Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Т. Жанлав, И. В. Пузынин, О сходимости итераций на ос- нове непрерывного аналога метода Ньютона, Ж. вычисл.
матем. и матем. физ., 1992, том 32, номер 6, 846–856
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 07:28:13
Ж У Р Н А Л
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И
Том 32, 1992 № ft
У Д К 5 1 9 . 6 1 5 . 5
© 1992 г. т. ЖАНЛАВ, и . в. ПУЗЫНИН- (Дубна)
О С Х О Д И М О С Т И И Т Е Р А Ц И Й Н А О С Н О В Е
НЕПРЕРЫВНОГО
А Н А Л О Г А М Е Т О Д А Н Ь Ю Т О Н А
Обоснован алгоритм выбора итерационного параметра д л я и т е р а ц и й , полученных на основе непрерывного аналога метода Ньютона. Итера
ционный п а р а м е т р и з м е н я е т с я пропорционально изменению н е в я з к и . Д о к а з а н а сходимость итерационного процесса с таким выбором парамет
ра, и установлена его скорость сходимости. Показано, что область схо
димости этого процесса шире, чем у метода Ньютона.
В в е д е н и е
Вопрос о построении э ф ф е к т и в н ы х а л г о р и т м о в р е ш е н и я н е л и н е й н ы х з а д а ч о с т а е т с я а к т у а л ь н ы м в в ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к е . О д н и м из ме
тодов р е ш е н и я т а к и х з а д а ч я в л я е т с я метод Н ь ю т о н а . Г л а в н о е его досто
инство — к в а д р а т и ч н а я сходимость в б л и з к о й о к р е с т н о с т и искомого р е ш е н и я . О д н а к о при н е у д а ч н о в ы б р а н н о м н а ч а л ь н о м п р и б л и ж е н и и сходи мость м о ж е т б ы т ь м е д л е н н о й и л и о т с у т с т в о в а т ь . В н а с т о я щ е е в р е м я в рас
четах з а д а ч т е о р е т и ч е с к о й ф и з и к и у с п е ш н о п р и м е н я е т с я н е п р е р ы в н ы й а н а л о г метода Н ь ю т о н а (н. а. м . Н ) , п р е д л о ж е н н ы й в [1] и р а з в и т ы й а
[ 2 ] , [ 3 ] .
В § 1 н а с т о я щ е й статьи п р и в е д е н о обоснование а л г о р и т м а выбора ите
рационного п а р а м е т р а , п р е д л о ж е н н о г о в [ 4 ] , и з у ч е н о свойство к о э ф ф и ц и ента п е р е х о д а от и т е р а ц и и к и т е р а ц и и . Сходимость н . а . м. Н д о к а з а н а в
§ 2. Вопрос о п р и м е н е н и и метода к р е ш е н и ю д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й о б с у ж д а е т с я в § 3.
§ 1 . Н е п р е р ы в н ы й а н а л о г метода Н ь ю т о н а и и т е р а ц и о н н а я с х е м а
П у с т ь ф - н е п р е р ы в н а я н е л и н е й н а я ф у н к ц и я , п е р е в о д я щ а я б а н а х о в о п р о с т р а н с т в о X в б а н а х о в о п р о с т р а н с т в о Г . Р а с с м о т р и м у р а в н е н и е
(1.1) q > ( z ) = 0 .
П у с т ь в н е к о т о р о й окрестности р е ш е н и я z" у р а в н е н и я (1.1) ф у н к ц и я ф д в а ж д ы н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а , а о п е р а т о р (q>') н е п р е р ы в н о об
ра тим .
К а к и з в е с т н о [ 1 ] , н. а. м. Н д л я у р а в н е н и я (1.1) п р е д с т а в л я е т собой э в о л ю ц и о н н о е по д о п о л н и т е л ь н о м у н е п р е р ы в н о м у п а р а м е т р у t, 0 ^ £ < ° ° , 846
у р а в н е н и е
(1.2)
^ - ф (
2« ) )
= - ф ( * ( 0 ) , з ( 0 ) - г , .at
При у к а з а н н ы х выше о г р а н и ч е н и я х о т н о с и т е л ь н о ф у н к ц и и ф и ее про
изводных имеет место соотношение [ 1 ] , [2]
l i m z(t)—z\
I--*- оо
Д и с к р е т и з а ц и я по п а р а м е т р у / у р а в н е н и я ( 1 . 2 ) о с у щ е с т в л я е т с я методом Эйлера, который приводит к и т е р а ц и о н н о м у процессу
(1.3) ф'(2п).1>п=~ Z n + i=Zv+X„Vn,
/ 7= 0 , 1, . . . . 0 < ТЙ^ 1 .
П р и тп= 1 этот и т е р а ц и о н н ы й процесс совпадает с к л а с с и ч е с к и м методом Ньютона.
В работе [2] д о к а з а н а сходимость и т е р а ц и й (1.3) к р е ш е н и ю э в о л ю ционной з а д а ч и (1.2) на конечном отрезке O^t^T п р и тп- ^ 0 , если в окрестности р е ш е н и я z ф у н к ц и я ф(г) у д о в л е т в о р я е т некоторым д о п о л н и т е л ь н ы м у с л о в и я м .
В п р а к т и ч е с к и х расчетах и т е р а ц и о н н ы й процесс (1.3) д о п о л н я е т с я а л г о р и т м а м и з а д а н и я ш а г а т„, от удачного выбора которого м о ж е т зави
с е т ь к а к сходимость метода, т а к и скорость сходимости. В н а с т о я щ е е вре
мя с у щ е с т в у е т н е с к о л ь к о а л г о р и т м о в з а д а н и я ш а г а т„ (см. [ 4 ] , [ 5 ] ) . Р а с с м о т р и м и т е р а ц и о н н ы й процесс ( 1 . 3 ) , в котором шаг т„ з а д а е т с я по ф о р м у л е [4]
(1.4) Тп« | | ф ( 2п) | | -1| ! ф ( 2и-|) | | тп-1, ( X l o^ T ^ l .
П у с т ь в некоторой сфере D с центром в точке z0 с у щ е с т в у ю т производ
ные
ф'(
2), ф"(
2)>
причем л и н е й н ы й операторф'(г)
о б р а т и м ы й и имеют место н е р а в е н с т в а(1.5) | | ф ' ( * ) - ' И # , | | ф " ( * ) | №
П р е д п о л о ж и м , что все п р и б л и ж е н и я zn, п о л у ч е н н ы е с п о м о щ ь ю и т е р а ц и й ( 1 . 3 ) , п р и н а д л е ж а т с ф е р е D. Тогда л е г к о п о к а з а т ь [ 6 ] , что
(1.6) 1 ! ф ( г п+ 1) И фя + | ( хп) | | ф ( 2п) | | , W = 0 , 1,
где к о э ф ф и ц и е н т перехода ф „+ 1( т ) от и т е р а ц и и к итерации о п р е д е л я е т с я по ф о р м у л е
( 1 7 ) *п + 1( т ) - 1 - « т + -^ЛГВ2||ф(гп)||, 0 < т ^ 1 . В ы б е р е м хп т а к , ч т о б ы в ы п о л н я л о с ь у с л о в и е
^ n + i ( T „ ) = m i n фп + 1( т ) .
Т а к о й ш а г т„ н а з о в е м о п т и м а л ь н ы м и и т е р а ц и о н н ы й п р о ц е с с (1.3) с оп
т и м а л ь н ы м ш а г о м хп н а з о в е м о п т и м а л ь н ы м по скорости сходимости.
Т о ч к а м и н и м у м а ф у н к ц и и (1.7)
(1.8) Хп={МВ%фп)\\)-* = {г.пу\
847
П у с т ь еп^ 1 . Тогда тн* > 1 , т. е. в этом с л у ч а е тт, = 1 и поэтому
\ | )n+1( Tn) = ^r, 4 i ( l ) ^1/ 2 . Е с л и ж е еп> 1 , то т7/ < 1 и, с л е д о в а т е л ь н о .
i | ) n+i ( x n * ) = l —1/ 2 е „ >1/ 2 - О д н а к о е с л и в о ц е н к а х (1.5) к о н к р е т н ы е з н а ч е н и и к о н с т а н т В и М н е и з в е с т н ы , то н а й т и т о ч к у м и н и м у м а тп* н е в о з м о ж н о . В м е с т о о п т и м а л ь н о г о ш а г а т„ необходимо н а й т и другой ш а г . п о з в о л я ю щ и й у м е н ь ш а т ь н е в я з к у от и т е р а ц и и к и т е р а ц и и . З а м е т и м , что д л я ф у н к ц и и (1.7) в ы п о л н я е т с я у с л о в и е
(1.9) <+1 ( 0 ) = + „,( 0 ) = - 1 .
П о т р е б у е м , чтобы д и с к р е т н ы е а н а л о г и п р о и з в о д н ы х фл + 1 (0) и фп' (0) т о ж е у д о в л е т в о р я л и с о о т н о ш е н и ю ( 1 . 9 ) , т. е.
(1.10) [ * n+i ( T n ) - * „+i ( 0 ) l / TM= [ ^n( T n - , ) - i | )w( 0 ) ] / Tw-l. - П о д с т а в л я я (1.7) в с о о т н о ш е н и е ( 1 . 1 0 ) , п о л у ч а е м
( L I D - ^ = J ^ i , , = , . 2
о т к у д а с л е д у е т ф о р м у л а ( 1 . 4 ) . Э к с т р е м а л ь н ы е точки т„* и т*_г . к а к в и д н о и з ( 1 . 8 ) , у д о в л е т в о р я ю т с о о т н о ш е н и ю ( 1 . 1 1 ) , хотя к а ж д а я из н и х н е и з в е с т н а по о т д е л ь н о с т и .
В ы б о р т,г по ф о р м у л е (1.11) п о з в о л я е т у м е н ь ш а т ь я | 5и + 1( т ) при возра
с т а н и и п. И с п о л ь з у я с о о т н о ш е н и е ( 1 . 1 1 ) , з а п и с ы в а е м ^п- и ( тп) в виде (1.12) % H - i ( t n ) = l - Tn( l - g o ) , и = 0 , 1 , . . . ,
Ч* = ~-МВ'\\ф,) ||.
Отсюда следует, что
(1.13) ф п+ 1( тп) - ф м ( т п -1) = ( 1 - д0) ( т , -1- тп) , / г = 1 , . 2
Л е м м а . Пусть выбор шага т„ осуществляется по формуле (1.4) и вы
полняется условие
(1.14) д0 = у - Л Г Д2| | ф ( 2 о ) 1 | < 1 . Тогда справедливо неравенство
(1.15) t n + i ( ^ ) < t 4 ^ n - i ) , п = 1 , 2, . . . .
которое является необходимым и достаточным условием выполнения не
равенства
(1.16) 1 k ( 2 „ ) | | < | ^ ( 2w- , ) | | , и = 1 , 2, . . . .
Д о к а з а т е л ь с т в о . С н а ч а л а д о к а ж е м в т о р у ю часть л е м м ы . П у с т ь в ы п о л н е н о н е р а в е н с т в о ( 1 . 1 6 ) . Т о г д а и з с о о т н о ш е н и я (1.11) следует, что Tn> Tn- i . С л е д о в а т е л ь н о , в с и л у у с л о в и я ( 1 . 1 4 ) , п р а в а я ч а с т ь р а в е н с т в а (1.13) с т а н о в и т с я о т р и ц а т е л ь н о й , и тем с а м ы м будет в ы п о л н е н о н е р а в е н с т в о ( 1 . 1 5 ) .
П у с т ь в ы п о л н е н о н е р а в е н с т в о ( 1 . 1 5 ) . Т о г д а и з с о о т н о ш е н и я (1.13) с л е д у е т , что тп>тп- 1 . И з с о о т н о ш е н и я (1.11) п о л у ч а е м ( 1 . 1 6 ) . Т а к и м об
разом, у с л о в и е ( 1 . 1 5 ) необходимо и д о с т а т о ч н о д л я в ы п о л н е н и я (1.16)
Т е п е р ь д о к а ж е м с п р а в е д л и в о с т ь н е р а в е н с т в а (1.15) при в ы п о л н е н и и у с л о в и я ( 1 . 1 4 ) . И з в ы р а ж е н и я (1.12) следует, что ф п - и ( тп) < 1 , >г=
= 0 / 1 , . . . . П о э т о м у и з (1.6) п о л у ч а е м ||ф(гп +1)||<||фСгп) |1, ?г=0, 1, . . . . Отсюда, согласно второй ч а с т и л е м м ы , следует н е р а в е н с т в о ( 1 . 1 5 ) . Л е м ма д о к а з а н а .
§ 2 . Сходимость метода
Н а вопросы о том, н а с к о л ь к о ш и р е о б л а с т ь сходимости и т е р а ц и й н. а. м. Н , чем в обычном методе Н ь ю т о н а , и к а к о в а их скорость сходимо
сти, отвечает с л е д у ю щ а я
Т е о р е м а 1. Пусть в сфере
Di==Uz-z0\\<~^--\\(z0)\\ }
выполнены условия ( 1 . 5 ) , ( 1 . 1 4 ) . Пусть существует целое положитель
ное число к такое, что
( 2 . 1 а )
1>т
п= "У^;?,
11 тя- „ / 1 - 1 , 2 , . . . ,* - 1 ,
(2.16) т ,+, - = 1 , / = 0 , 1,
(2.2) To>qt\ ?I=IMT0)."
Тогда уравнение (1.1) имеет решение z*^Du к которому сходятся итера
ции ( 1 . 3 ) , ( 1 . 4 ) , начиная с z0. Скорость сходимости zn к z* определяется неравенством
(2.3) \\z--zn^Bqr*~l+k ЬМ1 п>к.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно способу з а д а н и я т„ (см. ( 2 . 1 ) ) имеем Т о| | ф( 20) ! Н т1| | ф( 21) | | = . . . = Т/, -1| | ф( 2й_1) | | .
С л е д о в а т е л ь н о , (т„.—i) м о ж н о з а п и с а т ь в виде
^ n ( T n - i ) = l - Tn- i ( l - g o ) < l / г = 1 , 2, . . . , /с,
п р и ч е м , в с и л у л е м м ы и з § 1, н е р а в е н с т в о (1.15) в ы п о л н я е т с я д л я всем гс=1, 2, . . . . к— 1. Отсюда в ы т е к а е т , что н е р а в е н с т в о (1.16) с п р а в е д л и в о п р и т г = 1 , 2, . . . , к. Тогда и з (1.11) следует, что
(2.4) Tn> Tr i_ , , / г = 1 , 2, . . . , к—1.
П о с к о л ь к у z0^Du то из (1.3) п о л у ч а е т с я (2.5) | | 2 , - г о И т о В | | ф ( г0) | | < Д | | ф ( 2 о ) | |1 т. е. z^Di. Д а л е е , из (1.6) имеем
(2.6) ! 1 ф( 2 1) И ' ф1( Т о) | | ф( 2 о ) | | = д1||ф(2о)|]. .
П р и этом, согласно ( 1 . 1 4 ) , с п р а в е д л и в о # i < l . Е с л и учесть условия ( 1 . 5 ) , ( 2 . 4 ) , (2.1а) и ( 2 . 6 ) , то из у р а в н е н и й (1.3) п о л у ч а е м
| | z2- Z i | | < f i g , | | ( z o ) | | .
О т с ю д а и с у ч е т о м о ц е н к и ( 2 . 5 ) п о л у ч а е м
11^2—^0|l^||jZa—JzJI + ll^i—20||<Г^( ||ф (^о) И-
Д а л е е , и с п о л ь з у я н е р а в е н с т в а ( 1 . 1 5 ) и ( 2 . 6 ) , из с о о т н о ш е н и я (1.6) полу
ч а е м
h(z2)\\<qi2h(zo)\\.
П р о д о л ж а я э т и р а с с у ж д е н и я к—2 р а з а , п р и х о д и м к н е р а в е н с т в а м ( 2 . 7 а ) l l z . - Z o l^ ^ C l + g . - T - g ^ - f - . . . - Ь д , —^ Ц ф С^ о ) ! ! ,
(2.76) ! ! Ф ( ^ ) | | < ? 1п| 1 Ф ( 2 О ) | | , гс=1, 2, . . . , к.
В силу н е р а в е н с т в ( 2 . 7 ) , ( 2 . 2 ) и (1.14) с п р а в е д л и в о (2.8) ^=ЧгМВЪЫ\<Ч«<1.
Т о г д а п р и xf e + j= = l , / = 0 , 1, . . . , и т е р а ц и о н н ы й процесс (1.3) ф а к т и ч е с к и п р е в р а щ а е т с я в метод Н ь ю т о н а , н а ч а т ы й с z0=zh. В этом с л у ч а е и з ( 1 . 6 ) и ф о р м у л ( 1 . 3 ) следует, ч т о
(2.9а) | | ф ( ^+ 1) | | < ^+ 1( 1 ) Ы ^ ) 1 ^ 1 1 ф( ^ ) 1 1 , (2.96) \\zh+i-zk\\<ThB\\v (z,y\\-Bh{zh) ||.
У ч и т ы в а я н е р а в е н с т в а ( 2 . 7 ) , (2.8) и q^<qu н е р а в е н с т в а ( 2 . 9 ) м о ж н о за п и с а т ь в виде
11ф(^+|)Н<?1||ф(^)1к . | К+ 1- ^ | | < ^ / | ! ф ( 2 о ) | | . П р и м е н е н и е н е р а в е н с т в а т р е у г о л ь н и к а ^ с у ч е т о м ( 2 , 7 а ) , д а е т
| | ^t~ Z o | | < 5 ( l + ^ + ^ + . . , +?1*)11ФЫ||- Д о к а ж е м н о и н д у к ц и и н е р а в е н с т в а
( 2 . 1 0 а ) \К~ъ\\<В(±+д±+д*+.. .+д^)\\<р&о)\1
(2.106) •
||ф(^)|КС
1||ф(^)||,
п>к.Д е й с т в и т е л ь н о , в ы ш е д о к а з а н ы н е р а в е н с т в а (2.10) п р и /г=АЧ-1, к. П у с т ь о н и в е р н ы п р и п=к+т, и м ы д о к а ж е м с о о т н о ш е н и я ( 2 . 1 0 ) н а с л е д у ю щ е м ш а г е т г + l = & - f га-М. Т а к к а к zn^Du то и з ( 1 . 3 ) с у ч е т о м о ц е н о к ( 1 . 5 ) ,
(2.106) и (2.76) п о л у ч а е м
1|2 п + 1- -2 п| | ^ тпВ| | ф(2 7 г) | | < В д Г " ~1 + А НФЫН.
О т с ю д а , и с п о л ь з у я н е р а в е н с т в о ( 2 . 1 0 а ) и э л е м е н т а р н о е н е р а в е н с т в о 2П— 1>п, п р и х о д и м к о ц е н к е
||г„ + 1- 2 в | | < Д ( 1 +? 1+? 1 а +. . . + ? |П) | | ф ( 2 о ) | | "
Д а л е е , и з н е р а в е н с т в а ( 1 . 6 ) с у ч е т о м с о о т н о ш е н и й ( 2 . 8 ) , (2.106) п о л у чаем
<qk ' "~!|1Ф0Ь)||,
т. е. н е р а в е н с т в а ( 2 . 1 0 ) д о к а з а н ы на (п+1)-м ш а г е .
#50
И з (2.10) видно, что д л я всех п п р и б л и ж е н и я zn п р и н а д л е ж а т сфере / 5 , . П о к а ж е м ф у н д а м е н т а л ь н о с т ь п о с л е д о в а т е л ь н о с т и {zn}. И з у р а в н е н и и
(1.3) с учетом оценок ( 2 . 7 ) , (2.10) л е г к о п о л у ч а е м
\\zv+-zn\\<Bq?\\4{Zb)\\% п>к.
У 2п.ь, -2„+, _1| ! < ^1^ " ~,| | ф (2 о) | | ,
откуда приходим к н е р а в е н с т в у
li^,-*»ll<»(E
дГ')\\ф,)1Отсюда я с н о , что | j z „+ T> — zn| | - M ) п р и р а в н о м е р н о по
р.
И т а к , {zn} — ф у н д а м е н т а л ь н а я , а вследствие п о л н о т ы пространства А' — с х о д я щ а я с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь . Обозначим через z ее предел. П е р е х о д и к пределу п неравенстве ( 2 . 1 0 а ) . п о л у ч а е мi l s- 2 o! l < » ( Ц ? . ' ) ! 1 Ф ( * О ) 1 1 = - ^ р - Н Ф( 2О ) П ,
т. е. z^Dx. П р е д е л ь н ы й переход в неравенстве (2.106) дает
Н ф О О И= 0 .
Н е р а в е н с т в о (2.3) следует и з равенства
Z ~ Z„ = ф ' ('£„ ) -1 ( ф ( Z' ) - ф ( ZN) ) .
г , = ( 1 - а , ) 2 -( (4 - а „ 2 \ а , ; е ( 0 , 1 ) .
с учетом н е р а в е н с т в (2.7) и ( 2 . 1 0 ) . Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю . С л е д с т в и е 1. П у с т ь н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е z0 т а к о в о , что ( 2 . 1 ' ) ^ - 7, Л / ^ | | ф(2 о) ! | < 1 .
Тогда к л а с с и ч е с к и й метод Ньютона сходится и с п р а в е д л и в а оценка ( 2 . 3 ' ) | | г- - 2яИ В д ог Л-1| | ф ( г о ) | | .
Д е й с т в и т е л ь н о , у с л о в и е ( 2 . 8 ) в ы п о л н я е т с я здесь п р и / е = 0 . П р и т0= 1 имеем до=<7о. а н е р а в е н с т в о ( 2 . 2 ) а в т о м а т и ч е с к и в ы п о л н я е т с я , п о с к о л ь к у здесь к=0. Н е р а в е н с т в о ( 2 . 3 ) п р е в р а щ а е т с я в ( 2 . 3 ) . Отметим, что оцеп ка ( 2 . 3 ) л у ч ш е , чем и з в е с т н а я оценка д л я метода Н ь ю т о н а ( с м . [ 7 , с. 4 0 3 ] ) .
С л е д с т в и е 2. П у с т ь д0^ 0 . 5 . Тогда к л а с с и ч е с к и й метод Н ь ю т о н а я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м по скорости сходимости.
Д е й с т в и т е л ь н о , л е г к о п р о в е р и т ь , ч т о все э к с т р е м а л ь н ы е точки ти* ф у н к ц и и (1.7) у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и ю т„*^И, / / = 0 , 1 . . . . . С л е д о в а т е л ь н о ,
• фп + 1( тп) = т т,фП4 .1( т ) = ' ф «+, ( 1 ) . Отсюда следует р а с с м а т р и в а е м о е у т в е р ж д е н и е .
851
З а м е ч а н и е 1. Сравнение условий (1.14) и (2.Г) показывает, насколько ш и р е область сходимости итераций и.а.м.Н, чем у метода Ньютона.
§ 3 . П р и л о ж е н и е к д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и я м второго п о р я д к а
В д о к а з а т е л ь с т в е теоремы 1 о сходимости и т е р а ц и й и . а . м . Н п р е д п о л а г а л о с ь в ы п о л н е н и е у с л о в и й ( 1 . 5 ) . В к о н к р е т н ы х з а д а ч а х м о ж н о у к а з а т ь д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я их в ы п о л н е н и я .
Р а с с м о т р и м к р а е в у ю з а д а ч у
(3.1) ф ( * ) = г " ( * ) - / ( * , z{x), z(z))=04 0 ^ * < 1 , (3.2) 2( 0 ) -Tl- 0 , 2( 1 ) -7 г= 0 .
З д е с ь / — н е п р е р ы в н а я и д в а ж д ы н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а я по всем а р г у м е н т а м ф у н к ц и я , ч,, ^2 — з а д а н н ы е к о н с т а н т ы . Д л я з а д а ч и ( 3 . 1 ) , (3.2) и т е р а ц и о н н ы й процесс (1.3) в ы г л я д и т т а к :
i > n " ( # ) — / г ' ( # , zn, z„')Un (x)-f2(x, z„4'z„')vn(x)= — ф ( гп) , (3.3a)
У П( 0 ) =Уп( 1 ) = 0 ,
(3.36) zn+i=zn-t-Tvvn, w = 0 , 1 . . . ,
где z0^ C2[ 0 , 1] — н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е к точному р е ш е н и ю з а д а ч и ( 3 . 1 ) , ( 3 . 2 ) , у д о в л е т в о р я ю щ е е к р а е в о м у у с л о в и ю ( 3 . 2 ) .
П у с т ь в о б л а с т и fi={0<aj^l, - о о <2, z ' < « > } п р о и з в о д н ы е /2 2, /2 2- , /2 г о г р а н и ч е н ы и в ы п о л н е н о н е р а в е н с т в о
Id
8(3.4) U(я,z,z') -~—--f2.(x^z')>a> .
2 ах — л '
Т о г д а з а д а ч а ( 3 . 3 а ) о д н о з н а ч н о р а з р е ш и м а и с п р а в е д л и в а о ц е н к а [7]
(3.5) l k " l l + l k ' l l + l| i; n H c4| |v( zn) | | ,
где с4 — п о с т о я н н о е число и ||[/|| = m a x \у(х) |.
х е [ 0 , 1 ]
Д а л е е , и с п о л ь з у я у р а в н е н и е ( 3 . 3 а ) д л я v„ и свойства ф у н к ц и и f{x, z, z), л е г к о п о к а з а т ь , что
где. f u v ~ з н а ч е н и е ф у н к ц и и fu v в н е к о т о р о й т о ч к е о б л а с т и Л , з а в и с я щ е й от /г. Отсюда, с у ч е т о м о ц е н к и ( 3 . 5 ) , п р и х о д и м к н е р а в е н с т в у (1.6) с
к о э ф ф и ц и е н т о м п е р е х о д а
* »
+, ( т ) - 1 - т + у ( | / „ | | + 2 | | / „ . | | + | | / ^ . | | ) с
4 1| | ф (
г п) | | ,
т. е. в к а ч е с т в е к о н с т а н т В и М в ф о р м у л е (1.7) м о ж н о в з я т ь (3.6) Я = с4,
ЛН|/„||+2||/„.
11+Ц/, v | | .Т а к и м о б р а з о м , в ы п о л н я е т с я у с л о в и е (1.5) с к о н с т а н т а м и (3.6) п р и в ы п о л н е н и и у с л о в и я ( 3 . 4 ) . Д а л е е , из у с л о в и я (1.14) видно, что в н а ш е м 852
р а с п о р я ж е н и и и м е е т с я свободный п а р а м е т р т0 и н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е
ZQ(X), О Т у д а ч н о г о выбора которых зависит к а к сходимость и т е р а ц и й , т а к и ее скорость.
З д е с ь , к а к и в л ю б ы х других и т е р а ц и о н н ы х методах, а к т у а л ь н ы м я в л я е т с я вопрос о выборе н а ч а л ь н о г о п р и б л и ж е н и я . В общем с л у ч а е э т а за
д а ч а н е а л г о р и т м и з у е м а . О д н а к о в к о н к р е т н ы х з а д а ч а х м о ж н о у с п е ш н о п р и в л е к а т ь д о п о л н и т е л ь н у ю а п р и о р н у ю и н ф о р м а ц и ю о р е ш е н и я х д л я по
с т р о е н и я н а ч а л ь н ы х у с л о в и й . Ч т о к а с а е т с я п а р а м е т р а т0, то за счет его м а л о с т и м о ж н о обеспечить в ы п о л н е н и е у с л о в и я ( 1 . 1 4 ) . П р и этом и з оцен
ки (2.3) видно, что сходимость будет медленной, п о с к о л ь к у qt-+i при Т о - ^ 0 . О д н а к о если н а к а ж д о м ш а г е и т е р а ц и й к р а е в а я з а д а ч а ( 3 . 3 ) р е ш а е т с я с п о м о щ ь ю к а к о г о - л и б о сеточного метода, то м е д л е н н у ю сходи
мость п р и м а л ы х т„ м о ж н о к о м п е н с и р о в а т ь р е ш е н и е м д и с к р е т н о й з а д а ч и (3.3) на грубой сетке. Н а п р а к т и к е р е ш е н и е , н а й д е н н о е н а грубой сетке, б е р е т с я за н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е д л я у т о ч н е н и я на более м е л к о й сет ке. П р и этом число и т е р а ц и й с и с п о л ь з о в а н и е м подробной с е т к и м о ж е т с у щ е с т в е н н о у м е н ь ш и т ь с я , особенно в с л у ч а е , когда д и с к р е т и з а ц и я зада
чи ( 3 . 3 ) о с у щ е с т в л я е т с я с помощью, с п л а й н - с х е м ы , д а ю щ е й н е п р е р ы в н о е п р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е на всем отрезке O ^ x ^ l . П у с т ь н а р а в н о м е р н о й сетке AN : 0=х0<.. .<xN = l с ш а г о м h=l/N п о л у ч е н о грубое п р и б л и ж е ние zh(x) к точному р е ш е н и ю z" з а д а ч и ( 3 . 1 ) , ( 3 . 2 ) , п р и ч е м под zh(x) п о д р а з у м е в а е м к о л л о к а ц и о н н ы й к у б и ч е с к и й с п л а й н , у д о в л е т в о р я ю щ и й со
о т н о ш е н и я м
(3.7) zh"{x)-f{x, zh{x), zf c» ) = 0 , - х е д , ,
**(<>)=•,., zh(l)=b-
Т е о р е м а 2. Пусть выполняется условие ( 3 . 4 ) и итерационный про
цесс ( 3 . 3 ) для задачи ( 3 . 7 ) сходится, в результате чего найдено прибли
жение z.nh(x) такое, что
(3.8) | | ф ( 2 Л * Щ с , = m a x |Ф( ^ ( ^ ) ) | ^ е ,
где 8 — достаточно малое число по сравнению с шагом h равномерной сетки Л * , т. е. B^h.
Если z * e C4[ 0 , 1 ] , то справедливо соотношение
2
(3.9) \\z-z,%*=0(h*), где
||y||
c»=2i
| | j ,( r a ,| | .Д о к а з а т е л ь с т в о . О б о з н а ч и м Qn=z*—znh. Т о г д а л е г к о п о к а з а т ь , что 0П у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю
0 . ' ' - fz: Bn ~ / А = - ф ( ^ Ч ^ ) ) , ж е [0, 1 ] ,
в
п(0)=в„(1)=0,
где fu — з н а ч е н и е ф у н к ц и и в н е к о т о р о й точке о б л а с т и / ? . П р и у с л о в и и (3.4) п о с л е д н я я з а д а ч а р а з р е ш и м а и с п р а в е д л и в а о ц е н к а
( 3 . 1 0 ) Ц 0 | |с^ С4| | ф (гД х ) ) | | . ] <
853
Т е п е р ь н а м д о с т а т о ч н о о ц е н и т ь | | ф ( г „л( ; г ) ) | | . Д л я к р а т к о с т и о б о з н а ч и м
(p(z
nh(x))
через ф ( # ) . Очевидно, ч т о ф ( г * )еС2[ 0 , 1 ] , если z * s C4[ 0 , 1 ] . П о с к о л ь к у znh(х) — к о л л о к а ц и о н н ы й к у б и ч е с к и й с п л а й н к л а с с а С2[ 0 , 1 ] , то м о ж н о п о к а з а т ь , что ty(x) = ф (znh(x)) <=CW[0. 1 ] .П о с т р о и м л и н е й н ы й с п л а й н , и н т е р п о л и р у ю щ и й ф у н к ц и ю ${х) в у з л а х с е т к и Д » :
ty{x) = {i-t)$(xi)+W(xi+i)4 t=(x-xt)/h.
И з в е с т н о [ 8 ] , что
Н*и)-*.Ы||=0(А
2).
Отсюда и из н е р а в е н с т в а ||t|?||^!|i|3—'^ill~Hl^i!l с учетом м а л о с т и ё < Л полу
ч а е м
< 3 . 1 1 ) ||*(*)||=||ф(г„*и))Н=0(А
8).
С о о т н о ш е н и е (3.9) следует и з о ц е н к и (3.10) с учетом ф о р м у л ы ( 3 . 1 1 ) . З а м е ч а н и е 2. В случае 7 1 = 4 2= 0 соотношение ( 3 . 9 ) доказано в [ 9 ] п р и огра
ничении
[ т а х ( я0, 0)]/Я2+Й1/4<1, где
(хч z, z') < а0. dz
(*, z,z') dz'
На сетке с ш а г о м Л/2 возьмем znfl в к а ч е с т в е н а ч а л ь н о г о п р и б л и ж е н и я . Тогда, в силу ( 3 . 1 1 ) , у с л о в и е qk=MB2\\(p(zk)\\/2<l м о ж е т б ы т ь в ы п о л н е н о у ж е н а ч и н а я с к=0. Е с т е с т в е н н о , в этом с л у ч а е ш а г т д о л ж е н б ы т ь б л и з ким к е д и н и ц е , в р е з у л ь т а т е чего с к о р о с т ь сходимости и т е р а ц и й б л и з к а к скорости сходимости метода Н ь ю т о н а . В то ж е в р е м я л е г к о в ы ч и с л и т ь к о э ф ф и ц и е н т ы и п р а в у ю часть у р а в н е н и я ( 3 . 3 ) , и с п о л ь з у я ф о р м у л ы д л я к о э ф ф и ц и е н т о в с п л а й н а S0(x, h)=znh(x). В самом деле, о б о з н а ч и м у зло вые т о ч к и сетки с ш а г о м h/2 через х». Тогда имеют место с о о т н о ш е н и я
X2i=Xi. 1 = 0, 1 /V, x2i+x = - — — — = Л\- + :Л.
/ = 0 , 1 N-1.
Р а с с м о т р и м п р е д с т а в л е н и я с п л а й н а S0 на сетке с шагом А и Л/2:
соответственно. И с п о л ь з у я ф о р м у л ы д л я a:j (см. [10) ) . л е г к о п о к а з а т ь , что
50 < т )( х2 10 = 5 о< т >( ^ ) , * = 0 , 1 iV, m = 0 , 1, 2,
50( x2, :h l) = [ af-I+ 2 3 ( a44 - a< + 1) + ai +2 ] / 4 8?
«V (S2f+i) = (-a,--, ~ 5 a , - + 5 ai +i + af + 2) / ( 8 A ) .
So" ) - (a«-, - a , - a , +4+ a ,+ 2) / ( 2 Л2) , * = 0 , 1, . . . , / V - l . 854.
Ч и с л о в о й п р и м е р . Р а с с м о т р и м з а д а ч у z"=2z'— z2+2u(u—2), u = e x p (х) sinx,
z ( 0 ) = 0 , z ( З я / 2 ) = - e x p ( З я / 2 ) ,
точное р е ш е н и е к о т о р о й е с т ь z*=u. Р е з у л ь т а т ы ч и с л е н н ы х р а с ч е т о в п р и в е д е н ы в т а б л . 1 и 2, в к о т о р ы х и с п о л ь з о в а н ы т а к и е о б о з н а ч е н и я :
е<->= m a x | ( z / - z * ) Г | , m = 0 , 1 , 2,
к — ч и с л о и т е р а ц и й , за которое в ы п о л н я л о с ь н е р а в е н с т в о (3.8) с £ = 1 0 ~7. Таблица 1
Параметры h •= Зл/80 h/2 /i/4 /1/8
г
0.1607-01 0.4241-02 0.1075-02 0.2696-03е' 0.4249-01 0.1108-01 0.2800-02 0.7020-03
е" 0.2846-00 0.7105-01 0.1776-01 0.4439-02
11ф
Ы\\с
К 5.0538 0.9079 0.2010 0.0485к 12 3 3 3
То 0 . 1 0 . 5 0 . 5 0 . 5
Таблица 2
X S (х, h/2) S (х, h /4) S (х, / 1/ 8 ) Z * (X)
0 0 0 0 0
0.942 2.076506 2.076283 2.076226 2.076207
1.885 6.261249 6.263097 6.263562 6.263717
2.827 5.227254 5.224088 5.223282 5.223013
3.770 —25.49622 —25.49598 —25.49592 —25.49590
4.712 —111.3178 —111.3178 —111.3178 —111.3178
И з т а б л и ц в и д н о , что ч и с л е н н ы й э к с п е р и м е н т п о д т в е р ж д а е т с п р а в е д л и в о с т ь с о о т н о ш е н и я (3.9) ( з а п и с ь п-Oi с о о т в е т с т в у е т п* 1 0 "1) .
Р а с с м а т р и в а е м ы й п р и м е р п о к а з ы в а е т , что у с л о в и е , с ф о р м у л и р о в а н н о е в т е о р е м е 2, в о о б щ е г о в о р я , м о ж е т б ы т ь о с л а б л е н о .
Список л и т е р а т у р ы
1. Гавурии М, К. Н е л и н е й н ы е ф у н к ц и о н а л ь н ы е у р а в н е н и я и н е п р е р ы в н ы е анало
ги и т е р а т и в н ы х м е т о д о в / / И з в . вузов. Математика. 1958. № 5. С. 1 8 - 3 1 . 2. Жидков В. П., Пузынин И. В. П р и м е н е н и е непрерывного аналога метода Ньюто
на д л я п р и б л и ж е н н о г о р е ш е н и я одной н е л и н е й н о й г р а н и ч н о й з а д а ч и / / Д о к л . АН СССР. 1968. Т. 180. № 1 С . 1 8 - 2 1 .
3. Гареев Ф. А., Гончаров С. Л., Жидков Е. П. и др. Ч и с л е н н ы е р е ш е н и я задач н а собственные з н а ч е н и я д л я и н т е г р о д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й в теории ядра // Ж . вычисл. матем. и матем. ф и з . 1977. Т. 17. № 2. С. 4 0 7 - 4 1 9 .
4. Пузынин И. В. П р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е к р а е в ы х з а д а ч д л я н е л и н е й н ы х обык
новенных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й второго п о р я д к а методом введения н е прерывного п а р а м е т р а : Д н е . ... к а н д . физ.-матем. н а у к . Дубна: ОИЯИ, 1969, 5. Ермаков В. В., Калиткин И. Н. О п т и м а л ь н ы й ш а г и р е г у л я р и з а ц и я метода Нью
тона IIЖ. вычисл. матем. и матем. ф и з . 1981. Т. 21. № 2. С. 4 9 1 - 4 9 7 .
855
6. Жанлав Т., Пузынин И. В. О м о д и ф и к а ц и и непрерывного аналога метода Ньюто
на: П р е п р и н т Р11-91-100. Дубна: ОИЯИ, 1991.
7. Треногий В. А. Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з . М.: Н а у к а , 1980.
8. Завьялов Ю. С, Квасов Б. П., Мирошниченко В. Л. Методы с п л а й н - ф у н к ц и й . М.: Н а у к а , 1980.
9. Lucas Т. В., Beddien G. W. Some collocation m e t h o d s for n o n l i n e a r b o u n d a r y va
l u e p r o b l e m s / / S I A M J. N u m e r . A n a l y s . 1972. V. 9. № 2. P. 341-356.
10. Жанлав Т. О представлении и н т е р п о л я ц и о н н ы х кубических сплайнов через В- с п л а й н ы / / В ы ч н с л . системы. Методы с п л а й н - ф у н к ц и й . Новосибирск: Ин-т ма
тем. СО АН СССР, 1981. Вып. 87. С. 3 - 1 0 .
Поступила в редакцию 26.06.91
856
