аппарата.

Свяжем с а п п а р а т о м систему коорди­

н а т Cax'y'z' т а к , ч т о б ы а т и оси были главными осями инерции. Обозначим через V{ внутреннюю нормаль к поверх­

ности цилиндра, а через — нормальную составляющую реакции в i-й точке опоры. Скольжение а п п а р а т а , рассматриваемого к а к абсолютно твердое тело, описывается следующими уравнениями:

п п тх^с = -^Nis'mipi, у^с = 0, mz^c = ^ JVj cos щ - mg,

i=l i=i (1) Ар + rq{C -В) = М^хЧ Bq + rp{A - С) = М^уЧ Cr + pq(B - А) = M^z>,

где т — масса а п п а р а т а ; ( хс, ус, zc) — к о о р д и н а т ы центра масс а п п а р а т а в системе к о о р д и н а т Oxyz\

g — ускорение свободного падения; Щ = V{ • N ; ; щ — угол между о т р и ц а т е л ь н ы м направлением оси Oz и в е к т о р о м — i/;; A , J 5 , C — главные моменты инерции; ( р , д , г ) — в е к т о р угловой скорости о;;