Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. Д. Красников, Е. Б. Кузнецов, Параметризация численного решения кра- евых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, Ж. вычисл. ма- тем. и матем. физ., 2005, том 45, номер 12, 2148–2158
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 16:32:51
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2005, том 45, M 12, с. 2148-2158
УДК 519.622.2
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ К Р А Е В Ы Х З А Д А Ч ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ У Р А В Н Е Н И Й
1)
© 2005 г. С. Д. Красников, Е. Б. Кузнецов (125993 Москва, Волоколамское т., 4, МАИ)
e-mail: kuznetsov@mai.ru Поступила в редакцию 19.05.2005 г.
Предлагаются способы, улучшающие вычислительный процесс интегрирования краевой за
дачи для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с нели
нейными краевыми условиями. В основе подхода лежит метод пристрелки и метод продолже
ния решения по параметру, в том числе и по наилучшему. Такой подход позволяет существен
но расширить класс задач, решение которых отыскивается численно при помощи метода пристрелки. Библ. 17. Фиг. 6.
Ключевые слова: краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, параметризация численного решения, метод пристрелки.
1. В В Е Д Е Н И Е
Рассматривается краевая задача для нелинейной системы О Д У
^ = / ( f , y ) , a<t<b, y(t)\U^U\ (1.1)
с нелинейными граничными условиями
R(y(a\y(b)) = 0. (1.2) З д е с ь / : U1 x Пп ^ U\ R : U" x U" Mn.
В дальнейшем предполагается, что нелинейные по переменной у ф у н к ц и и / и R удовлетворя
ют на [а, Ь] таким условиям, при которых решение задачи (1.1), (1.2) существует.
Для решения краевых задач вида (1.1), (1.2) разработаны многочисленные методы. В обшир
ной литературе по данной тематике используются всевозможные подходы и р а з л и ч н ы е комби
нации методов; так, например, метод решения краевой задачи м о ж е т использовать совместно методы решения начальной задачи и методы решения о п е р а т о р н о г о уравнения. Решение крае
вой задачи может пониматься как решение операторного уравнения в соответствующем прост
ранстве; с этой позиции интересны методы приближенного р е ш е н и я о п е р а т о р н ы х уравнений.
В [1] излагаются способы приближенного решения о п е р а т о р н ы х уравнений. Изучаются раз
личные итерационные процессы решения линейных и нелинейных уравнений. Условия сходимо
сти итерационных процессов уточняются для различных типов о п е р а т о р о в . П р и выборе началь
ного приближения нелинейного операторного уравненения в него вводится параметр X е [0, 1]
такой, что при X = 0 решение уравнения известно или м о ж е т б ы т ь л е г к о найдено, а при X = 1 по
лучается решение исходного уравнения. Решение строится методом продолжения по параметру X.
Рассматриваются два подхода: непрерывное продолжение и дискретное. Отмечается, что про
должение по параметру X е [0, 1] основывается на теореме о неявных о п е р а т о р н ы х уравнениях в банаховых пространствах, которая дает локальные условия п р о д о л ж а е м о с т и (требует гладко
сти правой части). Нелокальная продолжаемость на весь о т р е з о к является проблемой, так как никакая гладкость здесь не помогает. Для построения приближений обосновывается использо
вание метода Ньютона-Канторовича. Исследуется задача о т о ч к а х б и ф у р к а ц и и уравнения с па
раметром.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 03-01-00071).
2148
В [2] рассматриваются три метода решения нелинейных краевых задач: метод с т р е л ь б ы , ме
тод функции Грина, метод конечных разностей. При определенных условиях д о к а з ы в а е т с я схо
димость этих методов.
В [3] изложены численно-аналитические методы исследования существования и приближен
ного построения периодических решений автономных систем ОДУ и решений нелинейных сис
тем дифференциальных уравнений, рассматриваемых при неразделяющихся двухточечных кра
евых условиях. В этом случае предлагается вводить параметр в краевые условия т а к и м образом, ч т о б ы на первом шаге метода продолжения по параметру решение было известно, а на послед
нем шаге по параметру мы получали бы решение первоначальной краевой задачи. П о с л е введе
ния параметра предлагаются различные способы решения получившегося уравнения, например использование модифицированного метода Ньютона-Канторовича. Приведена о б ш и р н а я биб
л и о г р а ф и я по данной тематике.
М о н о г р а ф и я [4] посвящена различным методам решения краевой задачи. Основной упор де
лается на метод стрельбы и различные его модификации. Для исследования линейных краевых задач т а к ж е предлагается использовать метод суперпозиции и метод сопряженного оператора.
В случае нелинейной краевой задачи ее предварительно линеаризуют. Для улучшения метода су
перпозиции предлагается производить реортогонализацию С.К. Годунова [5], [6]. Для э т о г о предлагается использовать алгоритм, предложенный Контом в [7]. В [4] обсуждаются вопросы, связанные с квазилинеаризацией, например сходимость, и указывается связь с методом Н ь ю т о - н а - Р а ф с о н а - К а н т о р о в и ч а . Для жестких задач предлагается использовать метод продолжения по параметру. Демонстрируются большие возможности метода продолжения, и приводятся т е о р е м ы о сходимости в функциональных пространствах. В качестве конкретных реализаций пред
лагается использовать в первом случае в качестве параметра продолжения длину о т р е з к а инте
грирования. Вторая реализация подхода связана с введением параметра непосредственно в д и ф ференциальное уравнение.
В [8] описывается единый подход к решению различных нелинейных задач, названный квази
линеаризацией. Так, квазилинеаризация применяется при исследовании уравнения Риккати, для решения двухточечных краевых задач, рассматривается применение квазилинеаризации к урав
нениям в частных производных, для решения вариационных задач и задач, возникающих в дина
мическом программировании. Авторы подчеркивают связь квазилинеаризации с м е т о д о м Н ь ю - т о н а - Р а ф с о н а - К а н т о р о в и ч а в конкретных функциональных пространствах, что обеспечивает при определенных условиях квадратичную сходимость. Вдобавок исследуются условия, при ко
т о р ы х последовательности сходятся монотонно. Это приводит к дифференциальным неравенст
вам. Для метода квазилинеаризации получены условия сходимости.
В [9] рассматриваются различные способы решения краевых задач. Обсуждение начинается с линейных краевых задач, далее результаты переносятся на нелинейный случай. О п и с ы в а ю т с я метод стрельбы и метод конечных разностей. В линейном случае предлагается использовать, как наиболее перспективный, метод дифференциальной ортогональной прогонки (см. [5], [6]).
И з л а г а ю т с я достоинства этого метода. После линеаризации нелинейного уравнения предлагает
ся использовать метод ортогональной прогонки для решения нелинейной краевой задачи.
Монография [10] посвящена различным численным методам решения двухточечных и много
точечных краевых задач. Книга адресована разработчикам программ, реализующих т о т или иной численный метод, поэтому теоретические аспекты методов почти не рассматриваются, од
нако читатель всегда отсылается к соответствующим результатам. К а ж д ы й численный метод иллюстрируется несколькими примерами.
Изучим численное решение задачи (1.1), (1.2) при помощи метода пристрелки. П р и э т о м про
блема заключается в сведении краевой задачи (1.1), (1.2) к начальной задаче для системы (1.1) с
Компоненты вектора х = (хх,..., хп)т следует подобрать таким образом, чтобы р е ш е н и е задачи (1.1), (2.1) удовлетворяло на правом конце [а, Ь] условию (1.2).
Понятно, что в этом случае решение начальной задачи будет зависеть от вектора х, т.е.
2. П А Р А М Е Т Р И З А Ц И Я З А Д А Ч И
условиями
ух{а) = хь ...,уп(а) = хп. (2.1)
у (2.2)
2150 КРАСНИКОВ, КУЗНЕЦОВ При этом функция (2.2) должна удовлетворять условию
F(x) = R(y(a,x),y(b,x)) = 0. (2.3) Вектор х можно определить, решая, например, и т е р а ц и о н н ы м методом Н ь ю т о н а систему
уравнений (2.3), и тогда
х(к + 1) = х(к)-
ох (2.4)
(0) _ X — -^0*
Здесь х{к)-значение вектора х на к-й итерации, dF/dx - м а т р и ц а Я к о б и системы (2.3). Рекомен
дации по вычислению элементов этой матрицы приводятся в [9].
Сходимость итерационного процесса (2.4) определяется у д а ч н ы м в ы б о р о м начального при
ближения х( 0 ), что часто бывает сделать очень сложно. О б щ и е р е ц е п т ы построения приемлемых начальных приближений не могут быть даны. Однако могут б ы т ь описаны приемы, применяе
мые при решении широкого класса уравнений (см., например, [11]).
Для преодоления этих трудностей в [3] предлагается ввести в систему (2.3) параметр р е [0, 1]
таким образом, чтобы при р = 0 решение системы б ы л о известно, а при р = 1 получалось бы ре
шение исходной системы. Это можно сделать, например, следующим о б р а з о м :
ФД*,Ю = Fj(x)-(l-\i)Fj(x0) = 0, ; = 1 , 2 , . . . , л , р е [ 0 , 1 ] , (2.5) где х0 - некоторое решение уравнения (2.5) при р = 0.
Систему уравнений (2.5) можно решать методом продолжения решения по параметру в форме Лаэя (см. [12]) или в форме Д.Ф. Давиденко (см. [13]). П е р в ы й вариант назовем дискретным, а вто
рой - непрерывным продолжением. Рассмотрим более подробно дискретный случай. Произве
дем разбиение отрезка, на котором изменяется р, на m частей.
0 = p1< . . . < p1< pw = 1. (2.6)
Для каждого р^ вычисляется хк с помощью итерационного процесса (модифицированный ме
тод Ньютона):
(к) - Х(к)-
"ЭФ, .(0) 1
Ф ( 4) , д Д
; = i , 2 , . . . , r * - i ,(2.7)
(0) _ Ок)
Х(к) '
Для невязки на последнем шаге по i введем обозначение Ф ( х Д Р ь > = гкк . Справедлива
Теорема 1. Пусть верно следующее:
1) для к- 1,2, m — 1 выполняется условие
R 1 < e ;
(2.8)2) в шаре В(х0, R) Vx e В(х0, R) единственным образом разрешимы задачи Коши (1.1), (2.1);
3) выполняется неравенство
\\F(xl)~F(x2)\\<K\\xl-x2\\ V . r „ x2e В(х0, R); (2.9) 4)
3[F(4-V
) )]"',||[^(4-V
) ^ м такая, чтоМКР = H< IIA, где
P = М| | е + Д ц ^ ( *0) | | ,
\Х^-Хк\<2'-\2НУ-'Р.
Доказательство. П о к а ж е м , ч т о выполняются все условия теоремы (см. [14]) о сходимости ме
тода Н ь ю т о н а - К а н т о р о в и ч а применительно к уравнению (2.5) для любого \ihk = 1,2, m.
Если это так, тогда м о ж н о з а к л ю ч и т ь , ч т о для всех значений параметра р^ из сетки (2.6) урав
нение (2.5) в шаре В(х0, R) и м е е т единственное решение хь к которому сходятся приближения х^к , вычисленные по итерационной ф о р м у л е (2.7).
Введем в рассмотрение о п е р а т о р
Цх) = F ( x ) - ( l - p ) F ( x0) . В силу условия (2.9), производная Ф р е ш е
L\x) = F(x)
в шаре B(x(h R) удовлетворяет условию Липшица с константой К.
Теперь предположим, ч т о по схеме (2.7) при к = 2, 3 , . . . найдено приближенное решение хкк_\1 . 1огда на к-м шаге начальное приближение хк = хк и невязка равна
£<0) = F ^ i V O - H * ) / ^ « , ) = Fixïtï^-a-VLt.WxJ + AnFixo) = e£\l) + A\iF(x0).
Зафиксируем Г|< 1/4 и в ы б е р е м величину шага Ар из условия
МКР<ц. (2.11) Из неравенства (2.11) находим, ч т о
M^ H V + A p ^ X o ^ î i . Используя условия (2.8) и (2.10), получаем
Ар = - 4 . M2KF(x0)
Следовательно, при выполнении всех условий данной теоремы выполняются условия теоре
мы о сходимости метода Н ь ю т о н а - К а н т о р о в и ч а для k = 1, 2,..., т. На ее основании заключаем, что при каждом k = 1,2,..., m уравнение (2.5) в шаре В(х0, R) имеет единственное решение и процесс (2.7) является сходящимся. Поэтому при pm = 1 уравнение (2.5) эквивалентно уравнению F(x) = 0 и действительно задает единственное в В(х0, R) начальное значение решения краевой задачи. Тео
рема доказана.
Заметим, что кривая множества решений системы (2.5) может содержать предельные точки, в которых матрица Якоби системы вырождается и итерационный процесс метода Ньютона пе
рестает сходиться. Для т о г о ч т о б ы и з б е ж а т ь этих неприятностей, следует продолжать решение не по параметру p , а по наилучшему параметру (см. [15]), которым является параметр v - длина кривой множества решений системы уравнений (2.5). В монографии [15] приводится доказатель
ство этого утверждения и описан вычислительный алгоритм использования при решении систе
мы (2.5) непрерывного варианта метода продолжения решения по наилучшему параметру. Дис- а 8 определена так, чтобы имело место неравенство
М2гК<ц< 1/4. (2.10)
Тогда в шаре ß(x0, /?'), где /?' = Pt0, a t0- меньший корень квадратного уравнения Ht2 — £ + 1 = 0 , существует единственная точка х, определяющая начальное значение при t - а решения крае
вой задачи и при выборе шага сетки из соотношения
Ар = —i
M2K\\F(x0)\\
последовательные приближения х^ , вычисленные по итерационной схеме (2.7), при i —• 0 0 схо
дятся к хк так, что
2152 КРАСНИКОВ, КУЗНЕЦОВ
к р е т н ы й вариант метода продолжения решения по наилучшему параметру для решения с и с т е м ы уравнений (2.5) п р е д л о ж е н в [16], [17], причем в [17] показано, что дискретный вариант м е т о д а о б л а д а е т б о л ь ш е й э ф ф е к т и в н о с т ь ю по сравнению с непрерывным.
П о э т о м у для р е ш е н и я системы уравнений (2.5) применяется дискретный вариант метода п р о д о л ж е н и я решения по наилучшему параметру. Для этого кривая множества решений этой систе
м ы разбивается на / участков, начиная от начальной точки v= v0 = 0 до конечной v = vz = L: v0 =
= 0 < vx < ... < vz = L, и решение строим, продвигаясь по последовательности этих значений наи
л у ч ш е г о п а р а м е т р а V. П р и этом неизвестные, входящие в систему (2.5), являются функциями па
р а м е т р а v и в к-й т о ч к е разбиения принимают значения х{к) = x(vk), [ik = \i(vk). Тогда значения этих неизвестных в (к + 1)-й т о ч к е могут быть найдены из решения следующей системы уравнений:
Ф , ( х , р ) = Fj(x)-(l-\i)Fj(x0) = О, j = 1,2, . . . , /Î ,
п (2.12)
Ф„ + 1( х , р ) = ^(Xj-xj(k))2 + (ii-iik)2-Av2k = 0.
7 = 1
3necbAvk = vk + 1- vk, xm = x/yk),k= 1,2, ...,IJ= 1,2, п.
Н а к а ж д о м ш а г е продвижения по наилучшему параметру v систему уравнений (2.12) следует р е ш а т ь каким-либо итерационным методом, например методом Ньютона. При этом неприятно
сти в предельных т о ч к а х кривой множества решений этой системы уравнений уже не возникнут.
Н е к о т о р ы е рекомендации по выбору начального приближения итерационного процесса п р и в о дятся в [17].
О б о з н а ч и м ч е р е з х¥к + {(z) систему (2.12), в которой приращение наилучшего параметра Av п о стоянно:
№ ) - ( 1 - ^ № о ) = о,
4 W z ) = ili м|2 ( Г к) 2 2 (2.13)
[\\х-х[к)\\ + 0 1 - Р Г ) -Av2 = 0;
здесь z = (x, p) G Rn + \ vk+ j = vk + Av, v0 = 0, vz = L, что соответствует моменту, когда pz = 1. Схема решения системы уравнений (2.13) при помощи модифицированного метода Ньютона примет вид
(2.14)
Нк) - Цк)'
•3F
U (*
) }.
i = 1,2 гЛ- 1 ,(0) _ ~ (rk_0 (гк_2) Z(k) - lZ{k-\)~ Z(k-2)'
Н е в я з к у на последнем шаге (по /) возьмем в форме
Теорема 2. Пусть верно следующее:
1) для & = 1, 2, . . . , / - 1 выполняется условие
||еГ1<е;
(2.15)2) в шаре В(х0, R) \/х e В(Х0, R) единственным образом разрешимы задачи Коши (1.1), (2.1);
3) выполняется неравенство
P"k{zx ) - Vk{z2)\ < K\\zx - zi VZ L, z2 e B(z0, R), где
1 F(x) F(xQ) \
4) 3[%(z(k0) )]"', l l t ^ X z i0' ) ] -1! ! < M такая, что
2 ( х - х , _ , ) 2 ( д - д4_ , )
МКР = Н< 1/4,
где
Р = M\v\(zT)i
а 8 определена так, чтобы имело место неравенство М2гК<ц< 1/4.
Тогда в шаре В(х0, /?'), где R = Pt0, a t0- меньший корень квадратного уравнения Ht2 - / + 1 = 0, существует единственная точка х, определяющая начальное значение при t = а решения крае
вой задачи, и при выборе шага сетки из соотношения Av = г| - M гК
М2К(с{ + с2)'
где \\F(^K + l)\\ < сь \\F(XQ)\\ < с2, £ *+ 1 € B(x{kl {,
Av),
последовательные приближения4°,
вычисленные по итерационной схеме (2.14), при i —• 0 0 сходятся к zk так, что
| | 40- zkl < 2l~ \ 2 H f ~lP .
Доказательство. Покажем, что выполняются все условия т е о р е м ы (см. [14]) о сходимости ме
тода Ньютона-Канторовича применительно к уравнению (2.13) для любого & = 1, 2 ,
. . . , / -
1.Если это так, тогда можно заключить, что для любого k уравнение (2.13) в ш а р е Z?(z0, R) имеет единственное решение zk+b к которому сходятся приближения zk]. 1, вычисленные по итераци
онной формуле.
Предположим, что найдено приближенное решение zkk) уравнения ^ ( z ) = 0 и z(kl\l) уравнения iU) - 0- Начальное приближение к решению уравнения xVfc+ {(z) = 0 имеет вид
Zk+i = 2-k - 4 - х = zk + Ave*,
Zk -Zk-\
Il (rk) (rk_0\\
\\Zk ~Zk-\
Il
* 4 = (ekx> ekii)>
e(°) - V I / / _ ( 0 ) ч _
bk + \ - Tb l l 4 + l i - F(xkk) + A v ^ ) - [ 1 - + A v ^ ) ] F ( x0) xk + Avekx~xk û
+Av£?
t|1-m
) - AvF(4
rt))
- ( 1 - \i[RK))F(x0) + Г ( ^ ) А У ^ + A v eT | LF ( * o )где ^ [K ) G B(xkk), Av). Таким образом, переходя к нормам, получаем Це^,|| < £ + V J + И * о Ы 1) A v . Зафиксируем Г| < 1/4 и выберем Av из условий
МКР<ц
тогда
Av =
М*Кг<х\;
г| - М2Кг {cx+c2)M^K
Следовательно, при выполнении всех условий данной т е о р е м ы выполняются условия теоре
мы о сходимости метода Н ь ю т о н а - К а н т о р о в и ч а для к =1,2,...,/- 1. Н а ее основании заключаем, что при каждом к= 1,2, ...,1-1 уравнение (2.13) в ш а р е B(z0, R) имеет единственное решение и процесс (2.14) является сходящимся. П о э т о м у при vz = L (pz = 1) уравнение (2.13) эквивалентно уравнению F(x) = 0 и действительно задает единственное в В(х0, R) начальное значение решения краевой задачи.Теорема доказана.
Заметим, что величина L - длина кривой множества решений системы уравнений (2.5) - зара
нее не известна, поэтому при решении системы уравнений (2.12) на последнем /-м шаге значение параметра р принимается равным единице, а неизвестными являются компоненты вектора х и приращение Avz.
Следует иметь в виду, что и з л о ж е н н ы й в ы ш е алгоритм будет надежно работать только в том случае, если на [а, Ь] удастся проинтегрировать задачу К о ш и (1.1), (2.1). Это возможно далеко не всегда. Вычислительные трудности могут возникнуть при неудачном выборе начальных условий (2.1), а также если система О Д У (1.1) плохо обусловлена (см. [9]), например является жесткой.
В этом случае можно применить следующий подход (см., например, [1]). В систему О Д У (1.1) вводится параметр 5 таким образом, ч т о б ы при 5 = 0 получалась успешно решаемая методом пристрелки на [а, Ь] краевая задача, и м е ю щ а я р е ш е н и е у = у(0)(0> а при 5 = 1 получалось бы ре
шение исходной задачи (1.1), (1.2). П р и э т о м предполагается, что задача имеет для 0 < 5 < 1 не
прерывное решение
У = y(t9&)4 (2.16)
удовлетворяющее условию y(t, 0) = у( 0 )(0-
Пусть система О Д У является сингулярно возмущенной, т.е. имеет вид
eft=f(t,y), (2.17)
где £ - малый параметр, e <^ 1.
Тогда параметр 5 в систему (2.17) м о ж н о ввести, например, следующим образом:
[ l - ô ( l - e ) ] ^ = f(t,y). (2.18) При 5 = 0 система ОДУ (2.18) принимает вид (1.1) и предполагается, что решение у = у( 0 )(0 со
ответствующей краевой задачи м о ж е т б ы т ь л е г к о получено методом пристрелки, а при 5 = 1 по
лучается исходная система О Д У (2.17).
М о ж е т быть предложен следующий в ы ч и с л и т е л ь н ы й алгоритм решения краевой задачи (2.17), (1.2).
Дискретный вариант. Отрезок [0, 1] изменения параметра 5 разбивается на m частей 50 = 0 <
< Ъх < ... < Ът = 1. Для каждого значения Ь = bk, к = 1,2, т, методом пристрелки отыскивается решение задачи (2.18), (1.2), причем в к а ч е с т в е начальных условий (2.1) на к-м шаге продолжения по переменной 5 принимаются условия, полученные при решении задачи на предыдущем (к - 1)-м шаге. Полагаем, что решение задачи у = у( 0 )( 0 при 5 = 0 м о ж е т быть получено.
Непрерывный вариант. Находится р е ш е н и е у = у( 0 )( 0 краевой задачи (2.18), (1.2) при 5 = 0. Ре
шение (2.16) этой задачи является ф у н к ц и е й п а р а м е т р а 5, поэтому при решении методом прист
релки систему О Д У (2.18) и условия (2.1) м о ж н о продифференцировать по этому параметру.
При этом получается начальная задача, линейная относительно функции Y = dy(t, 5)/Э5:
n _ 6 0 _ Ë ^ . ^ ) , = _ i _ % _ / ( , , , ) ,
Y{(a) = 0 , . . . , У » = 0.
После определения решения У^т) этой задачи на т-м шаге решение у( т + 1 ) начальной задачи (2.18), (2.1) на ( т + 1)-м шаге м о ж е т б ы т ь найдено, например, по формуле
y( w + I ) = у(т) + F( m )A ôm,
где Aôw = 5m + j - 5m - приращение п а р а м е т р а 5 на т-м шаге.
Линейная задача получается т а к ж е в случае, если к краевой задаче (1Л), (1.2) применить м е тод Н ь ю т о н а - К а н т о р о в и ч а [11]. Такой подход широко использовался при решении краевых за
дач в [8].
В ы ч и с л и т е л ь н ы й алгоритм решения начальной задачи (1.1), (2.1) можно также улучшить, преобразовав ее к наилучшему аргументу X (см. [15]). Тогда преобразованная задача примет вид
äy = fit, У) dt_ = 1 Ç2 19)
dX V i + ( / , / ) ' dX Vi + ( / , / ) '
У 1( 0 ) = xl9...,yn(0) = xn, (2.20)
где в ы р а ж е н и е ( / , / ) задает скалярное произведение.
Н е к о т о р ы е преимущества, которыми обладает преобразованная задача (2.19), (2.20) по срав
нению с непреобразованной (1.1), (1.2), отмечены в [15].
Е щ е один способ улучшения вычислительного процесса решения начальной задачи (1.1), (2.1) з а к л ю ч а е т с я в использовании вложенных отрезков [а, Ь0] с ... с [а, Ьк], где Ь0 ... < bk = b (см., на
пример, [4]). П р и отыскании решения на отрезке [a, bt], 1 < / < m, принимается начальное условие (2.1), полученное при решении задачи на предыдущем отрезке [a, bt_i], a краевое условие (1.2) удовлетворяется в т о ч к е t = bt. Предполагается, что на наименьшем отрезке [а, Ь0] решение м о ж е т б ы т ь получено.
3. Ч И С Л Е Н Н Ы Е И С С Л Е Д О В А Н И Я Пример 1. Рассмотрим краевую задачу
У = h
у(0) = 0, F ( v( l ) - 1) = 0.
Пусть функция F(x) имеет вид
F(x) =
-х + 2, хе ( - о о? 1 ]5
1, х е [ 1 , 2 ] , (3.1) - х + 3, x G [2, + о о ) .
П р и м е м следующее начальное приближение: у (0) = х0 = 0.
Н а о т р е з к е кривой F = F(x), который параллелен оси JC, матрица Якоби первых двух подходов будет в ы р о ж д е н н о й и, следовательно, итерационные схемы метода Ньютона (2.4), (2.7) не при
водят к результату. Схема, использующая наилучший параметр v, позволяет получить достовер
ное решение задачи.
Пример 2. Рассмотрим краевую задачу для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения
4
EU = U - U ,
и(0) +
иЧ0)
= 0, (3.2)и(\) = 1/2.
Методом с т р е л ь б ы преобразуем краевую задачу (3.2) в начальную:
it
4
EU = U - U ,
и(0) = р, (3.3) и(0)
=
-р.О б о з н а ч и м решение начальной задачи (3.3) через и(х,р). Н а фиг. 1. приведен график функции м(1, р) для 8 = 0.1. И з него следует, что существуют два решения краевой задачи (3.2). Пусть pf
и pf - значения параметра /?, удовлетворяющего краевым условиям w(0) + w'(0) = О,
V (3.4)
и(1) = 1/2.
Применим полученные схемы для решения данного примера. Пусть н а ч а л ь н о е значение р0
выбирается между точками Л и С или между точками В и С. Численные э к с п е р и м е н т ы показали, ч т о метод Лаэя не приводит к решению задачи. Схема с наилучшим п а р а м е т р о м п о з в о л я е т по
лучить как pf , так и pf путем выбора направления движения вдоль кривой.
Для того ч т о б ы лучше понять поведение двух методов, рассмотрим вспомогательную задачу.
Найдем корни уравнения
F(x) = -х2{х2-\) + 1 = 0, (3.5)
используя метод Лаэя и метод преобразования к наилучшему параметру. Г р а ф и к ф у н к ц и и (3.5) представлен на фиг. 2.
Метод Лаэя. Пусть начальное приближение х0, выбрано из о т р е з к а [С, В]. П а р а м е т р и з а ц и я выглядит следующим образом:
Ф(х,Ю = F(x)-(l-\L)F(x0).
П а р а м е т р р е [0, 1] изменяется так, что (1 - p)F(x0) монотонно убывает, однако видно, ч т о F(x) не является монотонной ни на отрезке [ Д х0], ни на [х0, Е]. Произведем разбиение о т р е з к а , на к о т о р о м изменяется р :
О = р0< . . . < рт = 1.
Тогда на первом шаге, следуя методу Лаэя, решаем уравнение Ф(х,р,) = F(X)-(1-\LX)F(X0) = О,
ч т о эквивалентно нахождению точки пересечения графиков функций у = F(x) и у = (1 - pt)F(x0).
Н а ч а л ь н ы м приближением для метода Ньютона является точка JC0, и на о т р е з к е [С, В] в ы п о л н я ются условия сходимости метода. Поэтому получаем точку л^. А н а л о г и ч н ы м о б р а з о м получаем и другие точки, до тех пор, пока не подойдем к такому \хь что F(C) > (1 - [iK)F(x0). Н а х о ж д е н и е точки хк1 или хк2 всецело зависит от начального приближения к-го шага метода Л а э я . Следует от
метить, что условия сходимости метода Н ь ю т о н а в данном случае нарушаются. Н а п р и м е р , при разбиении отрезка на семь частей (х0 = 0.5) метод Ньютона входил в б е с к о н е ч н ы й цикл и выда
вал точки, лежащие в малой окрестности точки С.
В случаях, когда находится точка хк1 или хк2 по методу Лаэя, требуется с о в е р ш и т ь с к а ч о к по х на одну из ветвей функции (3.5), что иллюстрируется примерами на ф и г . 3. и ф и г . 4. П о оси аб
сцисс отложен х, непрерывной линией показана функция F(x), к р у ж о ч к а м и п о к а з а н ы т о ч к и
{хр (1 - p7)F(x0)}, где Xj соответствует р;.
F(x), (l-p7)F(x0) 1.4
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 / 0.2 - /
0 - / - 0 . 2 - 0 . 2
- 1 . 5 - 1 . 0 -0.5 0.5 1.0 1.5 x
F{x\ (l-[ij)F(x0) 1.4
Фиг. 3 . Фиг. 4.
F( x)7( l - ^ ) F( A" o ) 1.4
F(x), (]-[ij)F(x0) 1.4 г
Фиг. 5. Фиг. 6.
П р и этом направление перескока (вправо, влево) к корню, может б ы т ь весьма непредсказуе
м ы м и зависеть, например, от точности метода Ньютона или от плотности сетки по р. Понятно, ч т о э т о т перескок может совершаться в такую точку, где функция не определена, или в точку, подобную данной, где нарушается монотонность функции.
Наилучшая параметризация. Для наилучшей параметризации параметр р равноправен с х и м о ж е т меняться немонотонно. Следующее значение р получается лишь на основе решения на (/ + 1)-м шаге системы уравнений
Ч У х , р ) = F W - ( l - № o ) = 0,
x¥2(x,\L) = ( x - x( 0)2 + ( p - p , )2- A v - = 0
(3.6)
и определяется л и ш ь близостью F(x) и F(x0)( I - р), поэтому мы идем вдоль кривой у = F(x) до зна
чения р. = 1. М о ж н о так же управлять получением того или иного корня, задавая направление движения вдоль кривой. На фиг. 5 и фиг. 6 по оси абсцисс отложен х, непрерывной линией пока
зана функция F(x), кружочками показаны точки (JC;-, (1 - p;)F(x0)}, где Xj соответствует р;.
Пример 3. Р а с с м о т р и м к р а е в у ю з а д а ч у
EU" = (1 -t)u-{\ + 2и)и, г = 0.01,
и(0)
= 1/2, и{\) = 0.(3.7)
Методом стрельбы краевая задача (3.7) преобразуется в начальную:
ей" =
(1 -t)u-{\+2н')и, е =
0.01,и(0)
= 1/2, и(0) = р.(3.8)
При некоторых значенияхр (например, р = 2) решение начальной задачи (3.8) н е о г р а н и ч е н н о возрастает на отрезке [0, 1]. Поэтому трудности, возникающие при и н т е г р и р о в а н и и на рассмат
риваемом отрезке начальной задачи, не позволяют применить описанные в ы ш е с х е м ы . И с п о л ь зуя ж е , например, схему Лаэя на вложенных отрезках, можно прийти к в е р н о м у з н а ч е н и ю неиз
вестного параметра р.
Численные исследования показали, ч т о предложенная параметризация к р а е в о й задачи суще
ственно улучшает вычислительный процесс метода пристрелки, а и с п о л ь з о в а н и е н а и л у ч ш е г о параметра позволяет рассматривать такие граничные условия, для к о т о р ы х р е ш е н и е непараме- тризованной задачи получить не удается.
1. Красносельский A.M., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. П р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е о п е р а т о р н ы х уравнений. М.: Наука, 1969.
2. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary value problems. Waltham: Ginn-Blaisdell, 1968.
3. Самойленко A.M., Ронто НИ. Численно-аналитические методы исследования р е ш е н и й к р а е в ы х за
дач. Киев: Наук, думка, 1986.
4. Roberts SM., Shipman J.S. Two-point boundary value problems: shooting methods. N e w York: Elsevier, 1972.
5. Годунов C.K. О численном решении краевых задач для систем линейных о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и альных уравнений // Успехи матем. наук. 1961. Т. 16. Вып. 3. С. 171-174.
6. Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнений // Ж . вычисл.
матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. № 6. С. 972-982.
7. Cont S.D. The numerical solutions of linear boundary value problems // SIAM Rev. 1966. V. 3. № 8. P. 3 0 9 - 3 2 1 . 8. Bellman R.E., Kalaba R.E. Quasilinearization and nonlinear boundary-value problems. N e w York: Amer. Elsevier
Publ. Co. Inc., 1965.
9. Бахвалов НС. Численные методы. M.: Наука, 1973.
10. Na T.Y. Computational methods in engineering boundary value problems. New York etc.: Acad. Press, 1979.
11. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физ- матгиз, 1959.
12. Lahaye ME. Une metode de resolution d'une catégorie d'équations transcendentes // Compt. Rend. Heb- domataires Seances de L'Acad. Sei. 1934. V. 198. № 2 1 . P. 1840-1842.
13. Давиденко Д.Ф. О б одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Докл.
А Н СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601-602.
14. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 15. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и н а и л у ч ш а я параметри
зация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
16. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой и т е р а ц и о н н ы м м е т о д о м // Докл.
Р А Н . 2004. Т. 396. № 6. С. 746-748.
17. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривых // Ж. вычисл. матем. и матем. ф и з . 2004. Т. 44. № 9. С. 1540-1551.
4. В Ы В О Д Ы
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1989.
