Укажите на рисунке 1.12 фигуру, которая не может служить графиком функции
Найдите область определения функции
ª Сказанное означает, что областью значений функции y = x–n, где n — четное натуральное число, является множество ( ;0. ª Можно также показать, что функция y = x–n, где n — четное натуральное число, увеличивается на интервале (−×; ).0 Обратите внимание, что с увеличением модуля x значения выражения равны 12. ª Следовательно, интервалы (−×; )0 и ( ; 0 +×) — интервалы знака функции y = x–n, где n — нечетное натуральное число.
Рисунок 4.2 показывает, что при а < 0 графики функций у = хп и у = а не имеют общих точек; если а = 0, то рассматриваемые графики имеют одну общую точку; если а > 0, то имеются две общие точки, а их абсциссы противоположные числа.
- Представьте в виде степени с основанием a выражение
- Найдите значение выражения
Определение и свойства степени с рациональным показателем
- Решите уравнение
Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному
Причина появления нечетного корня при решении задачи 2 заключается в том, что, применяя формулу ( )a 2 =a, мы не учли ограничение al0. Арифметический корень n-й степени неотрицательного числа a, где nε, n > 1, — это неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
ТригономеТрические функции
- В некотором городе 88 200 жителей. Сколько жителей было в этом городе два года назад, если ежегодный прирост населения
Поскольку центральный угол в 1 рад основан на дуге, длина которой равна радиусу R, то угол в рад основан на дуге, длина которой равна aR. Если точка Р, двигаясь по единичной окружности, совершает один полный оборот, то можно сказать, что угол поворота равен 2р (то есть 360°) или -2р (то есть -360°). Если точка Р делает полтора оборота против часовой стрелки, то естественно предположить, что угол поворота равен 3р (т. е. 540°), если по часовой стрелке, то -3р (т. е. -540°).
- Ñðàâíèòå ñ íóëåì êîîðäèíàòû òî÷êè A (x; y), åñëè ýòà òî÷êà ëåæèò
Все эти углы можно записать по формуле a = pk, где kε. Следовательно, sin a= 0 для a = pk, где kε. 2) Только две точки единичной окружности имеют абсциссу, равную нулю: А и С (рис. Из определения касательной следует, что касательная определена для тех углов поворота а, для которых cos a ≠ 0, т.е. для α ≠ + π π Поскольку абсциссы и ординаты точек единичной окружности принимают все значения от –1 до 1 включительно, областью значений функций y = sin x и y = cos x является интервал [ –1, 1] .
Найдите значение выражения
- Основные соотношения
Во всей области определения график функции y = sin x можно получить из построенного графика параллельными переходами к векторам с координатами (2pn; 0), nε (рис. 11.6). 2 (см. упражнение 9.11) становится ясно, что график функции y = cos x можно получить в результате параллельного переноса графика функции y = sin x в вектор с координатами. Во всей области определения график функции y = tg x можно получить из построенного графика параллельными переходами к векторам с координатами (pn; 0), nε (рис. 11.10).
Формулы сложения
Ôîðìóëû, âûðàæàþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè àðãóìåí- òà 2α ÷åðåç òðèãîííîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè òà α, íàçûâàþò ôîðìóëàìè äâîéíîãî àðãóìåíòà.
- При каких значениях x значения выражений 4x + 5, 7x – 1 и x 2 + 2 будут последовательными членами арифметической
- При каких значениях x значения выражений x – 1, 1 – 2x и x + 7 будут последовательными членами геометрической про-
- Формулы приведения
- В правой части равенства ставят тот знак, который имеет левая часть при условии, что 0
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение
- Уравнение cos x = b
- Найдите область определения функции
- Уравнения sin x = b и tg x = b
- тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим
Сказанное легко понять, обратившись к графической интерпретации: графики функций y = cos x и y = b, где b m1, имеют бесконечно много общих точек (рис. 15.1). Рассмотрим функцию y = cos x на отрезке [–p; p] (красная часть кривой на рис. 15.2), т. е. на интервале, длина которого равна периоду этой функции. Поскольку функция y = sin x периодична с периодом 2p, то каждый из остальных корней в уравнении sin x = b отличается от одного из найденных корней на число вида 2pn, nε.
Уравнения sin x = b и tg x = b 93 Формула (1) показывает, что корень a играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения sin x = b. Для дуги b используйте обозначение arcsin b. Теперь формулу корней уравнения sin x = b, b m1 можно записать в следующем виде:. ª Поскольку область значений функции y = tg x представляет собой множество, уравнение tg x = b имеет решения для любого значения b.
Поскольку функция y = tg x периодична с периодом p, каждый из остальных корней в уравнении tg x = b отличается от найденного корня на число вида pn, nε.
Зафиксируем момент времени t0 и придадим аргументу в точке t0 приращение Dt, т. е. рассмотрим интервал времени от t0 до t0 + Dt. Средняя скорость vav (Dt) движения точки за интервал времени от t0 до t0 + Dt равна отношению. Обозначение средней скорости vav (Dt) подчеркивает, что при заданном законе движения y = s(t) и фиксированном времени t0 значение средней скорости зависит только от Dt.
Чем меньше Dt, тем ближе значение средней скорости к некоторому числу, определяющему скорость в момент времени t0. Другими словами, если значения Dt стремятся к нулю (обозначаются как Dt → 0), то значения vav(Dt) стремятся к числу v(t0). Если в данном примере Dt → 0, то значения выражения 2t0 + 1 + Dt стремятся к числу 2t0 + 1, то есть значению мгновенной скорости v(t0).
Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции 107 Этот пример показывает, что если точка вещества движется по закону y = s(t), то ее мгновенная скорость в момент времени t0 определяется формулой. Тогда угол между линией ОМ и осью абсцисс будет все меньше и меньше, а секущая ОМ будет стремиться занять положение оси абсцисс. Из рисунка видно, что точка М, движущаяся по графику, приближается к точке М0, если Dx становится все меньше и меньше.
Если секущая М0М при Dx → 0 стремится занять положение прямой (на рис. 18.4 это прямая М0Т), то такую прямую называют касательной к графику функции f в точке М0. Введем обозначение ksec (Dx) для наклона секущей M0M, подчеркнув тем самым, что для данной функции f и фиксированной точки x0 наклон секущей M0M зависит только от приращения Dx аргумента.
Производная функции f в точке х0 — это число, равное пределу отношения возрастания функции f в точке х0 к соответствующему увеличению аргумента при условии, что увеличение аргумента стремится к нулю. Опираясь на определение мгновенной скорости (1), можно сделать следующий вывод: если y = s(t) – закон движения материальной точки вдоль координатной линии, то ее мгновенная скорость в момент времени t0 равна значение производной функции y = s(t) в точке t0, т.е. Опираясь на формулу наклона касательной (2), можно сделать следующий вывод: наклон касательной, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой x0, равен значению производной функции f в точке x0, т.е.
Поскольку x0 – произвольная точка поля определения функции f, последнее равенство означает, что для каждого xε выполняется равенство f x′( )=k.
- Запишите уравнение прямой, проходящей через точ- ку M (–2; –3) и параллельной оси абсцисс
- Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M (1; –4), если угловой коэффициент этой прямой равен: 1) 4;
Govorijo кратко: пийте и живейте сред другите и разберете за резултатите от изследванията.
Уравнение касательной
Следовательно, если функция f дифференцируема в точке x0, то уравнение касательной, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой x0, имеет вид
Если неравенство f x′( )>0 выполнено для всех x из интервала I, то неравенство f x′( )>0 выполнено для всех x из интервала I, то функция f возрастает на этом интервале.
Точка x0 называется точкой минимума функции f, если существует окрестность точки x0 такая, что выполняется неравенство f x( )0 mf x( для всех x из этой окрестности. Иногда удобно использовать упрощенные формулировки эти две теоремы: если производная, проходя через точку х0, меняет знак с плюса на минус, то х0 — точка максимума; если производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 — точка минимума.
- Начертите график какой-нибудь функции, обладающей сле- дующими свойствами: областью определения является промежу-
24.4.•• Выразите число 12 как сумму двух таких неотрицательных чисел, что произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число является максимальным. 24.5.•• Выразите число 180 как сумму трех неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим. 24.6.•• Выразите число 18 как сумму трех неотрицательных чисел так, что два из них относятся как 8 : 3, а сумма третьих степеней этих трех чисел является наименьшей.
Точка x0 называется точкой максимума функции f, если существует окрестность точки x0 такая, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство f x( )0 lf x(. Точка x0 называется точкой минимума функции f. функция f, если существует окрестность точки x0 такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f x( )0 mf x(.
Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа 10 класса
Функции, их свойства и графики 26. Найдите область определения функции
- Найдите область значений функции
- Найдите область определения и постройте график функции
- Найдите значение выражения
- Найдите область определения функции
- Вынесите множитель из-под знака корня
- Вычислите значение выражения
- Докажите тождество
- Решите уравнение
Тригонометрические функции
- Сравните с нулем значение выражения
- Найдите значение выражения
- Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 2 cos 2 a – 3 sin 2 a
- Упростите выражение
- Докажите тождество
- Упростите выражение
- Решите уравнение
- Найдите наименьший положительный корень уравнения sin x +
- Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
- Решите уравнение
Производная и ее применение 26.30. Найдите производную функции
- Найдите производную функции
- Найдите угловой коэффициент касательной к графику функ- ции f x x
- Составьте уравнения касательных к графику функции f x ( ) = x 2 − 4 x в точках его пересечения с осью абсцисс
- Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс- тремума функции
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном промежутке
- Представьте число 64 в виде суммы двух положительных слагаемых таких, чтобы сумма их квадратов была наименьшей
- Найдите положительное число, для которого разность его утроенного квадрата и его куба является наибольшей
Стереометрия
Основные понятия стереометрии
Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равно- бедренных треугольника. Найдите углы трапеции
В этом случае прямые AB и DC лежат в одной плоскости — в плоскости ABC, а прямые AA1 и DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, проходящей через эти прямые. Наглядное изображение пересекающихся прямых линий передачи, различных элементов строительных конструкций (рис. 29.3). Взаимное расположение двух линий в пространстве. Существование плоскости a, проходящей через прямые a и b, следует из определения параллельных прямых.
Через точку В и точку С, принадлежащие отрезку АВ, проведены параллельные прямые, разрезающие плоскость а в точках В1 и С1 соответственно. 29.14.* По краям отрезка АВ, пересекающего плоскость а и его середину С, проводят параллельные прямые, разрезающие плоскость а соответственно в точках А1, В1 и С1 (рис. 29.12).
Плоскость а, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А1 и С1 соответственно (рис. 30.11).
Параллельность плоскостей
Если отрезок параллелен прямой l или лежит на прямой l, то его проекция на плоскость а является точкой (рис. 32.3).
Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно
Параллельная проекция 173 Из свойств параллельной проекции следует, что параллельная проекция треугольника является треугольником (рис. 32.8). Изображения объектов с использованием параллельного проектирования широко используются в различных отраслях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11). 32.8.• Точки A1, B1 и C1 являются соответственно параллельными проекциями точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точка B лежит между точками A и C).
32.9.• Точки A1, B1 и C1 являются соответственно параллельными проекциями точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точка B1 лежит между точками A1 и C1).
Угол между прямыми в пространстве
Используя теорему 33.1, можно показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a и b1, где b1b. Действительно, поскольку DD1CC1 угол между линиями AD и CC1 равен углу между линиями AD и DD1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости AA1B и DD1C по параллельным линиям A1B и D1C. Следовательно, угол между прямыми A1D и D1C равен углу DA1B. Соединим точки B и D. Отрезки A1D, A1B и BD равны как диагонали равных квадратов.
Следовательно, по критерию перпендикулярности прямой и плоскости АА1^АВС, а значит, и ребро АА1 также перпендикулярно плоскости АВС.
Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну
- Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от
- перпендикуляр и наклонная
Плоскость а, перпендикулярная катету АС прямоугольного треугольника АВС, пересекает катет АС в точке Е, а гипотенузу АВ в точке F (рис. Поскольку прямая АС перпендикулярна плоскости а, то прямая AC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности к EF. Из равенства этих треугольников следует, что OA = OB = OC, т. е. точка О является центром круга, описанного вокруг треугольника ABC.
Докажите, что если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости
- Угол между прямой и плоскостью
- Двугранный угол. Угол между плоскостями
Длины отрезков ON, OK и OE — это расстояния от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника ABC. 35.15. • Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описывающей многоугольник, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника. 35.18. • Точка М находится на расстоянии 6 см от каждой вершины равностороннего треугольника АВС, сторона которого равна 9 см.
Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если расстояние от этой точки до плоскости АВС равно 3,2 см, АВ = 18 см, то угол равен 60°. 35.26.•• От точки А к плоскости а проведем наклоны АВ и АС, которые образуют угол, равный 30°, со своими проекциями на данную плоскость.
Вычислите данные косых и расстояние от точки А до грани а, если угол между проекциями косых равен 90°, а расстояние между основаниями косых - 6 см. Найти расстояние от точки D до прямой BC, если расстояние от точки D до плоскости ABC равно 15 см. 35,31.•• Точка M не принадлежит плоскости треугольника ABC (∠ACB = 90°) и находится на на расстоянии 25 см от каждой из линий, являющихся его сторонами.
Точка контакта гипотенузы АВ с окружностью, вписанной в треугольник АВС, делит его на отрезки длиной 3 см и 10 см.
