Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. М. Коробов, Об оценке рациональных три- гонометрических сумм, Докл. АН СССР, 1958, том 118, номер 2, 231–232
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
3 ноября 2022 г., 21:32:42
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1958. Т о м 118, № 2
МАТЕМАТИКА н. м. КОРОБОВ
ОБ ОЦЕНКЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ (Представлено академиком И. М. Виноградовым 4 VII 1957)
Обозначим через 5 сумму
р а1х-\---\-апл_1хп+1
2 Ш —
S = 2 «
9> (1)
где q, аъ . . . , ап+± целые и (q, an+ i ) = 1 . В различных задачах теории чисел нужны нетривиальные оценки модуля сумм (1), причем важно иметь как можно более точные оценки, справедливые для значений Р из возможно более широкого интервала.
Из теоремы И. М. Виноградова (г) о тригонометрических суммах общего
\_
вида следует, что при Р — q г существуют положительные константы сх и ах такие, что на интервале
1 < г < я (2) справедлива оценка
. 1 - 0 4
| 5 | < ^1п2/гР л Ч п лв (3)
Эта оценка с небольшими изменениями распространяется на интервалы О < г < 1 и / г < г < / г + 1. При г>п + 1 существуют, очевидно, суммы S, для которых тривиальную оценку нельзя улучшить. Гаким образом, ин
тервал значений Р, на котором получены оценки типа (3), является пре
дельно широким, и можно ставить вопрос лишь об уточнении этих оценок.
Как показано в (2) , существуют оценки сумм 5 более точные, чем оценки (3), но они найдены лишь для интервала? 1 < г < 1 Н — , состав- ляющего малую часть интервала (2). В настоящей работе удается на всем интервале 1 < г <; п заменить в оценке (3) коэффициент
edn\n*n абсолютной константой С и одновременно на значительной части
этого интервала улучшить «понижающий множитель» Рп*ln п до величины
а
Рп* . Улучшение оценки (3) для я, растущих вместе с Р, получается также и для интервалов 0 1, л < г О -J- 1.
Пусть (q, an+i)~ 1 и 1 < ^ п < р1— 1 , где рх— наименьший простой де
литель q. Тогда справедливы следующие теоремы:
Т е о р е м а 1. Существуют абсолютные константы С и си такие,
j_
что для Р = qr на интервале 1 < г < п + 1 выполняется оценка
а г (n+1—r)
1 - - где I = In . .
я + 1
| 5 | < С Р 2л
231
Т е о р е м а 2. Каково бы ни было фиксированное г > 0 , существуют константа а = a(s) и абсолютная константа С такие, что для Р = q г на интервале ея << г << л — гя выполняется оценка
а
Теорема 2 , очевидно, следует из теоремы 1 . При доказательстве те
оремы 1 применяется новый подход к оценкам тригонометрических сумм, при котором используется рациональность рассматриваемых сумм. Кроме того, существенно используется следующая теорема.
Т е о р е м а 3. Пусть п, г, k,%,q и Р —целые, удовлетворяющие усло
виям
1< г < л ; т > 1 ; k>n* + m; q>2k; ( - ^ )r + 1 < - Р < ( s )Г • Тогда существует абсолютная константа с такая, что для числа Nk(P) решений системы сравнений
* i + V*h = yi-\ \-yh,
^ + . . . + ^ = ^ + . . . + 1 , 1 ,
+ * £ = у » +
>(mod(/) ( 1 < *V, * /V< P ) ( 4 )
справедлива оценка
Nk ( P ) ^ e c ^ )k l a k P2h 2 ^ 2 vx »/ . (5) Доказательство теоремы 3 проводится методом И. М. Виноградова.
Легко показать, что для числа решений системы сравнений (i) справед
лива следующая оценка снизу:
г ( 2 / i + l - r ) , г (п+1) 1 \ т
г ( 2 п + 1 - г )
Nk(P)>C(k)P2 * ,
где С (&) — некоторая положительная константа, зависящая только от k.
Из сопоставления этой оценки с оценкой (5) видно, что при достаточно больших значениях т утверждение теоремы 3 уже нельзя существенно усилить.
Математический институт им. В . А . Стеклова Поступило Академии наук СССР 27 V I 1957
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 И . М . В и н о г р а д о в . Изв. А Н СССР, сер. матем., 14, 199 (1950). 2 X у а Л о - г е н , Т р . Матем. инст. им. В. А . Стеклова А Н СССР, 22, 16 (1947).
232
