Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Е. П. Жидков, И. В. Пузынин, Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго по- рядка, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, том 7, номер 5, 1086–1095
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 11:25:22
Ж У Р Н А Л
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И Том 7 Сентябрь 1967 Октябрь № 5
У Д К 517.9
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА ПРИ РЕШЕНИИ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Е. П. ЖИДКОВ, И. В. ПУЗЫПИИ (Дубна)
1. Необходимость численного решения граничных задач для нелиней
ных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка возни
кает в некоторых физических проблемах, например в нелинейной теории поля и статистической теории ядра, в задачах движения ускоряемых ча
стиц.
Существующие методы решения можно, по нашему мнению, разделить на дискретные и непрерывные.
Примерами дискретных методов могут служить итерационный конечно- разностный метод f1] (стр. 39£—406) и метод Ньютона — Канторовича, примененный к граничным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений в [2] . Из последних работ отметим также [3] .
Непрерывные методы получают при помощи введения дополнительного непрерывного параметра в рассматриваемую задачу. Так, «метод установ
ления» основан на идее сходимости решения параболического уравнения к решению обыкновенного дифференциального уравнения. При численном решении применимы различные методы, позволяющие преодолеть трудно
сти, связанные с нелинейностью уравнений.
Более перспективными кажутся нам такие методы введения параметра, при которых сходимость к искомому решению по этому параметру обуслов
лена способом его введения.
Интересный подход к построению таких методов дан в [4] , [5] . Иссле
дован, в частности, непрерывный аналог метода Ньютона решения функ
ционального уравнения
Ф( * ) = 0 (1.1)
в банаховом пространстве. Показана возможность ввести непрерывный параметр «время t» таким образом, что проблема решения уравнения (1.1) сводится к исследованию существования и поведения при t —>- со решения дифференциального уравнения
х/ = — <р'(я)-*<р(я), х(0) = XQ. (1.2) С помощью этого метода доказывается существование решения (1.1) при
некоторых ограничениях на оператор <р.
Заметим, что в некоторых случаях существование решения задачи из
вестно либо может быть установлено иным способом. Вместе с тем непре
рывный аналог метода Ньютона может быть эффективно применен для численного отыскания этого решения. Поэтому естественно исследовать возможность применения этого метода при условии, что решение задачи существует.
Рассмотрим уравнение (1.1), где ц>(х) — оператор, переводящий бана
х о в о пространство X в банахово пространство Y. Рассмотрим дифферен
циальное уравнение (1.2), где t — непрерывный параметр, Ц)'(х) — произ
водная Фреше оператора Ц)(х), ф'^)"1 — обратный оператор.
Справедлива
Т е о р е м а 1. Пусть уравнение (1.1) имеет единственное решение х*
в области D:
\\х-х*\\^К. (1.3) Предположим, что в области D существует производная Фреше Ц)'(х) и ли
нейная производная Гато ф"(х). Пусть, далее, существует обратный опера
тор ф'(.г)-1, для которого в D выполняется неравенство
11<р'(*)-Ч1 ^ 5 (1.4)
и, кроме того, ф"(х) ограничена в окрестности каждой точки области D . Тогда существует сфера S: \\х —х*\\ ^ е, г <С К, такая, что для любого XQ ^ S уравнение (1.2) имеет решение x(t) в промежутке 0 ^ t < оо и lim x(t) = х*„
t >:с
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу соотношения lim ||ф (х) II = 0 для любого
х—>х*
б >> 0 можно выбрать такое е > 0, что для любого xQ е S: \\х — х*\\ < е выполняется неравенство ||ф(яо)И < б.
Выберем б столь малым, что сфера \\х — х0\\ ^ J56 принадлежит D для
ЛЮбоГО XQ ^ S.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 1 работы [5] . Теорема доказана.
С л е д с т в и е . Если сфера \\х — х0\\ <С 5||ф(дг0) II принадлежит D , то х*
лежит внутри данной сферы.
В предлагаемой работе непрерывный аналог метода Ньютона приме
няется для решения краевой задачи
Ф Ы =y" + f(x,y) = 0, (1.5) j,(0) = р ( 1 ) = 0 . (1.6) В разделе 2 сформулирована теорема о применимости указанного ме
тода к решению задачи (1.5), (1.6) в случае существования этого решения.
В разделе 3 предлагается одна из возможных интерпретаций метода для численного решения задачи, в разделе 4 приведены примеры.
2. Пусть F<2) [0, 1] — множество дважды непрерывно дифференцируе
мых на [0, 1] функций у(х), удовлетворяющих граничному условию (1.6).
1088 E. U. Жидков, И. В. Пузынин
Введем норму для у (х) е [0, 1] посредством соотношения
\\у(х)\\= max \у{х)\ + max \у'(х)\+ max \у"(х)\. (2.1)
0 < х < 1 0 ^ х < 1 0 < х < 1
Пусть, далее, i?[0, 1] —множество непрерывных на [0, 1] функций г(х), для которых введем норму
||r(s) || = max \г(х)\. (2.2)
0 < х ^ 1
Для решения задачи (1.5), (1.6) представляет интерес
Т е о р е м а 2. Пусть решение граничной задачи (1.5), (1.6) сущест
вует и в случае неединственности может быть локализовано, т. е. можно построить дважды непрерывно дифференцируемые на [0, 1] функции z(x) и Z(x), обращающиеся в нуль при х = 0 и х = 1, z(x) < Z(x) для 0 < х < 1, такие, что внутри области G
0 < х < 1, z(x) < у ^ (2.3)
имеется только одно решение у* (х). Предположим, что f(x, у) имеет в G непрерывные производные до второго порядка включительно.
Пусть выполнены следующие условия:
1) граничная задача
v"-fy'(x,y)v = 0, (2.4)
v(0) = v(l) = 0 (2.5)
имеет только тривиальное решение для любой непрерывно дифференцируе
мой функции у(х) е G;
2) | Уо" + }{х, у о) | ^ е, где е > 0 достаточно мало, уо(х) — дважды непрерывно дифференцируемая на [0, 1] функция из области G.
Тогда решение уравнения
yt' = -v'(y)-Wy), У(0)=у0 (2.6)
существует в промежутке 0 ^ t < оо и y(t) равномерно сходится к г/*.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко проверить, что если выполнены условия настоящей теоремы, то применима теорема 1 из раздела 1. Рассмотрим со
вокупность дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций y(x)e=G.
1. Если выполнено условие локализации, то, как легко видеть, найдется такое К > 0, что в сфере D
\\у~у'\\^К, (2.7) где норма понимается в смысле (2.1), имеется только одно решение у* (х)
задачи (1.5), (1.6).
2. Требование дважды непрерывной дифференцируемости f(x, у) в G достаточно, чтобы там существовали производная Фреше q)'(x) и линейная производная Гато q>"(x), ограниченная в окрестности каждой точки сфе
ры (2.7).
3. Поскольку
ф ' 0 / ) = ^ г + № > * / ) , (
2-
8)
то существование в D обратного оператора ф/( г / )- 1 обеспечивается выпол
нением условия 1 ) .
4. Чтобы показать, что в D
W(y)-4<B, (2.9) достаточно доказать, что если v(x) —совокупность решений граничных
задач
v" + fy'(x,y)v = r(x),
(2.10)
v(0) = v(i) = 0, (2.11)
где у е D , &r(x) е i?[0,1], то существует В > 0, для которой
ы ^ а д . (2.12)
Действительно, пусть Wi(x) и w2(x) —линейно-независимые решения(2.4), удовлетворяющие начальным условиям
^ ( 0 ) = 1, u>i'(0) = 0; w2{0) = 0, w2'(0) = 1.
Пользуясь тем, что fy'(x, у) ограничена в замкнутой области G, легко пока
зать, что функции wi(x), Wi(x), w2(x), w2[x) равномерно ограничены на [0, 1 ] для всех у е D .
Покажем, что
inf \w2(l)\ = а > 0 .
Предположим противное, т. е. что inf | ^ ( 1 ) | = 0 . Тогда можно выбрать последовательность W2h(l), для которой И т |Ш2А(1) | = 0. ЕЙ будет соот- ветствовать последовательность функций Ук{х) ^ D . По теореме Арцела, в силу метрики (2.1) из нее можно выбрать подпоследовательность, равно
мерно сходящуюся вместе со своей первой производной на [0, 1 ] к непре
рывно дифференцируемой функции у (х) е G. Но тогда решение предель
н о г о уравнения
с начальными условиями
V(0) = 0, г / ( 0 ) = 1
будет обращаться в нуль в х = 1, что противоречит условию 1 ) .
Применяя метод вариации произвольных постоянных, можно записать выражение для решения задачи ( 2 . 1 0 ) , (2.11) в виде
r(x)=w2(x) [ ^ ( ^ ^ ( l ) "1 I w2(x)r(x)dx — J Wi(x)r(x)dx+ (2.13)
о 0
+ I wt(t)r(t)dt J — Wi{x) J w2(t)r(t)dt.
о 0 9 Ж В М и МФ № 5
1090 Е. П. Жидков, И. В. Пузынин
Отсюда можно получить оценку
max \v{x) I max \r(x)\. (2.14)
O ^ x ^ l 0 < х < 1
Дифференцируя (2.13) и оценивая выражение для v'(x), получим
max \v'(z)\ max \r{x)\. (2.15)
0 < х < 1 O ^ x ^ l
А из (2.10) и (2.14) следует, что
max \v"{x) \ < 52 max \r(x)\. (2.16)
0 < x < l O ^ x ^ l
Таким образом, наше утверждение, а следовательно, и (2.9) доказаны.
5. Из условия 2) следует
\\у* -Уо\\^Вг.
Взяв е достаточно малым, мы обеспечим требуемую в теореме 1 близость начального приближения к искомому решению.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 1, и наша теорема до
казана.
З а м е ч а н и я . 1. Равномерная сходимость функции у (х, t) к решению у* (х) задачи (1.5), (1.6) следует из определения нормы (2.1).
2. Требование дважды непрерывной дифференцируемости /(#, у) в G можно ослабить: для существования производных Фреше ф'(*/) и ф"(у) достаточно, чтобы /(#, у) была непрерывна в 67 и имела непрерывные производные /у' (#, у) и fyy"(x, у).
3. Рассмотрим некоторую реализацию непрерывного аналога метода Ньютона для численного решения задачи (1.5), (1.6).
Предварительно покажем сходимость метода Эйлера приближенного ре
шения уравнений типа (1.2) в пространстве Банаха. Пусть X — простран
ство Банаха, а г|) (х) — оператор, переводящий X в себя. Пусть, далее, в некоторой открытой области D си X
Ц{х)\\ (3.1) и, кроме того, ур(х) в D удовлетворяет условию Липшица, т. е. для любых
х', хи €= D
\\^(х') — \${х") || ^ L\\xf — х"\\. (3.2) Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx
— = лр(х), х(0) = Хо, (3.3)
где £ —числовой параметр. Решение уравнения x(t) существует и един
ственно. Предположим, что x(t) G f l при 0 ^ t ^ о. Разобьем [0, о] на п частей узловыми точками сто, o~i,..., оп, где
Go = 0, 01 = СУо + T i , 02 = Oi + Т2, . . . , On = On-l + T n = О.
Обозначим т = max т*. Назовем последовательность элементов х\, получае- мых с помощью соотношений
xi = х0 + г|)(ж0)т1,
^2 = ffi + ty(xi)r2, ( 3 . 4 )
# п — 1 ~Т~ (#n—l) Тп»
приближенным решением уравнения ( 3 . 3 ) , получаемым по методу Эйлера.
Т е о р е м а 3 . Пусть решение уравнения ( 3 . 3 ) при 0 ^ t ^ о лежит внутри D cz X, и пусть для ty(x) в D выполнены условия ( 3 . 1 ) , ( 3 . 2 ) . Пред
положим, что выполнено условие
х^Ко/п, ( 3 . 5 ) где К — константа, не зависящая от п.
Тогда при т - > 0 решение, полученное методом Эйлера, сходится к x(t) на [ 0 , о].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х (t) при t = Go, c f i , . . . , Gn есть XQ, # I , . . . ..., xn. Заметим, что
Gi+i
Xi+i = Xi+ ^ ty(x(t))dt. ( 3 . 6 ) Обозначим
А г = \\Х{ —Xi\\.
Оценим А г для i = 1, 2 , . . . , п. При i = 1 получим
Oi Gi A i =
|l $
* ( ^ ( * ) ) * - * ( ^ o ) T i "= I J & K * ( 0 ) - * ( * o ) ] * | <
Go Ol „ t
L ^\\x(t) — x0\\dt^L ^ $ y(x(s))ds
На следующем шаге получим
# i + \ ty(x(t))dt — xi — I | ) ( X I ) T2| ^
^ A ^ I + Z I O + ' A Z M T2.
9 *
1092 Е. П. Жидков, И. В. Лузынин
По индукции легко показать, что
А ж < Д..: (1 + 1л) + V ^ M T2. (3.7)
Далее, применяя метод оценки, описанный в [6] , получим
А г < 1 Ш ф Ь К а - 1] (3.8)
для i = 1, 2, . . . , п. Из последней оценки при т-*- 0 получаем сходимость приближенного решения к точному. Теорема доказана.
Как легко видеть, уравнение (2.6), где ср(у) = у" + /(#, у), для реше
ния граничной задачи (1.5), (1.6) удовлетворяет всем условиям последней теоремы.
Применяя метод Эйлера для решения уравнения (2.6), получим следую
щую вычислительную схему. Разобьем полуполосу O ^ ^ r ^ l , 0 ^ Z < o o прямыми, параллельными оси х и отстоящими друг от друга на т. Преобра
зуем уравнение (2.6) к виду
ч>'(у)у/ = -ч>(у). (3.9) В узловой точке U = Н, i = 0, 1, 2, . . . , заменим производную у/ разност
ным соотношением
v(x, П) = т -4| > ( я , ti+i) - y(x,ti)]. (3.10) При t = t{ решаем граничную задачу относительно v(x, t{) как функции
v"(x,U) +fy{x, у(х,и))и(х, U) = -[у"(х,и) +f(x,y(x,ti))], (3.11)
v(0,U) =v(l,ti) = 0 ,f (3.12) считая y(x, ti) известной функцией. Действительно, при i — 0 функция
у(х, 0) = уо(х) задана и мы можем, решая задачу (3.11), (3.12), опреде
лить v(x, 0); пользуясь соотношением (3.10), вычисляем у(х, f i ) , и т. д.
Численное решение граничной задачи (3.11), (3.12) можно осуществить любым известным способом. Если решение этой задачи осуществляется точно, то при т - > 0 получаем сходимость приближенного решения по мето
ду Эйлера к точному.
З а м е ч а н и я . 1. При т = 1 из (3.10), (3.12) получаем метод Ньютона — Канто
ровича для решения граничной задачи (1.5), (1.6), описанной в [2].
2. Соотношения (3.10), (3.12) можно интерпретировать как приближенный спо
соб решения системы уравнений с частными производными
v*x" + fy'(*, У)» == -\Vxx" + f(x, y)l yt' = V. (3.13) Для этой системы в полуполосе 0 ^ ж ^ 1, 0 ^ £ < оо ставится задача: найти ре
шение системы, удовлетворяющее условиям
i;(0, t) = v{l, I) = 0, у {г, 0) = у0(х) , у0(0) = у0(1) = 0. (3.14) Легко видеть, что задача (3.13), (3.14) равносильна (3.9).
В [7|] с помощью аналога метода ломаных Эйлера получено (существование решения задачи (3.13), (3.14).
4. Описанный в разделе 3 приближенный метод решения краевых задач типа (1.5), (1.6) был применен к решению некоторых задач по составлен
ной для ЭВМ программе. При этом граничная задача (3.11), (3.12) на слое
I = tj решалась методом прогонки, примененным к разностному уравне
нию, полученному при разбиении отрезка [0,1] на п равных частей и за
мене второй производной в уравнении (3.11) для каждой узловой точки х\
на выражение у
h-2[v(xi+u tj) — 2и(хи tj) + + У ( # i - i , tj)],
h = Xi+i — xi — Ц п.
Мы не обсуждаем здесь вопросы устойчивости выбранной числен
ной схемы, считая их предметом отдельного рассмотрения.
Рассмотрим здесь две конкрет
ные граничные задачи.
1. Граничная задача
у" + АеаУ = 0, (4.1)
У(0) =у(1) =0, (4.2) где А , а > 0 — параметры, может иметь одно, два и не иметь реше
ний, в зависимости от значения параметра р = Аа. Точнее, суще
ствует р = pi, при котором имеется единственное решение задачи
(4.1), (4.2). При 0 ' < p < p i имеется два решения задачи, а при р > pi их не существует. Заметим, что решение задачи можно полу
чить в явном виде.
Рассмотрим случай А = 1.5, а = 2, когда существуют два ре
шения у\{х) и г/2(#). Их графики даны на фиг. 1.
Задача (4.1), (4.2) интересна тем, что «метод установления» для неста
ционарной задачи
ut = ихх" +Аеаи, и(0, t) = u(l,t) = 0 , и(х, 0) = щ(х) позволяет отыскать только нижнее решение yi(x). Верхнее решение обла
дает некоторой неустойчивостью, «отталкивая» решения и(х, t).
С помощью предложенного алгоритма были вычислены оба решения за
дачи. В качестве начального приближения были взяты функции
Фиг. 1
у (х, 0) = A sin их, (4.3)
где А — параметр. При т = 1 (алгоритм, аналогичный изложенному в [2]) были построены в первом приближении «области влияния» вокруг реше
ний. Они указаны на фиг. 1. При выборе начальной функции (4.3) вблизи
1094 Е. П. Жидков, И. В. Пузынин
границы между этими областями (А = 0.7) по методу Ньютона — Канто
ровича получена расходимость. Однако выбор меньшего шага т = 0.1 обес
печил сходимость к решению у г (х).
' У
Фиг. 2
При вычислениях шаг по х брался h = 0.05, а процесс стабилизации продолжался до установления 9 дес. зн.
На фиг. 1 показан также процесс стабилизации по методу Ньютона — Канторовича от начальной функции у(х, 0) = 3.09 sin их к решению уг(х).
Кривые симметричны относительно х = 0.5, поэтому они изображены на отрезке [0, 0.5]. Этот пример позволяет предположить, что требования тео
ремы 1 работы [2] можно ослабить, поскольку стабилизация наблюдается в случае, когда условие (2) теоремы не выполнено.
2. Дифференциальное уравнение с сингулярной точкой х = 0
ц" = у(1-уЧ&), (4.4) встречающееся в нелинейной полевой теории, на любом отрезке [0, Ъ\,
Ъ >> 0, имеет счетное множество решений, удовлетворяющих граничным условиям
У(0) =У(Ь) = 0 . (4.5)
Свойства решений уравнений такого типа рассмотрены в работах [8], [9] и др. Изложенный алгоритм был применен для вычисления положительного решения задачи (4.4), (4.5) при Ъ = 1.885867.
При начальной функции
я у(х,0) = 1.3 sin — х
получена сходимость к положительному решению при т = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 0.6.
Процесс сходимости при т = 0.6 показан на фиг. 2. При т = 0.7, 0.9 стабилизация происходила к некоторой «пилообразной» кривой, не являю
щейся решением нашей задачи.
Был также исследован вариант, в котором начальная функция я
у(х30) = 2.5 sin —а;
значительно отличалась от искомого решения. Сходимость в этом случае зависела от т. Например, при т = 0.005 было получено решение задачи
( 4 . 4 ) , (4.5) с нулем внутри [0, Ъ], при т = 0.002 — с двумя нулями. В не
которых других случаях наблюдалась стабилизация к «пилообразным»
кривым.
Во всех случаях шаг по оси х брался h = 0.05 6, а процесс вычисления проводился до установления 9 дес. зн.
Поступила в редакцию 8.10.1966 Цитированная литература
1. И. С. Б е р е з и н , 11. П . Ж и д к о в . Методы вычислений. I I . М., Физматгиз, 1962.
1, И . Н . Г л и н с к а я , И . П . М ы с о в с к и х. О численном решении граничных задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестн. Л Г У , Сер.
матем., 1954, 8, 49—54.
I В . Е . Ш а м а н с к и й. Методы решения нелинейных краевых задач на Э Ц В М . I I . К ш в , Наукова Думка, 1966.
А. М. К. Г а в у р и н . Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные ана
логи итеративных методов. Изв. ВУЗов. Математика, 1958, 5 (6), 18—31.
Г.1. М. К. Г а в у р и и. К теоремам существования для нелинейных функциональных уравнений. В сб. «Методы вычислений». 2. Л., Изд-во Л Г У , 1963, 24—28.
О Л . К о л л а т ц. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М., Изд-во ин. лит., 1953, 28—29.
7. Е . П . Ж и д к о в, И . В . П у з ы н и н. Об одном методе введения параметра при ре
шении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных урав
нений второго порядка. Препринт О И Я И , 5-2959, Дубна, 1966.
Е . П , Ж и д к о в , В . П . Ш и р и к о в. Об одной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, 4, № 5, 804—816.
0. Е . П . Ж и д к о в, В . П . Ш и р и к о в, И . В . П у з ы н и н. Задача Коши и краевые задачи на полупрямой для некоторого нелинейного обыкновенного дифференци
ального уравнения второго порядка. В сб. «Материалы совещания по математиче
ским методам решения задач ядерной физики». Дубна. 17—20 ноября 1964 г.
Препринт О И Я И , 2005, Дубна, 1965, 1 3 - 1 8 .
