Е. Н. Кузьмин, О коммутаторах в эластичных коль- цах, Сиб. матем. журн., 1960, том 1, номер 2, 198–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Е. Н. Кузьмин, О коммутаторах в эластичных коль- цах, Сиб. матем. журн., 1960, том 1, номер 2, 198–

204

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:45:52

Том I, М 2 Июль — Август 1960 г.

Е. Н . КУЗЬМИН

О К О М М У Т А Т О Р А Х В ЭЛАСТИЧНЫХ КОЛЬЦАХ

В настоящей работе ряд результатов, связанных с одной леммой Джеко- бсона и относящихся к изучению коммутаторов в ассоциативных кольцах,

распространяется на эластичные кольца.

Джекобсон ( (¹) , лемма 2) доказал [следующее утверждение. Пусть R—

ассоциативная алгебра конечного ранга над полем характеристики 0. И для некоторых элементов а и b алгебры R их коммутатор с — ab — Ьа пере­

становочен с элементом а. Тогда элемент с — нильпотентен. Доказатель­

ство этого утверждения остается в силе, если характеристика основного по­

ля не равна нулю, но больше ранга алгебры. Если же на характеристику основного поля не накладывать никаких ограничений, то лемма Джекобсо- на перестает быть верной, как показывает следующий пример.

П р и м е р 1. Пусть R — полная матричная алгебра размерности р² над полем характеристики р:

' 0 1 0 . . . 0 0 0 2 . . . 0

Ь = / 0 0 ' 10

01 000.

0)00.

• р-

. 0

\Ь6

0 0 \ 00 00

7ю/

Тогда

ab — Ьа =

Элемент с перестановочен с каждым из элементов а и Ь, однако не являет­

ся нильпотентным элементом.

Как показывает следующий пример, предположение о конечности ранга также существенно.

П р и м е р 2. Пусть R—-алгебра линейных операторов в счетномерном гильбертовом пространстве SW; а и b — элементы алгебры R, задаваемые в некотором ортонормированном базисе Ш матрицами

/ 0 1 0 0 / 0020

0003

соответственно. Тогда элемент с = ab — Ьа является единичным оператором, следовательно, не нильпотентен, хотя и перестановочен с каждым элемен­

том алгебры R.

О к о м м у т а т о р а х в эластичных кольцах 199

Рассматривая пример 2, можно обратить, однако, внимание на то, что элементы алгебры R не являются, вообще говоря, ограниченными операто­

рами. Капланский (²) высказал гипотезу, что, в случае алгебры ограничен­

ных операторов в гильбертовом пространстве, имеет место топологический аналог леммы Джекобсона: если элемент с = ab — Ьа перестановочен с а

п

(или с Ь), то элемент с квазинильпотентен (т.е. lim У\\ с" || = 0). Это пред-

/1->0О

положение Капланского было доказано сначала Патнэмом (³) при дополни­

тельном предположении, что элемент с перестановочен с каждым из эле­

ментов а и Ь; затем Видав (*) доказал теорему Патнэма для случая про­

извольных (ассоциативных) банаховых алгебр. Наконец, Широков (⁵) и, не­

зависимо, Клейнеке (⁶) полностью доказали гипотезу Капланского, причем для случая произвольной ассоциативной нормированной алгебры.

По сравнению с понятием нормированной алгебры более общим являет­

ся понятие нормированного кольца.

О п р е д е л е н и е 1. Кольцо R (не обязательно ассоциативное) называ­

ется нормированным, если в нем определена неотрицательная вещественная функция |] х || , удовлетворяющая аксиомам:

1. Если || х || = 0, то х = 0.

2. || пх || = п- || х || для любого целого числа л ^ О и для любого эле­

мента х кольца R. * 3. | | * + 0 | | < | | * Ц + | | j , | | .

4- | 1 * * / | | < | М | - | | У 1 1 -

(Мы различаем здесь кольца и алгебры, как это делается в алгебре, и от­

ступаем от терминологии, принятой в советской литературе по нормирован­

ным кольцам, где нормированным кольцом называют нормированную алгеб­

ру.) Заметим, что доказательство Клейнеке относится, по существу, к случаю произвольного ассоциативного нормированного кольца. Встает во­

прос: можно ли упомянутые результаты Джекобсона и Широкова — Клей­

неке распространить на неассоциативные кольца и алгебры? Этого заведо­

мо нельзя сделать, если не предполагать, что рассматриваемое кольцо в том или ином смысле близко к ассоциативному. Ответ на вопрос оказыва­

ется положительным (теоремы 1 и 2) для случая эластичных колец и ал­

гебр (см. определение 2). Для некоторых других классов колец, близких к ассоциативным, ответ на вопрос оказывается, вообще говоря, отрицатель­

ным (примеры 3 и 4).

Пусть R—произвольное кольцо. Определим в нем бинарную операцию х.у — ху + ух, которую будем называть присоединенным умножением. Бу­

дем пользоваться также следующими обозначениями:

[х, у] = ху — ух, {х, у, z} = {ху) z х (yz),

х^п—неассоциативная п-я степень элемента х (при какой-то расстановке скобок), х1 — неассоциативная п-я степень элемента х относительно присо­

единенного умножения (с той же расстановкой скобок, что я в х^п).

О п р е д е л е н и е 2. Кольцо R называется эластичным, если в нем выполнено тождественное соотношение:

{х, у, х) = 0. ₍₁₎

О п р е д е л е н и е 3. Элемент х неассоциативного нормированного коль­

ца R называется квазинильпотентным, если для любого е > 0 найдется та-

п

кое число N(&), что для всех n > N ( e ) 1 / | 1 х^л| | < е при любой расстанов­

ке скобок в х^п.

Т е о р е м а 1. Пусть R — эластичное нормированное кольцо характери­

стики 0, и для некоторых элементов а и b кольца R имеет место равен­

ство:

[а, [а, Ь]] = 0. (2) Тогда элемент с = [а, Ь] квазинильпотентен.

Т е о р е м а 2. Пусть R — эластичная алгебра ранга п над полем F ха­

рактеристики, большей п (или равной 0), и пусть для некоторых элементов а и Ь алгебры R имеет место равенство (2). Тогда с = \а, Ь\ — нильпотент- ный элемент с индексом нильпотентности, не превосходящим я (т. е. 7 * = 0 при любой расстановке скобок в с^к, / г < п ) .

Для доказательства теорем 1 и 2 нам понадобятся некоторые леммы.

Л е м м а 1. Пусть R — кольцо без элементов второго порядка в адди­

тивной группе. Каждому элементу х кольца R поставим в соответствие

•оператор Д*, действующий в кольце R по формуле Ь^ху

=

Тогда равенство

Д.V (у ° z) = А^ху о z -г у о A^xz (3) для любых х, у, zdR имеет место тогда и только тогда, когда кольцо R

эластично.

Д о к а з а т е л ь с т в о . ! Заметим прежде всего, что в условиях леммы для эластичности кольца R необходимо и достаточно выполнение тожде­

ственного соотношения

{х, у, z} + {г, у, х} = 0. (4) Далее, непосредственной проверкой легко убедиться, что

(у о г) — А^ху о z — у о A^xz = {у, х, z) + {z, х, у} —

— {х, у, z) — {х, z, у} — {у, z, х) — {z, у, х).

Следовательно, тождественное соотношение (3) можно переписать в виде:

{х, у, z} - f {z, у, х} -г {х, z, у} + {у, z, х) — {г, х, у} — {у, х, z} = 0 (5).

Пусть в кольце R имеет место тождественное соотношение (5). Заменяя в (5) х на z, a z на х, получим:

{z, у, х} - f {х, у, z} + {г, х, у} -г {у, х, z} — {х, z, у) — {у, z, х) = 0. (6) Складывая (5) и (6) и учитывая, что в аддитивной группе кольца R нет элементов второго порядка, получим (4). Обратно, из соотношения (4) оче­

видным образом вытекает соотношение (5). Лемма доказана.

О п р е д е л е н и е 4. Кольцо R называется кольцом с коммутативными степенями, если каждый элемент кольца R лежит в некотором коммута­

тивном (но не обязательно ассоциативном) додкольце.

О к о м м у т а т о р а х в эластичных кольцах 201

Известно (⁷) следующее утверждение. <

Л е м м а 2 . Всякое эластичное кольцо без элементов второго порядка в аддитивной группе является кольцом с коммутативными степенями.

Простым следствием леммы 1 является следующая лемма.

- Л е м м а 3 . Пусть R— эластичное кольцо без элементов второго поряд­

ка в аддитивной группе. Определим А"у = А^х (А^х~¹у), п > 1 ; А°^ху = у.

Тогда имеет место следующий аналог формулы Лейбница:

д ; ( а оУ) = 2 С ( Д > о Д " -гу ) . / = о

Л е м м а 4 . Пусть R — эластичное кольцо без элементов второго поряд­

ка в аддитивной группе, и для некоторых элементов а и b из кольца R име­

ет место равенство ( 2 ) . Тогда А^паЬ^п—п\с^п, где с — [а, Ь], п — любое нату­

ральное число, расстановка скобок в Ь^п произвольна, а в с" расстановка скобок та же, что и в Ь".

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу леммы 2 , в условиях леммы 4 для каж­

дого элемента х из кольца R имеют место равенства х^п = 2^п~¹х^п; поэтому достаточно доказать, что А^паЬ^п — п\с^п. Для-я = 1 утверждение тривиально.

Пусть оно доказано для всех n<^.k, k^l. Докажем его для n=;k-\- 1 , Используя лемму 3 , можем написать:

д*^{+ 1} ~b^h+1 = д Г¹ Cb^s oV) = ^cLi (Да V о д *^{+ 1}- ' У ) .

1 = 0

Все члены в последней сумме, кроме i-го, равны нулю, так как при i s д*^{+ 1}-<'# = A ^ V = дГ' (№) = Д Г ' (t\7) = о,

аналогично, при i^>s

Д а Ь8 = 0 .

Итак,

=

(к±Ш^'

ц7) = (к+

Лемма доказана.

З а м е ч а н и е . Пусть [a, R] = {[а, х] | х 6 Я } , Z^a = {д:| [а, х] = 0 } , N^a =

= [a, R) П Z^a. Тогда в эластичном кольце множество N^a замкнуто отно­

сительно сложения и присоединенного умножения на элементы из Za. Если же кольцо R ассоциативно, то множество Z^a является подкольцом кольца R, а N^a оказывается идеалом кольца Z^a.

Пусть теперь выполнены предположения теоремы 1 . Так как | | Д^ал ; | | = »

= !| ах — ха \\ < 2 || а \\ • \\х II , то || Д^а | | < 2 || а || . Из леммы 4 следует, что

п\ || с" || = II пй^п || = || А^паЪ^п || < || Д^п1| -II~Ь^п II < 2" 1| а ||"• || Ь\\\

4 С и б и р с к и й математич. журнал, № 2

Следовательно,

V\\~oⁿ\\ < fa = 0 w J '

и теорема 1 доказана.

З а м е ч а н и е . В силу замечания к лемме 4, в условиях теоремы 1^г квазинильпотентным будет каждый элемент из Na; если к тому же, кольцо R ассоциативно, то N^a будет идеалом кольца Z⁰, следовательно, будет

лежать в его радикале (⁸) .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 . Исключая тривиальный случай алгебр ранга 1, можно считать, что характеристика основного поля F боль­

ше 2 (или равна нулю). Если а = О, то утверждение теоремы тривиально' верно. Если а ф 0, то построим цепочку элементов e^lt е^г,... из алгебры R следующим образом. Положим е^х = а, и пусть цепочка e^lf е^г,..., ( f c > l ) уже построена. Тогда имеются две возможности: 1) Ь^к линейно выража­

ется через элементы e^lf е², . . . , вк при любой расстановке скобок в Ь^к; 2) при некоторой расстановке скобок в Ь^к"система элементов е^ъ е², . . .

Ь^к линейно независима. В случае 1) мы прекращаем построение цепочки, в случае 2) полагаем = 1 5 * . Не позже, чем на я-м шаге построение це­

почки {ег} будет прекращено, т. к. в противном случае мы имели бы ли­

нейно независимую систему элементов а, Ъ, ЬР,..., Ь^п, что невозможно вви­

ду предположения о ранге алгебры R. Таким образом, для некоторого

& - < я и для любой расстановки скобок в Ь^к найдутся такие элементы а^и а², . . , a^k из основного поля F, что

Ьк = <*! + а2 Ьк~г + • • • + + ч-ъР.

(для разных расстановок скобок в Ъ^к наборы а, могут быть разными). При­

меняя к обеим частям этого равенства оператор Да, получим, в силу лем­

мы 4, к\с^к = 0, что влечет с^к = 0, что и требовалось доказать.

Аналогично замечанию к теореме 1 можно заметить, что в условиях теоремы 2 нильпотентным будет каждый элемент из N^a; если, к тому же, алгебра R ассоциативна, то N^a будет ниль-идеалом кольца Z^a. В последнем случае, N^a будет даже нильпотентным идеалом кольца Z^a (с индексом ниль- потентности не больше я), следовательно, будет лежать в его радикале.

О п р е д е л е н и е 5. Кольцо R называется кольцом с ассоциативными степенями, если каждый элемент кольца R лежит в некотором ассоциатив­

ном подкольце.

Следующий пример показывает, что ни лемма Джекобсона, ни тео­

рема Широкова—Клейнеке не переносятся на случай произвольных колец и алгебр с ассоциативными степенями.

П р и м е р 3. Пусть R — алгебра ранга 2 над полем действительных чи­

сел с базисными элементами е^ь е„ и таблицей умножения:

* 1 1

el = е^и е^хе^г = — (e^t + е²), е&^х = — (е² — е^х), el = 0.

О к о м м у т а т о р а х в эластичных кольцах 203

Известно (⁹) , что для проверки ассоциативности степеней в алгебре R достаточно проверить выполнение двух тождественных соотношений:

х² • х — х • х², (х²-х)х = х²- х². (7) Пусть х = ае¹ + jte², тогда х^г — ах и выполнение соотношений (7) очевидно.

Таким образом, действительно, R — алгебра с ассоциативными степенями.

Для элементов е^х, e²dR, имеет место равенство [е^х, [е^х, е²]] = 0, однако, элемент [е^х, е²] = е^х не нильпотентен. Определим в R норму, полагая Цае^х + Ре²|| = |а| + | { } | . Легко проверить, что все свойства нормы при этом определении выполняются. Элемент е^х = [е^х, е²] оказывается при этом не квазинильпотентным, т. к. для всех п

Рассмотрим класс колец, в которых выполнено тождественное соотно­

шение;

{х\ у, г) = 0. (8) Следующий пример показывает, что для таких колец лемма Джекобсо­

на и теорема Широкова — Клейнеке также, вообще говоря, не верны.

П р и м е р 4. Пусть R — алгебра ранга 2 над полем действительных чи­

сел, с базисными элементами е^х и е^г и таблицей умножения е\ = е², е^хе² = ё^х, е²е^х = — е^ъ el — — е^г.

Нетрудно проверить, что алгебра R удовлетворяет тождественному соотно­

шению (8). Для элементов е^х, e²(;R имеет место равенство [е^х, [е^х, е²]] = 0, однако, элемент [ех, е2] = 2ех не нильпотентен. Более того, в R можно вве­

сти норму, полагая

II «ei т II = I <* I + I Р |

(все аксиомы нормы будут при этом выполнены). Элемент [ех, е2] = 2ех не будет квазинильпотентным относительно этой нормы, т. к. для всех п

1/11(2^)11 = угЩ =

УЩ\ =

при любой расстановке скобок в ех.

З а м е ч а н и е . Лемма Джекобсона и теорема Широкова—Клейнеке три­

виально верны для случая альтернативных колец [определение см. в (^{1 0}) ] , так как в альтернативном кольце без элементов второго порядка в аддитивной группе всякое подкольцо, порожденное двумя элементами, ассоциативно.

Вопрос о возможности перенесения этих результатов на случай правоаль- тернативных (и левоальтернативных) колец остается открытым. Отметим также, что теорема 1 автоматически переносится на случай эластичных псевдонормированных колец (см. определение 6).

О п р е д е л е н и е 6. Кольцо R называется псевдонормированным, если в нем определена вещественная неотрицательная функция р(х), называемая псевдонормой, удовлетворяющая аксиомам:

4*

1. р(пх) = п-р(х) для любого натурального числа п и для любого эле­

мента х кольца R;

2. р(х + у)<р(х) + р(у);

3. р(ху)-^р(х)-р(у).

Автор выражает глубокую признательность А. И. Ширшову за ценные указания и руководство при выполнении этой работы.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 J а с о b s о nn N., Rational methods in the theory of Lie algebras, Ann. Math. 36, N 4

• (1935), 875—881.

2 H a l m o s P . R . , Commutators of operators. II. Amer. Journ. Math. 76 ( 1 9 5 4 ) , 191—198.

* P u t n a m C. R., On the spectra of commutators. P r o c . Amer. Math. S o c . 5 (1954), 929—931.

4 J v a n V i d a v , Ueber eine V e r m u t u n g v o n Kaplansky, Math. Zeitschr. 62, N 3 ( 1 9 5 5 ) , 330.

' Ш и р о к о в Ф. В., Д о к а з а т е л ь с т в о гипотезы Капланского, Успехи матем. наук, 1 1 : 4 (70) (1956), 167—168.

' К l e i п е с к е D . С , On operator commutators. P r o c . Amer. Math. S o c . 8, N 3 ( 1 9 5 7 ) , 535—536.

7 R a f f i n R., Anneaux a puissances commutatives et anneaux fleximles, C. r. A c a d . Sci.

230, N 9 ( 1 9 5 0 ) , 804—806.

" H а й м a p к M . А., Нормированные кольца, Гостехиздат, 1956, Москва.

-⁹ Г а й н о в А . Т., Т о ж д е с т в е н н ы е соотношения для бинарно лиевых колец. Успехи матем. наук, X I I , вып. 3 ( 7 5 ) , ( 1 9 5 7 ) , 141—146.

| ( Ш и р ш о в А . И . , О некоторых неассоциативных нилькольцах и алгебраических алгебрах, М а т е м . с б . 41 (83) : 3 (1957), 381—394.