All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

Lˆe Hˆong Vˆan, The growth of a two-dimensional minimal surface, Uspekhi Mat. Nauk, 1985, Volume 40, Issue 3(243), 209–210

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 3, 2022, 16:28:53

В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ

209

РОСТ ДВУМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Л е Х о н г В а н

Настоящая заметка посвящена нахождению оценки снизу объема двумерной одно- связной минимальной поверхности в Rn. В статье [1] А. Т. Фоменко сформулировал сле­

дующую гипотезу. Пусть Вп — выпуклая область с кусочно гладкой границей, точка О — внутренняя точка. Пусть Mk — глобально минимальная поверхность без границы, проходящая через точку О и уходящая на бесконечность. Тогда volk(Mk f) Bn) ^

^ min volfe(Rk П Вп), где минимум берется по всем й-мерным плоским сечениям области Вп плоскостями R\ проходящими через точку О. Ранее, в случае, когда Вп является кубом в С2, М2 —комплексно аналитическое множество коразмерности 1, аналогичная оценка была найдена Б . Э. Кацнельсоном и Л. И. Ронкиным [2]. Если же область являет­

ся шаром, то такая же оценка была установлена Лелоном [4] для комплексно аналитиче­

ского множества коразмерности 1 в Сп и для глобально минимальной поверхности любой коразмерности эта гипотеза была доказана А. Т. Фоменко [1]. В настоящей заметке мы докажем эту гипотезу для двумерной односвязной поверхности М2 и для определенных типов области Вп (см. теорему 2).

Следующая лемма является аналогом результата, доказанного в [2] для одномерного аналитического множества.

Л е м м а 1. Множество (М2 р) дВп) является связной замкнутой кривой, имеющей непустое пересечение с любой центральной гиперплоскостью.

Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а . Пусть П — произвольная центральная гиперплоскость. Через (3 обозначим пересечение П П М2, которое непременно содержит точку О. В силу односвязности М2 либо] Р ZD (М2 {]Вп), либо Р является объедине­

нием кривых, имеющих край на дВп. Значит, М2 f) П Ф 0. Аналогичным об­

разом можно доказать, что (М2 {] дВп) связна и замкнута (используя выпук­

лость Вп).

О п р е д е л е н и е 1. Пусть П — фиксированная) произвольная центральная ги­

перплоскость. П разделяет дВп на две части: верхнюю и нижнюю. Д л я любых двух точек Р, Q на верхней части дВп назовем дугой, соединяющей Р и Q, часть сечения двумер­

ной центральной плоскости, проходящей через Р и Q, с верхней частью дВп. Множество на верхней части дВп называется д£п-выпуклым, если оно содержит любую дугу, соеди-

/ \

няющую две точки этого множества. Через Cov(£), где G — множество на верхней части дВп, обозначим пересечение всех сШп-выпуклых множеств, содержащих G.

Пусть о: дВп -> дВп — отображение, которое переводит кажду точку из дВп в про­

тивоположную ей точку на дВп. Пусть кривая у находится на дВп. Через G± обозначим часть у на верхней части дВп, a G2 — образ части у на нижней части дВп при отображе­

нии а.

1. Используя теорему Хана — Банаха, можно доказать следующую лемму.

Л е м м а 2. Кривая у имеет непустое пересечение с любой центральной гиперпло- / \ / \

скостъю тогда и только тогда, когда Cov(6!1) f) Cov(6r2) Ф 0.

Л е м м а 3. Кривая у имеет непустое пересечение с любой центральной гиперпло­

скостью тогда и только тогда, когда существуют точки Rl9 . . ., Rn на у такие, что О 6 Cov(i?!, . . ., Rn+i), где Gov(i?!, . . ., i?n+x) обозначает выпуклую оболочку множе­

ства этих точек.

Т е о р е м а 1. Пусть %— множество всех кривых у на дВп таких, что на у суще­

ствует п + 1 точек R±, . . ., Rn+i так, что О £ Cov(i?!, . . ., Rn+1). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) (м

п ев*) е <ё;

2) существует кривая у0 такая, что || у0 || = min{|| 7 II I У 6 %}, где \\у || обозна­

чает длину кривой у, причем либо у0 — локально минимальная кривая, т.е. кратчайший путь на дВп, соединяющий любые две достаточно близкие точки на у0, совпадает с одной из двух частей у0, заключенных между этими точками, либо у0 содержит две противопо­

ложные точки на дВп. 14 УМН, т. 40, вып. 3

210

Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а . Утверждение 1) непосредственно следует из лемм 1 и 3. Первая часть утверждения 2) следует из полунепрерывности функции длины и компактности определенных классов кривых в %. Наконец, если Q — точка «излома»

на у0 и °(Q) 6 То» можно показать, что существует набор R{, . . ., Rn+i на у0 такой, что Q=^= Ri ^i = 1, 7г + 1 и О б Co\(R[, . . ., R'n+i)- Тогда существует другая кривая у'0, проходящая через R[, . . ., i?n+i? имеющая длину, строго меньшую, чем длина у0, что противоречит минимальности у0. Таким образом, o(Q) £ Yo> и теорема доказана.

2. Для применения теоремы 1 при решении поставленной проблемы мы должны доказать, что в качестве минимальной кривой у0 можно выбрать некоторое двумерное центральное плоское сечение с дВп. Это нам удалось сделать для случаев, когда Вп

является прямолинейным параллелепипедом или эллипсоидом вращения.

С л е д с т в и е 1. Пусть Вп является, прямолинейным параллелепипедом, ребра Вп

имеют длины аг ^ а2 ^ . . . ^ ап, а точка О — его центр. Тогда

|| Л/2 П дБ" || < 2(0! + а,).

С л е д с т в и е 2. Пусть Вп — эллипсоид вращения с осями а1 ^ а2 = а3 = . . . . . . = ап и точка О — его центр. Тогда \\ М2 [] дВп \\ ^ 10, где 10 — периметр эллипса с осями а1 и а2.

Т е о р е м а 2. Пусть Вп — прямолинейный параллелепипед или эллипсоид. Тогда площадь любой двумерной односвязной минимальной поверхности М2, проходящей через центр Вп, не меньше, чем площадь минимального двумерного плоского центрального с Впт

Д о к а з а т е л ь с т в о . В случаях, когда Вп — прямолинейный параллелепипед или эллипсоид вращения, теорема доказывается путем интегрирования неравенств в след­

ствиях 1 и 2. Д л я эллипсоида общего положения теорема доказывается рассмотрением вписанного внутри него эллипсоида вращения.

З а м е ч а н и е . Условие односвязности минимальной двумерной поверхности существенно. При невыполнении этого условия можно привести пример, для которого теорема 2 и лемма 1 неверны. Впрочем, это не означает, что мы предъявили контрпри­

мер к гипотезе А. Т. Фоменко. Возможно, от условия односвязности можно отказаться, заменив его условием глобальной минимальности, что и предлагается в основной гипо­

тезе (см. выше).

В заключение автор выражает глубокую благодарность А. Т. Фоменко и Дао Чонг Тхи за постоянное внимание и полезные обсуждения.

СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы

[1] Ф о м е н к о А. Т. Многомерные вариационные методы в топологии экстремалей.—

УМН, 1981, т. 36, вып. 6, с. 105—135.

[2] К а ц н е л ь с о н Б . Э., Р о н к и н Л. И. О минимальном объеме аналитического множества.— Сиб. мат. журн., 1971, т. 15, № 3, с. 516—528.

[3] Ф о м е н к о А. Т. Вариационные методы в топологии.— М.: Наука, 1983.

[4] b e l o n g P . Proprietes metriques des varietes analytiques complexes definies par une equation.— Ann. sci. Ecole Norm. Super. 1950, v. 57, v. 393—419.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Поступило в Правление общества 26 мая 1983 г.