Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ш. С. Маматов, О связанных состояниях трансфер- матрицы модели Изинга, ТМФ , 1984, том 58, номер 2, 213–
218
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 10:51:45
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А
Том 58, № 2 февраль, 1984
О СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЯХ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ МОДЕЛИ ИЗИНГА
Маматов Ш. С,
Рассматривается модель Изинга на v+1-мерной решетке (v>2) при больших значениях температуры Г. Показано, что у трансфер-матрицы предельного поля нет связанных состояний со спектром ~1/Г2.
Рассмотрим модель Изинга на решетке Zv+1, v>2, т. е. модель с потен
циалом
[/(*) = {
8>
| а;
| я 1' sea""..
v ;
\о, Ы>1,
Пусть \i — распределение вероятностей для гиббсовского случайного поля о={о(£), ££ZV, a(t)=*±l} на решетке Zv+1, v > 2 при больших значениях температуры Т=$~*. Обозначим через \io={ii)xYo, где Х={—1, 1}, распре
деление для значений поля на нулевом слое
y0={*ezv + 1, *=(г( 1 ), *(2\• • •, *( v + 1 )):*( v + 1 )=0}.
Для любой конфигурации поля o={o(t), t&Zv+i} обозначим через о0 ее су
жение на У0, а через <5^=L2(Q0, u.0)c:Z/2(£2, и.), где Q=XzV+1, Q0=XY%—
подпространство квадратично-суммируемых функций от поля о, зависящих лишь от о0. Трансфер-матрица (стохастический оператор) ST определяется как оператор в Ж по следующей формуле:
(1) <F/=P*E/ev+i/, / е # ,
где J7t, ^Zv+i,— унитарный оператор сдвига на вектор £ вдоль решетки ( ^ / ) ( о ) = / ( т г \ а ) , (т4о)(*)=о(*-*),
действующий в пространстве L2(Q,, п.), ev+1=(0, 0 , . . . , 1), а Рж — ортого
нальный проектор в L2('£2, 1^) на пространство $?.
Поскольку оператор ^~ коммутирует с группой {£/*, £6ZV+1}, действую
щей в Э6, существует разложение
пространства 5^ в прямой ортогональный интеграл пространств 96%., №TV, такое, что при этом
f=\ fxdb и Ut=\ e^Exd%,
где @~% — оператор в Ж% и Ек — единичный оператор в <Ж, а Г - v-мерный тор.
Пусть в каждой точке некоторой области G^TV существует собственный вектор Д оператора ЗГ%. такой, что соответствующее собственное значение х(А) образует непрерывную функцию на G. Тогда семейство векторов
{Д} называется связанным состоянием оператора У в С , порождаемое ими пространство
Е^= J CfxdX>
где Cf%^<№x — одномерное подпространство, натянутое на вектор Д<=<2^яг называется одночастичным подпространством. Функцию х(Я), Я^С, назо
вем спектром оператора @~ в одночастичном подпространстве EG. Основной результат данной работы заключен в следующей теореме.
Т е о р е м а 1. Пусть v>2. Тогда у трансфер-матрицы модели Изинга:
1) существует одночастичное подпространство ETv (с областью G=TV) со спектром х(Я)=с1р+0(р2),, где ci=*ci(v) —некоторая константа;
2) нет других связанных состояний (одночастичных пространств) со спектром |х(Я) |>с2р3, где c2=cz(y) — некоторая константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы существенно опирается на резуль
таты работ [1—4].
З а м е ч а н и е . Этот результат верен и для v = l , 2 (при v = l это выте
кает из результатов Онзагера [5]). Этот случай будет разобран в другой публикации. В используемых в этой работе методах существенно предпо
ложение о том, что v>2.
В работах [2, 6] установлено, что при малых [} трансфер-матрица У модели Изинга и группа операторов сдвига {Ut, t&Zv}, действующих в гильбертовом пространстве Ж, унитарно-эквивалентны некоторому кла
стерному оператору ST с параметром кластерности Х=с$, с — некоторая константа, удовлетворяющему условию отделимости (определение кластер
ных операторов и условие отделимости см. в [2, 3]), и группе операторов {Ut, t£Zv}, действующих в гильбертовом пространстве Z2(Czv), где Czv I совокупность конечных подмножеств решетки Zv. Мы не будем напоминать здесь общее определение кластерного оператора в Z2(Czv), а укажем лишь два частных класса кластерных операторов.
I. Пусть h(Cz 1)=Z2(ZV), где Czvl — совокупность одноточечных под
множеств Zv,— подпространство функций, отличных от нуля на одноточеч
ных подмножествах решетки Zv. Пусть А — кластерный оператор, для ко
торого l2(Czvi) инвариантно. Тогда он действует в h{Czvi) по формуле (свертка)
(2) (Af)({t})= £ a(t-t')f({t>}),
(3) |а(т)|<ЛГД"+ 1,
где %&ZV и Я<1, Mi —некоторая константа. Такой оператор назовем одно- частичным кластерным оператором, а X — его параметром кластерности.
214
II. Пусть h (C|v) CZ h (Czv — подпространство функций, отличных от вуля на двухточечных подмножествах и А — кластерный оператор, для которого /2(С>2) инвариантно. Его действие в l2(Czv2) задается формулой
<4) (Af) ({tu t2}) = £ j [°° ^ - ^ ' h ~ *2'> + + (0 (*x - t2\t2 - tx')] f ({V, *2'}) +
+ £ j $№ ' « Л * Ь * 2 ' } ) / ( й ' , а
где суммирование происходит по всем подмножествам {£/, £2'}£Czv и (5) | со (xi, та) | <М2Х^+1^+\ т4, T26 Z \
(6) 18 ({tu t2}, {V, и'} | <M2^d{ fl'f2}' {'1+'v+i» ш™\
где M2 — константа, X — параметр кластерности, a dB, i?c=Zv+1, означает ми
нимальную длину дерева, построенного на точках В (длина дерева равна сумме длин его ребер), при этом для любого s&Zv
(7) У ({U+s, t2+s}, fa'+s, t2'+s)) =У ({tu t2}, {U\ t2'}).
Оператор (4) назовем двухчастичным кластерным оператором.
Из результатов работ [3, 4] Малышева и Минлоса вытекает следующая Т е о р е м а 2. Пусть задан кластерный оператор %Г с малым парамет
ром кластерности Х<Х0, где Х0=Х0(У), удовлетворяющий также условию отделимости (см. [ 3 ] ) . Тогда в пространстве Ж существуют три ортого
нальных друг другу пространства Ж^ Жи Ж<£^Ж, инвариантных относи
тельно трансфер-матрицы 2F и группы операторов {Ut, t&Zv} такие, что 1) Ж0 — одномерное пространство, в котором оператор @~\жй и операто
ры Ut, t&Zv, совпадают с 1;
2) в Ж1 оператор $T\wi и группа операторов {Uu №ZV} унитарно-экви
валентны некоторому одночастичному кластерному оператору в l2(Czvi) с параметром кластерности Х=Х(Х) (причем Х(Х)-+0 при Х-+0) и унитар
ной группе сдвигов Ut в Z2(Crzv1) и спектр а {2Г \ жх) ^ [АД, к2Х], где &i<
<к2 — некоторые константы;
3) Оператор &г\ж-2. и группа {Ut, t&Zv} в Ж2 унитарно-эквивалентны некоторому двухчастичному кластерному оператору в h(C^v) с парамет
ром Х=Х(Х) и унитарной группе сдвигов Ut в 12(С\\>) и спектр о ( ^ | ^2)с= cif/c/A2, к/Х2], где к/<к/ — некоторые константы.
В ортогональном дополнении Ж=(Ж0®Ж1®Ж2)1 спектр G(ST\-^)CI
<=[—кХ3, кХ3], где к — некоторая константа.
З а м е ч а н и е . В случае модели Изинга, как это будет видно из даль
нейших вычислений, можно указать более точные границы для спектра трансфер-матрицы в Ж1 и Ж2: о(.^~| .#>,) с=[ср—Щ2, с$+Щ2] и аналогично
Таким образом, в случае модели Изинга установлено существование двух инвариантных подпространств: Ж^ со спектром ~ р и Ж2 со спектром
~ р2. При этом в ортогональном дополнении спектр трансфер-матрицы мо-
дели Изинга имеет порядок 0(р3), и, следовательно, для доказательства основной теоремы нам нужно установить отсутствие связанных состояний в пространстве Ж2. Это доказательство будет опираться на некоторые оценки для функции со^ и 5V, определяющие инвариантную часть транс
фер-матрицы модели Изинга в инвариантном пространстве Ж2 (см. фор
мулы (5) и (6)).
Пусть задан оператор А в h (С\у) © Z2(C*V), причем l(C*v) и 12(С%*) инвариантны относительно Л и в разложении A=Ai+A2, оператор Ai в h(C%») имеет яид (2), оператор А2 в Z2(Cjv) - в и д (4). Введем преобра
зование Фурье функций а(т), с о ^ , т2) и 9>({tu t2}, {*/, t/}):
(8) а М = ^ а ( т ) ^ т ) я1 бГ ;
T6ZV
со (Хъ Х2) = ^ со (тх, т2) е*к**, *>+<*.. т.)], Я Д2 б yv;
Tl, T26ZV
S(*l,*l,|Al,|i.) = V *(Г,П*(ГД1*.)*(Г,,1ь,Аа),
T,T'6C2zV
где «г(Г, Л*, Я2)=^[ (^^) + ( я^2 ) ]+^[^^2)+(Ч^)]? г={*4, t2}, К Я2, ц„ | i26 r . В силу оценки (6) и формулы (7) ^(Л4, Я2, щ, jbt2)=6(X1+X2-|Li1-|Li2)X Х9){Хи Л2, (ii, п.2), где 9* является гладкой функцией, определенной на многообразии
(9) г={(Я4Д2, |х1? |ы2):Я1+А2=^+^}с=(Г)в 4.
В силу оценки (3) функция i4(z)=3(Xi) при z=(efA,l(1),..., eiXi(y))£Q*7
аналитична в поликольце
Ся = {2 = (2(1), . . . , z ( v ) )6Cv: 4 - < H( v )l < ^ , i = l , 2 , . . . , v > , где Я — параметр кластерности. Функцию A (z) будем называть аналити
ческим продолжением a(Xi). Аналогично этому в силу оценки (5) функ- ц и я Й ^ , s2)=co(^, Я2), z1 = (eix(i\...JXi\ Z2 = (ei^1\...9e^)eCVf аналитична в произведении поликолец G^XG k&CvXCv. функцию Q(zu z2) назовем аналитическим продолжением 63 (Хи Х2). Наконец функция
B(zi, z2, Wi, w2)=&(Xu Я2, I^i, [x2),
*x = ( A , . . . , eU l ), za = ( ^ , . . .?^2 ),
. (1) . (V) . (1) . (V)
является аналитической функцией на многообразии K(\G%XG%XG%XGK^
<=( СТ\ где К - многообразие в (Cv)04:
К = {(z±, z„ wl9 w2)£ ( C T4: z W = w i V , i = 1, 2, . . . , v>.
Эту функцию В также будем называть аналитическим продолжением
tr(Xi, Я2, |Lli, jLl2) .
Л е м м а 1. В случае трансфер-матрицы модели Изинга
216
V V
(10) Sy (Л) =c$+ctp J^cos К? +с3р3 { ^ cos 2k? +
г = 1 г = 1 v
+2^ [cosar+A^ )+cosar-^
fl)]+i}+a
1ao,
где Ci=Ci(y) ( t = l , 2, 3) — некоторые константы, a^Xi) — некоторая функция такая, что ее аналитическое продолжение удовлетворяет оценке
(И) \А^)\<Ц\ z*Gk,
L — константа, и
V
(12) «МЛьХО = d . p * + d , p8^ (cos ^ + c o s ^! ) )+cet(XiД2),
где di=di{v) — константы, <ot(Xi, Я2) — некоторая функция, аналитическое продолжение Qi(zu z2) которой удовлетворяет оценке
(13) |Q(z4, z2) | < # P \ z1? z ^ X G * ,
N—константа. При этом аналитическое продолжение E(zi, z2, z#i, ^2) функции & (Хи Я2, |JLI, |Я2) удовлетворяет условию
(14) |S(zl 5 z2, И74, M?2)|<Jlfp\ z4, z2, и;*, м?абХП(Сх)в4, где М — константа.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 1 проводится с помощью кластерных разложений трансфер-матриц для модели Изиыга (см. [5]) и явным вы
числением главных членов этого разложения.
Наша основная теорема будет вытекать в силу оценки (13) из сле
дующей леммы.
Л е м м а 2. Если у двухчастичного кластерного оператора (4) функ
ция &(Хи Х2) допускает разложение (12) и функция 9^{Хи Х2, \Ли М'г) удовлетворяет условию (14), то у него нет связанных состояний.
Укажем кратко схему доказательства этой леммы. Пусть А0 — опера
тор, действующий в L2((TV)2) по формуле (A)/)(^iA2) =
=ю0(А,ь Х2) + ^ Ж* (^ъ ta, И-ь И*) / (и-ь И*) Ф 1 d\i2,
(TV).
где 6)o(Xi, А,2) получается из формулы (12) для (Ъ(Хи Х2) при co1(Xi, Я2) = 0 , а Ж0(Хи Я2, M-i, |я2) вычисляется по формуле
«З^о (Я,1, Я2, [Xi, (Ла) = - © о (Я4, Я2) —COod^ti, Ца) + J 6)0 (Vi, V2) dVi d v2, г
где r = { ( X i , Я2, |ii, ^2) : Я1+Я2=я|11+1А2}с:(2Ту)в4. у оператора А0 нет собст-
венных значений и, следовательно, нет нулей его детерминанта Фред
гольма D(A0). Далее подробно вычисляется оценка разности D(A) — D(A0), где D {А)— соответствующий детерминант Фредгольма для исход
ного оператора. Из этой оценки вытекает, что у D{A) также нет нулейг что и требовалось доказать.
В заключение выражаю глубокую благодарность Р. А. Минлосу за по
стоянное внимание к данной работе.
Литература
[1] Минлос Р. А., Синай Я. Г.- ТМФ, 1970, 2, № 2, 230-243.
[2] Абдулла-заде Ф. Г., Минлос Р. А., Погосян С. К. В сб.: Многокомпонентные слу
чайные системы. М.: Наука, 1978, 5-29.
[3] Malyshev V. A., Minlos R. A.- J. Stat. Phys., 1979, 21, № 3, 231-242.
[4] Malyshev V. A., Minlos R. A.- Commun. Math. Phys., 1981, 82, 211-226.
[5] Onsager L.- Phys. Rev., 1944, 65, 117.
[6] Малышев В. А.- УМН, 1980, 35, № 2, 3-53.
Сырдарьинский государственный Поступила в редакцию педагогический институт 12.V.1983 г.
ON BOUND STATES OF TRANSFER-MATRIX OF ISIND MODEL Mamatov Sh. S.
Ising model on a (v+1) -dimensional (v>2) lattice is studied at large values of the temperature T. It is shown that the transfer-matrix of the limiting field does not possess bound states with the spectrum ~1/T2.
218
