матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 11, 1895–1903

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. П. Головачёв, О численном моделировании сверхзвукового обтекания острых тел в локально-коническом приближении уравнений Навье–Стокса, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 11, 1895–1903

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:01:19

УДК 519.6:533.7

О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ОСТРЫХ ТЕЛ В ЛОКАЛЬНО-КОНИЧЕСКОМ

ПРИБЛИЖЕНИИ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

)

©1999 г

Ю, П. Головачёв

(194021 С.-Петербург, ул. Политехническая, 26, Физ.-техн. ин-т РАН) Поступила в редакцию 10.03.99 г.

П е р е р а б о т а н н ы й вариант 07.05.99 г.

Представлены результаты расчетов сверхзвуковых ламинарных и турбулентных течений около заостренных тел с некруговой формой поперечного сечения. Расчеты выполнены с ис­

пользованием локально-конического приближения системы уравнений Навье-Стокса. Ста­

ционарные решения получены методом установления с помощью неявной конечно-разност­

ной схемы постоянного направления. Анализируется точность численных решений уравне­

ний Навье-Стокса. Путем сравнения с результатами применения других математических моделей и данными экспериментов оцениваются точность и применимость локально-кониче­

ского приближения.

В В Е Д Е Н И Е

Изучение пространственных течений газа около заостренных тел имеет важное значение для решения задач сверхзвуковой аэродинамики. Поэтому такие исследования проводятся уже в те­

чение многих лет. Большинство имеющихся результатов относится к обтеканию круговых ко­

нусов. Для оптимизации аэродинамических характеристик представляет интерес т а к ж е изучение обтекания тел с некруговой формой поперечного сечения и криволинейной образующей. Н е к о ­ т о р ы е результаты теоретических и экспериментальных исследований обтекания таких тел при­

ведены в [1]—[10].

Важной особенностью сверхзвукового обтекания острых тел при достаточно больших углах атаки является отрыв поперечного течения, который приводит к образованию весьма сложной вихревой структуры в подветрённЬй области и оказывает существенное влияние на аэродинами­

ческие характеристики. Численное моделирование таких течений около гладких тел требует привлечения системы уравнений Н а в ь е - С т о к с а (см., например, [6]). В расчетах течений с боль­

шими числами Рейнольдса часто используются упрощенные уравнения Навье-Стокса, соответ­

ствующие модели тонкого слоя (см. [7]). Численные исследования пространственных стационар­

ных течений на основе уравнений Н а в ь е - С т о к с а проводятся путем решения трехмерной краевой задачи [11], [12], с использованием параболизованных уравнений [12], [13], в локально-коничес­

ком приближении [10]. С наименьшими затратами вычислительных ресурсов реализуется мето­

дика, основанная на применении локально-конического приближения. В рамках этого подхода находятся конические решения, соответствующие локальным геометрическим характеристи­

кам обтекаемого тела и локальному значению числа Рейнольдса Re = р ^ К д Д с , где х - расстоя­

ние от вершины тела вдоль его продольной оси. При получении конических решений предпола­

гается неизменность параметров газа на лучах, проведенных из вершины тела. В результате рас­

чет пространственного течения сводится к решению двумерной задачи в плоскости х = const.

В действительности, значения газодинамических функций остаются неизменными на лучах, ис­

ходящих из вершины тела, только в течениях невязкого газа около конических тел. Тем не ме­

нее, в локально-коническом приближении предполагается, что этим свойством обладают и те­

чения невязкого газа около тел более сложной ф о р м ы , и течения вязкого газа, описываемые си­

стемой уравнений Навье-Стокса.

В настоящей работе рассматривается несколько примеров применения локально-коническо­

го приближения к расчету стационарных ламинарных и турбулентных течений газа около заос-

Р а б о т а выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код п р о е к т а 99-01-00-735).

1895

1896 ГОЛОВАЧЁВ

тренных тел с различной формой поперечного сечения. Расчеты проводятся как с выделением, так и сквозным расчетом головной ударной волны. Стационарные решения находятся методом установления с помощью неявной конечно-разностной схемы постоянного направления. Анали­

зируется точность разностной схемы постоянного направления. Анализируется точность чис­

ленных решений уравнений Н а в ь е - С т о к с а и их зависимость от числа и расположения узлов сет­

ки. Локально-конические решения сравниваются с результатами применения других математи­

ческих моделей и данными экспериментов. Сравнения дают количественное представление о применимости локально-конического приближения для расчета пространственных сверхзвуко­

вых течений около заостренных тел различной ф о р м ы .

1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И

В локально-коническом приближении уравнения Н а в ь е - С т о к с а для безразмерных величин записываются аналогично [10] в виде

гдХ 1 д(^лдХ\ ^СЭ Х ^ Э Х тс А

dt pRednV дп) дп ds ^{4 7}

ЭХ ⁷ ЭХ ЭХ ^{л» гл ,л лч}

е-=г- + b-^- + с-^- + dX + i = 0. (1.2)

dt dn ds

Здесь s, п - ортогональные криволинейные координаты, связанные с контуром поперечного се­

чения тела; Х= {Тuw vр}^т- вектор-столбец искомых функций; Г,/?, р - температура, давление и плотность газа; и, v, w - составляющие вектора скорости по направлениям х, п⁹ s. Ч л е н ы урав­

нений Н а в ь е - С т о к с а с повторными производными по s и смешанными производными включены в элементы векторов F и f. В большинстве случаев расчетная область ограничивается головной ударной волной. П р и этом матричное уравнение (1.1) включает в себя уравнение баланса энер­

гии и уравнения для составляющих импульса в направлениях х, s, а матричное уравнение (1.2) - уравнение баланса импульса в проекции на п и уравнение неразрывности. П р и сквозном расчете головной ударной волны уравнение (1.1) содержит все три проекции уравнения баланса импуль­

са, а уравнение (1.2) сводится к уравнению неразрывности.

В расчетах используется физическая модель однородного совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей у = 1.4. К о э ф ф и ц и е н т вязкости вычисляется по формуле Сазерленда для воздуха, число Прандтля Рг = 0.72. При моделировании турбулентных течений используются осредненные по Рейнольдсу уравнения для средневзвешенных величин, к о т о р ы е имеют вид (1.1), (1.2) с э ф ф е к т и в н ы м и коэффициентами вязкости и теплопроводности. Турбулентная вяз­

кость рассчитывается по однопараметрической дифференциальной модели [14], показавшей лучшие результаты по сравнению с другими распространенными моделями турбулентности при расчетах отрывных течений [15]; турбулентное число Прандтля Рг/= 0.9.

Граничные условия для газодинамических функций формулируются следующим образом. Н а поверхности тела задаются нулевые значения всех компонент скорости и условие для темпера­

туры. Н а внешней границе используются соотношения Ренкина-Гюгонио, если эта граница сов­

мещается с головной ударной волной, или параметры набегающего потока, если эта граница на­

ходится в невозмущенной области. В рассматриваемых условиях поле течения остается стацио­

нарным и симметричным относительно плоскости, содержащей вектор скорости набегающего потока. Соответственно, граничные условия по окружной координате s даются соотношениями симметрии. При решении уравнения для турбулентной вязкости v^t ее значения на поверхности тела и внешней границе расчетной области принимаются равными, соответственно, нулю и зна­

чению в набегающем потоке. Здесь можно заметить, что согласно оценкам из [16] изменением коэффициента турбулентной вязкости в головном скачке уплотнения можно пренебречь.

2. Ч И С Л Е Н Н Ы Й М Е Т О Д

Стационарные решения находятся методом установления с помощью неявной конечно-раз­

ностной схемы постоянного направления, которая в основном совпадает с описанной в [7]. Урав­

нения (1.1) аппроксимируются на лучах s = s^t (i = 1, 2 , . . . , / ) в узлах п = rij (j - 2, 3 , / - 1), а урав­

нения (1.2) - в узлах п = rij_^m (j = 2, 3, J). Конвективные члены уравнений (1.1) аппроксими­

руются симметричными разностными формулами второго порядка точности. Применение их может приводить, как известно, к осцилляциям численного решения в окрестностях больших

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И т о м 39 № 11 1999

градиентов функций. Осцилляции устраняются сгущением сетки и введением искусственной дис­

сипации путем перехода в соответствующих участках расчетной области к односторонним раз­

ностным формулам первого порядка точности с учетом знаков собственных значений матрицы коэффициентов. Конечно-разностцая аппроксимация производных по s в конвективных членах уравнений осуществляется с использованием (±) расщепления матрицы коэффициентов анало­

гично методу из [10]. Ч л е н ы уравнений а повторными и смешанными производными аппрокси­

мируются симметричными формулами второго порядка точности. Расчет каждого шага по вре­

мени выполняется с применением последовательных приближений, в каждом из которых на лу­

чах s = s⁽ ( / = 1 , 2 , . . .,7) решаются векторной прогонкой линейные системы разностных уравнений с блочными трехдиагональными матрицами коэффициентов. При выделении головной ударной волны ее положение определяется одновременно с полем газодинамических функций в ударном слое. Соответствующая процедура подробно описана в [7]. При моделировании турбулентных течений уравнение для коэффициента турбулентной вязкости решается отдельно от уравнений для газодинамических функций с использованием тех ж е самых разностных аппроксимаций и скалярной прогонки.

Используемая разностная схема имеет второй порядок точности по пространственным коор­

динатам в областях с монотонным изменением функций. Сгущение сетки в окрестностях боль­

ших градиентов осуществляется с помощью преобразований координат, указанных в [7]. Лучи s = const сгущаются к заданной точке рассматриваемого интервала изменения этой координаты.

Размещение узлов на лучах проводится либо с помощью логарифмического преобразования по­

перечной координаты, сгущающего сетку к поверхности тела, либо с использованием вариаци­

онного принципа равномерного распределения погрешности дискретизации. Основная часть расчетов выполнена на сетке, содержащей 61 луч s = const при 101 узле на луче.

3. О Т О Ч Н О С Т И Ч И С Л Е Н Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й •

Вопрос о точности численных решений уравнений Н а в ь е - С т о к с а для сверхзвуковых течений привлекал внимание ряда исследователей [17]—[21]. До некоторой степени это объясняется тем, что в последние годы для решения уравнений Н а в ь е - С т о к с а стали широко применяться методы, в которых конвективный перенос аппроксимируется так же, как в методах сквозного счета для уравнений Эйлера, допускающих разрывные решения. Нефизические осцилляции, возникаю­

щие в окрестностях больших градиентов при использовании методов второго или более высоко­

го порядка точности, устраняются введением искусственной диссипации. В наиболее распрост­

раненных схемах такого типа искусственная диссипация вводится нелинейным образом с помо­

щ ь ю ограничителей потоков через грани расчетных ячеек [22]. При использовании таких способов вычисления конвективного переноса в уравнениях Н а в ь е - С т о к с а следует иметь в виду, во-первых, что в отличие от модели невязкого газа решения уравнений Навье-Стокса остаются непрерывными и при наличии ударных волн и, во-вторых, что эти решения должны адекватно воспроизводить структуру таких областей больших градиентов как пристеночные пограничные слои и слои смешения. В этих областях искусственная диссипация может приводить к неприем­

лемой потере точности, что подтверждается на ряде примеров результатами из [17]-[20], где об­

наружена существенная зависимость получаемых значений теплового потока на поверхности тела, напряжения трения и некоторых других характеристик обтекания от способа определения вычислительных потоков на гранях я^еек и применяемого ограничителя потоков.

Наиболее близок к предмету настоящего исследования рассмотренный в [17] пример осесим- метричного сверхзвукового обтекания кругового конуса. В локально-коническом приближении расчет этого течения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравне­

ний. Численные решения уравнений Н а в ь е - С т о к с а были получены в [17] с использованием не­

скольких распространенных способов вычисления конвективного переноса. Расчеты проводи­

лись для ламинарного режима обтекания при следующих условиях: угол полураствора конуса 0^С = 10°, число Маха набегающего потока М^ = 7.95, число Рейнольдса Re = 0.42 х 10⁶. Точность численных решений оценивалась по профилям газодинамических функций и значению темпера­

туры теплоизолированной поверхности конуса.

Указанная задача используется для оценки точности численных решений уравнений Н а в ь е - Стокса по схеме, изложенной в предыдущем разделе. При этом результаты для нулевого угла атаки были получены по программе расчета пространственного обтекания. Они сравниваются с наиболее точными из результатов в [17].

1898 ГОЛОВАЧЁВ

432PQo.ao р __Q_ Q ^ - r ^ _ ^ ,

e - e^c( ° >

Н а фиг. 1 представлены профили темпе­

ратуры. Результаты нашего расчета нане­

сены сплошной линией, результаты из [17] - кружочками. Оба расчета выполнены на неравномерных сетках с примерно одина­

ковым количеством узлов. Можно видеть хорошее совпадение результатов в боль­

шей части ударного слоя. Незначительное занижение температуры стенки в нашем расчете объясняется тем, что в отличие от [17] узлы сетки сгущались не только к по­

верхности тела, но и в области головной ударной волны. При этом, как видно, обес­

печивается лучшее разрешение этой облас­

ти. Следует заметить также, что наше ре­

шение не имеет нефизических осцилляции, несмотря на использование неконсерватив­

ной ф о р м ы уравнений Н а в ь е - С т о к с а . Для иллюстрации влияния сгущения сетки щтрихпунктирной линией изображен про­

ф и л ь температуры, рассчитанный на рав­

номерной сетке с тем ж е количеством узлов 7 = 5 1 .

Н а фиг. 2 , 3 представлены результаты наших расчетов, выполненных с выделением головной ударной волны. Здесь точность численных решений оценивается по значению температуры теп­

лоизолированной поверхности конуса T^w. Н а фиг. 2 показана зависимость этой величины от ко­

личества узлов сетки в пограничном слое. Сплошная линия соответствует расчетам с использо­

ванием для конвективных членов уравнений (1.1) симметричных разностных формул второго порядка точности. Крестиками нанесены результаты, полученные с применением односторон­

них формул первого порядка точности в областях немонотонности численного решения. Штрих- пунктирной прямой показано значение температуры, соответствующее теории пограничного слоя [23]. И з представленных результатов видно, в частности, что применение односторонних формул во всяком случае не снижает точности численного решения в пристеночной части удар­

ного слоя по сравнению с симметричной аппроксимацией конвективных членов.

Н а фиг, 3 показана зависимость температуры T^w от числа Рейнольдса при указанных в ы ш е значениях остальных параметров обтекания. Кривыми 7,2 изображены результаты расчетов на сетках, содержащих, соответственно, 100 и 50 узлов между поверхностью тела и головной удар­

ной волной. Штрихпунктирная прямая, как и на предыдущей фигуре, соответствует теории по­

граничного слоя. М о ж н о видеть, что при Re ~ 10^ расчет дает температуру T^wi совпадающую с погранслойным значением. Отклонение от него при меньших числах Рейнольдса объясняется

Фиг. 1.

TJT, 12.5,

10.0

7.5 10 20

Фиг. 2.

30 N

Фиг. 3.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 11 1999

погрешностью теории пограничного слоя, а при больших - недостаточной разрешающей способностью сетки. Последнее подтвержда­

ется сравнением кривых 7 и 2.

C^D, К 1.

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6 10

Фиг. 4.

12 14 16 а 4. П Р И М Е Р Ы Р А С Ч Е Т О В

П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х Т Е Ч Е Н И Й Рассматриваемые примеры имеют своей основной целью оценку применимости ло­

кально-конического приближения; системы уравнений Навье-Стокса. Для этого резуль­

т а т ы расчетов в локально-коническом при­

ближении сравниваются с результатами при­

менения других математических моделей и данными экспериментов. Для случая обтека­

ния круговых конусов такие сравнения мож­

но найти в [7], [11], [13], [24]. НижЬ рассмат­

риваются результаты для тел с нёкруговой формой поперечного сечения.

Н а фиг. 4 представлено сравнение рассчи­

танных аэродинамических характеристик эл­

липтического конуса с экспериментальными данными из [8]. Здесь отношение осей эллип­

са а/Ь = 1.667, максимальный угол между об­

разующей и продольной осью конуса а^т - 15°, число Маха М^{т о} = 12.5, число Рейнольдса, вычис­

ленное по длине конуса Re = 0.18 x l O⁶, температура поверхности T^w = 0,3Г*, где 7¹* - температура торможения набегающего потока. Н а фиг. 4 показано изменение коэффициента сопротивления C^D и аэродинамического качества К в зависимости от угла атаки а. Треугольниками и кружоч­

ками нанесены результаты измерений этих величин. Штриховые и сплошные линии изобража­

ют результаты решения уравнений Н а в ь е - С т о к с а в рамках конического и локально-коническо­

го приближений соответственно. Во втором случае при определении аэродинамических харак­

теристик тела длиной L его боковая поверхность разбивается на несколько участков плоскостями х = х^п, п = 1, 2 , . . . , N; x^N = L. Поверхностные интегралы для каждого участка вычис­

ляются по результатам своего конического решения при числе Рейнольдса, соответствующем длине х^п. В рассматриваемом случае расчеты проводились для трех Поперечных сечений тела.

Дальнейшее увеличение числа расчетных сечений не оказывает влияния на значения аэродина­

мических коэффициентов. Коническое приближение соответствует значению 7V= 1. Н а фиг. 4 можно видеть, во-первых, хорошее совпадение с данными экспериментов и, во-вторых, сущест­

венное уточнение результатов при использовании локально-конического приближения.

В качестве следующего примера рассматривается пространственное сверхзвуковое обтека­

ние тела, нижняя часть которого представляет собой острый эллиптический конус с отношени­

ем осей эллипса alb = 4 и максимальным углом между образующей и продольной осью а^т = 20°.

Контур верхней части поперечного сечения тела описывается уравнением эллипса, у которого длина малой оси b постепенно увеличивается от а/4 до а/2. Н а фиг. 5,6 представлены некоторые результаты расчетов ламинарного и турбулентного обтекания такого тела при М^ = 3.5, T^w -

= 0.38Т*, а = 10°. Фиг. 5 соответствует ламинарному обтеканию при Re = 10⁶. Здесь изображены в сферических координатах (9, ф) векторные линии поля скорости на сферической поверхности радиуса х с центром в вершине тела. Н а увеличенных фрагментах расчетной области можно ви­

деть линию растекания в окрестности передней кромки тела и наличие отрывного течения в под­

ветренной части ударного слоя. На фиг. 6 в конических координатах (y/jc, z/x) изображены голов­

ная ударная волна, изолинии плотности газа (фиг. 6а) и числа Маха (фиг. 66) на указанной в ы ш е сферической поверхности для турбулентного режима обтекания при Re = 2.5 х 10⁶. З н а ч е н и я плотности отнесены к плотности невозмущенного потока р^. Число Маха вычислено по состав­

ляющей вектора скорости, касательной к поверхности сферы. Н а фиг; 66 можно видеть наличие в ударном слое замкнутой сверхзвуковой области. Анализ поля скорости и распределения к о э ф ­ фициента трения по поверхности тела показывает отсутствие поперечного отрыва потока в э т о м с л у ч а е .

Следующим примером является сверхзвуковое обтекание тела минимального сопротивления [25], форма носовой части которого в плане показана в правой верхней части фиг. 7а. Попереч­

ные сечения этого тела представляют собой эллипсы с отношением осей а/b = 3. Условия обте­

кания соответствуют числу Маха М^ = 2.5 и числу Рейнольдса Re = 4.66 х 10⁶, вычисленному по длине тела L. Численные исследования обтекания рассматриваемого тела при указанных усло­

виях проводились в [5], [9], [12]. Н а фиг. 7 представлено сравнение рассчитанного нами распре­

деления коэффициента давления с результатами расчетов из [12] и экспериментальными данны­

ми из [5]. Здесь ф - угол между лучом, проведенным из центра поперечного сечения в заданную точку на поверхности тела, и плоскостью симметрии, содержащей вектор скорости набегающе­

го потока. Внешняя граница расчетной области в этих расчетах размещалась в невозмущенном набегающем потоке. В [12] использовались упрощенные уравнения Навье-Стокса, соответству-

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И т о м 39 Х° 11 1999

1902 ГОЛОВАЧЁВ

ющие модели тонкого слоя. Численные решения были найдены методом глобальных итераций и с помощью маршевой схемы с регуляризацией начально-краевой задачи в дозвуковой области.

Оба эти метода дали совпадающие результаты, к о т о р ы е для сечения x/L = 0.175 при угле атаки а = 10° показаны на фиг. 7а штриховой линией. Наиболее вероятной причиной значительного расхождения с результатами применения локально-конического приближения (сплошная линия) является э ф ф е к т продольной кривизны обтекаемой поверхности, к о т о р ы й не учитывается в ло­

кально-коническом приближении. Результаты, приведенные на фиг. 76, соответствуют сечению x/L = 0.1 при угле атаки ос = 20°. Кружочками нанесены экспериментальные данные из [5]. Рас­

хождения имеют такой ж е характер, как и с численными решениями из [12].

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

Представленный анализ точности конечно-разностной схемы интегрирования уравнений На­

вье-Стокса указывает на возможность ее использования в расчетах сложных течений вязкого сжимаемого газа. П р и м е р ы расчетов свидетельствуют о том, что область применимости локаль­

но-конического приближения несколько шире формальных пределов, определяемых характе­

ром изменения толщины пограничного слоя, возможностью поперечного отрыва потока, влия­

нием числа Рейнольдса, формой обтекаемой поверхности.

А в т о р в ы р а ж а е т благодарность Н.В^Г Леонтьевой и В.А. Мазуркевичу за помощь в проведе­

нии расчетов.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Швец AM. Исследование обтекания эллиптических конусов // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа.

1966. № 1.С. 130-137.

2. Базжин А.П., Трусова О.П., Челышева Н.Ф. Расчет течений совершенного газа около эллиптических конусов при больших углах атаки // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1968. № 10. С. 45-51.

3. Башкин В.А. Исследование теплообмена на острых эллиптических конусах в сверхзвуковом потоке при больших углах атаки // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1969. № 1. С. 84-88.

4. Иванов М.Я., Крайко А.Н. К расчету сверхзвукового обтекания конических тел // Ж. вычисл. матем.

и матем. физ. 1973. Т. 13. № 6. С. 1557-1572.

5. Allen J.M., Pittman J.L. Analysis of surface pressure distributions on two elliptic missile bodies // J. Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. № 6. P. 528-533.

6. Newsome R.W. Euler and Navier-Stokes solutions for flow over a conical delta wing // AIAA J. 1984. V. 24. № 4.

P. 552-561.

7. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. М.: Физматгиз, 1996.

8. Горенбух П.И., Королев А.С, Провошоров В.П. Аэродинамические характеристики острых эллипти­

ческих конусов в вязком гиперзвуковом потоке // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1996. № 3. С. 109- 114.

9. Sinha Р.К., Sharma R.K., Nagarathinam М. Computation of supersonic flow past elliptical bodies // Proc. 7th In- ternat. Symp. on Comput. Fluid Dynamics. 1997. P. 744-749.

10. Головачёв Ю.П., Леонтьева H.B. Численное исследование сверхзвукового обтекания острых эллипти­

ческих конусов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 3. С. 534-542.

11. Hankey W.L., Graham J.E., Shang J.S. Navier-Stokes solution of a slender body of revolution at incidence //

AIAA J. 1982. V. 20. № 6. P. 776-781.

12. Newsome R.W., Walters R.W., Thomas J.L. An efficient iteration strategy for upwind/relaxation solutions to the thin-layer Navier-Stokes equations: AIAA Paper, № 87-1113, 1987.

13. Lawrence S.L., Chaussee D.S., Tannehill J.C. Application of an upwind algorithm to the three-dimensional parabolized Navier-Stokes equations: AIAA Paper, № 87-1112, 1987.

14. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows: AIAA Paper, № 92-0439, 1992.

15. Shur M. et al. Comparative numerical testing of one- and two-equation turbulence models for flows with separa­

tion and reattachment: AIAA Paper, № 95-0863, 1995.

16. Секундов А.Н. Турбулентность в сверхзвуковом потоке и ее взаимодействие с ударной волной // Изв.

РАН. Механ. жидкости и газа. 1974. № 2. С. 166-172.

17. Van Leer В., Thomas J.L., Roe PL., Newsome R.W. A comparison of numerical flux formulas for the Euler and Navier-Stokes equations: AIAA Paper, № 87-1104, 1987.

18. Hanel D., Schwane R., Seider G. On the accuracy of upwind schemes for the solution of the Navier-Stokes equa­

tions: AIAA Paper, № 87-1105, 1987.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И т о м 39 № 11 1999

19. Hoffmann К.А., Papadakis М., Suzen Y.B. Comparative analysis of Navier-Stokes solvers for high speed flows //

CFD Journal. 1995. V. 4. № 3. P. 333-352.

20. Gaitonde D., Shang J.S. Accuracy of flux-split algorithms in high-speed viscous flows // AIAA J. 1993. V. 31.

№ 7 . P. 1215-1221.

21. Минайлос А.Н. Точность численных решений уравнений Навье-Стокса //;Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 1998. Т. 38. № 7. С. 1220-1232.

22. Hirsch С. Numerical computation of internal and external flows. Vol. 2. New York: J. Wiley and Sons, 1988.

23. ЛойцянскийЛ.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

24. Головачев Ю.П., Леонтьева Н.В. Численное исследование поперечного отрыва в пространственных сверхзвуковых течениях около круговых конусов // Ж. техн. физ. 1998. Т. 68. № 10. С. 20-26.

25. Adams М.С. Determination of shapes of boattail bodies of revolution for minimum wave drag: NACA TN,

№3054, 1953.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И т о м 39