Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. Я. Якубов, Равномерная корректность за- дачи Коши для эволюционных уравнений и приложения, Функц. анализ и его прил., 1970, том 4, выпуск 3, 86–94
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 01:48:40
функциональный анализ и его приложения, т. 4, вып. 3, 1970, 86—94
РАВНОМЕРНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ
С. я . Я к у б о в
В работе [1] Э. Хилле доказал, что задача Коши в банаховом прост' ранстве для двучленного уравнения а^'"^ (/)+Л^а(/) = О является корректной в том и только в том случае, когда Л—ограниченный оператор. Б. С. Митя- гин [2] показал, что для общего линейного уравнения а^'^^(/) +
т
+ V AkU^^~^\t) = f (t) задача Коши может быть корректной и для неогра- ничейных операторов Ak, и описал этот класс уравнений. Это исследование получило дальнейшее развитие в работах автора [3] — [5]. В работе
т
Ю. А. Дубинского [6] для уравнений вида V akU^^^t) + Аи (t) =f{t)y где
k=i
Ui — числа, А—некоторый неограниченный оператор, выделены и описаны корректно поставленные задачи.
В § 1 этой статьи доказываются теоремы о равномерной корректно
сти задачи Коши для уравнения
u^'^\t) + A,{t)u^"'-'\t)+ . . . +Л^{/)^ ( 0 - / ( 0 .
.,, (1) u^^\0) = Uk {k = 0,m — \).
Выделен класс уравнений вида (1), для которых задача Коши равномер
но корректна. К этому классу относятся те уравнения (1), для которых оператор Ai(t) является главным, а остальные операторы ему подчинены.
Далее, исследуется задача Коши для квазилинейного эволюционного, уравнения с неограниченными нелинейностями.
Полученные результаты для эволюционных уравнений т-го порядка являются развитием и обобщением известных ранее результатов Б. С. Ми- тягина [2], П. Е. Соболевского [7], автора [3] — [5], В. А. Раскина и:
П. Е. Соболевского [8], С. Г. Крейна [9]. Отметим, что во всех этих ра
ботах, кроме работ автора и работы [2], исследованы лишь уравнения второго порядка. Приводимые результаты и при т = 2 являются новыми.
В § 2 полученные абстрактные результаты применяются к решению смешанных задач для нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных (линейных и квазилинейных). Для рассмотренных квазилинейных задач устанавливаются как локальные, так и нелокаль
ные теоремы существования.
§ 1. Задача Коши для эволюционных уравнений
1. Прежде, чем приступить к исследованию эволюционных уравнений т-го порядка (1), предварительно рассмотрим задачу Коши для урав
нения первого порядка
^^'(0-=Л(о^(0- (2>
Равномерная корректность задачи Коши 87
Следующая постановка задачи для уравнения (2) нами заимствована из книги С. Г. Крейна [9]. Пусть выполнено следующее условие: замкнутый линейный оператор A{t){tf[0, Т\) имеет не зависящую от t всюду плотную в Е область определения Ж {А (t)) = 3){A) и ограниченный обратный А"^ (t);
оператор A{t) сильно непрерывен на 3){А) по /6 [О, Т]. Решением уравнения(2) на отрезке [s, T'J(0 ^ s ^ T ) называется функция u{t)co значениями в 2) (Л), имеющая производную и'(t) и удовлетворяющая уравнению (2) на [5,7].
Под задачей Коши в треугольнике T A I O ^ S ^ ^ - ^ T понимается задача о нахождении при каждом фиксированном 5(^[0,Г) решения u{t,s) урав
нения (2) на отрезке [s, Г], удовлетворяющего заданному начальному условию
и{8,8)=и^(^а){А), (3) Задача Коши (2) — (3) называется равномерно корректной^ если а) при
каждом s6[0,T) и любом UQ б 2) (Л)существует единственное решение u{t,s) уравнения (2) на [s, Г], удовлетворяющее условию (3); б) функция u{t, s) и ее производная щ (t, s) непрерывны по совокупности переменных в Гд;
в) решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из сходимости Uo,n 6 2) (Л) к нулю следует равномерная по / и s в Гд схо
димость к нулю соответствующих решений Un{t, s).
В [9J установлено, что если задача Коши (2) —(3) равномерно корректна и IIЛ (0) Л"^ (/) II <; С (О < / < Г), то существует линейный оператор U (t, s) (О • < s ^ / - < T ' ) , называемый эволюционным оператором, соответствующий оператору A(t), со следующими свойствами: 1) оператор (/(/, s) сильно непре
рывен в ГА; 2) U{t, s) = U{t, x)U{х, s), U{tJ)-=I ( 0 < 5 < т < / < Г ) ; 3) оператор U{t, s) отображает Ю{А) в себя, оператор tt^(^, s)=A{t)U{t, 8)Л"^($) сильно непрерывен в Гд; 4) на области 3){А) оператор U{t,s) сильно диф
ференцируем по / и по S, причем —^-^=A{t)U{t,s),—^-^ = — U{t, s)A{s).
dt ds
Первые фундаментальные результаты о равномерной корректности задачи Коши получены в работе Т. Като [10]. Эта теория дальнейшее развитие получила в работах Ж. Кизинского [11] и С. Г. Крейна [9].
Ранее исследована также равномерная корректность задачи Коши для линейного возмущенного уравнения
и' {t) =^ A{t)a{t) + B(t)u(t), (4) Теоремы о равномерной корректности задачи Коши для уравнения
(4) имеют существенное значение при исследовании линейных диффе
ренциальных уравнений высшего порядка. В этом пункте мы докажем теорему о равномерной корректности задачи Коши для уравнения (4).
Т е о р е м а 1. Пусть замкнутый линейный оператор А (t) имеет не зави
сящую от t^ [О, Г] всюду плотную в Е область определения 3){A{t) = 25(Л) и ограниченный обратный Ar^{t)\ оператор A{t) сильно непрерывно диффе
ренцируем на 2) (Л) и задача Kouiu для уравнения (2) равномерно корректна;
оператор B(t) сильно непрерывно дифференцируем.
Тогда задача Коши для уравнения (4) равномерно корректна.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При наших предположениях в [9] установле
но, что эволюционный оператор U(t, s), соответствующий оператору Л (/), существует и обладает, кроме свойств 1)—4), еще тем свойством, что вся
кое решение задачи (4) — (3) удовлетворяет интегральному уравнению
t
и(t, s) = U(t, s)uo+ ^U(/, r)В(T)U{X,S)dx. (5)
s
Очевидно, интегральное уравнение (5) имеет единственное непрерывное вГд решение и {t, s). Теорема полностью будет доказана, если мы покажем,
7 Функц. анализ, т. 4, вып. 3
88 С. я. Якубов
ЧТО функция u{tyS) имеет производную i/J (/, s), непрерывную в Гд, и удов
летворяет уравнению (4). Рассмотрим интегральное уравнение v{t, s)=W(t, s)A{s)Uo + W{t, s)B{s)u^ +
t
+ \W{t, X) {B' (t) - A Ct) Л-1 (t) В (t)) Щ dx +
tr t
j I W {t, z)B{z) + ^W (/, t) {B' (t) — Л' (t) Л-1 (t) В (t)) dx V (z, s) dz. (6)
-4~
s L
Очевидно, уравнение (6) имеет единственное непрерывное в Тд решение v{t,s). Интегрируя (6) от s до / и проведя ряд преобразований, получим
t
^v{p,s)dp^{U{t,s)-I)u, + {Uit,s)-I)A-^s)Bis)u,+
s
t
+ J {U (/, t) — /) Л-1 (t) (S' (t) — A (t) Л-1 (t) В (t)) Uodx +
s t
+ \{U{t,x)~I)A^^{x)B(x)v{x,s)dx +
s
+ j f j > ( p , t ) ( F ( т ) - Л ' (т)Л-1(т)В(г))ф Ь ( ^ , s)dtЫг.
S ^2 L t J ' t
После ряда преобразований удается показать, что функция ^о + ^v(p,s)dp
S
удовлетворяет уравнению (5). В силу единственности решения уравнения (5) имеем u{t, s) = UQ+ | У (p, s) dp, откуда следует, что решение уравнения (5)
S
имеет непрерывную в Тд производную ut(t, s) = v{p, s). Теорема доказана.
2. Решением уравнения (1) на [0,Г] называется функция и (t), удовлет
воряю ш,ая условиям: 1) функция u{t) т раз непрерывно дифференцируема на [О, Л ; 2) и^^^ {t)^a){Am-^k{t)), и функции Am-^k{t)u^^\t) непрерывны на [0,7]; 3) функция u{t) удовлетворяет уравнению (1) на [О, Г].
Предположим, что оператор Ai{t) удовлетворяет условию теоремы 1.
Пусть, далее, Uk =- и^^^ (0) б 25 (Л^ {k = О, т —2) и операторы Ak {t) АТ^ (0) {k = l,m) сильно непрерывны по / ^ [ 0 , Т]. Пусть ^г(/)—решение уравнения (1) на [0,7]. Тогда функция А^{0)и^"'-'^ (t) = A^(0)AT^it)A^{t)u^"'-'\t) непрерывна на [0,7]. Из замкнутости оператора Л1(0) вытекает, что
j А, (0) и^^^'^ (т) dx = А, (0) [и^"^-'^ (О - и^"'-'^ (0)]. Так как и^'^-'^ (0) е 3) (Л J ,
о
то и^'^'^^^ {t) б 3) (ЛО и функция А^ (0) а^'""^^ (t) непрерывна дифференцируема на [0,7], причем ^iA,{0)u^'^^'\t)) =^ A,iO)u^'^~'\t), Последовательно убеждаемся, что все функции а^^^ (t) б 3) (А^) {k = О, т —2) и функции Лх (0) i/^^^ (О непрерывно дифференцируемы на [О, 7], причем —(Лх {0)и^^^ (/)) =.
dt
== Ai (0) и^ "^^^ (t) {k=^0, т —2). Сделаем теперь замену
Vk (О = Л (0) t^^'-^^^ (О (й - 1 , т - 1 ) , t;^ (О ^ и^"-^) (/). (7)
Равномерная корректность задачи Коши 8 9
Легко заметить, что функции Vk(t) {k= l,m) непрерывно дифференци
руемы на [О, Т\ и удовлетворяют системе уравнений
Vk (t) - Vk+i (t) [k -= l,m—2), Vm-i (/) = Л1 (0) V,n (0,
m
v'm (t) = A, (t) o„ (t) -^At (0 AT' (0) u„,_,+i (/) + / (0. (8)
Систему (8) рассмотрим как одно уравнение в £^ = £ X . . . х Е.
V' (/) = 21 (О и (О + 35 (/) и (О + F (О, (9) где 21(/) — матрица с неограниченными операторами, а 95(/) — матрица с огра
ниченными операторами из системы (8). Областью определения оператора 91(/) естественно считать множество 2}(21(/)) = Е"^^^ X 2) (Л). Нами пока
зано, что всякое решение уравнения (1) на [О, Г] с условием а^^^О) t 25 (Л^) (k == О, т—2) порождает по формулам (7) решение v(t) = {v^{t), . . . , Vm (t)) уравнения (9) на [0,7"].
Обратно, пусть v{t) = {v^it), . . . , Vm{t)) — решение уравнения (9) на [0,7"]. Рассмотрим функцию u{t) = А^^ {0)vi{t). Тогда из первых т — 1 уравнений системы (8) следует, что эта функция удовлетворяет соотноше
ниям u^^\t) = ЛГ'(0)^^+1 (О (^ = 1,т—2), u^"'~^\t) = Vm (О- Подставляя эти соотношения в последнее уравнение системы (8), установим, что функция u{t}
удовлетворяет уравнению (1) на [О, Г]. С другой стороны, легко заметить,, что функции Am-k(t) u^^^ (t) = Ащ-к(О^Г^(О) Vk-\-i{t) {k=0,m — 1) непрерывны на [О, Т]. Итак, функция u(t) =Ar^(0)Vi{t) является решением уравнения (1) на [О, Г]. Очевидно, что и^^^ (0) е 3) (А^) {k - О, т —2).
Значит, мы установили взаимно однозначное соответствие между реше- ниями уравнения (1), удовлетворяющими условию и^^^ (0) б 3) (Ai) {k=- О, т —2)^
и решениями уравнения (9).
Предположим, что задача Коши для уравнения и'(t) = —Ai(t)u(t) равномерно корректна. Обозначим через U {t, s) соответствуюш,ий ей эволю
ционный оператор. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (9) в треуголь
нике 0 < 5 < / - < Г в случае, когда 95 (/)-=0, F{t)=0. Если v = (v^, ...,Vm)&
6 SD (St), TO из (9) находим, что
Vk {ty S) = Vk {k=\,m — 2 ) , Vrn (/, S) = U (/, S) Vm, t
Vm-1 {ty S) = Vm-i + [ Л (0) t^ ( t , S) Vm dx = t
Vm-i — { Л1 (0) AT^ (T) — U{x,s)VmdX = Vm-x - ^ 1 (0) A-[^ (t) и (/, S) Vm + J dx
s
t
+ Л1 (0) A7' (s) Vm — J Л1 (0) AT' (t) л; (t) AT' (x) и (t, s) Vm dx.
s
Значит, задача Коши для уравнения v' (t) =^ ^{t)v{t) равномерно корректна.
Итак, оператор %{t) + XI (Х^О) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть теперь ^ ( / ) = ^ 0 , F{t)=j=0. Применяя к уравнению (9) теорему 1, докажем следующую теорему.
Т е о р е м а 2. Пусть операторы A^{t) при всех ^С[0, Г] имеют общую плотную в Е область определения 3J (Л^ (t)) =• SD (Л1) и ограниченный обрат
ный AT'{t)\ оператор Ai(t) сильно непрерывно дифференцируем на SD{Ai}
90 С. Я. Якубов
и задача Коши для и'[t) =^—Ai{t)a{t) равномерно корректна', операторы Ak{t)AT^{fd) {k = 2,т) ограничены и сильно непрерывно дифференцируемы;
f{t) непрерывно дифференцируема, или же определена и непрерывна Ai(0)f{t) на [0,7]. Тогда задача Коили (1) имеет единственное решение на [О, Г].
3. Теперь установим разрешимость задачи Коши для квазилинейного уравнения
u^''\t)-^A{t)u^''-^\t)=^f{Uu{t), . . . , а^^~'ЧО), u^^4Q)-=^Uk (k^oT^^^l).
(10) В работе [12] нами было введено одно понятие, связанное с производной Фреше от неограниченных операторов, и при помощи этого понятия уста
новлена разрешимость задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка. Так как разрешимость задачи Коши (10) также устанавливается при аналогичных предположениях, то приведем это понятие. Пусть G,G, F — банаховы пространства, причем имеет место топологическое включение GczG и G = G. Через S(G, f) обозначим банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из G в f.
О п р е д е л е н и е . Пусть оператор /(а), действующий из G в f, имеет в точке UQ(^G производную Фреше Df{u^), причем оператор Df{u^ можно продолжить так, что его расширение Df(UQ) принадлежит B{G,F). Тогда Df (UQ) назовем G-pacuiupeHHOu производной Фреше в точке щ от оператора / {и).
Этот класс операторов в случае G = F описан в работе [13], где для задачи и' (t) == Au{t) Л- f{ty u{t)), и{0) = UQ доказана локальная разрешимость в случае, когда f{t, и) действует из [О, Т] х ^(Л) *) в Е я имеет Е-расширен- ную производную Фреше, удовлетворяющую локальному условию Липшица.
Нами в работе [12] для задачи и'{t) = A{t)u{t)-\-f{t, u{t)), U{0)^UQ дока
зана как локальная, так и нелокальная разрешимость (см. также [14]).
Т е о р е м а 3. Пусть оператор A(t) имеет не зависящую от ^^[0, Т]
всюду плотную в Е область определения 3) {А (t)) =^ Э)(А) и ограниченный обратный Л"^(/); оператор A{t) сильно непрерывно дифференцируем на 3) (А), и задача Коши для и' (t) = — A{t)u (/) равномерно корректна; Uk(^3) (Л)
(k=l, т)\ оператор f{t, w^, . . . , Wm) действует из [О, Т\ х [E{A)f^ в Е, имеет непрерывную производную fu сильно непрерывные производные Фреше fwf^{k= l,m—-1), сильно непрерывную Е-расширенную производную Фреше fwf^y которые удовлетворяют по wu {k —1, т) условию Липшица в каждом шаре пространства [Е{А)\"^. Тогда задача Коши (10) имеет единственное решение на некотором отрезке [О, /Q] d [О, Г], которое может быть найдено методом последовательных приближений.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так же, как для линейного уравнения, при помощи замены (7) устанавливается взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (10), удовлетворяющими условию и^^\0)(^Ф{А) (k = 0, т —2), и решениями уравнения
v'{t)^^{t)v{t) + F{t,v(t)), (И)
где F(t, v) -- (^2, . . . , f{t. Ло~Ч. . • . , A'^^Vm-u Vm))-
Покажем, что к уравнению (11) применимы результаты статьи [12]. Так как в теореме 2 доказано, что задача Коши для уравнения и' (/) = ^(t)v (t) равномерно корректна, то достаточно проверить, что оператор F{t, v) дейст-
*) Е(Л)^{ие^(А); 11и11^=^ЦА(0)и\\}.
Равномерная корректность задачи Коши 9 I
вует из [0,7] X Е'^ (Щ в Е^ и имеет ^^-расширенную производную Фреше.
Очевидно, Е"^(Щ=Е х . . . X Е х Е{А). Так как оператор /(/, ii\, .. . , Wm) действует из [О, Т\ х \Е{А)]"^ в £, то оператор/(/, A^^v^, . . ., A^^Vm-uVm) действует т \0,Т\ х Е х . . . X £ х ^(Л) в Е. Значит, оператор f (/, v}
действует из [0,7"] х Е"^ {Щ в Е"^. Из условия дифференцируемости f сле
дует, что оператор F{t,v), действующий из [0,7] X £"^(31) в £"\ имеет
^'"-расширенную производную F^ (/, v), которая удовлетворяет по v условию- Липшица в каждом шаре прэстранства £''"(5(). Из этого условия тгкже сле
дует, что существует непрерывная производная Ft (/, v) и что она удовлет
воряет условию Липшица по i; в каждом шаре пространства Е"^{Ш).
При т =2 теорема 3 пересекается с результатом В. Г. Раскина и:
П. Е. Соболевского [8], где поедполагается, что оператор f {t,w^, w^ дейст
вует из [О, Т\ X £ (Л) X £ в £, а не из |0, Т\ х Е{А) X Е{А) в £, как это делается в теореме 3. Но в работе [8] от операторов /J,/^^ (fe = l, 2) условия Липшица по Wk не требуется.
З а м е ч а н и е . Из теоремы 3 и результатов статьи [12] следует, что при наличии априорных оценок \\A{t)u^^\t)\\^C (k =0,т—1) для решений задачи Коши (10) имеет место нелокальная разрешимость.
§ 2. Смешанные задачи для нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных
I. Рассмотрим в цилиндре Q г^ [О, Г] X Q, где ограниченная область Q d R^ принадлежит классу С^^, уравнение
DTu (/, X) + i 2 Аа (/, X) D^'D'r'u (/, х) ~- ^ B^k (/, х) ОЮ^и (/, х) --=
- £ ( ^ х , U, . . . , D^'D^tu, DT~'u\ (12) где X = (х^, . . . , Хп) eQ, а = (а^, . . . , а„), | а | --- а^ -[- . . . + a«
D" =z D^' . . . D / , Dk = i (fe--i, n), Dt ^ — , с граничными условиями
dXf^ dt
Cy(x,D)^|^^- V Ca/(x)D^^/(/,x)l^^-.0 (py.<:2p-l, / = l,p) (13)
laKpy
И начальными условиями
uf\0, X) - Uk{x) {k = 0, m =Л). (14) Предположим, что Ла(/, X) f С'''^' ([О, Т] х Q) и Л (/, х, D) =
= V Aa{t,x)D^ — формально самосопряженный эллиптический оператор В Q; Са/(л:)бС^^ ^Ч^^)» система граничных операторов {Cj)[ нормальна;
система (С/)^ связана с оператором Л (/, х, D) посредством условия Шапиро — Лопатинского [15], [16]; оператор Л(/), порожденный системой (Л(^, X, D), (С/)?), является самосопряженным в £3 (Q) с областью определения Ж(Л(/)) = Ц7^ (Q,(C/)?).
Т е о р е м а 4. Пусть B,,k{t, x)fC''\[0, Т\ х Й); Uk{x)(^,WT{Q. (Cy)f) (fe ^ 0 , т —1); я С 4р; [ Р | < — — ; й < т — 2 ; функция F{t, х, z) непрерывна
92 С. Я. Якубов
вместе со своими производными по t^ Zk в области {t^ fO, Г], x^Q^Zk^ Z}, причем эти производные удовлетворяют по Zk условию Липшица в каждом ограниченном множестве \zk\^R с константой Липшица, зави' 'Сящей лишь от 7?*). Тогда задача (12) — (14) имеет единственное решение
и (^ X) е С^ ([О, /о], и (й)) П С"-^ ([О, t,l Wf (Q)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сведем задачу (12) — (14) к абстрактной задаче Коши (10) с нелинейным оператором f{t, v^, . . ., Vm), определенным равенством /(/, t^i, ...,Уш) = — 2 5a/fe(^,^:)D%4-i(A:)+f(^,A:,t;i(x),...,D%+i(A:),t;m(A:)).
Так как IFf (Й)с: С'^'(Й), то оператор f действует из [О, Г] х [ITf (0)Г ъ L^{Q), Значит, в силу H{A)-=Wf {Q, {Cj){) оператор / действует из [О, 7]Х Х[Н{А)Г в L^iQ). Очевидно, оператор/, действующий из [О, T]x\WT{Q)f в L2(Q), имеет производную Д и производные Фреше /у^. Так как
f'v^ it,Vu . . . , Vm) =^ F^Jt, X, V^ {X), . . . , D^Vk-\.l (^), Vm {x)) И ПрИ ЛЮбоМ
Vk{x)^Wf{Q) {k = \,m) функция H (t, x) ^ Fz^{t, X, . . . , ^m (x)) непрерывна no x(^Q, TO оператор умножения на функцию H{t,x) ограничен в L2(Q), т. е. / имеет 12-расширенную производную Фреше по_ Vm. Гладкость про
изводных следует также из вложения W^|^(Q) CZC'^'(Q). Теорема доказана, 2. Ради краткости сформулируем и докажем нелокальную теорему существования только для квазилинейного уравнения Шредингера пер
вого порядка по t:
Dtu {t, x)+i 2 Aa (t, X) D^'u (t, X) = 1Ф' {\u{t, x) P) и (/, x) +f{t,x) (15)
|аК2р
С граничными условиями (13) и начальным условием
^ ( 0 , х) =ZUQ{X). (16)
Т е о р е м а 5. Пусть п<^2р, и для оператора A{t) имеет место нера
венство {А(ОЩ и)>С^\\иЦ;^~С^\\и \\1^ (Ci>0, ие Wl'(Q, (Q)^)); веш^ест-
2
веннозначная функция Ф(г) дважды непрерывно дифференцируема на [О, оо), причем Ф"{г) удовлетворяет условию Липшица на каждом отрезке [О,/?]:
Ф(г)<С(1 + г^), где д<^^\ ^оМе\С(Й,(Су)^).
Тогда задача (15)—(13) — (16) имеет единственное решение и {t, X) е С' ([О, Г J, L, (Q)) П С ([О, Г], \ r f (Й)).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование локального решения (по t) рассматриваемой задачи вытекает из теоремы 4. В силу замечания к тео
реме 3 задача (15) — (13) — (16) будет иметь нелокальное решение, если
*) Функцию F{z) считаем дифференцируемой, если существуют непрерывные част
ные производные по и, и, где z = u-\-iv , при этом
F' (г) = ( '" " ) , где f (г) = F, {и, v)+ iF^ {а, v).
Равномерная корректность задачи Коши 9 3
имеет место априорная оценка ||Л(/)гг ( / ) | | ^ С для решений соответ
ствующей абстрактной задачи Коши
и: (О + 1А (t) и (О = 1Ф' (I и (О Р) u{t) + f (/), и{0) = и, (17) в гильбертовом пространстве LgCQ). Умножая обе части уравнения (17) ска-
лярно на u{t), получим Re(u'{t), u{t)) .== Re (/(/), u(t)). Значит, имеет место неравенство —||^/(/)11^-<С(1+||^/(/)1Р), откуда в свою очередь следует
dt
априорная оценка | l u { f ) | | ^ C . Умножая (17) на и'{t), получим, что
lmi{A{t)uit), и' (t)) = ]т1{Ф'{\{u{t)\')u{t), и'(t))+ 1тif(t), W (t)), ^^^^
Re(A(t)u{t), u'{t)) = Re{0'{\u{t)\')u{tl a'(t))+ I^{f{t), u'{t)).
Так как
Re {A (t) и (0, W (0) - Re (A'^' (t) и (t), (A^^^ (t) и it)y)—Re[{A'^\t) и (t), (A'^' (/))' u{t)), TO из (18) получаем, что
i|| A'^'(t)i/(0IP<С [ 1 + j IIA'^'(t)и (t)IPdx+ ^Ф{\и(t, X)P)dx\ +
\ 0 h J + Im((/(0, «(0)-f(f'(T),«(t))dT).
0
•Отсюда в силу мультипликативного неравенства из [17] ||^||^ <^
< СII" ii;,p II и lr-^ '-да -^ = 7 ( i - i ) • ^•'У'^™
i|| А''' (О и (011^ < с j' 1 + j IIА'^' (т)«(т) IP dt + f i ы {t, X) \'Чх \ <
О
< С A + j IIA''^ (T)«(T) fdx + \\u (t) \\^\ <
< С I 1 + ni A'''(t)и(T) f dx+{\\uit) \\' IIи(t) \r') Г1+jin'^Mt)"
. 1 — " P
<
<C+C П|//Чт)^(т) IP dt + e^/^^ ||i/(Oli;, + B ^-^^
I | ^ ( 0 I L ; " ' \ B>0,(19)0 2
поскольку гд'т = —{a—1)< — ( ^ И = 2 . Так как для оператора Л (^) имеем (Л(0^/, w ) > C i | | a | / ' — Calli/llL то из (19) получим || Л'''^(0^(0|Р<
2
^ С [ 1 + П|Л''''(г)а(г)|Р^т . Отсюда следует, что имеет место априорная оценка \\A'^^{t)u{t)\\^C. Значит, ||w(/)|| ^ С , и в силу теорем вложения
94 С. Я. Якубов
Соболева |i^(Ollc(Q)^^- Используя формулы (см., [9])
t t
и' (О - W (/, 0) / (0) — J Г (/, т) А (т) А"' (X) f{x)dx + ^W (/, т) /' (т) dx,
о о t t
A{t)u{t)=W{UO)f{())—f{t) — \W{t,x)A{x)A'^{x)f{x)dx+^W{t,x)r{x)dx,
о о t
где u{t)= ^ U{ty x)f{x)dx^ U{t,x) — эволюционный оператор, соответствую
щий Л(0, и W{t, х) = A{t)U{t, х)А'^{х), получим
t
d
\A{t)u{t)f + \\а' {t)\f ^С + С{\~Ф' {\u(t)\^)u{x)\\' dx ^ J II d%
о t
1 + ^ | ( | ф " ( | « ( т , x)f)\^u{x,x)
о й
+ |ф'(|м(т,^)Р)Р
< С ди (т, Л")
ат
+
ди (т, Л")
ат dxdx
< c j i + r|u'(t)ipdt
откуда следует требуемая априорная оценка ||Л(/)^(/)||><С.
Институт математики и механики Ан Азерб. ССР
Поступила в редакцию 26 марта 1969 г.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.
2.
H i Me Е., Une generalisation du probleme de Cauchy, Ann. Inst. Fourier IV (1953), 3'1—48.
М'Итяг!И1Н Б. с , Дифференци^альные уравнения с малым параметром в банахо
вом пространстве. Изв. АН Азерб. ССР 1 (1961), 23—38.
3. Я к у б о в С. Я., О разрешимости задачи Коши для эволюционных уравябний, ДАН СССР 156, № 5 (1964), 1041—1044.
4. Я к у б 01В С. Ям Дифференциальные уравнения высших порядко'в € переменными неограниченными операторами в банаховом пространстве, Изв. АН Азерб. ССР 1
(:i9'66),20—27.
5. Якубо1В С. Я., Разрешимо'Отъ задачи Коши для дифференциальных уравиеиий в банаховом пространстве, Функциональный анализ, Баку, 1967, 187—206.
6. Д у б и л е к и й Ю. А., Задача Коши для операторно-дифференциальных уравне
ний, ДАН СССР 181, № 5 (1968), 1046—1049.
7. С о б о л е в с к и й П. Е., Об одном типе дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве, Уч. зап. Азерб. гос. ун-та 3 (1962), 87—106.
8. Р а с к и н В. Г., С о б о л е в с к и й П. Е., Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховых поостранствах, Сиб. матем. ж. VIII, № 1
(1967), 70—90.
9. К р е й н С. Г., Линейные дифференциальные уравнения /в банаховом пространстве, М., «Наука», 1967.
10. K a t o Т., Integration of the equation of evolution in a Banach space, J. Math. Soc.
Japan 5, № 2 (1963), 208—234.
11. K i z y n s k i J., Sur les operateurs de Green des problems de Cauchy abstraits, Stu- dia Math. XXIII (il964), 285—328.
12. Я к у б о в С. Я., О квазилинейных дифференциальных уравнениях в абстрактных пространствах, ДАН Азерб. ССР XXII, № 8 (1966), 8—12.
13. S е g а 1 I. Е.. Non-linear semi-groups, Ann. Math. 78, № 2 (1963), 339—364.
14. Я к у б о в С. Я., Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных ги
перболических уравнершй второго порядка и их приложения. Труды Моск. матем.
об-ва XXIII (1970), 59—96.
15. Ш а п и р о 3 . Я., Об общих краевых задачах для уравнений эллиптического тнпа^
Из1В. АН СССР, серия матем. 17 !0Ш53), 639—562.
16. Л о п а т и н с к и й Я. Б., Об одном (Способе ^приведения граничных задач для 'Си
стемы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интеграль
ным ура>внениям, Укр. матем. ж. 5, № 2 (Г963), 1'23—'Г51.
17. Г л у ш к о В. П., К р е й н С. Г., Дробные степени дифференциальных операторов и теоремы .вложения, ДАН СССР 122, № 6 (1958), 963—966,
