А именно, для x >0 определим Δ(x) := n≤x d(n)−xlogx+ (2γ−1)x, гдеd(n)— функция делителей, и E(x) := x 0 ζ 1 2 +it 2dt−xlog x 2π −(2γ−1)x

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Кон Ка-лён, Цан Каи-ман, О некоторых средних, связанных с функцией де- лителей и дзета-функцией Римана, Труды МИАН, 2017, том 296, 150–162 DOI: https://doi.org/10.1134/S0371968517010125

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:33:24

УДК 511.335+511.338+511.352

О некоторых средних, связанных с функцией делителей и дзета-функцией Римана

Кон Ка-лён

, Цан Каи-ман

Поступило 22 мая 2016 г.

Пусть Δ(x) и E(x) — остаточные члены в сумматорной формуле для функции делителей и в формуле для второго момента функции ζ(s) на критической прямой соответственно. Рассмот- рены некоторые общие средние, связанные с Δ(x) иE(x), и обнаружены интересные различия между этими двумя функциями. В частности, полученные результаты свидетельствуют о том, что функцияE(x)в некотором смысле более отрицательна, чемΔ(x).

DOI:10.1134/S0371968517010125

1. ВВЕДЕНИЕ

Для сильно осциллирующих арифметических функций полезно изучать средние значения, чтобыполучить информацию об их глобальном поведении. В этой работе мыизучаем неко- торые общие средние значения известных остаточных членов Δ(x) для функции делителей и E(x) для дзета-функции Римана на критической прямой. А именно, для x >0 определим

Δ(x) :=

n≤x

d(n)−xlogx+ (2γ−1)x, гдеd(n)— функция делителей, и

E(x) :=

x 0

ζ 1

2 +it

²dt−xlog x

2π −(2γ−1)x.

Эти важные в теории чисел остаточные члены активно изучались в течение многих деся- тилетий. Помимо верхних оценок, которые имеют важные приложения к смежным задачам теории чисел, исследуются также и другие их интересные свойства, такие как средние значе- ния, Ω-теоремы, перемены знака и т.д. Хотя между этими двумя остаточными членами нет прямой взаимосвязи, следует отметить, что все известные для них на данный момент верхние оценки,Ω-теоремы, результаты о моментах, переменах знаков и т.д. фактически неразличимы (см. обзор соответствующих результатов в [8]). Основная причина этого состоит в том, что оба остаточных члена хорошо приближаются некоторыми конечными суммами в силу формулы Вороного [9]

Δ(x) = x^1/4 π√

2

n≤N

d(n) n^3/4 cos

4π√

nx− π 4

+O x^1/2+εN^−1/2

для всех 1≤N x (1.1)

1Статья представлена на английском языке. Оригинал будет опубликован в англоязычной версии журнала:

Kong Kar-Lun, Tsang Kai-Man. On some mean values for the divisor function and the Riemann zeta-function // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. V. 296.

2Department of Mathematics, University of Hong Kong, Hong Kong SAR, China.

3E-mail: aktkortp@yahoo.com.hk 4E-mail: kmtsang@maths.hku.hk

c Кон Ка-лён, Цан Каи-ман, 2017

и формулыАткинсона [1]

E(x) = 2x

π

1/4

n≤N

(−1)ⁿd(n)

n^3/4 e(x, n) cos(f(x, n))−

−2

n≤N

d(n)√ n

log x

2πn ₋1

cos

xlog x

2πn −x+ π 4

+O_ε(x^ε), где N x,

e(x, n) =

1 + πn 2x

₋1/4 2x πn

1/2

arsh πn

2x

1/2₋1

,

f(x, n) = 2xarsh πn

2x 1/2

+ π²n²+ 2πnx1/2

− π 4 и

N = x 2π + N

2 − x

2π + N 2

2

− x 2π

2

.

Сложный вид формулы Аткинсона затрудняет изучение функции E(x). Однако, если ис- пользовать приближение первого порядка для слагаемых первой суммы при n ≤x^1/3 и опу- стить вторую сумму (которая в большинстве случаев несущественна), мыполучим соотно- шение

E(x)≈ 2x

π

1/4

n≤x^1/3

(−1)ⁿd(n) n^3/4 cos

2√

2πnx− π 4

, (1.2)

которое напоминает формулу Вороного для Δ(x) с точностью до осциллирующих множите- лей (−1)ⁿ. Это и объясняет сильное сходство между результатами о Δ(x) и E(x). Однако, как заметил Ютила [5], более естественно сравнивать E(x) с величиной 2πΔ^∗(x/(2π)), где при x >0

Δ^∗(x) :=

n≤4x

(−1)ⁿ

2 d(n)−xlogx−(2γ−1)x=−Δ(x) + 2Δ(2x)−1

2Δ(4x).

Объяснить это просто: применяя в правой части формулу Вороного, приходим к формуле Δ^∗(x) = x^1/4

π√ 2

n≤N

(−1)ⁿd(n) n^3/4 cos

4π√

nx− π 4

+O x^1/2+εN^−1/2

для 1≤N x, (1.3) в которой имеются те же множители(−1)ⁿ, что и в (1.2). Таким образом, Ютила [5] доказал оценку

X 0

E(x)−2πΔ^∗ x

2π 2

dxX^4/3log³X, (1.4)

которая показывает, что E(x) и 2πΔ^∗(x/(2π))близки в среднем.

Несмотря на наличие в формуле Аткинсона осциллирующих множителей (−1)ⁿ, анало- гичные формулы (1.1) и (1.2) приводят к почти одинаковым результатам для Δ(x) и E(x).

В частности, во всех установленных результатах о нечетных моментах функций Δ(x) и E(x) главные члены положительны, т.е. наши функции смещены в положительную сторону. По- видимому, до сих пор не обнаружено никакого влияния множителей(−1)ⁿв (1.2) на поведение величины E(x) (см. [3, 7, 10, 11]).

В настоящей работе мыизучаем некоторые средние функций Δ(x), Δ^∗(x) и E(x), более общие, чем классические моменты, а именно

(I) X

0

F(αx)F(x)dx и (II) X

0

F(αx)F²(x)dx, X→ ∞,

гдеα ∈R. Здесь и далееF(x)естьΔ(x),Δ^∗(x)илиE(x). Примечательно, что, изучая средние значения типа (II), мыобнаруживаем очень тонкое внутреннее различие междуΔ(x) и E(x), возникающее из-за коэффициентов(−1)ⁿ (см. теорему 2 ниже). Более того, это различие ука- зывает на то, что E(x) в некотором смысле более отрицательна, чем Δ(x).

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Как обычно, d(n) обозначает функцию делителей. Пусть α— фиксированное положитель- ное целое число, от которого могут зависеть неявные константы в знаках O, и . На протяжении всей работы X — достаточно большое вещественное число, а ε — произвольно малое положительное число, которое, вообще говоря, может принимать различные значения в разных местах. Мы будем свободно пользоваться известной оценкой d(n) ε n^ε, более на нее не ссылаясь.

Наш первый результат описывает средние значения типа (I). По чисто техническим сооб- ражениям мырассматриваем _2X

X вместо_X

0 и для простотыполагаем I = [X,2X].

Теорема 1. Если α=a/b, где aи b — взаимно простые натуральные числа, то

I

F(αx)F(x)dx=C_F(α)X^3/2+O_η(X^3/2−η) (2.1)

для некоторого η >0. Коэффициенты C_F(α) здесь определяются как C_Δ

a b

:= (2^3/2−1) 6π²√

ab ∞ r=1

d(ra)d(rb)r^−3/2,

C_Δ∗

a b

:= (2^3/2−1) 6π²√

ab ∞ r=1

(−1)^r(a+b)d(ra)d(rb)r^−3/2,

C_E a

b

:= (2π)^3/2C_Δ∗ = (4−√ 2) 3b√

πa ∞ r=1

(−1)^r(a+b)d(ra)d(rb)r^−3/2, (2.2) и все они положительны. Таким образом, знаки функций F(x) и F(αx) хорошо согласуются для рациональных α.

Если же α иррационально, то

I

F(αx)F(x)dx=o(X^3/2).

Далее мыизучаем средние типа (II), ситуация с которыми иная.

Теорема 2. Пусть √

α = (√ a±√

b)/√

c для некоторых натуральных чисел a, b и c, взаимно простых в совокупности. Тогда

I

F(αx)F²(x)dx=DF(α)X^7/4+O(X^7/4−η) (2.3)

для некоторого η >0. Коэффициенты DF здесь задаются формулами D_Δ(α) := α^1/4

28π³(2^7/4−1)

k,m,n

√αk=±√ m±√

n

d(k)d(m)d(n) (kmn)^3/4 ,

DΔ∗(α) := α^1/4

28π³(2^7/4−1)

k,m,n

√αk=±√ m±√

n

(−1)^k+m+nd(k)d(m)d(n) (kmn)^3/4 ,

D_E(α) := (2π)^9/4α^1/4

28π³ (2^7/4−1)

k,m,n

√αk=±√ m±√

n

(−1)^k+m+nd(k)d(m)d(n) (kmn)^3/4 .

Кроме того, если a и b имеют различные бесквадратные части, то знаки коэффициен- тов D_Δ∗ и D_E равны знаку величины

K(u, v) =−(u+ 1)(v+ 1) + ∞ j=1

(j+ 1)(j+u+ 1)(j+v+ 1)2^−9j/4 =

=−0.39678uv+ 0.4567115(u+v) + 2.845255,

где 0, uи v — это наибольшие степени двойки, делящие a, bи c(по условию хотя бы одно из чисел a, b, c нечетно). В частности, K(0, v)>0 для любого v≥0 и K(2, v)<0 при v≥12.

Если же √

α не имеет указанного выше вида, то

I

F(αx)F²(x)dx=o(X^7/4).

Замечание. Поскольку D_Δ(α) всегда положительно, тот факт, что D_E(α) может быть отрицательным, показывает внутреннее различие между функциями Δ(x) иE(x).

В качестве приложения мы легко выводим следующие хорошо известные Ω_±-результаты.

Следствие 3. Выполнены равенства Δ^∗(x) = Ω_±(x^1/4) и E(x) = Ω_±(x^1/4).

Доказательство. Выберем в теореме 2 параметрα так, чтобывыполнялось неравенство DF(α) <0для F = Δ^∗, E. Легко видеть, что

X≤x≤2Xmin F(αx)

I

F²(x)dx≤

I

F(αx)F²(x)dx=DF(α)X^7/4+O(X^7/4−η).

Ввиду формулы(2.1) для второго момента

IF²(x)dx (случай α = 1), получаем требуемую Ω₋-теорему. Таким же образом при помощи параметра α, для которого DF(α)>0, выводится Ω₊-результат.

Ранее эти Ω_±-результатыбыли доказаны(см. [3]) при помощи моментов

I

F(x)dxX и

I

F(x)^kdxX^1+k/4 при k= 2,4.

Основная информация, позволяющая получить большие положительные и отрицательные зна- чения, состоит в том, что

IF(x)dx=o(X^5/4). Множители(−1)ⁿне влияют на справедливость этого равенства, однако они существенныдля наших доказательств.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Доказательство, представленное здесь, близко к стандартным способам доказательства формулыдля второго момента Δ(x)(см., например, [6]).

Запишем для простотыформулу Вороного (1.1) в виде Δ(x) =

(x) +R(x), где R(x) =O(x^1/2+εN^−1/2) и N ≥X^1/2. Тогда

Δ(αx)Δ(x) =

(αx)

(x) + Δ(x)R(αx) + Δ(αx)R(x)−R(αx)R(x) и, следовательно,

I

Δ(αx)Δ(x)dx=

I

(αx)

(x)dx+O X^7/4+εN^−1/2

, (3.1)

где остаточный член получается применением неравенства Коши–Буняковского–Шварца в со- единении с оценкой второго момента

IΔ²(x)dx X^3/2. Раскрывая скобки в произведении (αx)

(x) и интегрируя почленно, мыполучим

I

Δ(αx)Δ(x)dx=S₀+S₁+O

n,m≤N

d(m)d(n) (nm)^3/4

√ X

αm+√ n

+O X^7/4+εN^−1/2

, (3.2) где

S0:= α^1/4

6π² (2X)^3/2−X^3/2

n,m≤N

√αm=√n

d(m)d(n) (nm)^3/4 ,

S₁:= α^1/4 4π²

n,m≤N

√αm=√ n

d(m)d(n) (nm)^3/4

I

√xcos 4π√ x(√

αm−√ n)

dx.

(3.3)

Чтобыоценить интегралыв сумме S1, рассмотрим три диапазона дляmиn. Согласно второй теореме о среднем значении имеем

I

√xcos 4π√ x(√

αm−√ n)

dx

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

Xm^−1/2 при n≤ 1 2αm, Xn^−1/2 при n >2αm, X√

m|αm−n|⁻¹ при 1

2αm < n≤2αm.

(3.4)

Рассмотрим теперь положительное рациональное числоα=a/b,(a, b) = 1. Тогда|αm−n| ≥

≥1/b1 при √

αm=√

n. Пользуясь оценкой (3.4), находим S1 X^1+ε (см. [2, p. 180–181]).

Ясно, что первое O-слагаемое в (3.2) оценивается еще меньшей величиной.

В выражении дляS₀ в (3.3) ограничение на переменные суммирования имеет вид αm=n, что эквивалентно равенствам m=rb иn=raдля некоторого r≤N/max{a, b}. Ограничение на параметрrможно опустить, изменив сумму на величину порядка не более N^−1/2+ε. Таким образом, используя полученные оценки и выбирая N =X в (3.1), приходим к равенству

I

Δ(αx)Δ(x)dx= (2^3/2−1) 6π²√

ab ∞ r=1

d(ra)d(rb)

r^3/2 X^3/2+O(X^5/4+ε).

Итак, асимптотическая формула (2.1) для F(x) = Δ(x) доказана (при η = 1/4−ε). Из фор- мулы(1.3), которая совпадает с (1.1) с точностью до множителей(−1)ⁿ, немедленно следует, что асимптотическая формула из теоремы1 для F = Δ^∗ тоже выполнена.

Для доказательства асимптотической формулы(2.1) при F = E проще всего воспользо- ваться функцией Δ^∗(x)и оценкой (1.4). Имеем

E(αx)E(x)−4π²Δ^∗ αx

2π

Δ^∗ x

2π

=

=

E(αx)−2πΔ^∗ αx

2π

E(x) + 2πΔ^∗ αx

2π

E(x)−2πΔ^∗ x

2π

. Следовательно, применяя неравенство Коши–Буняковского–Шварца, оценку (1.4) и оценки для вторых моментов E(x) иΔ^∗(x), получаем

I

E(αx)E(x)−4π²Δ^∗ αx

2π

Δ^∗ x

2π

dxX^17/12log^3/2X. (3.5) Требуемая асимптотическая формула для F = E теперь следует из аналогичной формулы для F = Δ^∗.

Пусть теперьαиррационально. Равенство (3.2) выполнено сS₀= 0, однако оценка (3.4) для диапазона αm/2 < n≤2αm становится бесполезной, так как величина |αm−n|может быть очень мала. Чтобыпреодолеть эту трудность, применим, как и ранее, оценку (3.4) в случае

|αm−n|>1 и воспользуемся тривиальной оценкойX^3/2 для интегралов, если|αm−n| ≤1и m > Gдля некоторого большого G. Таким образом,

S1

m≤G 0<|αm−n|≤1

Xd(m)d(n) (nm)^3/4

√m

|αm−n| +

G<m≤N 0<|αm−n|≤1

X^3/2d(m)d(n) (nm)^3/4 +

+

n,m≤N

|αm−n|>1

d(m)d(n) (nm)^3/4

I

√xcos 4π√ x(√

αm−√ n)

dx .

Первая сумма в правой части равенства по порядку не превосходит X (с константой, завися- щей от α и G). Третья сумма, как было доказано ранее, по порядку не превосходит X^1+ε. Так как d(m)d(n)(nm)^−3/4 m^−3/2+ε, вторая сумма оценивается по порядку величиной X^3/2G^−1/2+ε ≤εX^3/2, где εможно сделать произвольно малым, взяв достаточно большое G.

Стало быть,

I

Δ(αx)Δ(x)dx=o(X^3/2) для иррациональных α.

Ясно, что то же верно и для F = Δ^∗, E.

Наконец, чтобыпоказать, что все коэффициентыC_F положительны, достаточно рассмот- реть выражение (2.2) для C_E, в котором, например, aнечетно и b= 2^hsдля некоторогоh≥1 и нечетного s. Тогда сумма в (2.2) равна

∞ r=1

(−1)^rd(ra)d(2^hrs)r^−3/2 = ∞ нечетно=1

∞ j=0

(−1)^2jd(2^ja)d(2^j+hs)(2^j)^−3/2 =

= ∞ нечетно=1

d(a)d(s)^−3/2 ∞ j=0

(−1)^2j(j+ 1)(j+h+ 1)2^−3j/2.

Внутренняя сумма равна

−(h+ 1) + ∞ j=1

(j+ 1)(j+h+ 1)2^−3j/2≥^∞

j=1

(h+ 1)(j+ 1)2^−3j/2−(h+ 1)>0.3929(h+ 1) и поэтому положительна. Следовательно, CE > 0, что и завершает доказательство теоре-

мы1.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 Начнем с нескольких вспомогательных утверждений.

Лемма 4. Пусть a, b, c и d— натуральные числа.

(i) Если √ a+√

b=√

c,то a, b и c имеют равные бесквадратные части.

(ii) Если √ a+√

b+√ c=√

d, то a, b, c и dимеют равные бесквадратные части.

(iii) Если √ a+√

b = √ c+√

d, то либо a, b, c и d имеют равные бесквадратные части, либо пара (a, b) совпадает с одной из пар (c, d) или (d, c).

Доказательство. Для натурального n будем обозначать символом n бесквадратную частьn.

Заметим, что если √ a±√

b — ненулевое целое число, то a и b обязаныбыть квадратами.

Это следует из того, что еслиc=√ a±√

b= 0, то √

a=c/2 + (a−b)/(2c) ∈Q. (i) Если√

a+√ b=√

c, то√ ac+√

bc=c∈Z, следовательно,acиbc— квадраты, а значит, a=c=b.

(ii) Если √ a+√

b+√ c = √

d, то √ a+√

b = √ d−√

c. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

2√

ab+ 2√

cd=d+c−a−b∈Z.

Стало быть,abиcd— квадраты, поэтому a=bиc=d. Подставляя полученные соотношения в исходное равенство, получим также a=c.

(iii) Аналогично из √ a+√

b=√ c+√

dвыводим 2√

ab−2√

cd=d+c−a−b∈Z.

Если abи cd — квадраты, то, как и в п. (ii), имеем a=b =c=d. В ином же случае ab=cd, так что √

c+

ab/c =√ a+√

b, а значит, (√ c−√

a)(√ c−√

b)/√

c = 0. Поэтому либоc = b, либо c=a. Так как ab=cd, то(a, b) = (c, d)или(d, c). Это доказывает утверждение (iii) и тем самым завершает доказательство леммы 4.

Лемма 5. Пусть √

α= (√ a±√

b)/√

c >0,где (a, b, c) = 1.

(i)Если бесквадратные части aи bразличны, то уравнения√ α√

k±√ m−√

n= 0имеют решения в натуральных числах k, m, n,если и только если знаки перед √

b и √

m противо- положны. Решения уравнения

√a−√

√ b c

√k+√ m−√

n= 0 (4.1)

суть (k, m, n) = (cs, bs, as), s∈N. Решения уравнения

√a+√

√ b c

√k−√ m−√

n= 0 (4.2)

суть (k, m, n) = (cs, bs, as) или (cs, as, bs), s∈N.

(ii) Пусть бесквадратные части a и b равны. Тогда α = p/q для некоторых взаимно простых натуральных чисел p и q и решения уравнения

√α√ k±√

m−√

n= 0 (4.3)

задаются формулой (k, m, n) = (q(v∓u)²s/p, u²s, v²s), где u, v, s ∈ N, s свободно от квадра- тов,s|p, v∓u >0 и p/s делит (v∓u)².

Доказательство. (i) Пусть a и b имеют разные бесквадратные части. Наше уравнение переписывается в виде

√ak±√ bk±√

cm−√

cn= 0. (4.4)

Согласно утверждениям (ii) и (iii) леммы4, так как бесквадратные части чисел ak и bk раз- личны, уравнение (4.4) разрешимо, только если ±√

bk и±√

cm имеют разные знаки. Уравне- ние (4.1) принимает вид

√ak−√ bk+√

cm−√

cn= 0,

а значит, ak = cn и bk = cm. Для этого необходимо, в частности, чтобы (c/(c, a)) | k и (c/(c, b)) | k. Так как (a, b, c) = 1, это условие эквивалентно тому, что c | k. Полагая k = cs, c∈N, мыполучаем равенства n=as иm=bs.

Уравнение (4.2) решается похожим образом, при этом в силу симметрии между перемен- нымиm иnполучается два типа решений.

(ii) Пусть α=p/q, где(p, q) = 1. Уравнение (4.3) принимает вид pk±√

qm−√

qn= 0. (4.5)

Согласно утверждению (i) леммы4 числаpk,qm иqnдолжныиметь одинаковые бесквадрат- ные части. В частности, m и nимеют равные бесквадратные части. Обозначим эту бесквад- ратную часть через s. Записывая m = u²s и n = v²s, где u, v ∈ N, v∓u > 0, преобразуем уравнение (4.5) к виду

(v∓u)²qs=pk.

Так как(p, q) = 1, тоq|k. Предположим, что(k, m, n) = 1. Тогда(s, k) = 1и, стало быть,s|p.

Поэтому

k=q(v∓u)² p

s ₋1

, где p

s |(v∓u)². Отсюда получаем решения, указанные в утверждении (ii) леммы.

Лемма 6. Пусть a, b, c, d — натуральные числа. Если ω =√ a+√

b−√ c−√

d= 0 (или

√a+√ b+√

c−√

d= 0), то ω(max{a, b, c, d})^−7/2.

Доказательство. Произведение восьми сопряженных чисел дляω=√ a+√

b−√ c−√

d (или √

a+√ b+√

c−√

d) равно

W =

i,j,∈{−1,1}

√a+i√ b+j√

c+√ d

и является целым числом. Если одно из этих сопряженных чисел равно нулю, то согласно утверждениям (ii), (iii) леммы4 либо a, b, c, d имеют одну и ту же бесквадратную часть s, либо a, b, c, d разбиваются на две равные пары. В первом случае ω есть целое кратное √

s и, следовательно, |ω| ≥ √

s ≥ 1. Во втором же случае наименьшее возможное значение есть

|ω|= 2|√ a−√

c| = 2|a−c|/(√ a+√

c) (max{a, b, c, d})^−1/2, что лучше, чем оценка леммы.

Кроме того, приW = 0 имеем 1≤ |W|=

i,j,∈{−1,1}

√ a+i√

b+j√ c+√

d≤ |ω| √ a+√

b+√ c+√

d7

,

откуда и следует требуемая оценка снизу для |ω|. Лемма 7. Пусть α= (√

a±√ b)/√

c >0 и k, m, n∈N. Если √ α√

k±√ m±√

n= 0, то

|√ α√

k±√ m±√

n| α(max{k, m, n})^−7/2. Доказательство. Справедливо равенство

√α√ k±√

m±√ n= 1

√c

√ak±√ bk±√

cm±√ cn

= 0.

Требуемая нижняя оценка теперь следует из леммы6.

Лемма 8. Пусть K, M, N ≥ 2, D := max{K, M, N} и |β|, δ — положительные веще- ственные числа. Тогда

A_±=A_±(K, M, N;δ) := #

(k, m, n) : k∼K, m∼M, n∼N, |β√ k±√

m−√

n|< δ β,ε

β,ε KM N D^−1/2δ+ (KM N)^3/4D^−5/12+ε. Доказательство. Оценка тривиальна, если δ >|β|√

D/2.

Введем обозначение θ=β√ k±√

m−√

n. При |θ|< δ ≤ |β|√

D/2 выполнено неравенство

|√

m±√

n| ≥ |β|√

D/2 и, следовательно, max{M, N} β D. Поэтому можно считать, что

|θ|< δ≤ |β|√

D/2 иN ≤M D.

Возводя обе части равенства

√n−β√

k=±√ m−θ в квадрат, получаем

n−m+β²k−2β√ k√

n=θ(θ∓2√ m).

Правая часть по порядку не превосходит δ√

D(с константой, зависящей отβ), следовательно, для любой пары(n, k) количество подходящихm по порядку не превосходит 1 +δ√

D. Таким образом,

A_± (1 +δ√ D)U, где U — количество пар (n, k), удовлетворяющих условию

β²k−(2β√ k)√

n ≤δ√ D.

Для любого k ∼ K мыможем оценить количество подходящих n при помощи следующей леммыИвича и Саргоса [4, Lemma 3]: для любых вещественных чисел ω и γ с условием

|γ| 1имеем

#

N < n≤2N: ω+γ√

n< δ1

εN δ1+N^1/2+ε+|γ|^1/2N^1/4+ε.

Таким образом,

U β,ε Kmin N√

Dδ+N^1/2+ε+K^1/4N^1/4+ε, N и

A_±K(1 +δ√

D) min N√

Dδ+N^1/2+ε+K^1/4N^1/4+ε, N .

Если δ√

D ≥ 1, то минимум равен N и правая часть оценки выше принимает вид KN√ Dδ.

Если же δ√

D≤1, то оценка продолжается так:

K min{N√

Dδ, N}+N^1/2+ε+ min{K^1/4N^1/4+ε, N} KN√

Dδ+KN^1/2+ε+Kmin{K^1/4N^1/4+ε, N} KN√

Dδ+K^13/12N^3/4+ε.

Так как M DK, отсюда следует требуемая оценка.

Лемма 9. Пусть Q >0, Y ≥1 и δ_±=√ α√

k±√ m−√

n. Тогда

0<|δ±|≤Q k,m,n≤Y

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 α,εY^1/4+εQ+Q^5/42+ε.

Доказательство. Пусть K, M, N ≥2и D= max{K, M, N}. Пользуясь леммой 8 и заме- чая, чтоQ≥ |δ_±| D^−7/2 в силу леммы7, получаем

0<|δ_±|≤Q k∼K, m∼M, n∼N

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 (KM N)^−3/4+εA_±(K, M, N;Q)

(KM N)^−3/4+ε(KM N D^−1/2Q+ (KM N)^3/4D^−5/12+ε) D^1/4+εQ+D^−5/12+ε

D^1/4+εQ+Q^5/42+ε.

Суммируя по двоичным интервалам для K,M иN, получаем оценку леммы.

Докажем теперь теорему 2 по той же схеме, что и теорему 1.

Аналогично соотношению (3.1), выбираяN =X, имеем

I

Δ(αx)Δ²(x)dx=

I

(αx) (x)

2

dx+O(X^3/2+ε) :=S₂+S₃+O(X^3/2+ε), (4.6) где

S2 := α^1/4

28π³(2^7/4−1)X^7/4

k,m,n≤X

√α√ k=±√

m±√ n

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 , (4.7)

S3 := α^1/4 16π³

k,m,n≤X

√α√ k±√

m±√ n=0

d(k)d(m)d(n) (kmn)^3/4

I

x^3/4cos

4π√ x √

α√ k±√

m±√ n

± π 4

dx.

Из грубой оценки видно, что вклад подсуммыв S3, соответствующей √ α√

k +√

m +√ n, пренебрежимо мал. Полагая P =X^−1/2 и учитывая, что δ_±=√

α√ k±√

m−√

n, имеем

S₃

k,m,n≤X δ_±=0

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 min{X^7/4, X^5/4|δ_±|⁻¹}

X^7/4

k,m,n≤X 0<|δ_±|≤P

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 +X^5/4

Q=2^jP, j=0,1,2,...

k,m,n≤X

|δ_±|∼Q

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 |δ_±|⁻¹

X^7/4 X^1/4+εP+P^5/42+ε

+X^5/4 X^1/4+ε+P^−37/42+ε

X^{7/4−5/84+ε}, (4.8)

где мыприменили лемму 9 с Y =X.

Изучим теперь сумму S2, которая дает основной вклад в (4.6). Уравнения вида √ α√

k=

=±√ m±√

nбыли явно решены в лемме 5.

Рассмотрим сначала случай, когдаaиbимеют различные бесквадратные части. Согласно утверждению (i) леммы5 сумма в (4.7) тогда равна

2

s≤Xmax{a,b,c}⁻¹

d(cs)d(as)d(bs) (abc)^3/4s^9/4 = 2

∞ s=1

d(cs)d(as)d(bs)

(abc)^3/4s^9/4 +O(X^−5/4+ε). (4.9) Если же бесквадратные части чисел a и b равны, то α = p/q для некоторых взаимно простых натуральных чиселp иq. Согласно утверждению (ii) леммы5 сумма в (4.7) равна

u,v,s

d((u+v)²sq/p)d(u²s)d(v²s) ((u+v)uv)^3/2(q/p)^3/4s^9/4 +

u,v,s

d((u−v)²sq/p)d(u²s)d(v²s) (|u−v|uv)^3/2(q/p)^3/4s^9/4 .

Здесь u, v и s — натуральные числа, s свободно от квадратов и s | p. Кроме того, в первой сумме имеются следующие ограничения:p/s делит (u+v)²,

u² ≤ X

s, v²≤ X

s, (u+v)²≤ p q

X

s , (4.10)

а во второй сумме суммирование ведется по темu иv, для которыхu=v,p/sделит (u−v)², u² ≤ X

s, v²≤ X

s, (u−v)²≤ p q

X

s . (4.11)

Легко видеть, что если опустить ограничения на переменные в (4.10), то сумма изменится на величину порядка не больше X^−2+ε, а если сделать то же в (4.11), то сумма изменится на величину порядка не больше X^−1/2+ε. В итоге находим

S2 = α^1/4

28π³(2^7/4−1)X^7/4

k,m,n

√α√ k=±√

m±√ n

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 +O X^7/4−1/2+ε ,

причем сумма в правой части, очевидно, положительна и зависит отα. Пользуясь этим равен- ством и соотношением (4.8), выводим из (4.6) асимптотическую формулу (2.3) для F = Δ с η = 5/84−ε. Ясно, что такое же доказательство работает и дляF = Δ^∗ с тем же остаточным членом.

Чтобывывести асимптотическую формулу дляF =E, воспользуемся тем же приемом, что и в (3.5), и получим неравенство

I

E(αx)E(x)²−8π³Δ^∗ αx

2π

Δ^∗ x

2π

2dxX^5/3log^3/2X,

где мы применили оценку (1.4) и следующие хорошо известные оценки для четвертых момен- тов [7]:

IE⁴(x)dxX² и

IΔ^∗(x)⁴dxX². Стало быть, асимптотическая формула (2.3) для F =E сη = 5/84−εследует из той же формулыдляF = Δ^∗.

Что касается знака коэффициентаDE(α), который совпадает со знакомDΔ^∗(α), мыопреде- лим его в случае, когдаaиbимеют разные бесквадратные части. Как следует из формулы (4.9) с соответствующими изменениями для случаяF =E,

D_E(α) = (2π)^9/4α^1/4

14π³ (2^7/4−1)R, где

R= ∞ s=1

(−1)^(a+b+c)sd(as)d(bs)d(cs) (abc)^3/4s^9/4 .

Так как (a, b, c) = 1, можно считать, что, скажем, a нечетно, 2^u b и 2^v c. Предположим также, что a+b+c нечетно. Полагая s = 2^j, где пробегает все нечетные положительные целые числа, а j= 0,1,2, . . . , находим

R= ∞ нечетно=1

∞ j=0

(−1)^2jd(2^ja)d(2^j+u(2^−ub))d(2^j+v(2^−vc))

(abc)^3/49/4 ·2^−9j/4 =

= ∞

=1 нечетно

d(a)d(2^−ub)d(2^−vc) (abc)^3/49/4

−(u+ 1)(v+ 1) + ∞ j=1

(j+ 1)(j+ 1 +u)(j+ 1 +v)·2^−9j/4

=

= ∞ нечетно=1

d(a)d(2^−ub)d(2^−vc)

(abc)^3/49/4 K(u, v), где

K(u, v) =−(u+ 1)(v+ 1) + ∞ j=1

(j+ 1)(j+ 1 +u)(j+ 1 +v)·2^−9j/4 =

=−0.39678uv + 0.4567115 (u+v) + 2.845255.

Следовательно, знак коэффициента D_E(α) совпадает со знаком величины K(u, v). В частно- сти, K(0, v) положительно для всех v≥0 иK(2, v)<0для v≥12.

Рассмотрим, наконец, наши средние для положительного вещественного α, не представи- мого в виде(√

a±√ b)/√

c. Тогда ясно, что уравнения√ α√

k±√ m±√

n= 0 неразрешимы, а значит, сумма S₂ в (4.7) пуста иS₂ = 0. С другой стороны, лемма 7 неверна для произвольно- го α. Однако доказательство леммы9, за исключением последнего шага, который использует лемму 7, все еще работает, и из него следует, что

ρ^−7/2<|δ_±|≤Q k,m,n≤Y

d(k)d(m)d(n)

(kmn)^3/4 α,εY^1/4+εQ+Q^5/42+ε.

Здесь мыдля краткости ввели обозначениеρ= max{k, m, n}. Следовательно, неравенство (4.8) выполнено для подсуммы вS3, в которой |δ_±|> ρ^−7/2, и остается оценить

S₃ :=

0<|δ_±|≤ρ^−7/2 ρ≤X

d(k)d(m)d(n) (kmn)^3/4 min

X^7/4, X^5/4|δ_±|⁻¹ .