Н. Б. Медведева, Главный член асимптотики преобразования монодромии: вы- числение по диаграмме Ньютона, Труды МИАН, 1997, том 213, 226–238

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. Б. Медведева, Главный член асимптотики преобразования монодромии: вы- числение по диаграмме Ньютона, Труды МИАН, 1997, том 213, 226–238

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 11:13:42

УДК 517.9

Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по диаграмме Ньютона

©1997 г. Н. Б. Медведева

В настоящей работе получено достаточное условие фокуса для сложной монодромной осо­

бой точки векторного поля на плоскости, удовлетворяющего некоторым условиям "типично­

с т и " в пространстве векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона.

Известно [1, 2], ч т о преобразование монодромии монодромной особой точки векторного по­

ля на плоскости имеет линейный главный член. В [3, 4] вычислен коэффициент при главном члене а с и м п т о т и к и преобразования монодромии монодромной особой точки т а к называемого Г-невырожденного векторного поля. Он выражается через коэффициенты Тейлора главной части векторного поля, определяемой с помощью д и а г р а м м ы Ньютона. Если логарифм упо­

мянутого коэффициента отличен о т нуля, то особая точка является фокусом. Множество Г-невырожденных ростков векторных полей является о т к р ы т ы м и всюду плотным в про­

с т р а н с т в е всех векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона. В настоящей с т а т ь е доказывается теорема, обобщающая результат работ [3, 4] для более широкого множества т а к называемых слабо-Г-невырожденных ростков векторных полей, для которых допускают­

ся дополнительные по сравнению с Г-невырожденными ростками вырождения на вершинах д и а г р а м м ы Ньютона. Коэффициент при главном члене преобразования монодромии предста­

вляется в виде линейной комбинации интегралов от рациональных функций; коэффициенты линейной комбинации и подынтегральные функции вычисляются по главной части векторного поля.

Д л я того ч т о б ы д а т ь точную формулировку основного р е з у л ь т а т а , необходимо напомнить некоторые определения, связанные с диаграммой Ньютона. Рассмотрим росток аналитиче­

ского векторного поля в точке нуль на плоскости. Запишем его в виде

Здесь функции X и Y делятся на у и х соответственно.

Векторное поле (1) определяет динамическую систему, которую нам будет удобно записы­

в а т ь в виде

Поступило в декабре 1995 г.

В В Е Д Е Н И Е

(1)

ух = Х{х,у) ху = Y{x,y). (2)

О п р е д е л е н и я . 1. П у с т ь

Ч а с т и ч н о п о д д е р ж а н о М е ж д у н а р о д н ы м н а у ч н ы м ф о н д о м ( г р а н т М 9 8 0 0 0 ) .

226

— разложение Тейлора правой части системы (2). Носителем системы (2), а т а к ж е векторного поля (1) называется множество т а к и х пар что (öij,btj) Ф ( 0 , 0 ) . Вектор (ciij^bij) называ­

ется векторным коэффициентом точки Показателем точки (i,j) называется величина bij/aij, если üij ф 0,

оо, если at J = 0.

2. Диаграммой Ньютона векторного поля (1) называется объединение всех отрезков, ле­

ж а щ и х на границе выпуклой оболочки множества

U {(••.*) + *+}.

где R+ — положительный к в а д р а н т , точки (i, j ) принадлежат носителю. Э т и отрезки назы­

ваются ребрами д и а г р а м м ы Ньютона, а их концы — ее вершинами,

3. Показателем ребра д и а г р а м м ы Ньютона называется положительное рациональное чи­

сло, равное тангенсу у г л а между ребром и осью ординат.

Д л я ребра с показателем а д и а г р а м м ы Ньютона векторного поля (1) определим полино­

мы Х^а, Y^a и F^a следующим образом. Рассмотрим систему, правая ч а с т ь которой является суммой всех векторных мономов тейлоровского разложения правой части системы (2), д л я которых пара (г, j) принадлежит рассматриваемому ребру. Правую ч а с т ь этой системы обо­

значим (Х,У).

Пусть а = т/п — несократимая дробь. Т а к как ребро с показателем а л е ж и т на некоторой прямой ni + mj = d, d > 0, т о X и У с у т ь квазиоднородные полиномы степени d с весами п и m переменных х и у соответственно. Заметим, что полиномы X и У делятся на хруя, где р и q — расстояния о т рассматриваемого ребра до осей ординат и абсцисс соответственно.

Ч а с т н ы е о т деления функций X и У на xpyq обозначим Ха и Ya. Положим F* — Ya — аХа. Известно, ч т о д л я любого квазиоднородного полинома R(x,y) с весами пит переменных х и у справедливо разложение

R(x,y) = Ax«y»l[{yⁿ-biXm)ki, i

где bi — различные ненулевые комплексные числа, к{ > 1, S{ > 0.

О п р е д е л е н и е . Множитель вида у^п — 6^гж^ш, Ь^г- ф 0, называется простым множителем полинома Д ( ж , у ) , число ^ н а з ы в а е т с я кратностью этого простого множителя.

О п р е д е л е н и е . Векторное поле (росток) с диаграммой Ньютона Г называется слабо-Г- невырожденным, если все полиномы F^a(x,y) не имеют простых множителей кратности боль­

ше единицы.

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть имеется векторное поле с диаграммой Ньютона Г и моно­

дромной особой тачкой ( 0 , 0 ) . Тогда для любого ребра диаграммы Ньютона Г существует точка носителя, лежащая на данном ребре, показатель которой отличен от показателя данного ребра.

Предложение 1 доказано в п. 1.2.

Пусть а и а — показатели двух соседних ребер д и а г р а м м ы Ньютона, a ß — показатель их общей вершины. Занумеруем целочисленные точки на ребре с показателем а , считая вершину,

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

с показателем ß нулевой. Согласно предложению 1 существует точка носителя, принадлежа­

щая этому ребру, показатель которой отличен от а. Пусть ближайшая к рассматриваемой вершине точка носителя, обладающая таким свойством, имеет номер kß. Аналогично, пере­

нумеровывая целочисленные точки на ребре с показателем à и считая вершину с показателем ß нулевой, определим номер kß.

З а м е ч а н и е 1 . Если ß ф а , ß ф а, то kß — kß — 0. Если ß — а , то ß ф а, kß > 0, kß — 0;

если ß — а, т о ß ф а , kß — 0, kß > 0.

Положим

' (ß-ä)/(ß-a), если ßф а , ß ф а;

7ß = { kßn^a(a — а ) , если ß = а;

{крПа(а - а ) )- 1, если /? = а . Здесь — знаменатель несократимой дроби, равной а(а).

Занумеруем ребра и вершины д и а г р а м м ы Ньютона в порядке следования от оси ординат к оси абсцисс. П у с т ь a i , . . . , адг — показатели ребер, ßo,..., /Здг — показатели вершин; положим 7i = Jßi, г = l , . . . , i V - 1.

Д л я ребра с номером i определим метку ребра га,- следующим образом:

mi = 0, m^{l +}i = т^г + <

Далее положим га = m a x га,-.

г=1,...,ЛГ

0, если (ßi - oti)(ßi - oii+i) ф 0, - 1 , если ßi - at +i = 0,

1, если ßi — ai = 0.

Т е о р е м а . Пусть V — слабо-Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой нуль. Тогда при подходящем выборе трансверсали и, быть может, после обращения времени преобразование монодромии векторного поля V имеет вид р —» ср(1 + о(1)) при р -> 0, где

l n c = 2 > d^t-v.p. / ^^v \ ^{} ч} ;

суммирование ведется по тем ребрам, которые имеют максимальную метку;

Г 1, если га^г- 7^ га, ra,+i 7^ m;

öi+i = di : x \

{ л в противоположном случае.

Все и н т е г р а л ы в сумме, определяющей величину In с, конечны, как следует из следующего предложения, доказанного в п. 3.3.

П р е д л о ж е н и е 2 .

+оо -foo

" ' - Yai(l,v)dv

f Xai(l,v)dv f

V'P- J vF«{l,v) = V'P- J

причем если ребро с показателем а имеет метку га, то оба главных значения конечны.

А в т о р благодарит Ю . С Ильяшенко за постановку задачи и внимание к работе, а т а к ж е С М . Воронина за полезные замечания.

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

1. Р А З Б И Е Н И Е О К Р Е С Т Н О С Т И НАЧАЛА К О О Р Д И Н А Т .НА С Е К Т О Р Ы

1 . 1 . С х е м а и с с л е д о в а н и я . Для исследования сложной монодромной особой точки мы ис­

пользуем одну из модификаций метода раздутия особенностей, связанную с диаграммой Нью­

тона. О к р е с т н о с т ь начала координат разбивается на секторы, соответствующие ребрам и вер­

шинам д и а г р а м м ы Ньютона векторного поля. В каждом секторе делается своя степенная заме­

на переменных, которая превращает исходное векторное поле в векторное поле с элементарны­

ми особыми точками. В с т а т ь е [3] э т о т метод применяется к исследованию Г-невырожденного векторного поля. Разница между Г-невырожденным и слабо-Г-невырожденным векторными полями состоит в том, что после степенной замены переменных в секторе, соответствую­

щем вершине д и а г р а м м ы Ньютона, вместо невырожденной особой точки, как в случае Г- невырожденного векторного поля, может появиться вырожденная элементарная особая точка.

1.2. С е к т о р ы , с о о т в е т с т в у ю щ и е р е б р а м и в е р ш и н а м д и а г р а м м ы Н ь ю т о н а . Рассмотрим векторное поле V с диаграммой Ньютона Г. Ребру д и а г р а м м ы Ньютона с пока­

зателем а поставим в соответствие криволинейный сектор

S^a = ^ех^а < у < j , если а ф адг,

SaN = {О < У < -Х«», X > О}.

е

Верхней вершине д и а г р а м м ы Ньютона ставится в соответствие сектор

S0 = {-x** < у, х > О}.

П у с т ь теперь а и а — показатели ребер, примыкающих к вершине с показателем /3, а = m / n , а = т/п — несократимые дроби. Между секторами S^a и Sa имеется "зазор" в виде криволинейного сектора, который мы обозначим S^à и поставим в соответствие рассма­

триваемой вершине. Легко видеть, что

Sa& = {^x& <у<еха],

В секторе S^aà сделаем замену переменных

x = uⁿv^nu, y=u^mv^n7h. (3)

Под действием этой замены сектор S^aâ превращается в прямоугольник P*â = {0 < и < e^v, 0 < v < е^в),

где 7] = 1/(п(а—а)), в = rj/n, причем верхняя граница сектора S^aôt переходит в отрезок v = е^в', а нижняя — в отрезок и = e^v.

О б о з н а ч е н и е . Через о^(1) обозначим функцию от ж € Дп, которая стремится к 0 при х —> 0 , через о|(1) обозначим функцию, которая является </(1) при фиксированном s G R^m.

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т . 213

П р е д л о ж е н и е 3 . Замена переменных (3) в секторе Saà с последующим делением на под- ходящие степени и и v превращает векторное поле V с диаграммой Ньютона Г и монодром­

ной особой точкой (0,0) в векторное поле V^aà, определенное в окрестности прямоугольника Paon которое задает систему уравнений

й = Au^x+~^kß^r(l + о^и(1)) + uv(Ä + o^u'^v( l ) ) ,

(⁴) v = Bv^kßnr(l + ov(l)) + uv(B + ow'v( l ) ) ,

где А = — ^(b — ää), В = \(b — aa), r = nrh — mn, (a, b) ((a, b) соответственно) — векторный коэффициент точки носителя, лежащей на ребре с показателем а (а соответственно) и имеющей от вершины номер kß (kß соответственно); числа kß и kß определены во введении для данной вершины диаграммы Ньютона.

З а м е ч а н и е 2 . К а к было отмечено ранее (замечание 1), по крайней мере одно из чисел kß и kß равно 0. Если, например, kß = 0, то (a, Ь) — векторный коэффициент рассматрива­

емой вершины. Число В в этом случае равно собственному значению Àv, соответствующему сепаратрисе и = 0. Аналогичное замечание относится и к случаю kß = 0. Т а к и м образом если (ß - a)(ß - а) ф 0, т о kß — kß = 0 и (и, v) = (0,0) — невырожденная особая точка с собственными значениями Ли = —j{b — â a ) , Xv = }(b — a a ) , где (a, b) = (a, b) — вектор­

ный коэффициент вершины с показателем ß. Если ß — а = 0, то kß > 0, kß = 0 и (w, v) —

— (0,0) — вырожденная элементарная особая точка с центральным многообразием на оси v.

Если ß — а = 0, т о kß = 0, kß > 0 и (и, v) — (0,0) — вырожденная элементарная особая точка с центральным многообразием на оси и.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действие степенной замены вида (3) на векторное поле V определя­

ется матрицей показателей

ç _ ( п пп \

I

Простое вычисление показывает (см. т а к ж е [5] и [3]), что носитель векторного поля Vach по­

лученного из V степенной заменой с матрицей С и последующим умножением на подходящие степени переменных, является образом носителя поля V под действием линейного отображе­

ния с матрицей Сг; векторный коэффициент точки носителя этого векторного поля является образом векторного коэффициента ее прообраза под действием отображения С- 1.

Под действием отображения С*, где С — написанная выше м а т р и ц а , соответствующая степенной замене (3), ребро с показателем a переходит в вертикальный отрезок, а ребро с показателем а — в горизонтальный. Делением на подходящие степени и и v всю картинку можно с д в и н у т ь в точку (1,1) (рис. 1). Расстояние между точками носителя на горизонталь­

ном отрезке равно г = пт — тп, а на вертикальном — n r . Осталось в ы п и с а т ь общий вид векторного поля с носителем, изображенным на рис. 1, и с коэффициентами, определяемыми по формуле

с

U И ^hé

V / \ -{d-ас) )

Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т . 213

1

Р и с . 1

и получить формулу (4). Предложение 3 доказано.

В секторе S^Œ делается замена переменных

x = zn1 у = zrnw,

которая превращает сектор 5^а, пересеченный с некоторой окрестностью нуля, в прямоуголь­

ник Ра = {s < w < 0 < z < a } , a исходную систему — в систему wz = -[w^qX^a(l, w) + zwX*(z, w)},

n

zw = z[w^qF^a(l, w) + zF*(z, w)]

(CM. [3, n. 4.3, 4.4]); здесь q — расстояние от ребра с показателем а до оси абсцисс, X* и F* — аналитические функции в окрестности полуоси z = 0, w > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о п р е д л о ж е н и я 1. Если его утверждение неверно для ребра с показа­

телем а, т о многочлен F^a = 0; при этом Х^а ф 0 тождественно. Поделим в этом случае последнюю систему на z. Получим систему, у которой траектории в прямоугольнике Ра, про­

ходящие через почти все точки оси w, трансверсальны этой оси. Образы э т и х траекторий при обратном отображении являются траекториями исходной системы, входящими в нуль с определенной касательной, ч т о противоречит монодромности особой точки. Предложение 1 тем самым доказано.

2. О Т О Б Р А Ж Е Н И Я С О О Т В Е Т С Т В И Я Д Л Я С Е К Т О Р А Баа

Пусть векторное поле V имеет диаграмму Ньютона Г и монодромную особую точку ( 0 , 0 ) . Обозначим через S отображение соответствия вдоль фазовых кривых векторного поля V, ко­

торое переводит верхнюю границу сектора Saâ в нижнюю. В качестве п а р а м е т р а на э т и х границах возьмем координату х.

П р е д л о ж е н и е 4 [3]. Пусть (ß - a)(ß - а) ф 0. Тогда

6(x) = e"xl(l + o4l))(l + ol(l)), (5)

8-\х) = е-^хЧ1 + ое( 1 ) ) ( 1 + of (1)), (6)

где 7 = > 0, ß — показатель вершины, к которой примыкают ребра с показателями а и а, и —вещественное число, зависящее только от а, а, и ß.

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

/ о ( а ; ) =

\ о , * = 0.

П р е д л о ж е н и е 5 . Пусть ß — а — 0. Тогда

Г 1 (ж) = / о о Л(а:), где ад = С ^ ( 1 + о£( 1 ) ) ( 1 + of (1)), (7) -у = крп(а — а ) , число С > 0 зависит только от s, у и частного А/В, где А и В — W3

формулы (4).

П р е д л о ж е н и е 6. Пусть ß — à = 0. Тогда

S(x) = fooh(x), где h(x) = C s * ( l + o£( l ) ) ( l + of (1)), (8)

~ = kßü(ä — a), число С > 0 зависит только от А/В, е и 7.

Докажем предложение 6. Предложение 5 доказывается аналогично.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предложению 3 и замечанию 2 в случае ß — ot = 0 векторное поле з а д а е т систему (4), где kß = 0, kß > 0, Л = — j(b — â a ) , ß = \(b — аа).

Р а с с м о т р и м прямоугольник { ( и , и ) : 0 < u < a, CL < и < г } и вычислим отображение соот­

ветствия вдоль фазовых кривых поля (4), отображающее сторону v = г в сторону и — а. На трансверсали v = г рассмотрим параметр а на трансверсали и — а — п а р а м е т р и.

Согласно [1, с. 88] система (4) С°°-гладко орбитально эквивалентна своей нормальной форме

Ü = ül+p + ай1+2р, v = —v,

где р = kßr — kßnn(ä — а), а € R.

П у с т ь H:(R²,0) —» ( Д², 0 ) — сопрягающий диффеоморфизм, H = (Н\,Н²). Т а к как H о с т а в л я е т координатные оси на месте, то

и = Нг(и,у) = сги{1 + ow'v( l ) ) , v = Н2(и, v) = c2v{l + ou'v( l ) ) , где положительные числа с\ и с2 зависят только от отношения А/В.

Время, за которое фазовая кривая нормализованного векторного поля с началом в точке Н(и,т) приходит в точку #(<т, и), равно

# 2 (<7,v) Hl (<J,v)

_ f dv f du f - = f -

# 2 K O tfiKr)

Вычисляя и н т е г р а л ы , получим

H2(a,v) 1 1 a / 1 \ - l n — 7 7 = - - — + - l n — + a)

H2(U,T) pu? p \vP / Я ! (er,«) Hi (*,т)"

П у с т ь /о — г л а д к а я функция, определяемая равенством

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

Р е з у л ь т а т о т деления минус единицы на первообразную из правой части равенства обо­

значим h(ü). Т о г д а h(ü) = рй^р(1 + о"(1)).

З а м е т и м , ч т о

Нг(и,т) = ^{C l}« ( l + o^u'^T( l ) ) Н²{и,т) = с²г ( 1 + о"-^т(1)) Подставим эти выражения в равенство

, Я²(<г,р)

Н²(щт)

учитывая, ч т о v = о "^т( 1 ) . Получим

v = f⁰oh(u), где h(u) = C*u^p(l + o°'^T(l))(l + ol^T{l)), (9)

где число С* > О зависит только от А/В, er, т и р = крпп(а — а).

Напомним, ч т о для прямоугольника P^aâ, в котором определено векторное поле V^aà, а и т равны а = е¹*, т = е^в, где т? = ^п^ -^а) > ⁰ = * ? /^й-

Выразим теперь параметры и и и через х. Параметр х на нижней границе сектора S^aâ обозначим £. Из формул (3) имеем ж = uⁿvⁿⁿ. Отсюда при v — т = е*¹ получаем, что и = x¹/ⁿe^{n T Ï} на верхней границе сектора 5^aâ - При и = а — е^в получаем, ч т о v — £^е^в на нижней границе сектора. Поставим выражения для и ж v в формулы (9). Получим

f = 6(х) = f⁰oh(x),

где = Ca?» (1 + о^е( 1 ) ) ( 1 + of (1)) = СхЦ1 + о^е( 1 ) ) ( 1 + of (1)), ^ = jfe^n(d - а ) , величина С > О зависит только о т А / В , е и 7. Предложение доказано.

3. К О М П О З И Ц И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й С О О Т В Е Т С Т В И Я

3 . 1 . О т р а ж е н н ы е в е к т о р н ы е п о л я . Описанное в разд. 1 расщепление особенности с помощью степенных замен переменных производится только в первом к в а д р а н т е плоскости (ж, у). Ч т о б ы исследовать векторное поле V в полной окрестности нуля, поступим следую­

щим образом: сложим окрестность исходной особой точки по координатным осям в 4 раза и поместим в первый к в а д р а н т . Более точно, в первом квадранте, кроме векторного поля У, рассматриваются отраженные векторные поля V^XJ V^y и V^xy, которые получаются из вектор­

ного поля V соответственно с помощью отражений относительно осей ж, у и последовательно х,у.

3 . 2 . Р а з л о ж е н и е п р е о б р а з о в а н и я м о н о д р о м и и в к о м п о з и ц и ю о т о б р а ж е н и й со­

о т в е т с т в и я . Первый к в а д р а н т плоскости (ж, у) разобьем на секторы, соответствующие ребрам и вершинам д и а г р а м м ы Ньютона Г, и рассмотрим в нем векторные поля V,V^x,V^y и V^xy. На оси ординат выберем параметр у, на оси абсцисс и на всех о с т а л ь н ы х границах сек­

торов — п а р а м е т р х. Пусть векторное поле V имеет диаграмму Ньютона Г и монодромную , H¹(cr,v) = c^la(l + o<><^v(l)),

, H²(<T,V) = C²V(1 + O°'^v(1)).

1 i f f i f r , « )

Щ"Я1(«,т)'

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

Рис. 2

особую точку ( 0 , 0 ) , Ао — преобразование монодромии для векторного поля У, отображаю­

щее границу какого-либо из описанных выше секторов в себя. Т о г д а Д⁰ можно разбить в композицию п я т и отображений соответствия

До = Д о А^у о А^ху о Д^го Д

д л я векторных полей V,Vx,Vy, Vxy и V соответственно, как показано на рис. 2. Каждое из э т и х п я т и отображений в свою очередь разбивается в композицию отображений соответствия для секторов 5а, .S^â-

3 . 3 . О т о б р а ж е н и я с о о т в е т с т в и я д л я о т р а ж е н н ы х в е к т о р н ы х п о л е й . Обозначим через / отображение соответствия в секторе 5а, которое переводит верхнюю границу сектора Sа в нижнюю. Отображения соответствия, аналогичные / , для о т р а ж е н н ы х векторных полей обозначим fx,fxy и fy (рис. 2).

П р е д л о ж е н и е 7. Отображения f-^lf^x1f^xy и f^y имеют линейные главные члены с коэф­

фициентами р, р^х', р^ху и р^у соответственно, причем

lim In рр^хр^хур^у

х—*0 ' *^Р* J vF^a(l,v) *Р* J vF^a{l,v) "

Если ребро с показателем а имеет метку га, то главные значения интегралов, берущи­

еся в точках 0 и оо, конечны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство предложения 7 полностью совпадает с доказатель­

ством предложений 6.2 и 3.1 из [3, добавление]. В этих доказательствах используется, ч т о мно­

гочлен F^a(l, v) в случае Г-невырожденного векторного поля имеет ненулевые свободный член и с т а р ш и й коэффициент. Э т о свойство выполняется т а к ж е и для слабо-Г-невырожденного векторного поля в случае ребра с максимальной меткой. Действительно, пусть ß и ß* — по­

казатели вершин, которые являются концами ребра с показателем а, и пусть э т и вершины не л е ж а т на координатных осях. Упомянутые коэффициенты пропорциональны соответственно величинам ß — a , ß* — а . Из определения метки ребра следует, что для ребра с максимальной меткой эти величины всегда отличны от нуля. Случай верхнего или нижнего ребра рассма­

т р и в а е т с я аналогично.

Из предложения 7 в ы т е к а е т предложение 2 (введение).

П у с т ь 8 — отображение соответствия в секторе S^aâ, определенное в разд. 2. Отображения соответствия, аналогичные S, для отраженных векторных полей обозначим 6х, 6ху и 6У. Пред­

ложения 4, 5 и 6 д л я о т р а ж е н н ы х векторных полей доказываются в точности т а к же, как д л я Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

поля У , и константы, участвующие в формулах, не меняются при о т р а ж е н и я х относительно координатных осей(см. [3, п. 4.8]). Отсюда с учетом определения метки ребра получаем

П р е д л о ж е н и е 8. 1) Если метки ребер с показателями а и а совпадают, то отобра­

жения 8 и 8ху имеют вид (5), а отображения 8х и 8У имеют вид (6).

2) Если метка ребра с показателем а меньше метки ребра с показателем а}то отобра­

жения 8~г, 8х, (8ху)~г и 8У имеют вид (7).

3) Если метка ребра с показателем а больше метки ребра с показателем а, то ото­

бражения 8, (8^х)~^г, 8^ху и (8^у)~~^г имеют вид (8).

Обозначим через 8о, 8^х, (8^ху) и 8% отображения соответствия в секторе 5о д л я векторных полей У, Ух, Vxy и Vy соответственно.

П р е д л о ж е н и е 9 [3, с. 173]. Отображения S Q1 , 8х, (8ху)~г и 8$ имеют вид

y=^(l + O

(l))(l + oUl)),

где ai — показатель самого верхнего ребра.

3 . 4 , В ы б о р н а ч а л ь н о й т р а н с в е р с а л и . Во введении были определены метки гаг- ребер д и а г р а м м ы Ньютона Г и число га = max га;. Пусть г'о — такой минимальный номер г, при

t'=l,...,N

котором гаг- = т. В качестве начальной трансверсали для композиции До возьмем верхнюю границу сектора SaiQ с параметром х на ней. Для дальнейших вычислений удобно разбить До в композицию

До = Д 4 о Аз 0 А2 0 A i

отображений соответствия начальной трансверсали в себя (см. рис. 2). Вычислим асимпто­

тику отображения A i .

Занумеруем отображения соответствия / и 8, а т а к ж е аналогичные им отображения для отраженных векторных полей в соответствии с нумерацией ребер и вершин д и а г р а м м ы Нью­

тона. Обозначим через pj производную fj в нуле, величины j ^s определены во введении. Пусть i > г'о- Положим

9i = ^Si ⁰ ff+\ ^{0 0} • • •⁰ U + i

°

За метим, что Gl 0 = A i .

Л е м м а . Отображение Gi, где i > io, mi = m, имеет линейный главный член с коэффи­

циентом

щ = (1 + n ( W ' )

, àj = Пт», di = 1,

где первое произведение берется только по тем j > i, для которых mj — m, а второе только по тем s, г < s < j — 1, для которых или m^s, или m³+i равно т. Отображения А² и Д 4 имеют тождественный главный член.

Лемма будет доказана в п. 3.6.

3 . 5 . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы о г л а в н о м ч л е н е п р е о б р а з о в а н и я м о н о д р о м и и . Т а к как A i = G |0, т о лемма д а е т нам выражение для коэффициента при главном члене отобра­

жения A i . Д л я А з получаем такое же выражение, где вместо pjp^x стоит р*^уПеремножая ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

эти выражения, логарифмируя, переходя к пределу при s —У 0 и у ч и т ы в а я выражения для у³ (предложения 4-6) и предложение 7 получаем утверждение теоремы.

3 . 6 . Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы . Докажем лемму индукцией по г.

База индукции. Пусть %\ > г⁰ — такой максимальный номер г, что m^t = m . Проверим утверждение леммы для отображения Gix. Если i\ — iV, то

Gi^x (x) = f^xN о f^N(x) = до^Г(1 + о^е(1))х(1 + о%(1)) и утверждение верно.

П у с т ь теперь г0 < i\ < N. Заметим, что = 6хг о G ^ + i о 6(г. Т а к как тг 1 = га, гаг1+х =

= га' — 1, то отображение 5{^г по предложению 8 имеет вид

M * ) = /oofci(aO, Л1(ж) = С^{1 Ж}^ ( 1 + о^£( 1 ) ) ( 1 + о^(1)), при этом = (/о о /if ) ~г, где hf имеет т о т же самый главный член, ч т о и hi.

П р е д л о ж е н и е 10 [6, с. 57]. Если ф(х) = сх^и(1 + о(1)), то

х

fô1 °Ф°Мх) = - + о(х).

П р е д л о ж е н и е 1 1 . Главный член композиции G^+i линеен.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Все ребра с номерами, большими г*х, имеют метку га — 1 или меньше.

Композиция G^+i представляется в виде

fïi +1 ° Фк ° fji 0 Ф% 0 fh 0 • • • ° fh 0 Фк ° fh 0 Фк ° fix +i » (10) где отображения fjs (и такие же с индексом х вверху) соответствуют всем ребрам с

меткой m - 1 и номерами, большими i\, Фза,Фх3 — промежуточные композиции.

Композиция ф]3 совпадает с 8(х) для некоторой вершины д и а г р а м м ы Ньютона, если ото­

бражения справа и слева от нее в композиции (10) соответствуют смежным ребрам. Т о г д а ф$5 и фха имеют степенные взаимно обратные главные члены.

Если отображения слева и справа от ф^^а соответствуют несмежным ребрам, т о ф^^а —

— 5±¹ офоб(х), где 6(х) = / о о Л , S^¹ = ( / o o ^ i ) "¹ — отображения соответствия д л я различных вершин д и а г р а м м ы Ньютона.

Композиция ф является уравновешенной [6, с. 57] и, следовательно, имеет степенной глав­

ный член. Далее

Фк = ^ Г¹ ° (/о^{- 1} ° Ф ° /о) ° h;

композиция в скобках имеет линейный главный член по предложению 10, следовательно, вся композиция имеет степенной главный член, показатель которого равен отношению показате­

лей степеней г л а в н ы х членов отображений h и h\. Отображение ф^хз т а к ж е имеет степенной главный член, показатель которого обратен показателю отображения фха. Т а к и м образом, вся композиция (10) имеет степенной главный член с показателем 1 в силу сокращения взаимно обратных показателей.

Предложение 11 доказано. Продолжим доказательство леммы.

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213

И т а к , д^ = hï¹o(fQ¹oGi¹+iof⁰)ohi. Композиция в скобках согласно предложению 10 имеет тождественный главный член, следовательно, и д^ т а к ж е имеет тождественный главный член.

Аналогично с учетом предложения 9 доказывается, что отображения А² и Д 4 имеют тождественный главный член. И т а к , G{^x имеет линейный главный член с коэффициентом ftii^îx (1 + °^е( 1 ) ) - Э т о соответствует утверждению леммы.

Шаг индукции. Пусть утверждение верно для всех отображений Gj т а к и х , что j > г, rrij = га. Докажем его для отображения G^t.

Пусть г² — такой наименьший номер, больший г, что га^г-² = га. Композиция G%² по пред­

положению индукции имеет линейный главный член с коэффициентом

*

= (1 + о

(1 ))П(/^)^, dj= П Ъ, d

= l,

j>Ï2 Î2<S<j-l

где первое произведение берется только по тем j , для которых rrtj = m, а второе — только по тем s, для которых либо т³ либо ra^a+i равно га.

Если г² = г + 1, то Gi = ff о Sf о G{² о Si о /^г-, где Si и Sf имеют вид (5) и (6) соответственно.

Следовательно, композиция Gi имеет линейный главный член с коэффициентом

№**%(1 + о'(1)).

Т а к как m^{t +}i = m, это соответствует утверждению леммы.

Если г*2 > г + 1, т о

Gi = ff о Sf оф^хо Sf²_^x о G^h о Sb-г о ф о Si о /,-, где согласно предложению 8

Si = fo°hi, Sf = (f⁰ohf)-\

отображения hi и hf имеют одинаковые главные члены С{Х^ (1 + о^е(1));

Sf²-i=fo°h^x, 8^ia-¹ = (f⁰oh)-¹, где h и h^x имеют главные члены Сх¹^-¹ (1 + о^е( 1 ) ) .

Можно доказать аналогично предложению 11, что отображения ф и ф^х имеют степенные главные члены со взаимно обратными показателями.

Распишем композицию Gi :

Gi = ff о (hf)"¹ о о ф^х о /о) о I^х о Gⁱ² о h"¹ о О ф О /о) О hi О fi.

Композиции в скобках согласно предложению 10 имеют линейные главные члены со вза­

имно обратными коэффициентами. Учитывая взаимную обратность главных членов отобра­

жений hi и (hf)^-1 ( h^x и h'¹ соответственно), а т а к ж е формулы для их показателей, получаем, что отображение Gi имеет линейный главный член с коэффициентом

Э т о совпадает с утверждением леммы.

Лемма доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. //Динамические системы.

М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 1. С. 7-149. (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фунда­

ментальные направления.)

2. Медведева Н.Б. Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен / / С и б . мат.

журн. 1992. Т. 33, Jtf 2. С. 116-124.

3. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксирован­

ной диаграммой Ньютона / / Т р . семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Т. 15. С. 156-177.

4. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. О различении центра и фокуса для векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона / / У М Н . 1986. Т. 41, № 4. С. 198-199.

5. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

6. Ильяшенко Ю.С. Мемуар Дюлака "О предельных циклах" и смежные вопросы локальной теории диффе­

ренциальных уравнений / / У М Н . 1985. Т. 40, Ш 6. С. 41-78.

Т Р У Д Ы МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1997, т. 213