Л. Г. Макар-Лиманов, О многограннике Ньютона яко- биевой пары, Изв. РАН. Сер. матем., 2021, том 85, вы- пуск 3, 127–137

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. Г. Макар-Лиманов, О многограннике Ньютона яко- биевой пары, Изв. РАН. Сер. матем., 2021, том 85, вы- пуск 3, 127–137

DOI: https://doi.org/10.4213/im9067

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 07:28:07

УДК 512.552.16+512.622+512.714+514.172.45

Л. Г. Макар-Лиманов

О многограннике Ньютона якобиевой пары

В этой статье вводится и описывается многогранник Ньютона, связан- ный с “минимальным” контрпримером к гипотезе о якобиане. Это описа- ние позволяет получить более точную оценку геометрической степени по- линомиального отображения, заданного парой многочленов с якобианом, равным единице, и дать новое доказательство для случая двух характе- ристических пар, рассмотренного Абъянкаром.

Библиография: 29 наименований.

Ключевые слова: гипотеза о якобиане, многогранники Ньютона.

DOI: https://doi.org/10.4213/im9067

Памяти Анатолия Георгиевича Витушкина, одного из героев гипотезы якобиана

§ 1. Введение

Предположим, что многочлены f, g ∈ C[x, y] (где C – поле комплексных чисел) удовлетворяют условию

J(f, g) = ∂f

∂x

∂g

∂y−∂f

∂y

∂g

∂x = 1

и являются контрпримером к JC (гипотезе якобиана, утверждающей, что C[f, g] = C[x, y], см. [1]). Уже много лет известно, что тогда существует ав- томорфизм ξалгебрыC[x, y]такой, что многоугольник НьютонаN(ξ(f))мно- гочлена ξ(f) содержит вершину v = (m, n), где n > m > 0, и принадлежит трапеции с вершинойv, ребрами параллельными оси y и биссектрисе первого квадранта с вершиной v, и двумя ребрами, принадлежащими осям координат (см. [2]–[15]). Совсем недавно Пьерет Кассу-Ногу улучшила этот результат, показав, что N(f)не имеет ребра, параллельного биссектрисе (см. [16] и [17]).

Поэтому ниже мы предполагаем, что N(f) содержится в такой трапеции сведущейвершиной(m, n). Мы также можем предположить, чтоN(f)иN(g) содержат начало координат в качестве вершины и подобны (простое следствие соотношенияJ(f, g) = 1), что коэффициенты при ведущих вершинахf иgрав- ны 1 (это может быть достигнуто заменойx, y иf, g на многочлены, пропор- циональные им), что deg_y(g)>deg_y(f)и что deg_y(f)не делитdeg_y(g)(иначе мы можем заменить паруf, gна “меньшую” пару f, g−cf^k).

Автор выражает признательность математическому институту общества им. Макса План- ка в Бонне, Германия, в котором он работал во время завершения этого проекта; образова- тельному фонду США–Израиль, предоставившему автору стипендию им. Фулбрайта; NSA, NSF (США) и FAPESP (штат Сан Пауло, Бразилия) за поддержку во время работы над этим проектом.

○c Л. Г. Макар-Лиманов, 2021

Это ограничения на N(f), известные в настоящее время, и неясно, что еще можно сделать, работая только с N(f). Чтобы продолжить это направление исследований, мы рассмотрим неприводимую алгебраическую зависимость x, f, gи исследуем многогранник Ньютона этой зависимости.

§ 2. Алгебраическая зависимостьx,f иg

Мы можем рассматривать f, g как многочлены от одной переменной y над C(x). Хорошо известно, что два многочлена от одной переменной над полем K алгебраически зависимы над K (см. [18]). Следовательно, f и g ал- гебраически зависимы надC(x).

Выберем зависимость P(F, G) =P(x, F, G)∈ C(x)[F, G] (т. е. P(x, f, g) = 0) такую, что deg_G(P) минимально возможная и, следовательно, многочлен P неприводим как элемент C(x)[F, G] с коэффициентами в C[x] (поскольку мы можем умножить зависимость на наименьший общий знаменатель коэффици- ентов), и предположим, что эти полиномиальные коэффициенты не имеют об- щего делителя.

§ 3. Связь между Gиy

Пусть G – это алгебраическая функция от x и F, заданная соотношением P(x, F, G) = 0, аy – это алгебраическая функция от xи F, заданная соотно- шениемF−f(x, y) = 0.

Лемма 1. y∈C(x, f, g)и y∈C(f(c, y), g(c, y))для любого c∈C.

Доказательство. По теореме ЛюротаC(f(c, y), g(c, y)) =C(r(y)), где r – рациональная функция (см. [18]). Мы можем заменить r его линейно дроб- ным преобразованием и предположить, что r = p₁(y)/p₂(y), где p₁, p₂ ∈ C[y]

и deg(p₁) > deg(p₂). Без ограничения общности можно считать, что p₁, p₂ – взаимно простые многочлены. Значит f(c, y) = F₁(r)/F₂(r) для некоторых многочленов F₁,F₂, гдеd₁= deg(F₁)> d₂= deg(F₂)и

f(c, y) = F1,0p^d₁¹+· · ·+F1,d₁p^d₂¹ (F2,0p^d₁²+· · ·+F2,d₂p^d₂²)p^d₂^1−d2.

Следовательно, p2= 1 и r– многочлен. Поскольку 1 = J(f, g)|x=c ∈r^′(y)C[y], многочлен r^′(y)∈C. Таким образом,y ∈C(f(c, y), g(c, y))иy ∈C(x, f, g). Так какx,f иg алгебраически зависимы, мы можем представитьy как многочлен отg (с коэффициентами изC(x, f)). Лемма доказана.

Замечание. Легко доказать, что y ∈ C(x, f, g), используя только усло- вие якобиана. Действительно, ∂f /∂y = Pg/Px, ∂g/∂y = −Pf/Px, поскольку P(x, f, g) = 0, следовательно,∂/∂y действует на C(x, f, g), но это не означает, что y∈C(f(c, y), g(c, y))для всехc∈C.

Между корнями y_i элемента f(x, y)−F и G_i элемента P(x, F, G) суще- ствует взаимно однозначное соответствие в любом расширении C(x, F), ко- торое содержит эти корни. Действительно, Gi = g(x, yi) и yi = R(Gi), где y=R(G)∈C(x, F)[G].

§ 4. Многогранник Ньютона многочлена

Пустьp∈C[x₁, . . . , x_n] – многочлен отn переменных. Представим каждый моном pточкой решетки в n-мерном пространстве с координатным вектором равным вектору степени этого монома. Выпуклая оболочкаN(p)этих точек на- зывается многогранником Ньютона многочленаp. В двумерном и трехмерном случаях мы будем называть N(p) многоугольником Ньютона и многогранни- ком Ньютона соответственно.

§ 5. Весовые степенные функции

Определим функцию deg_w(p) на C[x1, . . . , xn] следующим образом. Снача- ла возьмем веса w(xi) = αi, где αi ∈ R (действительные числа) и положим w(x^j₁¹· · ·x^j_nⁿ) = P

iαiji. Для p ∈ C[x1, . . . , xn] назовем носителем supp(p) на- бор всех одночленов, входящих в p с ненулевыми коэффициентами. Поло- жим deg_w(p) = max(w(µ)|µ∈supp(p)). Многочлен pможет быть записан как p=Pp_i, гдеp_i – формы, однородные относительноdeg_w. Старшая формаp_w многочлена pотносительно deg_w – это форма максимального веса этого пред- ставления.

Для ненулевой весовой степенной функции мономы, входящие в носитель старшей формы p, соответствуют точкам граниΦмногогранникаN(p), и если коразмерность Φ равнаi, существует конус размерности i весовых степенных функций, соответствующих Φ. Старшие формы, соответствующие этим весам, совпадают, и мы будем использоватьp(Φ)для их обозначения.

Соответствие между гранями и весовыми степенными функциями взаим- но однозначно для граней коразмерности 1, если мы потребуем, чтобы числа α₁, . . . , α_n были взаимно простыми целыми числами. Мы иногда будем ссы- латься на эти функции как функции, соответствующие этой грани.

§ 6. Корни F = f(x, y)

Ньютон ввел многоугольник, который мы называем многоугольником Нью- тона, чтобы найти решениеyуравненияp(x, y) = 0в терминахx(см. [19]). Вот процесс получения такого решения. Рассмотрим реброeмногоугольникаN(p), не параллельное осиx, и вес, соответствующийe. Старшая форма p(e)позво- ляет определить первое слагаемое решения следующим образом. Рассмотрим уравнениеp(e) = 0. Посколькуp(e)– однородная форма иα=w(x)̸= 0, реше- ниями этого уравнения являются y =cix^β/α, где β =w(y) и ci ∈C. Выберем любое решение cix^β/α и заменим p(x, y) на p1(x, y) = p(x, cix^β/α +y). Хотя p₁ не обязательно является многочленом отx, можно определить многоуголь- ник Ньютона p₁ так же, как это было сделано для многочленов; единственное различие состоит в том, что supp(p₁) может содержать одночлены x^µy^ν, где µ∈Q, а неZ. В дальнейшем мы будем использовать такие многоугольники и многогранники Ньютона. Многоугольник N(p₁)содержит степенную верши- нуvребрae, т. е. вершину сyкоординатой, равной степениdeg_y(p_w)многочле- наpwпоy, и реброe^′, которое является модификациейe(e^′может выродиться в вершину v). Возьмемпорядковую вершинуv1 ребрae^′, т. е. вершину с y ко- ординатой, равной порядку ordy(pw) многочленаpw поy (v1 =v еслиe^′ =v).

Используя реброe1, для которогоv1 является степенной вершиной, мы можем определить следующее слагаемое, и так далее.

После, вообще говоря, счетного числа шагов мы получим вершинуv_µ и реб- ро e_µ, для которого v_µ не является степенной вершиной, т. е. либо ребро e_µ горизонтально, либо степенная вершина eµ имеет б´ольшую координату по y, чем координата поy вершиныvµ. Это возможно только, еслиN(pµ)не имеет вершин на оси x. Следовательно,pµ(x,0) = 0и решение получено.

Когда характеристика равна нулю, процесс построения решения не так сло- жен, как может показаться из этого описания. Знаменатели дробных степе- ней x (если знаменатели и числители этих рациональных чисел взаимно про- сты) не превосходят deg_y(p). Действительно, для любого начального веса су- ществует не более deg_y(p) решений, а слагаемое cx^M/N можно заменить на cε^Mx^M/N, где ε^N = 1, что дает не менее N разных решений.

Если deg_y(p) =n и требуется получить все nрешений, мы должны начать с правильно выбранного ребра. Рассмотрим p_w, где w(x) = 0, w(y) = 1. Эта старшая форма соответствует горизонтальному ребру с “левой” и “правой” вер- шинамиvlиvrили вершинеvв случаеvl=vr. Если мы выберемeсо степенной вершинойvr, то получимnрешений по убывающим степенямx, а если мы вы- берем e со степенной вершиной vl, то получим n решений по возрастающим степеням x. Когда vl=vr =v, выбор “правого” ребра, содержащегоv, даст n решений по убывающим степеням x, а выбор “левого” ребра, содержащего v, дастnрешений по возрастающим степеням x.

Мы можем применить подход Ньютона к поиску решений дляF−f(x, y) = 0 в соответствующем расширении C(x, F). Для этого надо подобрать веса w(x), w(F), w(y) так, чтобы соответствующая грань (возможно, ребро) мно- гогранника N(F−f(x, y))содержала ведущую вершину(m, n)многоугольни- ка N(f(x, y))и действовать, как было описано выше. Конечно, в этом случае процесс намного труднее “увидеть”, но его можно сделать двумерным, если веса α = w(x), ρ =w(F) соизмеримы. Например, если w(x) = 0, можно за- менить Cалгебраическим замыканием K поля C(x) и проделать вычисления над K. Если w(x)̸= 0 в качестве K можно взять алгебраическое замыкание поля C(z), гдеz =x^−ρ/αF, положить x=t^d1,F =zt^−d2, гдеd₁, d₂∈Z такие, что−d1/d₂=α/ρ, и рассматриватьF−f(x, y) =zt^−d2−f(t^d1, y)как многочлен отy,t,t⁻¹надK.

§ 7. Многогранник НьютонаN(P)

В этом параграфе мы найдем некоторые ограничения наN(P).

Обратите внимание на то, чтоdeg_y(g^degy(f)−f^degy(g))<deg_y(f) deg_y(g)из-за формы N(f) и N(g). Известно, что старшая форма P(x, F, G) относительно веса w(x) = 0, w(F) = deg_y(f), w(G) = deg_y(g) равна p0(x)(G^a0 −F^b0)^ν, где a0/b0 = deg_y(f)/deg_y(g), (a0, b0) = 1 и b0ν = deg_F(P), a0ν = deg_G(P) (см.

[20]–[22]).

Из леммы1следует, чтоdeg_G(P) = [C(x, f, g) :C(x, f)] = [C(x, y) :C(x, f)] = deg_y(f) и что deg_G(Pλ) = deg_y(f(λ, y)), где Pλ – неприводимая зависимость между f(λ, y) и g(λ, y), для любого λ ∈ C (напомним, что y ∈ C(x, f, g) и y∈C(f(λ, y), g(λ, y))).

Кроме того,deg_G(P) = deg_G(Pλ)для всехλ∈C^∗, посколькуdeg_y(f(λ, y)) = deg_y(f)для всехλ∈C^∗. Следовательно, многочленPλ(F, G)пропорционален многочлену P(λ, F, G)для всехλ∈C^∗ и равенствоp0(λ) = 0 возможно только при λ= 0. Следовательно, p0(x) =c0x^d и (c0x^d)⁻¹P является многочленом, приведенным относительноG(с коэффициентами вC[x, x⁻¹]). НижеP – этот приведенный многочлен.

Обозначим черезE ребро многогранникаN(P), которое соответствует стар- шей форме(G^a0−F^b0)^νмногочленаP. Это ребро принадлежит двум гранямΦ_a иΦ_b этого многогранника. Условимся, что плоскостьF OG(гдеO– начало си- стемы координатF Gx) горизонтальна, осьxвертикальна и граньΦ_aнаходится выше граниΦ_b.

ЕслиP(x, F, G)– многочлен Лорана отx, то граньΦb– ниже плоскостиF OG.

Так как старшая форма P относительно веса w(x) = 0, w(F) = deg_y(f), w(G) = deg_y(g)– это(G^a0−F^b0)^ν, осьxне может быть параллельнаΦa илиΦb. С помощью многогранника N(P), можно найти представление G в виде дробно-степенного ряда поx,F, используя подход, описанный в §6.

7.1. ГраньΦb. Предположим, что граньΦb(нижняя грань, содержащаяE) находится ниже плоскости F OG. Поскольку ось xне параллельна грани Φb, мы можем выбрать соответствующий ей вес, взяв w(x) = 1, w(F) = ρ < 0, w(G) = σ < 0. Конечно, ρ, σ ∈ Q. Разложения G, а также соответствующие разложенияyотносительно этого веса – по компонентам с возрастающим весом.

Рассмотрим старшую форму P(Φb)и ее разложение на неприводимые мно- жители. Если все эти множители зависят только от двух переменных, то P(Φ_b) = ϕ₁(x, F)ϕ₂(x, G)ϕ₃(F, G) и Φ_b – это либо интервал, либо параллело- грамм, либо шестиугольник с параллельными противоположными сторонами.

ПосколькуΦ_b не является ни тем, ни другим, ни третьим (Φ_b не совпадает сE и не может содержать ребра, параллельного E и имеющего такую же длину), один из неприводимых множителей P(Φ_b) зависит от x, F и G. Обозначим его через Q(x, F, G) и через G – корень Q(x, F, G) = 0, а через Ge – корень P(x, F, G) = 0, для которогоGявляется старшей формой. Eслиey=R(x, F)[G],e тоf(x,y) =e F иg(x,ey) =G. (Читателю следует представлять себе выраженияe G, Ge и ye как дробно-степенные ряды от x над алгебраическим замыканием поля C(z),z=x^−ρF.)

Элемент ye = P∞

j=0y_j, где y_j – однородные компоненты y.e Поскольку f(x,y) =e F, существует k, для которого y_j = c_jx^µj, c_j ∈ C, µ_j ∈ Q, если j ⩽k иyk+1∈/C(x).

Мы можем найти ye с помощью многогранника Ньютона многочлена F − f(x, y). Слагаемые yj для j⩽kполучаются процессом разрешения, применя- емым к N(f), а слагаемоеyk+1 определяется граньюΨэтого многогранника, содержащей (0,0,1), т. е. вершину, соответствующую F (иначе yk+1 ∈ C(x)).

Грань Ψ соответствует весу w(x) = 1, w(F) = ρ, w(y) = α = w(yk+1) и Ψ содержит реброe∈xOyмногоугольникаN f(x,Pk

j=0yj+y) . Положим

f_k(x, y) =f

x,

k

X

j=0

y_j+y

, g_k(x, y) =g

x,

k

X

j=0

y_j+y

(тогда N(fk) содержит ребро e и w(fk) = ρ) и обозначим через fk(e), gk(e) старшие формы fk и gk для веса w. Из определения yk+1 следует, что fk(e)(x, yk+1) = F; кроме того, gk(e)(x, yk+1) ̸= 0 (так как yk+1 ∈/ C(x)). Так какgk x,P∞

j=k+1yj

=G, мы должны иметьe gk(e)(x, yk+1) =G.

Если J(f_k(e), g_k(e)) = 0, то g_k(e)(x, y_k+1) = cF^λ, c ∈ C^∗ (элемент f_k(e) – однородная форма ненулевого веса, поэтому любая однородная форма, алгеб- раически зависимая сf_k(e)пропорциональна рациональной степениf_k(e)). Но G зависит от x, поэтому J(fk(e), gk(e))̸= 0. ПосколькуJ(fk, gk) = 1 из этого следует, чтоJ(fk(e), gk(e)) = 1.

Ведущая вершина(m, n)должна быть ниже прямой, содержащейeпосколь- ку разложение для yeдается компонентами с возрастающим весом, w(x)> 0, w(fk) < 0. Следующее рассмотрение показывает, что это невозможно. Вес w(gk) = w(G) = σ < 0 и ρ+σ = w(x) +w(y), поскольку J(fk(e), gk(e)) = 1.

Следовательно, ρ = w(x) +w(y)−σ = 1 +α−σ и точки (ρ,0) и (1−σ,1) имеют одинаковый вес ρ (так как w(x) = 1, w(y) = α, w(F) = ρ, w(G) = σ).

Таким образом, они обе принадлежат прямой, содержащей ребро e. Так как ρ < 0, σ < 0, эта прямая пересекает биссектрису первого квадранта в точке с координатами меньше1, и вершина(m, n)находится выше этой прямой.

Следовательно,Φ_bне может быть нижеF OGиP(x, F, G)∈C[x, F, G]. С дру- гой стороны, P(0, f(x,0), g(x,0)) = 0и многоугольник Ньютона этой зависимо- сти не является ребром.¹ Следовательно, Φ_b не является ребром и принадле- жит F OG.

7.2. Грань Φ_a. Вес, соответствующий грани Φ_a, другой грани, содержа- щейE, – этоw(x) = 1,w(F) =ρ >0,w(G) =σ >0. РазложениеGотносительно этого веса – по компонентам с убывающим весом.

Дословно повторяя рассуждения из предыдущего пункта, мы получим реб- ро e соответствующего многоугольника N(f_l), которое принадлежит прямой, содержащей точки(ρ,0),(1−σ,1) и идущей ниже ведущей вершины(m, n).

Следовательно,ρ+n[1−σ−ρ]⩾m, т. е.n−m⩾n(ρ+σ)−ρ. Весσ= (b0/a0)ρ посколькуΦa содержитE. Поэтому

n−m⩾

n

1 + b₀ a0

−1

ρ, ρ⩽ (n−m)a₀ n(a0+b0)−a0

, σ⩽ (n−m)b₀ n(a0+b0)−a0

.

Тем самым,

deg_x(P)⩽nσ⩽(n−m) nb₀ n(a0+b0)−a0

.

Если эти неравенства не строгие, то ребро e содержит (m, n), т. е. e – это (правое)ведущее ребро. Посколькуρ <1,σ <1, это означало бы, чтоf(x,0)и g(x,0)– константы, и тогда равенство J(f, g) = 1невозможно. Следовательно, (m, n)не принадлежитeи неравенства строгие.

Мы знаем из леммы 1, что C(x, f, g) = C(x, y). Следовательно, степень [C(x, y) :C(f, g)]расширения поля равнаdeg_x(P)и

[C(x, y) :C(f, g)]<(n−m) nb0

n(a₀+b₀)−a₀.

1Если g(x,0)^b = cf(x,0)^a, то (f, g) не может быть контрпримером к JC, поскольку C(f(x,0), g(x,0)) =C(x).

Эта оценка несколько лучше, чем оценка m +n, полученная И. Чжангом (см. [23]).

Известно, что [C(x, y) :C(f, g)] не меньше6, если J(f, g) = 1(см. [24]–[29]).

Следовательно, разностьn−m >6.

7.3. Ребра N(P). РеброN(P)может быть параллельно одной из коорди- натных плоскостей GOx или F OG, и тогда старшая форма G, которая ему соответствует – этоcx^rилиcF^r, гдеc∈C^∗,r∈Q. Ведущая формаGне может соответствовать ребру параллельному плоскостиF Ox.

Если E является наклонным ребром, т. е. ребром, не параллельным ни од- ной координатной плоскости, то хотя бы одна из соответствующих ему ведущих форм имеет видG=cx^r1F^r2, гдеc∈C^∗,r_i ∈Q^∗. В этом случае у нас больше свободы в выборе веса, соответствующего E, и можно выбрать вес так, чтобы ребро e ∈ N(fk) (см. п. 7.1) оказалось вершиной и тогда fk(e), gk(e) явля- ются одночленами. Поскольку J(fk(e), gk(e)) = 1 и deg_y(fk(e)), deg_y(gk(e)) – неотрицательные целые числа, deg_y(gk(e)) = 0 или deg_y(fk(e)) = 0. Если deg_y(gk(e)) = 0, то

G=gk(e)(x, yk+1) =cx^r1

и ребро E параллельно GOx; еслиdeg_y(fk(e)) = 0, то fk(e) =cx^s, в то время какfk(e)(x, yk+1) =F.

Следовательно, N(P)не имеет наклонных ребер.

7.4. Невертикальные и негоризонтальные грани. Рассмотрим снова грань Φ_a. Эта грань принадлежит наклонной плоскости, содержащейE, пере- сечение которой с первым октантом представляет собой треугольник △. По- скольку все ребра Φa параллельны координатным плоскостям и Φa содержит ребро E, граньΦa либо△, либо трапеция, вырезанная из△ ребромE1, парал- лельнымE.

Если Φ_a – трапеция, то те же соображения, примененные к E₁, показыва- ют, что следующая грань также является треугольником или трапецией, и так далее, пока мы не дойдем до грани, параллельнойF OG.

7.5. Горизонтальные грани. МногогранникN(P)имеет невырожденную горизонтальную грань Φ_b ⊂F OG (“пол”). Он также имеет “потолок”, который может вырождаться в вершину. Заменим f, g на f −c₁, g−c₂, гдеc_i ∈C и (c1, c2) – “общая пара”. Тогда соответствующий многогранник Ньютона име- ет треугольный пол (с вершиной в начале координат) и треугольный потолок (с вершиной на оси x).

7.6. Форма N(P). Из информации, полученной о N(P), можно сделать вывод, что все его вершины находятся в координатных плоскостяхF OxиGOx, что он имеет две горизонтальные грани, являющиеся прямоугольными тре- угольниками с прямыми углами в начале координат и на оси x, грань ΦG, принадлежащую F Ox, и грань ΦF, принадлежащую GOx, которые являются многоугольниками с одинаковым числом вершин, а все остальные грани – тра- пеции, полученные соединением соответствующих вершин ΦF и ΦG ребрами, параллельнымиE.

Для построения нового доказательства того, что в случае двух характери- стических пар контрпример невозможен (см. [3]), оценимρснизу.

§ 8. Оценкаρснизу

Чтобы получить оценку ρ для грани Φa снизу, мы должны знать больше о P(x, F, G).

Рассмотримf, g∈C(x)[y]. Прежде всего необходимо разложитьgв соответ- ствующей алгебре в дробно-степенной ряд по f относительно веса, заданного w(y) = 1, w(x) = 0.

8.1. Разложение g. Рассмотрим кольцо L = C[x⁻¹, x] многочленов Ло- рана от x. В качестве A возьмем алгебру асимптотических степенных рядов поyс коэффициентами вL, т. е. элементамиAявляютсяPi=k

−∞yiyⁱ, гдеyi∈L, yk̸= 0. Дляa=Pi=k

−∞yiyⁱ определим|a|=yky^k.

Лемма 2 (о радикале).Еслиr∈Q– рациональное число,|a|=cx^ly^k,c∈C, и |a|^r∈A,то a^r∈A.

Доказательство. По теореме Ньютона о биноме

a^r=|a|^r

∞

X

j=0

r j

^i=k−1 X

−∞

y_i yk

y^{i−k j}

,

поскольку

a=|a|

1 +

i=k−1

X

−∞

y_i yk

y^i−k

.

Так как всеy_i/y_k ∈L, элементa^r∈A. Лемма доказана.

Мы можем считать, что f(x, y), g(x, y)принадлежатA. Тогда |f|=x^myⁿ и

|g|=c₀|f|^λ0, гдеλ₀=b₀/a₀(см. §1и §7). По лемме2 f^λ0 ∈Aи, следовательно, g1=g−c0f^λ0∈A(здесьc0= 1). ПосколькуJ(f, g1) = 1, то либоJ(|f|,|g1|) = 0, либо J(|f|,|g1|) = 1. Если J(|f|,|g1|) = 0, то |g1| = c1|f|^λ1, c1 ∈ C, λ1 ∈ Q, и g2=g−c0f^λ0−c1f^λ1 принадлежитAпо тем же причинам, чтоg1. Продолжим, пока не получим gκ = g−Pκ−1

i=0 cif^λi ∈ A, для которого J(|f|,|gκ|) = 1, т. е.

J(x^myⁿ,|gκ|) = 1. Тогда

|gκ|=

cκ(x^myⁿ)^(1−n)/n− 1

n−mx^1−my¹⁻ⁿ

,

где cκ ∈ C. Если cκ ̸= 0, то (x^myⁿ)^(1−n)/n ∈ A и m/n ∈ Z, что невозможно, поскольку0< m < n. Следовательно,|gκ|= (m−n)⁻¹x^1−my¹⁻ⁿ и

g=

κ−1

X

i=0

c_if^λi+g_κ, c_i∈C, (1)

где deg_y(|f^λi|) > 1−n, deg_y(|gκ|) = 1 −n, и |gκ| = (m−n)⁻¹x^1−my¹⁻ⁿ = (m−n)⁻¹x^(n−m)/n|f|^λκ, гдеλ_κ= (1−n)/n.

Чтобы получить “полное” разложение

g=

∞

X

i=0

c_if^λi (2)

через x и f, мы должны расширить A до большей алгебры B с элементами Pi=k

−∞yiyⁱ, гдеyi ∈Ln=C[x^−m/n, x^m/n], в которойf^1/n определено. Действи- тельно,|x^−m/nf^1/n|=y, и мы можем получить разложениеg сci∈Ln.

Ясно, чтоλi=ni/n,ni∈Z. Поскольку deg_g(P) =nи λκ= (1−n)/n, все n корней G_j уравненияP(x, F, G) = 0вB можно получить изG=P∞

i=0c_iF^ni/n заменойF^1/n→ε^jF^1/n,j = 0,1, . . . , n−1, гдеε– примитивный корень степе- ниnиз единицы.

8.2. Моном P(x, F, G), содержащий степень x. Многогранник N(P) содержит ребро E с вершинами (n₀,0,0) и (0, n,0), где n₀ = λ₀n (в системе координат F Gx). Следовательно, если N(P) содержит вершину (i, j, k), то λ₀nρ⩾ iρ+jσ+k = (i+λ₀j)ρ+k и ρ⩾ k/(λ₀(n−j)−i). Если k > 0, мы получим оценку ρснизу.

Неприводимое соотношение для многочленов f, g∈ C(x)[y] может быть по- лучено с помощью следующего алгоритма.

Положимeg₀=g. Предположим, что послеsшагов мы получилиeg₀, . . . ,eg_s∈ C(x, y). Обозначим deg_y(eg_i) через m_i и наибольший общий делитель чисел n, m₀, . . . , m_i черезd_i. Положимd₋₁=nиa_i=d_i−1/d_iдля0⩽i⩽s. (Очевид- но, чтоa_sm_sделится наd_s−1иa_s– наименьшее целое число с этим свойством.) Назовем s-стандартным одночленm =fⁱeg^j₀⁰· · ·eg_s^js, если 0 ⩽jk < ak, k = 0, . . . , s. Найдем (s−1)-стандартный одночлен m_s,0 с deg_y(m_s,0) = a_sm_s и k₀ ∈ K = C(x), для которого m_s,1 = deg_y(eg_s^as −k₀m_s,0) < a_sm_s. Если m_s,1 делится на d_s, найдем s-стандартный одночлен m_s,1 с deg_y(m_s,1) = m_s,1 и k₁∈K, для которогоm_s,2= deg(eg_s^as−k₀m_s,0−k₁m_s,1)< m_s,1 и так далее.

Если после конечного числа вычитаний мы получимm_s,i, не делящееся наd_s, обозначим полученный элемент eg_s+1 и выполним следующий шаг. После ко- нечного числа шагов мы получим неприводимое соотношение.

Этот алгоритм был предложен в [22], где доказано, что он работает. В случае нулевой характеристики там же показано, что все eg_i являются многочленами отf и g(т. е. в стандартных одночленах нет отрицательных степеней f).

Разложение (1) может быть переписано следующим образом:

g=

κ−1

X

i=0

c_if^ni/n+g_κ, c_i∈C, (3)

где |gκ| = (m−n)⁻¹(xy/|f|). Применяя алгоритм к этому разложению, мы получим через несколько шагов “последний” элементeg_κ с

|geκ|=c

xy

f eg^a₀⁰⁻¹eg^a₁¹⁻¹· · ·eg_κ−1^aκ−1−1 .

В случае двух характеристических пар κ= 1 и |eg1|=c|(xy/f)eg₀^a0−1|. Если обозначить |f| = (x^ay^b)^a0, |g| = (x^ay^b)^b0, то P = eg₁^b −cx^b−afⁱeg₀^j − · · ·, где

|x^b−afⁱeg₀^j|=|(xy/f)eg^a₀⁰⁻¹|^b. Следовательно,

ρ⩾ b−a

λ0(n−j)−i = b−a λ0(ba0−j)−i.

Поскольку |x^b−afⁱeg₀^j| = |(xy/f)eg₀^a0−1|^b = |x^b−a(x^ay^b)^{1−a0b+b0(a0−1)b}|, мы полу- чим a0i+b0j = 1−a0b+b0(a0−1)b и i+λ0j = (bb0a0 −ba0 −bb0+ 1)/a0

(припомним, что λ0=b0/a0). Поэтому

ρ⩾ b−a

λ0(ba0−j)−i = (b−a)a₀

λ0ba²₀−(bb0a0−ba0−bb0+ 1)

= (b−a)a0

ba₀b₀−(bb₀a₀−ba₀−bb₀+ 1) = (b−a)a0

ba₀+bb₀−1. С другой стороны,

ρ < (n−m)a0

n(a0+b0)−a0

= (b−a)a²₀ ba0(a0+b0)−a0

= (b−a)a0

b(a0+b0)−1 и мы получили противоречие.

Список литературы

1. O.-H. Keller, “Ganze Cremona-Transformationen”, Monatsh. Math. Phys., 47:1 (1939), 299–306.

2. S. S. Abhyankar,Lectures on expansion techniques in algebraic geometry, Tata Inst.

Fund. Res. Lectures on Math. and Phys.,57, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1977, iv+168 pp.

3. S. S. Abhyankar, “Some remarks on the Jacobian question”, With notes by M. van der Put and W. Heinzer. Updated by A. Sathaye,Proc.Indian Acad.Sci.Math.Sci., 104:3 (1994), 515–542.

4. H. Appelgate, H. Onishi, “The Jacobian conjecture in two variables”,J. Pure Appl.

Algebra,37:3 (1985), 215–227.

5. C. Valqui, J. A. Guccione, J. J. Guccione, “On the shape of possible counterexamples to the Jacobian conjecture”,J.Algebra,471(2017), 13–74.

6. R. C. Heitmann, “On the Jacobian conjecture”,J. Pure Appl. Algebra,64:1 (1990), 35–72.

7. A. Joseph, “The Weyl algebra – semisimple and nilpotent elements”,Amer.J.Math., 97:3 (1975), 597–615.

8. J. Lang, “Jacobian pairs. II”,J.Pure Appl.Algebra,74:1 (1991), 61–71.

9. J. H. McKay, Stuart Sui Sheng Wang, “A note on the Jacobian condition and two points at infinity”,Proc.Amer.Math.Soc.,111:1 (1991), 35–43.

10. T. T. Moh, “On the Jacobian conjecture and the configurations of roots”, J. Reine Angew.Math.,340(1983), 140–212.

11. M. Nagata, “Two-dimensional Jacobian conjecture.”, Algebra and topology 1988 (Taej˘on, 1988), Korea Inst. Tech., Taej˘on, 1988, 77–98.

12. M. Nagata, “Some remarks on the two-dimensional Jacobian conjecture”, Chinese J.Math.,17:1 (1989), 1–7.

13. A. Nowicki, Y. Nakai, “On Appelgate–Onishi’s lemmas”,J.Pure Appl.Algebra,51:3 (1988), 305–310.

14. A. Nowicki, Y. Nakai, “Correction to “On Appelgate–Onishi’s lemmas””,J.Pure Appl.

Algebra,58:1 (1989), 101.

15. M. Oka, “On the boundary obstructions to the Jacobian problem”,Kodai Math.J., 6:3 (1983), 419–433.

16. P. Cassou-Nogu´es, “Newton trees at infinity of algebraic curves”, Affine algebraic geometry, The Russell Festschrift, CRM Proc. Lecture Notes, 54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 1–19.

17. L. Makar-Limanov, “On the Newton polygon of a Jacobian mate”,Automorphisms in birational and affine geometry, Springer Proc. Math. Stat.,79, Springer, Cham, 2014, 469–476.

18. Б. Л. ван дер Варден, Алгебра, т. 1, Наука, М., 1976; пер. с нем.: B. L. van der Waerden, Algebra, v. I, 7. Aufl., Heidelberger Taschenb¨ucher, 12, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1966, xi+271 pp.; англ. пер.: B. L. van der Waerden, Algebra, v. 1, Based in part on lectures by E. Artin and E. Noether, Springer-Verlag, New York, 1991, xiv+265 pp.

19. I. Newton, “De methodis serierum et fluxionum”,The mathematical papers of Isaac Newton, v. 3, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1969, 43–71.

20. B. R. Peskin, D. R. Richman, “A method to compute minimal polynomials”, SIAM J.Algebraic Discrete Methods,6:2 (1985), 292–299.

21. D. R. Richman, “On the computation of minimal polynomials”, J. Algebra, 103:1 (1986), 1–17.

22. L. Makar-Limanov, “A new proof of the Abhyankar–Moh–Suzuki theorem via a new algorithm for the polynomial dependence”, J. Algebra Appl., 14:9 (2015), 1540001, 12 pp.

23. Yitang Zhang, The Jacobian conjecture and the degree of field extension, Thesis (Ph.D.), Purdue Univ., 1991, 24 pp.

24. А. В. Домрина, “О четырехлистных полиномиальных отображениях C². Общий случай”,Матем.заметки,65:3 (1999), 464–467; англ. пер.:A. V. Domrina, “On four-sheeted polynomial mappings of C². The general case”, Math. Notes, 65:3-4 (1999), 386–389.

25. А. В. Домрина, “О четырехлистных полиномиальных отображенияхC². II. Общий случай”,Изв.РАН.Сер.матем.,64:1 (2000), 3–36; англ. пер.:A. V. Domrina, “On four-sheeted polynomial mappings ofC². II. The general case”,Izv.Math.,64:1 (2000), 1–33.

26. А. В. Домрина, С. Ю. Оревков, “О четырехлистных полиномиальных отображени- яхC². I. Случай неприводимой кривой ветвления”,Матем.заметки,64:6 (1998), 847–862; англ. пер.: A. V. Domrina, S. Yu. Orevkov, “On four-sheeted polynomial mappings ofC². I. The case of an irreducible ramification curve”, Math.Notes,64:6 (1999), 732–744.

27. С. Ю. Оревков, “О трехлистных полиномиальных отображениях C²”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:6 (1986), 1231–1240; англ. пер.: S. Yu. Orevkov, “On three-sheeted polynomial mappings ofC²”,Math.USSR-Izv.,29:3 (1987), 587–596.

28. I. Sigray, Jacobian trees and their applications, Thesis (Ph.D.), E¨otv¨os Lor´and Univ.

(ELTE), Budapest, 2008, 66 pp.

29. H. ˙Zo l¸adek, “An application of Newton–Puiseux charts to the Jacobian problem”, Topology,47:6 (2008), 431–469.

Леонид Григорьевич Макар-Лиманов (Leonid G. Makar-Limanov)

Wayne State University, Department of Mathematics, Detroit, MI, USA;

Faculty of Mathematics and Computer Science, Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel E-mail:lml@wayne.edu

Поступило в редакцию 04.06.2020 06.07.2020