В. И. Ладохин, О некоторых случайных величи- нах, связанных с траекториями винеровского про- цесса, Учен. зап. Казан. ун-та., 1962, том 122, книга 4, 21–38

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Ладохин, О некоторых случайных величи- нах, связанных с траекториями винеровского про- цесса, Учен. зап. Казан. ун-та., 1962, том 122, книга 4, 21–38

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:25:50

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

Том 122, кн. 4 Ученые запаска 19 6 2

В. Я. ЛАДОХИН

О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНАХ, СВЯЗАННЫХ С ТРАЕКТОРИЯМИ

ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА

1. Рассмотрим однородный винеровский процесс x(t)9

t £ [0, <х>), х(0) = 0. Будем говорить, что частица совер­

шает брауновское движение, если траектория частицы является некоторой реализацией винеровского процесса.

Рассмотрим случайную величину

* ( т ) > 0 , 0 < т < *

время нахождения частицы, совершающей брауновское движение и находящейся в момент t = Q ъ нулевой точке, на положительной полуоси за время от 0 до t. Известно [1, стр. 90], что

Р (6 < * , ) = . ! arcsin Y-7--

В работе находятся некоторые условные распределения величины 5, условные распределения длительностей вы­

бросов за прямую, вычисляется винеровская мера некото­

рых множеств. С помощью соответствующей группы пре­

образований эти результаты переносятся на случай ста­

ционарного гауссовского процесса с корреляционной функ- дией

v (t, s) =-g- . exp — \t — s\.

„Закон арксинуса" является предельным в следующем смысле.

Т е о р е м а 1. Пусть X\,X2t... независимые случай­

ные величины со средним 0 и дисперсией 1 и такие, что применима центральная предельная теорема. Пусть

sk = Хх + . . . + Xk и пусть Nn означает число sk -ых {k = 1, п), которые положительны. Тогда [2]

lim

П -> оо р

\^-<^)^^г

У** ; ° < ^ <

-

Эта теорема была доказана Леви [3] для случая игры с бросанием монеты, то есть

а) Р ( ^ = 1 ) = Р ( ^ = - 1 ) = 4 - . 2. Известно [1, стр. 83], что

— u/Vlx(^T]dz (2) M U

X?

t

X(t) = x =ty(X,t)-V*t-e, где ^(Х, t) удовлетворяет

(4)ф(*,0) = 8(*).

Найдем распределение £ при условии x(t)^=Ot то есть при условии, что частица в момент t возвращается в нулевую точку. Обозначим

/ ^ (t1\x(t) = 0) = P(t<t1 | х ( 0 = 0); 0 < А < £в. Тогда

(5) М\ е -иг

— ufdt х (т) > О, О < т <t

JC(0 = 0 / =M\e x(t) = 0 / =

/

— uU

е dFl{t1 | x(*) = 0).

Очевидно, t

(6) / * = / ^ ( т ) ] А> Гд е l/(X) = 6(*) = -

x (T) > 0, 0 0 < T < £

Пусть

oo

viE,X) = fHX,t)e~

dt.

0 , X < 0 .

22

Тогда из (3), (4), (6), [1, стр. 88]

(7) -т$р-{*-ЧХ)+Е)9 = о;

(8)

? {Е,Х)-+0 при | Х\ -+оо;

1 Ш, ^х

откуда

(9) ?{Е,Х)=.

= + 0 ) - ^ = - 0 ) = - 4 ,

2 -2УИТ~Е-Х У~Ё + Уй+~Е

2 2 У £ - ^

УЖ+Уи+Е

, Х>0;

, Х<0.

И Ф(0,/) получается обратным преобразованием Лапласа от ср (£*, 0)

Utyizt

Из формул (2), (5)

s

e-aildFi{t1\x{t) = 0)=±-(l-e Ut

Совершая обратное преобразование Лапласа по и,'полу­

чаем

/ W ( 0 = o) = fs

то есть условное распределение £ при условии возвраще­

ния — x{t) = 0 — является равномерным на [0, <]. Это рас­

пределение является предельным в том смысле, что если Хх , Х2 ,... удовлетворяют условиям теоремы 1, то

limP (— <t1\sn = o) = t1 ; 0 < ^ < 1 . Интересно было бы доказать это непосредственно.

Для случая игры с бросанием монеты равномерное рас­

пределение осуществляется и до перехода к пределу.

Пусть Петр находится в выигрыше после п испытаний, если sn— суммарный выигрыш его положителен. Тогда

—означает долю времени, в течение которого Петр на­

ходится в выигрыше. Предположим, что при п-ои испыта­

нии число выпадений герба сравнялось с числом выпаде­

ний решки („ничья"). Тогда условная вероятность события

*п г 1

-jf= — равна — , то есть все возможные доли времени равновероятны [4, стр. 269].

Найдем условное распределение ? при условии x(t)^>0 (частица, находящаяся в нулевой точке при t = 0, в мо­

мент t находится на положительной полуоси). Имеем

t

М{е~ и% \x(t)>0) = Je-tttldFi itt \x(t)> 0).

о

Мера множества функций {х (т): х (t) > 0} равна

о о _ X2

Отсюда

о

—ufd'z х(т) >0.

М\ *0 < т <'

x(t)>0J= 2- fty(X,t)dX

о

где ф (ЛГ,<) — решение задачи Коши (3) — (4) для случая (6).

Из (9)

оо

Г<? (Е, X) dX= l — - .

J VU+E{Y E+VU+E)

Обращая преобразование Лапласа по Е, получаем

t

fe~

dF^t, \x(t)>0) =

о t

— Ce~

(1-е~

*-

)

" J uV-tjVtiit-ti)

о

= _L C

-

( С *» \dt =

71 J J (M#<,(WJ I '

о \o /

Отсюда

(10) /=g & \x(t)> 0) = - ? - a r c s i n J / \ - ^ - " K ^ F T ) • Это распределение заметно отличается от „закона аркси­

нуса". Если плотность „закона арксинуса" симметрична относительно -^-к обращается в интегрируемую со в ок­

рестностях 0 и /, то плотность закона (10) обращается в С при t± = 0, затем возрастает и стремится к со при tx —• t.

Это естественно в силу марковости процесса х{£).

Распределение (10) является предельным для числа по­

ложительных сумм, составленных из случайных величин, удовлетворяющих условиям теоремы 1, при условии sn > 0.

Теперь легко найти и условное распределение I при условии л;(*)<0 из равенства

Р(5 < t,) =Р(5 < t, | x(t)>0)P(x(t) > 0) + + Я ( 6 < ^ \x(t)<0)P(x(t)<0), откуда

(100 /=Н*, U ( 0 < 0 ) = 4 - a r c s i n ] / - | " + ^ }/"/ l (^ ^)' Формулу (10') можно проверить и используя метод полу­

чения распределения (10). Плотность распределения (10') является симметричным отражением плотности распреде­

ления (10) относительно прямой, проходящей через -g- и параллельной оси ординат.

Аналогичным способом получим условное распределе­

ние 5 при условии x(tX—b;b>0. Имеем

где

- ufdr х (т) > 0, 0 < т < t

x{t)<-b у = J ^ (AT, t) dX • /^ (t),

— bX* oo

^W ⁼ v^rf ^e ~~ ' ^dX =/ jk ^{e dx =} ~ ^Erf (fT.

Л:

и

Erf(x)=fe-*dt.

- f - OO

Из формулы (9)

25

—ь ГФ/F v w v - . ехр[-2ЬУЩ

— оо

Обращая преобразование Лапласа по Е, получнм

je-* Щ ft \x{t)<-b) =^Pfe~

\уЦ^е^+

2ЬУъ

№

°~ ^т -МтгУЛ

Отсюда видно, что искомая плотность условного распре­

деления S есть

б3

Mt

\хух-ь) = а§- v^ •е ' " Ч

№

+ f " "

⁷ - H r f ^

При условии — а < х ( 7 ) < — Ъ\ а, й > 0 плотность услов­

ного распределения есть

/ 6 ( ^ . 1 - А < А ; ( 0 < - * ) = ^ Г 1

• У-ЧА

р ( - ^

^хр ^{д2 \ \ . 2/и3.(0} а?

be "'.Erfl^y^)-

где

^2(0 _^J У %t

0 < ^ < / ,

/ - Д = * 'dx-Erff^-Erf

V~t Vt

3. Найдем безусловное распределение случайной величины т] = fck —

JC (т) > е,

О < т < t

время нахождения частицы выше уровня е (е > 0) (дли­

тельность выброса за уровень е). Легко видеть

t со

fe~ ^uh dF^ (t^uz) = J > (X, t) dX,

0 —oo

где ty(X,f) — решение уравнения (3) с V(X) = 6 (X — в). Тог­

да <р (Е, X) — преобразование Лапласа функции ф (X, f), — удовлетворяет уравнению

и условиям (8), откуда

(11) ? ( £ , * ) =

. —2~Уи+ЕХ ^ > е , /\6

Ве^2УШ+Се-^2УЕХ °<^Х<^

где

De^{lYEx Х<}°'

, __ 2ехр [ Уи+Ее — 2 УЕг] #

~~ Уи+Е+УЁ" '

д = (V^g— У^+Ё) ехр[-4УЁг] т r__J ..

VEWE+VJI+E) ' УТ '

J ^£ EVU+E(VE+VU+E)

— oo

Обращая преобразование Лапласа по Е, получаем t

fe~^utl dF⁴{t^x,z)=\

-^p-^^dtAje-^y^dt,

Обращая теперь преобразование Лапласа по и, оконча­

тельно получаем

Л(«.. •) - f a r c s m l / V + i / - ^ erf ( ^ _

1

, / e \ , 1 Г dt2 e2

где 0

2 Г -У*

erf(x) = yz-J e dy . о

Это распределение является также предельным^ в следую­

щем смысле. Пусть Х19Х29'... удовлетворяет условиям теоремы 1,а N означает число s# -ых (k=l,n), которые больше s. Тогда Р I — < ^ )—^/^(^ ,е). Для случая игры в монету получаем предельное распределение для доли времени, в течение которого Петр имеет выигрыш > е . Мы видим, что при t± = О

Р ( л ( т ) < е ) = Р ( т а х ^ ( т ) < в ) = ^ / ( - ^ = ) , 0 < ^ < * 0 < т < *

то есть, например, вероятность того, что Петр имеет выигрыш в течение всей игры < г есть в пределе erf (s).

Найдем условное распределение ц при условии x(t) = е.

Из (Ц)

По формуле (2)

t

Je~utl dFri(t1,s\x(t) = *) = о

г * ^{0 J} ^ M*-*I)V*I(<-'I) ' у '

откуда искомая плотность условного распределения есть

Найдем условное распределение г\ при условии*

Из формулы (11) получаем ]/гИ-£+У£

Пусть

Тогда легко подсчитать

ф ( Х , 0 = ^ f *~ ^ ^ • f-g^e У • ^ - у, t -у, в)„.

V к J J уу у о о

Используя формулу (2), получаем плотность условного>

распределения в виде

fri(t1,t,e\x(t) = X>s) =

_ 2V1 • е < / Г * •, (,, -<ф. , -1ф ,.) Чу ..

X—е

Найдем условное распределение т\ при условии.

Из формулы (11) получаем

» № *> - уШШе) '

~

'~

' +

gJfP[-2F£ 1 АЧ 1 откуда

А^ (2е-А-)2

+ / * Г " '2 -g(t2ft92e-X)dt2.

О

Используя-формулу (2), получаем

+ У^Г>е* fg(t2,ty2s-X)dt2. о

4. Найдем распределение случайной величины

< - / * -

X (т) > ст, О < т < *

время нахождения частицы выше прямой y==cz.

Для нахождения распределения нам надо решить уравне­

ние (3), (4), где

V(X,t) = Q(X—ct).

Если сделать замену переменных X-ct = X'; t = tr, то получим

(12)

ф (АГ', 0) = 8 (ЛГО

1/(Х') = б(хо

Преобразование Лапласа, примененное к решению задачи Коши (12), приводит к уравнению

и начальным условиям (8). Находим решение

? ( * ' , £ ) =

2gxp [(— 2с — 2 Yu+E+^j Xr ] VE + ci+Yu-t-E+c2

2exp [(— 2c + 2YE+(?)X'] X'<0.

YE+ci + Yu+E+c2

Подсчитаем условное распределение £ при условии x(t) = X^ct.

По формуле (2)

t £2

*Г ^ d/ч {tx \x(t)=X) = «К*, t)Y~rte \.

о

Найдем обратное преобразование Лапласа от <p(Xf ,Е) при

^ ' < 0 и сделаем обратную замену переменных. Тогда

/ <

/

— utx

dFi(t,\x(t) = X)

-.y-tzt .

— — 2cX + сЧ 1

S-

Отсюда плотность условного распределения есть X2 • 2с X + сЧ

(13) /с & , t, с) = ] / ^ Т е ' -g{t19t9ct- X). ^ Аналогично можно найти и условное распределение С при условии л;(*)=ЛТ>£<. Из формулы (13) видно, что условное распределение С при условии x{t) = ct равномерное, так как

Чтобы найти безусловное распределение С, надо найти об­

ратное преобразование Лапласа по Е и по и от

оо

ОО

В результате получим

J е dFr%{t1) = J е -dt2

о

— с2г

j ^ 2

V<t-t2) + ее -Erf(-cVt-h) откуда плотность распределения С есть

кЫ)-

сЧ2

се - Erf(cVt2) V<t—b)

t+

сЧ2

+ с-е b"Erf(-cyt=r%)

5. Найдем винеровскую меру некоторых областей. Вероят­

ность P(x(t) £ S) можно вычислить следующим способом.

0 < т <t

Рассмотрим случайную величину X=fdz _ -

0 < т < ^

время нахождения движущейся частицы вне 5 , если пол­

ное время движения есть t. Тогда

31

t / t

(14) J e ¹dF^x(t¹)=M[e 0

о \ где

1 ' ; 1 0 , если (X,t)£ S.

Правая часть равенства (14) равна fty(X,t)dX, где ty(X, f) решение (3), (4).

Если Р (х (т) (• S) > 0, то Fx (tx) имеет скачок в tt = 0 и

0<т < *

величина этого скачка равна вероятности нахождения ча­

стицы в 5 все время движения от 0 до t. Итак,

t „+

е 1 dFx{t1) = P{x(?)£S) + о о< т < t

+ fe

d/* &) = fw,t)dX,

о

где функция /?!(^1) непрерывна в 0. Находить Я(х(т) £ S)

0 < т < t

можно или устремляя в fty (X, t) dX параметр и к оо или находя разрыв в ^ = 0 у функции Fy(t1). Первый путь значительно легче, так как при его использовании не обя­

зательно знать всю функциьо распределения случайной величины %.

6. Вычислим вероятность того, что траектория дви­

жущейся частицы на участке от 0 до t1 ниже уровня

si(>0)> а н а участке от tx до t2 ниже уровня е2, то есть (15) Р(х(т) < ех ; х ( т ) < s2) = P(max х(т) < Sl ; max х(т)< е2).

В соответствии с (14), (3), (4) нам надо решить задачу Коши (3), (4) с

И(А,0 = \ 6 ( X - s2) при t,<t<t2

Сначала найдем решение в точке t £ (0, tx) по формулам пункта 3.

<f(X,t,Sl) =

— U2

V ОО

Г —uti 2 Г

0 A ' - t t

•s\

-Y2 {2ti—X)*

У яГ

+

, Г —lit).

+J e -g(tlt t, 2s, - ЛГ) flf/j при ЛГ< 8l

Теперь возьмем это решение за начальное данное в точке t = tx и будем решать задачу Коши

(

) -£=4-Й-«

<*-0*;

(17) ф (АГ,Л ) = ф (АГ,/, , еж )

при tt<t^ta. Пусть -^ (X, t,X1,tltB3) = ф, (X, *-*, , Л'ь е„)

— фундаментальное решение уравнения (16), то есть Ф, (*, t, X, tx , s2) I = 8 ( ^ _ xt).

Тогда решение задачи Коши (16), (17)' запишется [5] авиде

ОО

Ф (Л", г1, е,, в,) = j b (Хи Ь,ъ) <|»i (Л-,*-^ ,Jf., е.) йХк

ОО

Функция ^ (X, t4 Хг Jlts2) при ^ < s2 находится сдвигами из функции 4 (X, *, е, ) и равна

t—tY

Г —ut2 2 г

<W (X, t, Xl9t19e2) =].g[ t2- ~~^ t-tx-^-^ , e2~Xi \dy

1

При ^ > г

+•

-и*9

5 9 0 - 3

t~t1

+ J e "" :g(t2,t-ti, 2e2-Xr-X)dt2

0 При X<[e2

Искомую вероятность можно получить, если устремить и к со в

оо

jb{X,t2,z1,z2)dX=

ОО

£ о ОО

= f <H*i Л >*г )dXt . fb1(X,t2-t1,X1,e2)dX +

ОО ОО

+ J" <№ . h ,h ) dX, . J \ (X, t

-t

X

, s

) dX.

£² OO

Второй член суммы стремится к 0, так как при Xt > s3

СО

J \ {X, ta — tlt X, г, ) dX

ОО

стремится к 0 при и-^оо. В первом члене суммы при и->оо

J \ (AT, t

~t

,X

,г

)dX-+ erf I y-^~ ) •

Итак, первый член сходится к искомой вероятности (15)

in (гь е2)

J V^i

rain (elf ea) / XI (2ti-^i)a\

1

'»"'•— '• W(f==j<«.

При sA < 0 вероятность (15) равна 0, так как при t2 = t1

юна равна 0.

Сдвигами времени и начальной точки получаем, если рассматривается однородный винеровский процесс

x(t)J £ [t0,oo)9 x(t0) = X0

(18) РШ_<^)^Ч^-Х0)ег/ ( у =

'tQ<t<h

в(

-Ло) f4h-Xi)y^f

_(х-х0у-

t1—tQ

— е dX.

(19) P ( X ( T ) <£ I; J C ( T ) < e3) =

t0<fC<tl t1<T<to

= о

-x

) / e ( s

-

) 6

_ *

)

= L = I - '-'о

— oo

(2в1~Х0~Х,У п

Аналогичным методом продолжения решения по / можно получить

(20) P(x(?)<ei; X(z)<e2; л^)<гг) = t0<T<t1 * 1 < Т < *2 tV<*<u

со

— е

1

dxx

X f0(s2-X,)B(h-X2)y===

— oo

tr-h

— e ^tt-ti

erf {yj^r )

^

ш так далее.

Используя формулы (18), (19), (20), можно приближен­

но вычислять винеровскую меру множеств типа

К= 1х(?) : * 0 0 < / 0 0 } > f(Jo) > Х0 , заменяя кривую /(т)

t0<r<t

ступенчатой функцией.

Из формулы (19) легко найти совместное распределе­

ние тахл;(т) и maxjc(x).

Если поставить задачу о представлении тахл;(т)в виде

0 < Т < £ п

maxx(i)~V Ckx(tk); 0<tk^t, k=l,n,

0 < T < £ яаЛ

г 1

так, чтобы ^k-=\

l n

с L ^k=i

dwx

была минимальной,то необходимо знать M(x{t^) • max x(i))»

0<T<t

Из (20) можно получить совместное распределение max л:(т) 0 < т < *

и x(tfr), положив е1=г3и устремляя t1—^t2=tk. Проде­

лав несложные вычисления, получим

Р ( т а х х ( т ) < е1 ; x(tk)<e2- о < ^ < * ) =

0<i<t

X2 (2£l — X)2 1

J Y^

J

При s2 < вг , et > О erf ( y = = ) ПРИ £2 > h > 0

0 при £i < 0.

Аналогично можно найти и совместное распределение x{tk) и max x(t) при ^ н е £ [0,/], что необходимо знать для

0 < т < t

линейного экстраполирования тахл:(т).

0 < т < t

7. Вычислим вероятность того, что траектория дви­

жущейся частицы все время движения ниже прямой сх-{- гг

то есть

Р ( * С 0 < £ т + е); в > 0 .

0 < т < t

Нам надо решить задачу Коши (3), (4), где V(X,t) = b(X—ct — e).

Делаем замену переменных X — ct = Xr\ t = tr. Получаем:

Ж= ~д^> + ^с дхг~-^иЬ(^Х -~^е^> -

ф (*',()) = 8 ( Х ' ): оо

Нам надо вычислить lim J 6 (X, i) dX =

ц-> оо J

— оо оо

= lim fb(X',t')dX'.

#->oo J

— оо

Если 9 (£", X') — преобразование Лапласа от ф (X\tf)]uo V, то

оо

ОО

откуда

Р(х(?)<сс + е) = 1-е'

0 < т < t

>2cs

У е

ут

г(? ⁺ '')

Сдвигом времени и начальной точки получаем для процес­

са х (0, t £ [t0 оо), x(t0) = Х0

/>(^(т)<£:1(т-<0) + е1) =

=e( „_x ^a) (i-^<-'-*». ^= ?А**г^М •

V к J

У * i — ^ о /

Используя метод продолжения решения по t, можно по­

лучить

P{x(y)<Cl (т - t0 ) + е1 ; *(т) < с2 (т - ^ ) + е2 ) =

оо

= б Oi - *о ) Г» (8l - X) 6 (s2 - с, tx - X) • е-ЪьХ-«1-Ыс1Х

X У«(«1-<о)

f _ ( * - * o )2 _ ( 2 t1- A 'g- j y ) »

'*-'» rfX X

X 12 _ g—Zcfa—d't! — x) X

x w f

^„-Г

e2—Ci t1—X

+ У2

J dy

Эти формулы могут быть применены для приближенного вычисления винеровской меры некоторых множеств.

8. Преобразование

z(t)= е шх(е2ь )

переводит [6] однородный винеровский процесс x(t), t £ [0, оо) в стационарный гауссовский процесс z{t)9

t £ (— оо, оо) с нулевым математическим ожиданием и кор­

реляционной функцией

v (t, s) = Mz (t) z (s) =— exp — | t—s | .

Проделав соответствующие замены, получаем для процес­

са z(t)

2т . z

е drz<^t1 |=—arcsin^. v2t1 ,

г (т) > О, оо < т < t

е d'<Ct, \z(t) = 0 \ = 2t1.e М > о, /

— оо < т < t

— т — t P(z(>z)<e.e ) = в ( е ) . * г / ( е . < ? ) ,

— о о < т < £

= е ( е ) 1 - и так далее.

P(z(?)<ce +ee *) =

— оо<т<£

оо /№ \ 1

— 2св 2 Г -{-jr+y2 )

~

'V^J

\

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. И. М. Г е л ь ф а н д и А. М. Я г л о м. Интегрирование в функцио­

нальных пространствах и его применения в квантовой физике. УМН, 1956, т. XI, вып. 1(67), 76-114.

2. P. E r d o s and M. K a c . On the Number of Positive Sums of indepen­

dent Random Variables. Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53, 1011-1020.

3.P. L e v y . Sur certains processus stochastiques homogenes. Compositio Mathematica, 1939, 7, 283—339.

4. В. Ф е л л е р . Введение в теорию вероятностей и ее приложения.

ИЛ, Москва, 1952.

5. Я. И. Ж и т о м и р с к и й . Задача Коши для параболических сис­

тем линейных уравнений в частных производных с растущими коэф­

фициентами. Математика. Известия вузов, 1, 1959, 55—75.

6. А, В. С у л ь д и н, В. И. Л а д о х и н , С. В. Г р и г о р ь е в . Преобразования, сохраняющие меру Винера, и их приложения. Итоговая научная конференция К ГУ за 1961 г. (краткое содержание докладов).

Секция математики. Казань, 1962. '