Ф. С. Лисин, К вопросу об условиях полно- ты системы полиномов, Матем. заметки , 1975, том 18, выпуск 4, 507–513

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ф. С. Лисин, К вопросу об условиях полно- ты системы полиномов, Матем. заметки , 1975, том 18, выпуск 4, 507–513

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 21:57:09

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 18, № 4 |1975)^г 507—513

У Д К 517

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ п о л н о т ы СИСТЕМЫ

полиномов

Ф. С. Лисин

Р а с с м а т р и в а е т с я п р о с т р а н с т в о А2 (К, у) ф у н к ц и й , а н а л и т и ­ ч е с к и х в е д и н и ч н о м к р у г е К и с у м м и р у е м ы х с к в а д р а т о м в К по п л о с к о й м е р е Л е б е г а о с в е с о м у = \ D j2, D е А2 ( Я , 1), D (г) Ф 0, z (= К. У с т а н а в л и в а е т с я н е р а в е н с т в о

1

^|

^|2

где g р е а л и з у е т р а с с т о я н и е от 1/D д о замыкания п о л и н о м о в (в м е т р и к е А2 (К, у)), а и — л ю б а я г а р м о н и ч е с к а я , н е о т р и ц а т е л ь ­ ная в К ф у н к ц и я . С п о м о щ ь ю э т о г о неравенства в т е р м и н а х п р и н а д л е ж н о с т и н е к о т о р ы х ф у н к ц и й от D к л а с с у Я2 ( Х а р д и - 2 ) д о к а з ы в а ю т с я д о с т а т о ч н ы е п р и з н а к и п о л н о т ы с и с т е м ы п о л и н о ­ м о в в А2 (К, у). Б и б л . 5 н а з в .

1. Рассмотрим банахово пространство А² = А² (К, у) функций, аналитических в единичном круге К и сум­

мируемых с квадратом в К по плоской мере Лебега 0 с ана­

литическим весом у = | D |², D G i ² (Ю = А² (К, 1), D (z) Ф 0, z G К. Введем также множества: В — огра­

ниченных, аналитических в К функций, Р — полиномов от комплексной переменной и

где Hq — классы Харди. Через 5 , Р, Л2 обозначаем за-

*

мыкание Z?, Р и 4², соответственно, по норме Л². Известно (см., например, [1, стр. 236]),.что

Л⁸ = р iirf J j 1 - D p )²d o - 0. (1) (Символом <Н> здесь и ниже обозначаем равносильность

двух утверждений.) Так как для любой функции f Е= В

существует ограниченная последовательность полиномов, сходящаяся к функции / внутри К (см. [2, стр. 268]), то условие (1) допускает следующее усиление:

A% = P^mi[ I I - Db\²de = Q. (2) Естественно возникает задача о замене множества В в (2)

более «широким» множеством. Основным результатом _ * настоящей заметки является теорема: А² = Р А² = А%- В силу этого результата множество В в (2) можно заме­

нить множеством А².

Для дальнейшего нам потребуются две леммы.

ЛЕММА 1. Пусть g — функция, реализующая рас­

стояние от 1/D до множества Р в метрике А2, а и — лю­

бая гармоническая, неотрицательная в К функция, тогда

]^К\Ф\* и d e l u d e , (3)

где Ф = Dg.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу определения функ­

ции g, для любого полинома р

l^KD0~=rW)pdo = O. (4)

Отсюда и из того, что g ЕЕ Р, следует

я Ф (0)р (0) = $^к Фр da = $^к| Ф | » р da. (5) Полагая в (5) р = 1, получаем

1 Г |гТ, | 2 Л V K I² Ф( Л ) (0) /АЧ

Из (6) сразу вытекает неравенство 0 <^ с⁰ <^ 1. Отме­

тим, что случай с⁰ == 0 невозможен, так как, допуская с0 = 0, мы с помощью (4) и (5) получаем D (0) = 0 , что противоречит условию.

Договоримся для любой функции / писать / (rz) =

= f^r(z) , 0 < г < 1 .

Пусть / — аналитическая в К функция, для которой В е / = и не отрицательна в К, так как (5), очевидно, остается справедливым при замене р ЕЕ Р на любой эле­

мент множества В, то заменяя в (5) р на /^г и отделяя

508

вещественные части, получаем

l^K\Q]*U^RD6**C⁰l^KU^RDO. (7) Переходя в (7) к пределу г I, получаем с учетом лем­

мы Фату (3). Лемма 1 доказана. _

Отметим, что из (6) следует А² = Р <=Ф с⁰ = 1. Этот результат из других соображений получен в [1, стр. 236].

С л е д с т в и е . Если f ЕЕ Я², wo / G i ² ( Z , | Ф |²) . Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя представление функции f^r через интеграл Пуассона и оценку (3), после­

довательно получаем

$ | ф /^г|^а^ = ^ " | Ф ( Р ^⁹) Г к

2at j ^{0 7 v 7} 1 2p cos (6 со) + p^{3 r r} ^

< \ | / ( r * * » ) | « d c » s u p J L \ \ | Ф ( р е » ) | « . f ^p2

p dp й8 1 — 2p cos (9 — со) + p2

< \ , | / ( r e^{i M}) P d c o ^ p d p < s u p ^ |/(ге*")|«Жо. (8) Так как / ЕВ #²>^{т о и з} последней оценки следует / ЕВ ЕВ А^г (К, | Ф I²).

Переходя в (8) к пределу при г 1, получаем полез­

ное неравенство

5^к| Ф / |²Й 5 < ^ | / (^е- ) |²й с о . (9) ЛЕММА 2. Пусть линейный на А1 функционал L опре­

делен условием

L (х) = l^KD ( Т ^ Г ф ) х do (10) и F (L) означает нуль-многообразие функционала L; тог­

да F (L) Z ) At

*

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / ЕЕ А², / = gcp, где g — функция Бляшке функции / . Тогда для некоторого т = 1, 2, . . . г|э = ф¹^ ЕЕ Я². Положим в (10) х = #^п =

= М]Л п = О, 1, .., т, a h ЕЕ В — любая функция. В си­

лу (2) L (х⁰) = 0. Допустим, что L (х^п) = 0 для п = 1, 2, v < т- и Д Л Я В С Е Х функций Ъ ЕЕ В. Тогда L (x„\p^r) —

= 0, и П О Э Т О М У

Z/ (xV+j) ^{r =} ^ — ^ v^p?) — L (x'V+i — Х У Х } * , ) .

Теперь с П О М О Щ Ь Ю элементарных преобразований И

оценки (9) последовательно получаем

I

I = I \

(

^ )

^

№ ~ *r) do I <

<G

iwi

de)

(S

i*-^N<

)

+

+ ( $^к I D^b P da)'^{/ 2} | Ф p | ф - y^r p da)'^{/ 2} <

< const

I -ф

p

(J** | ф

— t|v

p

(11) Так как i|r EE i ?² С A² (К), то при г - > 1 выражение, стоящее в правой части (11), сходится к нулю. Поэтому L ( x^{v + 1}) = 0; полагая здесь v = т — 1, а Ъ = q, полу­

чаем L (/) = 0. Лемма доказана.

З а м е ч а н и е 1. Из хода доказательства леммы 2

С Л Е Д У Е Т , Ч Т О Д Л Я Л Ю Б О Г О х ЕЕ Н² функция D (1 — Ф) х суммируема И

J D ( l — Ф)хо1а= 0.

З а м е ч а н и е 2. Естественным расширением мно- жества функций А² служит множество А² П N, где N — класс Р Неванлиниы (см., например, [3], стр. 381). Лег­

ко видеть, что лемму 2 нельзя распространить на множест­

во A²f]N, т. е. включение F (L) ZD A²f]N, вообще гово­

ря, неверно. В самом деле, функция Келдыша D (z) =

= exp 2 "¹ (z + 1)1 (z — 1) (см. [1, стр. 234]) ограничена в К, но П О Л И Н О М Ы неполны с весом | D |². Если допустить, что F_(L) ZD А² П то полагая в (10) х = D~^l-p, где р ЕЕ Р, мы получаем

Ч Т О равносильно условию А² = Р. Противоречие.

510

• Непосредственным следствием леммы 2 является ТЕОРЕМА 1. А² = Р & А² = Ж*. '' ' Таким образом, множество J5, входящее в условие (2), можно заменить более «широким» множеством А².

2. Результаты п. 1 позволяют доказать некоторые до­

статочные признаки полноты полиномов в пространстве А², не требующие условия D ЕЕ A^s (к) для некоторого s ^> 2, которое присутствует в признаке такого типа (см. [1 ] , [4], [5]).

ТЕОРЕМА 2. Пусть D = ехр яр е А² (к) и для неко­

торого _ вещественного а,а =/= 0, ехр \Щ> ЕЕ Н², тогда А² — -Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть для определенности ос > 0. Для р ЕЕ Р ж любого тг = 1, 2, . . . в прямоуголь­

нике Т = { 0 ^ Re ^ 1, 0 ^ Im i£> <^ а / 2 } введем функ­

цию F v,n комплексной переменной w, полагая

F^P,„И= J в » * ( Г= Ф ) р da, (12)

п

где i £ⁿ = { | z | < тг/(гг + 1 ) } , а Ф имеет тот же смысл, что и в п. 1. Функции F ^р,^п регулярны в Т при любых р ЕЕ Р и й = 1, 2, . . , Полагая Re w = Im г# = и и оценивая Fp,^ (ш) в Г, получаем с помощью (9)

< ^ | р е ^ | . ( | е ^ | + 1 е ^ Ф | ) й а <

+ Ц [ " | ^^ф<^в^ ) |^ай ( о )^{1 / Я}] . (13) Так как 0 < g < 1, 0 < т| < а/2, ехр г|э е 4² (К), ехр гагр ЕЕ Н2, то из оценки (13) следует, что последова­

тельность функций (F^pin)n=i равномерно ограничена в Т.

Поэтому в силу принципа сгущения (см. [3, стр. 20]), из нее можно выделить подпоследовательность, равномер­

но сходящуюся внутри Т к некоторой регулярной внутри Т функции F ^р. При этом

F^p (м?) = ^ e^w* (1 — Ф) р do. ' (14) Из оценки (13) следует ограниченность функции F^p в Т.

Щ к а ж ш , что функция Fv непрерывна в Т7, Пусть w, w + Aw е= Г, == Д | + iAr). Оценим Fp (w. + Дш) —•

~*-F^v(w). С учетом квадратичной суммируемости функций

е^{и , ф}, ^ +^А^ ) ^ (при w, w + Аш ЕЕ Г) и оценки (9) полу­

чаем

/ д * = | ^ + Лг#) - ^ И | < | S^K Р*"* ( ^^{А г о Ф} - 1) da | + + \ ^к I £⁽"^{н Л ш ) ф} — е^г"^ф | • | Фр | d<3 < | яр (0) (e^Aw^V — 1)| +

+ fi^K. I е ( я + А тР I² ^ б )^{V e} • Ц I Ф |²1 eiOn+A*)* — е ^^ф p йб)^{1 / г} +

< I np (0) б ^ф( ° > ( eA^ ( ° ) — 1 ) | +

+ c o n s t {(J2" I ^+ A^ * <e i w) — |2 dco)1" +

+ ( L i *

*

*

- i

)

} • (

)

Первое слагаемое правой части (15), очевидно, сходит­

ся к нулю при Aw 0.

Пусть К^г = {z е К: | ехр г|> (z) | < 1 } , К² = К \ К^г. На Кг | ехр (g + Д£)гр (z) | < 1, а на iT2 ввиду 0 < | + + Д £ < ; 1 имеем оценку |ехр (% + Д£) a|> (z)| < ; |ехр я|з (2) |.

Поэтому, в силу известной теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, при Д | 0 второй ин­

теграл в правой части (15) сходится к нулю. Проведя соответствующим образом разбиение отрезка [0, 2п] на два множества, убеждаемся, что первый интеграл в правой части (15) при At] 0 сходится к нулю. Следовательно, при Aw ->- 0 IAW - > 0, т. е. функция F^v непрерывна в 1\

Покажем, что внутри Т F^p = 0. С этой целью рассмо­

трим функцию F^p на множестве точек вида w = 1 + iy, 0 <^ у < ; а/2. В силу леммы 2 и условия ехр £<хф ЕЕ Н² для любого у, 0 < ; у < ; а/2

F^p (1 + ty) = J е^ф (1 — Ф) е*^уф da = 0.

Отсюда и из непрерывности функции F^p в Т заключаем, что внутри Т F^p ^ 0, а тогда F^p 0 в Т и

^ ( 0 ) = 5^к( Г = ^ ) р й ( 3 = 0. (16) s o

Так как (КЗ) верно для любого полинома р, то в силу теоремы Л³ (К) = Р из (16) следует, что А² = .р. Теорема доказана»

Аналогично доказывается

ТЕОРЕМА 3 . Пусть В е Л ( # ) и некоторого а, а < 0 D* ЕЕ Я²; тогда Л² = р.

Н о в о м о с к о в с к и й ф и л и а л М о с к о в с к о г о П о с т у п и л о х и м и к о - т е х н о л о г и ч е с к о г о и н с т и т у т а 2 3 . X . 1 9 7 3

Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

[ 1 ] С м и р н о в В . И . , Л е б е д е в Н . А . , К о н с т р у к т и в н а я т е о р и я ф у н к ц и й к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о , М . , Л . , « Н а у к а » , 1 9 6 4 .

[ 2 ] Т и т ч м а р ш Е . , Т е о р и я ф у н к ц и й , М . , Г о с т е х и з д а т , 1 9 5 1 . [ 3 ] Г о л у з и н Г . М . , Г е о м е т р и ч е с к а я т е о р и я ф у н к ц и й к о м п ­

л е к с н о г о п е р е м е н н о г о , М . , « Н а у к а » , 1 9 6 6 .

[ 4 ] Ш а п и р о Г . С , Н е к о т о р ы е з а м е ч а н и я о в е с о в о й п о л и н о ­ м и а л ь н о й а пи р о к с и м а ци и г о л о м о р ф н ы х ф у н к ц и й , М а т е м . с б . , 7 3 , № 3 ( 1 9 6 7 ) , 3 2 0 - 3 3 0 .

[ 5 ] Л и с и н Ф . С , Н е к о т о р ы е д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я з а м к н у т о ­ с т и с и с т е м ы п о л и н о м о в в о б л а с т я х К а р а т е о д о р и , Д о к л . А Н А р м . С С Р , № 2 ( 1 9 6 7 ) , 4 9 - 5 3 .