All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

B. L. Fridman, A nowhere dense space of linear superpositions of functions of several variables, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser.

Mat. , 1972, Volume 36, Issue 4, 814–846

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 5, 2022, 18:57:57

Серия математическая

36 (1972), 814—846

УДК 513.88

Б. Л. ФРИДМАН

НИГДЕ НЕ ПЛОТНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть I3 — единичный куб трехмерного пространства R3, Ф;(*) — отображения Фг: I3—*R2 класса С2, i=\, ..., п. Доказывается, что множе­

ство функций F (х) на I3, представимых в виде п

^w=2

'

где %i{uu и2)—произвольные непрерывные функции, %% : R2-+R, нигде не плотно в пространстве 3?2(13)-

Введение

Одной из наиболее интересных задач теории суперпозиций в настоя­

щее время является следующая: существует ли kf для которого найдется аналитическая функция трех переменных, не являющаяся суперпози­

цией k раз непрерывно дифференцируемых функций двух переменных?

Из приведенного ниже результата А. Н. Колмогорова следует, что если эта задача имеет положительное решение, то k>0. А. Н. Колмого­

ров в (*) доказал, что всякую непрерывную функцию f(xi9...9xn) от п переменных, заданную на n-мерном единичном кубе, можно представить в виде

2П—1 / П \

t(x

... ,*«)= 2 ъ 2 м*/) • (о

i=i \ / = i у

где все функции %i{t) и oaj(Xj) непрерывны, a a,n(Xj) при всех значениях индексов фиксированы и не зависят от / (заметим, что a,ij(xj) могут быть выбраны удовлетворяющими условию Липшица, как это следует из (2)).

Обобщением представления (1) являются линейные суперпозиции [см.

(3)]. А. Г. Витушкин и Г. М. Хенкин в (3) изучили случай линейных супер­

позиций функций одного переменного и получили, в частности, следующий результат: в пространстве непрерывных функций на единичном квадрате нигде не плотно пространство функций, представимых в виде

п

2 X* (Ф* (хи *г)), где Oi (хи х2),..., Фп (хи х2) — фиксированные непрерывно дифференцируемые функции, a %i(t) —произвольные непрерывные функции.

В статье (3) изучалась также общая задача о представлении анали­

тической функции нескольких переменных суперпозициями несколько

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 815

раз дифференцируемых функций меньшего числа переменных. В ходе этого исследования возникла гипотеза о том, что общая задача сведется к изучению возможности представления аналитических функций линей­

ными суперпозициями.

В этой статье мы доказываем (см. ниже теорему I), что в классе дваж­

ды непрерывно дифференцируемых функций (т. е. при k^2) нет разло­

жения вида (1) с внешними функциями, зависящими от двух перемен­

ных. Этот результат вместе с гипотезой Витушкина — Хенкина делает естественным предположение о положительном ответе на поставленный в начале статьи вопрос (т. е. при достаточно большом k найдется анали­

тическая функция трех переменных, не представимая в виде суперпози­

ций k раз дифференцируемых функций двух переменных). Задача, реше­

ние которой излагается в настоящей статье, была поставлена А. Г. Ви- тушкиным. в (4).

Ф о р м у л и р о в к а о с н о в н ы х р е з у л ь т а т о в . Пусть зафикси­

рованы п отображений Фг(х) = (Ф\г(х)уФ2г(х)): I3-W?2(i=l,...,Ai) единич­

ного куба l3= { x | 0 ^ xs^ l , 5 = 1 , 2, 3} в двумерное вещественное про­

странство R2 и при этом Ф{(х) класса С2(13) (т. е. все функции Фм(х), k = l, 2, t = l , ..., я,— дважды непрерывно дифференцируемы на I3). Рас­

смотрим всевозможные наборы п непрерывных функций двух перемен­

ных %i(u^hu²), £=1,...,м, таких, что %i(u^uu²) задана на Фг(1³).

ТЕОРЕМА I. Пространство функций, пред ставимых на I3 в виде

п

2 (%i ° Ф*) (х), нигде не плотно в Х2 (I3) (через (%t о фь) (х) мы обозначаем су- перпозицию %i(Oii(x), Ф2£ (х))).

Эта теорема является очевидным следствием двух следующих утверж­

дений.

ТЕОРЕМА И. Существует компакт Dczl3 положительного объема и

п

такой, что пространство функций, представимых на D в виде 2 (%£ ° Ф;) (#)>

где lt таковы, что %i(uv u2)Ez%2 на Ф*(^)> является замкнутым подпро­

странством в %2(D).

( 3 \k

ТЕОРЕМА III. Существует многочлен Р(х) = 2 aixi I (ам*= 1>2,3,—

действительные числа, k — натуральное число), не равный на D никакой

п

сумме вида 2 (Х* о ф£) (х), где при всех i li^X2 на Фь(П) (D — из тео- ремы И).

Доказательству теорем II и III посвящен § 4. В начале § 1 мы фор­

мулируем общие утверждения о подпространствах гильбертова простран­

ства, которые оказались полезными при изучении пространств функций вида х°Ф (где Ф —фиксированное гладкое отображение, %ej?² на своей области определения). Теорема 1.12 и следствие 1.13 являются обобще-

ниями аналогичных утверждений для равномерной метрики, доказанных в (3) [см. также (5)]. § 2 посвящен построению основного компакта D, для которого в дальнейшем доказываются теоремы II и III. § 3 посвящен изучению взаиморасположения в 3?2(D) пространств функций вида

(Хг°Фг) (X).

§ 1. Некоторые вспомогательные утверждения

I. Л е м м ы о п о д п р о с т р а н с т в а х г и л ь б е р т о в а п р о ­ с т р а н с т в а . Пусть Я —гильбертово пространство. Суммой L\ + L2 двух подпространств пространства Н мы называем подпространство L = {x\x =

= хх + х2, Xi^Li}. Это определение естественно распространяется на лю­

бое конечное число подпространств. Следующие два утверждения обще­

известны.

к

ЛЕММА 1.1.Сумма L = 2JL2- замкнутых подпространств Li, i=\, ..., k^t замкнута тогда и только тогда, когда найдется константа М>0 такаяг

что для любого элемента x^L существует его представление х = х\ + ...

... + xk, Xi<=Li, при котором ll*ill^Af||x||, 1=1, ..., k.

ЛЕММА 1.2. Сумма замкнутого подпространства и конечномерного замкнута.

О п р е д е л е н и е 1.3. Мы говорим, что подпространства Lx и L2 пер­

пендикулярны с точностью до е, если

\(xv х2)\ < 81| хх || || х21| v xi e Lh i = 1, 2.

Для перпендикулярности с точностью до 8 мы вводим обозначение ЛЕММА 1.4. Если подпространства Lv . . . , Lk замкнуты и перпенди- кулярны с точностью до б, где 0-<6<С , то и их сумма замкнута.

k— 1

Доказательство сразу следует из леммы 1.1 после выкладки

/ k k \ п

И

= 2 *i»2 xi = S \Ы + 2 2 (xi, Xj)>

\ i = l t = l J t = l i > / n k

>2 I N I

- 2 2 *MII*/II>2 ||*f (i-(*-1)6),

откуда \\Xi\\^(l-(k-l)6)-4x\\2.

О п р е д е л е н и е 1.5. Пусть Lx и L2 — замкнутые подпространства.

Мы говорим, что L\ почти перпендикулярно L2, если для любого е > 0 существует конечномерное пространство L1(8)czL1 такое, что ортогональ­

ное дополнение к нему в L{ ( L i 0 L i ( e ) ) перпендикулярно L2 с точностью до е :Li ©Li(e) \L2. Для такой почти перпендикулярности мы вводим обозначение LX\^L2.

ЛЕММА 1.6. Если LX\^L^ mo U \^L^

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Н — то пространство, в котором лежат Ьг

и L2. Зафиксируем произвольное е > 0 и найдем конечномерное L1(E)CZL1

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 817

так, чтобы L1QL1(e) -L L2. Теперь положим последовательно L —

= [HQL1(e)] П L2, L2(&) = L2Q L. Из конечномерности L^e) легко следу­

ет конечномерность L2(e) (и даже более того, dimL2(e)<dimLx(г)). Ввиду замкнутости L (как пересечения замкнутых пространств), из определения La(e) получаем: L2©L2(8) = L. Мы докажем лемму, если установим, что L -L Ьл. Для этого отметим, что*

8

L_LLx(e), L - k Z a e M e ) ] (1)

О

(первое следует из определения L, второе — из того, что L(ZL2 и

^2 -*- [^i © ^i (е)]). Далее, если x^Lv то дс = хх + хъ где ^ е [Lx 0 Lx (e)L

о

^ ^ ^ ( е ) ; заметим также, что ||*i||-<||*||> ибо (xv x2) = 0. Итак, пусть

A ; G LX ye-L, тогда, используя (1), получаем:

т. е. L J-Li, что и требовалось. Лемма доказана.

8

Из леммы 1.4 и 1.2 получаем следующее утверждение.

ЛЕММА 1.7. Если подпространства Lv .. ., Lk замкнуты и для любой

k

пары i=^j Lt | L/, то и сумма у. Lt замкнута.

k

ЛЕММА 1.8. Пусть Ь1У . . . , Lk и L = 2 Li —замкнутые подпростран-

£ = 1

ства. Рассмотрим еще одно замкнутое подпространство L0 такое, что LQ | Lj для всех £, t = 1, . . . , k. Тогда L0 | L.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По лемме 1.1 существует константа М > 0 такая, что для любого x e L есть представление х = хг + . . . + хь Xi^Liy такое, что ||л^||-<М ||л;||, i = 1, . . . , &. Зафиксируем е > 0 и положим 6 = — - • Так как L0 | Lh то существует L0,i(6)(zL0 такое, что dimL0)i(6)<< оо и

^о в ^o.t (6) 4г Lj. Положим L0(e) = ^ ^o,i (6). Нетрудно видеть, что dimL0(е)< оо и L0©L0(e) J-L. Лемма доказана.

с

С л е д с т в и е 1.9. Пусть Lv . . . , L^, 51? . . . , B(i а их суммы L =

= *VLi и В = y\Bi — замкнутые подпространства. Если Lt \ Bj при всех

1=11 i = l

i, / (1 < i < fe, 1 < / < n), mo L \ В.

П. У т в е р ж д е н и я о с т р у к т у р е г и л ь б е р т о в ы х п р о ­ с т р а н с т в , п о р о ж д е н н ы х о т о б р а ж е н и я м и Rn. Пусть

* Символом J_ обозначается обычная ортогональность.

(Xit Si, \а)у i = l, 2,— два пространства со счетноаддитивной мерой, при­

чем jLi;(^-)<o°, i=l, 2. Тогда на прямом произведении XiX^2 также определяется известным способом мера fx = JLXI X jut2- Пусть задана я(х, х2) — ограниченная и ^-измеримая на XiXX2 функция. Через &%(Х\) обозначается пространство функций, суммируемых с квадратом на Х{, НЯ1** — норма f в 2?2(Xi). На пространстве пар [/ь/У, fi^2?2(Xi), опре­

делим билинейную функцию

В((ъ!2)= J ^(xlfx2)f1(x1)f2(x2)d\i1d\i2. xtxx2

ЛЕММА 1.10. Для любого е^>0 существует конечномерное простран­

ство L (е) с <Ж2 (Xj) такое, что при fx e Z2 (Хг) © L (е), /2 е $2 №0 выпол­

нено 15(^/2)1 <e||f1||Xi.||/2||X2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку |LX£(Х^) < оо, то ограниченная функция л; (л^, *а) ЕЕ $2 (Хх х Х2). Известно, что в ^2 (Х^ х Х2) всюду плотно множе- ство конечных сумм вида 2 £i,sg2,s> gttS = gi,s (*i) G <S?2 № ) ПРИ в с е х s» * =

= 1, 2. Поэтому для 8^>0 существует функция h = h(xvx2, e)~

N

= 2 gi,s(xi)g2,s(x2) такая, что ||л — Л||Х х Х < e . В качестве L(e) примем

s = i

линейную оболочку, натянутую на функции gi,s(*i)> s= l, ...,N. Ясно, что dimL(e)<Af. Наконец, при / i G ^ W 6 i ( e ) » / 2 ^ % W получаем:

*(/i,/i)i|<| J (*-А)ЛМиЖ J й/ЛФ

+ s

X i X X j XiXATj

j &.« (*i) A (*i) Ф1 • j &,s (*») /«(*«) Фа

< e | | /1( x1) /2( x2) | L _ +

= e»fiflx1- l/'.lx. + o.

Здесь были использованы неравенство Коши — Буняковского, то обстоя­

тельство, что /i и /2 зависят от разных переменных, а также то, что (/bg"i,s)x, = 0 при 5 = 1 , ..., N, что следует из принадлежности fi^2?2(Xi)QL(e) и определения L(e). Лемма доказана.

Пусть Q — компакт в Rn. Точки Rn мы обозначаем через и= (и^и ..., и^п). Пусть заданы два отображения O i : Q-+R^m и Ф²: Q-+Rⁿ-^m

(предполагается, что т<п)у которые мы запишем в виде Ф\= (cpi(tf),...

..., Фт(^)), Ф2= (фт+iC^),..., фп(^)), координаты / ?т мы обозначим через vl=(vu...,vm), координаты R^-™ — через v2= (vm+u..., ап) . При этом дано, что Ф = (Фь Ф2) = (ф1 (и),..., фп (и)) — диффеоморфизм компакта Q в пространство Rn переменных v= (vu..., vn). Пусть еще задано измери­

мое ограниченное отображение Р= (pi(u),p2(u)): Q-+R2. Фг-(^) мы обо­

значим через Ф*. Через Liy £= 1, 2, обозначим подпространство простран­

ства 3?2(Q), состоящее из тех функций fi^3?2(Q), которые представимы в виде U(u)=pi(u) (%ioOi) (и), %{(и^(=2?2(ф*).

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 819

ЛЕММА 1.11. Если L\ и Ь2 замкнуты, то L{^L2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для fi^L^if i=l, 2, рассмотрим скалярное про­

изведение

ifv h) = J Pi (и) (*i ° ^i) (") ft (и) (Ха о Ф2) (a) da,

которое после замены переменных а = Ф(а), u = 0~l(v) приведется к виду

(fvh)= j n W ^ M ^ H d o W , (2)

Ф ^ Ф2

гдея(и)=/71(ф-1(у))р2(ф-1(1;))|(ф-1(^))/Ьесли о е Ф ( О ) ( ( Ф ' Ч ( » ) ) ' — якобиан отображения Ф- 1), и n(v)=0 при v^O(Q). Если теперь поло­

жить Xi = <£>\ / = 1 , 2, параметрами на Х; считать х* вместо а* и мерой на Хг считать обычную меру Лебега, то правая часть (2) совпадает с выра­

жением В(%и%2)> определенным в лемме 1.10. Итак, мы получили:

{fv h) = в (*v Ха), если ft (и) = pi {и) {It о Щ (и), 4 = 1 , 2 . (3) Оператор, сопоставляющий функции х^З^СФ*) функцию fi(u) =

= Рг{и) (%г°Фг) (и),.мы обозначим через Гг. Отметим,что Тг: 3?2(Ф*)-+1-г—

линейное, непрерывное и открытое отображение (последнее ввиду замк­

нутости образа Т£2?2(Ф*)] = Ьг и теоремы Банаха об открытости отобра­

жения). Дальнейшее доказательство леммы 1.11 использует следующее предложение:

Существует непрерывный оператор Л*: Ьг-+3?2(Ф1) такой,

т л р (4) что TiAi = E

(Е — единичный оператор). Это предложение будет доказано в конце.

Зафиксируем 6 > 0 и докажем существование конечномерного Ьг(б) тако­

го, что L1QL1{b)^-L^ Положив е = 6 : (HAJIAJII), ПО лемме 1.10 найдем конечномерное пространство L (е) С S£2 (Ф1) и положим 1ГХ (б) = Тг [(А^) f|

П (#2 (Ф1) © L (е))] и Lx (б) = L1QL1 (6). Легко проверяется, что L\ (б) ко­

нечной коразмерности в Ьг и Li(6) замкнуто (для доказательства послед­

него надо учесть, что 7\ — открытое отображение). Из этого вытекает, что dimL1(6)<oo и L7(6) = L10 L1( d ) . Если / i e L± Q Lx(б) - Ц(б), то ЛЛ ^ [^2 (Ф1) © £ (e)L поэтому если еще /2^^2> то из (3) леммы 1.10 (и определения е) получаем:

\(fvh)\=\B(AJv Ш<*ША\Ш<*>МЛШ

а это и означает, что L i © L1(6)6J-L2, что и требовалось. Нам осталось до­

казать (4). Докажем (4), например, при i = l. Для этого заметим, что достаточно установить следующее: существует измеримое множество З И ^ Ф ^ Й ) такое, что если определить пространство L как совокупность тех функций из 3?2(Ф1), которые равны нулю вне ЗЯ\: L= {f (vl) | / e

Е Е ^ Ф1) * f(vl) = 0 ПРИ / e O ^ a J l i } , то выполнено:

T{L = Li и Ti\L: L-+Li взаимнооднозначно. (5)

В самом деле, если это так, то в качестве Ai можно взять А\=(Т^{\ь)~¹\ тогда непрерывность Ai вытекает из теоремы Банаха об открытости отображения (вспомним, что по условию L\ замкнуто); то, что 7,1Ai=£,—

очевидно. Итак, надо построить множество Ш\ с указанными свойствами.

Введем следующее определение. Измеримое множество Sftczd)1 назо­

вем допустимым, если для любой функции /ее2? 2(Ф1) такой, что /|$? ==0 (а на множестве Ф1Ч\9й / — произвольна), выполнено

7,1/ = Л ( " ) ( / о Ф1) И = 0.

(а) Пусть {Ж(/г)} — последовательность допустимых множеств. Докажем, что Ж = Г) ® — допустимое множество. В самом деле, пусть / | ^ = 0.

Положим: 3R0 = Ф1, и пусть для любого п > 1

/»и=

/(У1), »*<= п яй(*\ай( п )

оо

Непосредственно проверяется, что /ЛЬП ) = 0 и / = J\ fn. Из первого ра- венства, в силу допустимости Ж(,г), вытекает, что 7\Дг = 0, а из второго и

оо

непрерывности Тг следует, что TJ = V TJn = 0, что и требовалось дока-

/ 2 = 1

зать.

(б) Через U обозначим совокупность всех допустимых множеств. Утвер­

ждается существование ^ Е И такого, что |х(S3?!) = inf [л(Ж),где \х—т-мер- ная лебегова мера. В самом деле, пусть {Ж(я)} — такая последовательность

ОО

допустимых множеств, что lim \х (ЗК(/г)) = inf |i(SK). Положим €0?х = П ^(л)- Из предыдущего вытекает, что SB^eU. Ясно также, что f^ (3)?i) = inf \ь(Щ.

(в) Пусть SPtett. Из пункта (а) вытекает, что ЗЙ^ЗИ^И, где Sfti из предыдущего пункта. Поэтому

[х (Щ)»(3»! П ®) > inf ^ (Ж) = H ^ i ) -

Отсюда вытекает, что JLL (ЗЭТ1 \^£Ш) =0. Итак, во всяком 2fteU содержится почти все ЗИь

(г) Пусть f(=2>2{®1). Положим / =

' 0 , t ^ G O V i .

Поскольку (/ — / i ) ! ^ = 0, то из допустимости 3»! вытекает, что 7\(/ —/х) = 0.

Поэтому TJ = Т& + Tx(f- Д) = TJV

(д) Пусть / е ^ Ф1) , /|ф 1 ч 2 Й 1 = 0 и 7 \ / = 0. Утверждается, что / = 0.

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 821

В самом деле, пусть 9R == {у1!/(у1) = 0}, тогда Ж допустимо (доказывается это следующим образом. Поскольку Т^—р^^^^оф^^^О и /|ф1Чдй=^0>

то Pi(w) = 0 для всех и EzOl1 (Ф*\Щ, кроме множества нулевой ^-мерной меры Лебега. Теперь, если произвольная § Е 5 ? З ( Ф1) такова, что g|sj#=0, то при и е Ф Г ^ Ж )

(Tig) (и) = А (и) (g о Фх) (и) = Pl (и) -0 = 0, а при и^Ф~¹¹(Ф¹\^К)

(r1g)(a) = 0 . f e o ©1) ( a ) = 0 .

Поэтому 7ig = 0, что и доказывает допустимость Щ. Теперь из пункта (б) получаем: \х (Щ\Щ = 0. Поэтому / 1 ^ = 0, но так как дано, что / ^ 1 ^ ^ = 0, то / = 0, что и требэвалось.

(е) Положим L={f(vl)\f€=&2(®1), f(o1)=0 при vl^Фl\Щ. Тогда из пункта (г) получаем, что T\L = L\. В пункте (д) доказана взаимная однозначность Тх\ь. Тем самым (5) выполнено. Вместе с тем мы закон­

чили доказательство леммы 1.11.

Пусть Q — компакт на плоскости R2 переменных и=(иии2). Пусть еще заданы k>\ гладких функций cpi(tt),..., фь(и) на й, причем для лю­

бой пары 1ф\ отображение Фц = (фг(^),Ф^(^)) является диффеоморфиз­

мом компакта Q в плоскость R2. Обозначим ф* = фг(£2) и через Li обозна­

чим пространство тех функций fi из &2 (^), которые имеют представление вида /г = х*(фг(и)), ^ ( 0^Е^ 2 ( ф ^ . Через Жг обозначим множество, эле­

ментами которого являются линии уровня функции фг(и): TczJ^i, если Т = 0 и существует t такое, что Г = {и\уг(и) =t}. Через р(Г) обозначим длину Г по Хаусдорфу.

ТЕОРЕМА 1.12. Если существует константа М > 0 такая, что р(Г) ^ М для всякой Г<=Хг, f = l , ..., ky то все пространства Lt-, i= l, ..., k, и их сумма

k

L = У) Li замкнуты.

i=l

Д о к а з а т е л ь с т в о . Исходя из определения Li и условия теоремы, несложно доказывается существование таких чисел M i > 0 и М2>0, что для любой %(t)^3?2{4>i)

M

i«* W 1ед,') < I

I* ("»!k

Q) < "«I * W Изд '

Отсюда вытекает, что L; изоморфно Ж2(фО И потому L; замкнуто. Теперь,

k

пользуясь леммами 1.11 и 1.7, получаем, что и L = V ^ замкнуто. Дока- зательство окончено.

Для числа s, 1 -<s -<&, положим Fs = Ls f| 2 £;•

С л е д с т в и е 1.13. d i m f ^ o o .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку все Li замкнуты, то, применяя лем-

му 1.11, получаем: Ls \ Li при i=f=s. Поскольку еще 2 Li замкнута (что вытекает из теоремы 1.12), то, пользуясь леммой 1.8, находим: Ls | 2 Li.

i^s

Тем самым для любого е ] > 0 существует конечномерное Ls(e)czLs такое, что Ls © Ls (е) -L 2 Li. Зафиксируем какое-нибудь положительное е < 1.

8 и»

Утверждается, что dim/7S'<dimLs(8). В самом деле, если это не так, то существует / е Fs = Ls f] 2 £*> /=£= ° и / J- £s (e). Из последнего следует, что / G LS0 LS( 6 ) , а из / G FS вытекает, что f^^Lt. Итак,

[ Ls0 Ls( e ) ] f l

2^1

Ms J

t ^ s

>/=£<>,

но это противоречит тому, что

8 Ms

Доказательство окончено.

III. Об одной х а р а к т е р и с т и к е п о л н о т ы суммы з а м к н у -

s

т ы х п о д п р о с т р а н с т в . Пусть Lv . . . , Lk и суммы вида У) Li при

i=l

s = 1, . . . , k — замкнутые подпространства гильбертова пространства. Поло- жим последовательно: hx = О, hi = Lif)^ ^s ПРИ i'^>-'» Hi = LiQhi,

S = l i-\

i = 1, . . . , &. Из условия замкнутости Li и 2 ^s в ы т е к а е т> ч т о ^ замк-

s = i

нуто. Поэтому Li = HiJr hi. Отсюда и из определения ht легко вытекает, что 2 U = 2 Ht и

i = l £ = 1

££/Ш fi^Hh 1 < i < Л, а 2 h = 0» то ft= 0 при всех i. (6)

t = i

Рассмотрим прямую сумму пространств #;: пространство В = # i 0 . . . 0 #&

строк (Д, . . . , fk), где fi^Hc норма определяется так: [КД, . . . , /л)|| =

k

= 2 II/t||» a линейные операции вводятся некоординатно. Отметим, что, вви-

t = i

ду полноты всех # ь В является банаховым (полным нормированным) про-

k

странством. Определим оператор Л: В -> 2 Не

i = l k

т&, ...,/*) = 2 д .

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИИ 823

Тогда Л линеен, взаимнооднозначен (ввиду (6)) и отображает В на пол­

ное пространство

k k

2"« = 2ь.

i = l

По теореме Банаха Л имеет непрерывный обратный Л ^{- 1}

О п р е д е л е н и е 1.14. Число 7=H^"1II~1 мы называем константой замкнутости набора (с фиксированным порядком) подпространств Lu..., Lk.

П р и м е р . Пусть Ьи ..., Lk— подпространства из теоремы 1.12. Тогда для этого набора подпространств можно ввести константу замкнутости.

З а м е ч а н и е 1.15. Из определения нормы оператора вытекает:

: inf

23 Л

k

2

Отсюда, i = l, . . . набора /;i

в частности, следует, что

k

2/' > т 2 IIMI-

h&Hf

, k, причем ?-

= Щ, » = 1, . .

•максимальное из чисел с таких, что для любого k,

2* >c^\\h\

Ниже мы приведем две технические леммы, связанные с константой замкнутости.

Пусть Е— компакт в R*, точки которого мы обозначаем через (и, t) = (ии и2, t),T — проекция Е на ось t, a Q(t) — сечение Е плоскостью, параллельной осям щ и и2 и проходящей через точку (0,0, £). Пусть на Е заданы k>l гладких функций q>i(u,t), l^i^Zk, таких, что при [ф] и лю­

бом фиксированном t^.T преобразование Ф^ (t) = (ср* (и, t), q>j {и, t)):

Q(t)-*~R2 является диффеоморфизмом. Пусть, далее, длины линий уров­

ня функций фг(#, ^о) на Q(^o) равномерно по to^T отделены от нуля.

Иными словами, существует М>0 такое, что р(Т)^М для любой T^Xi(t)9 где Xi(t) состоит из непустых множеств вида {u\<pi(u,t) =

= const}, причем неравенство выполнено при всех i и любом t^T. При фиксированном t^T через Li(t) обозначим те функции из J?2(Q(f))> K0"

торые представимы в виде Х*(фг(м>0)> %г(к) е 57 2( ф г ( ^ ( 0 ) ) « Тем самым на каждом Q(t) заданы условия теоремы 1.12, равномерные по / е Г .

k

Зафиксируем некоторое 5, l ^ s ^ & , и положим F8(t)=L8(t)f]2jLi(t).

i=i

Через ys(t) обозначим константу замкнутости набора L\(t)9 ..., Ls-\(t), 1Ж( 0 , ...,Lfc(0.

ЛЕММА 1.16. Существует константа с такая, что при всяком t^T и произвольной f^Fs(t) выполнено:

vrai sup I f I -< —-— _№

2№(t)y

П р и м е ч а н и е . Для множества Q vraisup|/j = infsup|/|, где Q0 — произвольное множество нулевой меры.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1.16. Все рассуждение мы проведем при фиксированном t^T. Все получающиеся const не зависят от / е Г , и мы не будем оговаривать это особо.

1. Как и в доказательстве теоремы 1.12, получаем, что существует const такая, что для любого i и для любой %i(k)^S?2(q>i(£i(t)))

i XKA.) || <cOTstiX,(9i («.<)) 11^(0(0,. (7) 2. Пусть / = X (ф8 (и, t))^Fs (t) с 2 h (t). По определению Ts (0 суще-

ствуют fi=Xi(yi)^Li(t), i=f=s, такие, что

/ = 2 л и З л л к ъ Ч о ш - (8)

3. Пусть Г е Х8( / ) — т а к а я кривая, что почти для всех точек ее (по мере Хаусдорфа) выполнено (8). Поскольку f постоянна на Г, то

|/=(Г)| = р-1(Г)

jfds _р-ЧП

= c o n s t 2 j \ЫЩ

i^S ф; (Г)

Г t^s i « r

v(£

d(<fs,<ti) \dk\

u=u(K)

I d ( " l , W2)

Здесь использовано то, что р(Г) > c o n s t > 0 V Г, и затем произведена замена переменных

( ф3 (а, *) = ф3 (Г) = const, 1 ф* (и, 0 = А,.

Теперь получаем:

| f ( r ) | < c o n s t 2 j | Xi (X) 11 ^ К const 2 j I M*) 11 dA, | <

i^s ф/ (Г) i^s ф£(Й(0)

< c o n s t 2 f / P ( 9 * ( Q ( 0 ) )

/

X?(X)|^|<const2||/t|l-

Здесь были использованы неравенство Коши — Буняковского и (7). При­

меняя (8), получаем окончательно:

^ ( П К с о п з Ь т Г Ч О Ш -

Это неравенство мы доказали независимо от r ^ J £ fs( 0 , почти для всех точек которой верно (8). Поскольку все такие кривые заполняют (по пло­

щади) почти все &(t), то мы доказали, что

vrai sup | /1 < const • 7Г1 (t) \\f\\.

Qtf)

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 825

Лемма доказана.

Пусть выполнены условия теоремы 1.12. Константу замкнутости набо­

ра Lh ..., Lh обозначим через у. Пусть еще зафиксирован индекс s, 1 ^ 5 ^ й . Для е > 0 через Q8 обозначим компакт, Q8^£2, такой, что для любой Т^Ж{ при 1фБ р(Г(П (Q\Qe)) ^ e , а для Т^Жв выполнено: либо Гс:Йе, либо r c - Q \ Q8 (Qs может быть получено, например, выбрасыва­

нием из Q некоторого множества кривых из Ж^), Через Li(e) обозначим пространство функций f^S?2(&e), имеющих представление вида { = %(ц{(и))у %^3?2(yi{Qs)). При достаточно малом е > 0 на Qe выполнены все условия теоремы 1.12 (если в ее формулировке заменить Q на Q8);

при этом 8 существует у (г)— константа замкнутости пространств M e ) , •••> Lk(e).

ЛЕММА 1.17. Существует функция со(е) (определенная при е < некото рого 80^>0) такая, что 1) Ь'тсо(е) = 1 и 2) ^(г)^(о(г) • 7.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При определении ч вводятся пространства Ы =

i-i

= Li П S Lr при i > 1, hx = О я Hi = Li Q hi. Пусть теперь для всех i, 1 < л < ; & , hi(&) состоит из ограничения на Qe функций из ht\ Hi(e) =

= L£(e)eAi(e).

Из определения Qs вытекает существование такой функции 6(e), что im 6 (е) = 0 и при i Ф s для любой f €= U выполнено:

H Q \ Q

<«(в)|/1

. (9)

гДе 1/1о\ое означает ||/|Q N QJ|#2 ( Q N Q e ). 1Л10 = ll/ba(Q>-

k

Пусть g = ^fh fc^Hi(&), f = 1, . . . , k. Мы оценим ниже ||g||Q через

||/t||Q . Пусть 8 достаточно мало. Тогда при i=j=s q>i(Q)= q>i(Qe) и потому при i=f=s fi однозначно продолжаются до функций из Lt. Положим/s|fiXQ = 0, тогда и fs мы продолжим до функции из Ls. Для продолженных функций мы сохраним прежние обозначения. При всяком i существует однозначно разложение ft = /м + f2ti, г д е / ^ е А * , f2,i^Hi. Отметим, что / i ,s= 0 , что следует из доопределения fs. При i=j=s помножим обе части разложения скалярно на flti и перепишем его справа налево, тогда получим:

- (ft, fu) = ^hhidu < I j J fifltidu I + I J J fifudu

ll.i \\Q

| Q \ aE

<

< 0 + |/i|Q4Oe|fulfl4Oe<*,(e)|/i|S.

Здесь было использовано то, что (fhfi,i)Q = О, ибо Д-|0 E=#t(e), fi,i\Q €=

e/it(e); затем мы применили (9). Итак,

I/i./||

<6(e)IM

. (10)

i/..4>i/4-iM

>(i-a(e))№!

. ' (")

Ю Серия математическая, № 4

Мы получаем:

' IA.-||2A|L.>||24-|2AU.>

>(||2Ч1

-5!1''-'1°)-21Л1<.ч<..>

k k

>т21/«.'»

-2б(е)2ПЛ|

.

i=l i—l

Мы воспользовались определением у (см. замечание 1.15), а также (10) и (9). Ввиду (11), имеем:

k k

l | g | lQ e> [ T ( l - 6 ( e ) ) - 2 6 ( e ) ] 2 1 Л 1в> Т - « ) ( е ) 2 И М ^

где со (е) == 1 — б (е) — 26 (е) • f1. Ясно, что lim со (е) = 1. Итак, если Д е Gfff(e), i = 1, . . . , 6, то ^е-*о

ft

2 А

Л

> о ) ( б ) .т- 2 ! 1 / 4е- (12)

•й8

Используя это неравенство, нетрудно установить, что

Me) = Me) Г) S

/(

)'

Отсюда и из (12) в силу замечания 1.15, легко следует: у{г) ^со(е) -у.

Лемма доказана.

§ 2. Построение основного компакта D

I. О б о з н а ч е н и я , н е к о т о р ы е о п р е д е л е н и я и п о с т р о е н и е о б л а с т и „ р е г у л я р н о с т и " . R3—есть трехмерное пространство точекх=

= (х¹,х²,х³), I³ —единичный куб в R³:I³ = {х\ 0 < * * < 1, i= 1,2,3}, Ф* (x) = (Фц (х), Ф2* (х)) — отображения Ф1: I3 -> R2 класса С2 (I3) из теоремы I.

Для функции f(x) через /' (х) обозначается ее градиент, т. е. вектор dj(x) df(x) df(x)\^ Д л я о т о б р а ж е н и я цг^ хр:ф-+х*$ Через — обозна-

дхх дх2 дх3 ) дх

чается его якобиан. Для отображения Ф = (фх(uv . . . , ип),..., фт( av. . . , un))t

п т I д§; (ио) \

R -+R Ф' (и0) есть матрица размера т х п9 а гапкФ' (и0) есть ее V dui I

ранг.

Пусть Rn — я-мерное пространство переменных y = (yv . . . , уп), число т < п; г* = (rj,- . . . , /i_m)> s = 1, 2, г = (rlf . . . , гл_т) — три (п — т)-мер~

ных вектора. Через Vm (г1, г2) обозначим следующий параллелепипед:

1М/-1, г2)= {y\r)<yi<r*9 i= 1, . . . , п — т> 0 < i / j < 1 при i = n —

— m, . . . , /г}, а через Р (г) —сечение Ут(гх, г2) т-мерной плоскостью, за-

СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ 827

данной системой yi = r» i — 1, . . . , п — т .

О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть G — область в Rn. Совокупность Am(G) = {И(а)} поверхностей П(а) размерности т класса С\, завися­

щих от параметра а, образует слоение порядка т области G, если:

1) из афа' следует, что П ( а ) П П ( а/) = 0 ; 2) U n ( a ) = G;

а

3) для любого y^G существует окрестность U^y, вектора г1, г2 и диффеоморфизм л : U на Vm(r\r2)f такие, что для всякого а такого, что Ща)Г\иф0, л[11 (a) f)U] = P(г) для некоторого г.

Все наши рассмотрения будут проводиться в R3. Поэтому мы будем иметь дело только со слоениями порядка 2 и 1. Слоение порядка 2 мы называем слоением поверхностями, а слоение порядка 1 —слоением кри­

выми области G.

П р и м е р ы . Из теоремы о неявной функции сразу следует, что если в GczRz задана функция ф(х) класса Сх такая, что Ф'(*) =7^=0, то совокуп­

ность 3*<p(G) = {П(0} поверхностей R(t) = {x\q(x) =t} образует слоение поверхностями области G, которое мы будем называть слоением, инду­

цированным функцией Ф(Я). Аналогично определяется индуцированное отображением Ф : G-+R2 таким, что гапкФ'(х) = 2 Vx^G, слоение X<b(G) = {T(u,v)} кривыми T(u,v) = {х\Ф(х) = (u,v)}.

О п р е д е л е н и е 2.2. Будем говорить, что слоение Ж (G) области G кривыми T(u,v) подчинено слоению £P(G) поверхностями П(^), если лю­

бая кривая из слоения Ж (G) принадлежит некоторой поверхности из слоения &(G) (4(u,v) 3 t:T(u,v)aIl(t)).

О п р е д е л е н и е 2.3. Пусть Ж\ (G), ..., Жш(0) суть слоения области G кривыми. Совокупность этих слоений мы назовем согласованной, если существует такая функция Ф ( # ) , что индуцированное ею слоение ^<p(G) подчиняет любое слоение X2(G), i = l , ..., m.

П р и м е р ы . Если Фи (х) = х19 Ф12 (х) = хъ Ф21 (х) = х3> Ф22 (х) = х1—х2х3, то слоения Жф^й) и ^o2(G) не согласованы для любой GCZJ3, где Ф* = (Фхь Ф20» i = 1, 2, Фг. G -> R2. Если Ф1г (х) = х19 i = 1, . . . , /г, а Ф21 (х) таковы, что гапкФ/(х) =2 ух е I3, i = 1, . . . , я, где Ф; = (Фц(х), Фа(х))> т о ^ГФДР)» i = 1, . . . , я, согласованы.

Пусть теперь заданы два отображения Ф и Q):G—>R2 класса C2(G)>

ф = (фг (х), Ф2 (я)), Ф = (Фх (х), Ф2 (*))» причем rank Ф' (*)= rank Ф' (х) = 2 V* е G. Для области G' CZG через <^ф (G') и ^ ^ (G') обозначаются слое­

ния кривыми области G', индуцированные ограничениями отображений Ф и Ф на область G'. Через ¥ обозначим W (х) = (Фг (х), Ф2 (х), Фг (х)): G -> #3.

Если

то, как следует из теоремы о неявной функции, существует область G ' c G такая, что V J C G C 'Ф1(Х) = f(&i(x), Ф2М) для некоторой функции /.

10*

Поэтому Жф(<3') и W~(G') согласованы. Пусть теперь (1) не выполнено в некоторой точке х' EEG. Тогда найдегся окрестность ( / э х ' такая, что си­

стема у = ¥(х)(у — трехмерный вектор у = (yv уг, у3)) при X G ( / опреде­

ляет диффеоморфизм \|) = Ч? \и: i/ -> R3. Положим теперь ф (у) = Ф2 (ijr1 (у)) при y^yfp(u)\ z — точка R*: z=(zv z2, 23, 24). Определим, наконец, функции

ф<*> (г) - Ф (zv z2, zk+2), i = l , 2 , H f ( z ) = d(<F(1W2)) e Е с л и d ( z i , z2)

— = 0 y(yvy2,y3)^y(U)9 (2)

°^3 l2=(l/1,I/2I/3,I/3)

то нетрудно показать, что существует область G' d U такая, что Жф (G') и Жф{С) согласованы.

ЛЕММА 2.4. Сущес.пвуеп область G' CZG такая, что выполнено одно из двух:

а) либо Жф(йг) и №~(G') согласованы, и тогда выполнено либо (1), либо (2) для некоторой области U CZ G,

б) лабо «^ф(С') а ^ф(0") яв согласованы для любой области G'c~Gf* Доказательство мы опустим, ввиду его простоты. Нам потребуется еще следующее

О п р е д е л е н и е 2.5. Пусть A(G)y B(G) — два слоения области G по­

верхностями или кривыми. Углом между этими слоениями мы называем нижнюю грань неотрицательных углов между касательными простран­

ствами, проведенными в некоторой паре точек области G к содержащим эти точки элементам соответствующих слоений:

Z 04(G), B(G))= inf /HTgA^TgBr),

x',x"^G

где TgAx—касательное пространство к элементу из A(G), содержащему точку х' (аналогично понимается TgBx»),

Если Ф; таково, что rankФ;(x) = 2 y x ^ G , где G—область в I3, то мы будем писать ^ ( G ) вместо <7гГ^ф.(С); е:ли k, i таковы, что Ф^(х)=рО yx^G, то мы пишем SPki(G) вместо ^ Ф ^ ( С ) .

ЛЕММА 2.6. Существует область Giczl3 такая, что выполнены следую­

щие пять утверждений:

1. у k, i либо (а) Ф^ (х)=/=0 в Gx (Gx — замыкание Gx), либо (б) Фы(х) = 0 y i G Gv

2. Если i таково, что ФЦ (Х) и Ф2г (х) удовлетворяют 1 (а), то либо (а) rank Ф* (х) = 2 у л; ЕЕ Glf ^yi5o (б) rank ф/ (я) = 1 у х е Gv

3. £сла (ЗЛЯ I и j выполнено 2 (а), то либо (a) Z ^ ( ^ ( G i ) , J f j ( G i ) ) > 0 , либо (б) J{r»(G1)=Jjfj(G1).

4. Пусть 9>х и 3*2 — какая-то пара слоений из &hi{Gx), где k и i таковы, что выполнено 1 (а). Тогда либо (а) /_ (0*1,8*2) > 0 , либо (б) 9>\=0>2.

5. Пусть 2Р\ принимает те же значения, что и в предыдущем пункте, a i таково, что выполнено 2 (а). Тогда либо (ъ)Z_ {&u№i{G\)) > 0 , л^бо

(б) ^ i подчиняет Xi{Gx).