МОДЕЛИРОВАНИЕ том 11 номер 12 год 1999

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. K. Алексеев, К определению пространственно- го распределения параметров на входной границе сверхзвукового потока по измерениям в поле те- чения, Матем. моделирование, 1999, том 11, но- мер 12, 33–44

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:04:31

МОДЕЛИРОВАНИЕ том 11 номер 12 год 1999

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НА ВХОДНОЙ ГРАНИЦЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА

ПО ИЗМЕРЕНИЯМ В ПОЛЕ ТЕЧЕНИЯ

© А.К.Алексеев РКК Энергия, г. Королев

Рассмотрена задача определения параметров на входной границе сверхзвукового вязкого потока по измерениям ниже по течению. Использована сопряженная задача, позволяющая эффективно рассчитывать градиент невязки в пространстве управляющих параметров (параметров течения на входной границе). Результаты численных экспериментов демонстрируют возможность решения рассматриваемой обратной задачи конвекции методом наискорейшего спуска.

ON ESTIMATION OF SPATIAL DISTRIBUTION

OF ENTRANCE BOUNDARY PARAMETERS FROM FLOWFIELD MEASUREMENTS FOR SUPERSONIC FLOW

A.KMekseev

RSC "ENERGIA", Korolev

The problem is considered for estimation of supersonic viscous flow entrance conditions from meas­

urements in downflow cross-sections. The adjoint problem is used for the fast calculation of residual gradient in the space of control (entrance boundary) parameters. Results of numerical experiments corroborate the feasibility to solve the considered inverse convection problem using steepest descent method.

1. Постановка задачи

На практике прямое измерение параметров потока в интересующей области часто за­

труднено из-за отсутствия доступа, высоких тепловых потоков и т.д. В то же время нередко имеется возможность измерить параметры течения (например, распределение температуры) в некоторых других зонах. В связи с этим, представляет интерес определение пространственной структуры течения в некотором входном сечении по информации, предоставляемой измерениями параметров течения ниже по потоку. В данной работе анализ проведен для двумерного потока вязкого сжимаемого газа, который является сверхзвуковым вдоль одной координаты (X) (рис. I). Использован алгоритм расчета поля течения (прямая задача), а также алгоритм оптимизации, позволяющий минимизировать невязку между расчетными и экс-

34 А.К.Алексеев периментальными данными, изменяя параметры на границе. В качестве оптимизационного метода рассматривается метод наискорейшего спуска, ключевым элементом которого является расчет градиента невязки в пространстве управляющих параметров. Вообще говоря, при малом числе управляющих параметрВ качестве оптимизационного метода рассматривается метод наискорейшего спуска, ключевым элементом которого является расчет градиента невязки в пространстве управляющих параметров, ов задачи такого класса можно решать с помощью пря-мого дифференцирования. При расчете градиента невязки прямым численным дифференци-рованием число обращений к прямой задаче пропорционально числу управляющих парамет-ров. Поэтому при большом числе управляющих параметров этот подход требует слишком много времени, и использование сопряженной задачи [1-14] обеспечивает значительно боль-шее быстродействие.

Рис.1. Схема течения. А - входная граница, Е - зона измерения

Значительный прогресс достигнут при использовании уравнений Навье-Стокса и со­

пряженных задач для оптимизации аэродинамических форм (начиная с [2]). При этом про­

ектируется геометрическая форма, обеспечивающая минимум некоторого функционала (сопротивления, подъемной силы, распределения давления). Например, при проектирования тел с минимальным сопротивлением, сопряженная задача поставлена в [2,7] для несжи­

маемого ламинарного течения, описываемого двумерными уравнениями Навье-Стокса, а в [8]

- для двумерных усредненных по Рейнольдсу сжимаемых уравнений Навье-Стокса. Исполь­

зование сопряженной задачи обеспечивает быстрый расчет управляющего воздействия для большого набора управляющих параметров (координат граничных точек тела). Этот успех в значительной мере обусловлен тем, что задачи оптимизации аэродинамической формы в двумерном случае корректно поставлены [9]. Другой областью использования сопряженных задач является управление течением [10,11,13] с помощью вариации граничных условий.

Обратные задачи типа идентификации параметров также привлекают внимание [6,15- 17]. Значительная часть задач идентификации является некорректно поставленной, что приводит к численной неустойчивости [15]. В [12] рассмотрено определение распределения температуры на входе в канал по ее измерениям на выходе при известном поле скорости. В [14] определяется распределение температуры во входном сечении потока по ее измерениям на выходной границе для параболизированных уравнений Навье-Стокса.

В предлагаемой работе рассмотрена сопряженная задача для расчета градиента невязки при определении неизвестных параметров на границе (плотности, температуры, компонент скорости по отдельности или вместе) по измерениям в поле течения. Представлены резуль­

таты численных экспериментов.

2. Система уравнений прямой задачи

' Одной из наиболее распространенных моделей, для которой есть эффективные числен­

ные методы, является модель параболизированных уравнений Навье-Стокса (ПНС) [18,19]. В этой модели имеется одно выделенное направление, вдоль которого происходит эволюция ре­

шения. Вязкие члены вдоль него отбрасываются, и возникает возможность рассчитывать течение маршевым по пространству методом. В связи с этим фактическая размерность задачи уменьшается на единицу.

Здесь ПНС используются для моделирования двумерного ламинарного сверхзвукового течения вязкого теплопроводного газа. Система уравнений (1)-(5) имеет эволюционный вид по Хв может решаться маршевым вдоль А методом [18,19], начиная от границы А:

^ > + » = 0, (1)

dX dY

TT

dU „dU 1 дР 1 d

U

U + V + = —— (2) дХ dY рдХ R e p a y

'

rT

dV

dV \дР 4 d

V

U— + V — + = - ^ r . (3)

дХ dY pdY 3 p R e d y

'

rr

i, & / ,ч (&J dV\ i f у d

e 4 (dU)

)

U— + V — + ( к - 1 ) е — + — = 4 — ' T + — , (4) дХ dY \dX dY) p^RePray

ЪКеКдГ) J

*=С

Г=Л/(у-1)Т; P=(y-l)p^, (Х,У)еО=(0<Х<1; (XY<\).

Закон сохранения массы описан уравнением (1). Уравнения (2)-(3) описывают сохране­

ние импульса. Закон сохранения энергии описан уравнением (4).

Используются следующие граничные условия (рис. 1):

на А (Х=0) параметры течения на входе

е(0,У)=

(У); р(0,У)=Роо(У); U^Y^UJY); V(0,Y)=VJY); (5) на В, D (У=0, У=\) условия соответствуют вытеканию:

dfldy=0.

(обозначим Л Ю=(Р(П ЩП * Ш е(У)).

Нужно определить величины/^(У) на фанице А, используя в качестве исходных данных измерения параметров в точках (X

,Y

) в поле течения. Для этого будем минимизировать невязку между расчетной (решение задачи (1)-(5)) и экспериментальной/*

(Х

,¥

) величина­

ми ниже по потоку:

еОоОО) = J Д/

(Х,У) - f(XJ)fb(X - Х

ЩУ - Y

)dXdY. (6)

Y

3. Сопряженная задача

Следуя [1-5], составим лагранжиан Ц ^ / , 4 0 из задачи (1)-(4), записанной в слабом ви­

де, и невязки (6):

36 А.К.Алексеев

M/../.VO = e(/„(F)) + JJ( ^ + ^ )<¥

(X,Y)dXdY

XKV

(p,U,V,e удовлетворяют фаничным условиям (5)).

Необходимым условием минимума (6) является равенство нулю вариации dJJf^^f):

AL(/

,/,T) = J Ав + ч|l/^+...J + (tf^+...WLfc = 0. (8)

Третий член равен нулю на решениях (1)-(4). Для определения зависимости вариации лагран­

жиана (8) в зависимости от вариации управляющих параметров необходимо сформулировать задачу в приращениях (второй член). Для этого в граничное условие (5) введем возмущение

АД0,У)=А/оо(У). (9)

Рассмотрим вариацию лагранжиана (8) с учетом вида задачи для приращений Др,Д1/, Д V,Ai. Вычтем невозмущенное решение и учтем только члены первого порядка точности

A U / » ( n / , ^ = Ae(/„(y)) + +

У Х

+

YX

XY

r dAU ^{t ATf} du , ^Al ,du ,

6AU I э ² Д£/ , ДР д*и ДР ар ^t

U + A£/ + AV— + V fiY aY f)Y

dX dX dY dY pRe dY2 p2RE ду2 р2 дХ

г г

(

,дДе

де

де „ дЬе , ^

(dU dV\

.. (dtdJ dAV}

XY

\_

pRe

(

у d

U у Ар д

е SfdAUVdU^ Ap4fdU

\ Pr dY

Pr P dY

з 1 dY KdYJ p 3\ду)

2\\

3Y

ft P dY и сгруппируем члены с Ap,A£/,AV,Ae

4*

(XJ)dXdY

р Н Ж Re

y

J " р

[ Э/> 4 5

V]

ЗУ 3RC5Y +

) 4V + Ар

Р

Y д

е

4 fdtA [RePraF

3 R e U y J J

2 \ ^

<ШУ +

и ^ ^{+ д} ^ ^{+ у} м - ^ ^ к ^{№ у ) +} ^ ^{д и +}

аде/

зх ^{дХ dY pRe аУ}

+р ,0V,

ах

ах

T

+ Д £ / — ¥

+ AU — % + (у - D e ^ ^ -

/У

ам/, дх

дХ 8 at/ аде/

3Re dY dY

¥

)dXdY +

Я

J J ^ ax зу w lax syJ PRePray2J

y-ifao эдЛ

, у-1(Ф

эдс\

">

^ Ь г *

7 Г Г * P 1ж *

a r W ^<шу.

Далее уравнение, описывающее вариацию лагранжиана, используем для постановки сопря­

женной задачи аналогично [1-6]. Для этого проинтегрируем это уравнение по частям и учтем граничные условия для приращений Ap,A£/,AV,Ai. Цель преобразований состоит в том, чтобы найти вектор-функцию 4* СУ^ц.Н'у^е) такую, что Ae=AL= Jgrad(e) • &fJ(Y)dY, а все

Y

остальные члены первого порядка были равны нулю (можно показать, что dL I df^ =d&l df^)

[13]. Таким образом, можно рассчитать градиент функционала невязки. В результате

сформули-руем сопряженную задачу:

38 А. К. Алексеев

w

£ S t

^

(

- i ) * S 2 M

- i ) * a u M _

дХ dY dY дХ

у-1(де 8е ) ( 1 дР 1 д

и) 1 (дР 4d

v)

-7(^i^ ⁺ ^(f)f' ^{+ 2 ( p} ' ^{< P ( X} - ^, ' ⁾ - ^{p ( X} ' r ) ) 5 ( X - ^x » ^{) 5 ( y} - ^r '- ^{) = 0} ' ⁽¹⁰⁾

u

^u_

^uV

^ ( ^ de_ V±(P

V

дХ dY

дХ KdX

дХ ') dX\p '}

дХ dY VdY

dY ')

dY dYKp ') 3Re dY

\ P )

+^V

^(X,Y)-V(X,Y)YiX-X

MY-Y

) = 0, (12)

a ( W

£ V 4

) _

- i r a p *> л Jdu

dv\

3X dY p VdY

3X

)

\dX dY)

, «x^V , ^^u У д

(Ч>Л

• K Y - 1 ) — — + ( Y - 1 ) — — +—• г — - +

^ ' ' dY

' SX RePrsyH P)

+2(е

Р(Х.У)-«а,Г))8(Х-Х

)&ЧУ-К

) = 0; (13)

граничные условия:

на границе D (X=l):

if"

= о,

на границах В,С (У=0; У=1):

^ 0 . (14) dY

Если (10)-(14) выполнены, то

ДЕ(/„(У))

= ДЦ/^У),/,*) = iffvjU +(Y - D ^ A ^ y ) ) |

ЙУ + + / ( ( V + (Y- D^ue I p)&P«(Y)) \

dY +

+/ ((^U + p*

+ (у - 1)Т

е)д{/„(У)) |

^У +

+J(T

l/AV

(y))|

dy. (15)

Данное выражение позволяет определять градиент невязки в пространстве управляющих параметров. Следует отметить, что структура выражения (15) дает возможность взаимной компенсации различных параметров; это может приводить к ухудшению устойчивости.

4. Численные эксперименты

Поле течения (прямая задача, (1)-(4)) рассчитывалось маршевым по X конечно-разност­

ным методом [18,19], имеющим первый порядок точности по X Е второй порядок по Y. На каждом новом шаге по продольной координате параметры течения находились итерациями, совпадающими по форме с решением нестационарных уравнений. Для сопряженной задачи (10)-(14) использован тот же конечно-разностный алгоритм, что и для прямой. Проводился марш по эволюционной координате в обратном направлении (начиная с Х=7).

В поперечном направлении (Y) расчетное поле содержало 50 узлов, в эволюционном направлении (X) - 30-100 шагов. Начальные величины в узлах сетки /oo(^i)=/i 0 = 1 , . . , ^ ) использованы как набор управляющих параметров. Исходные ("экспериментальные**) данные соответствовали некоторому сечению Xm=const (E, рис.1) и имитировались с помощью предварительного расчета. Параметры течения принимались равными М=4 (M=UJ(KRTOC) ' ), Re=1000 (Re=p00(/ooyb/|A), отношение продольного к поперечному размеру Хо/Уо=4. На рис. 2 представлено распределение параметров течения на входной границе и в сечении, где проводятся измерения для некоторого модельного распределения параметров.

Рис Л. Сравнение параметров течения на входной границе и в зоне измерения.

1-параметры на входной границе, 2- параметры в зоне измерения

Проведено сравнение величин градиента невязки grad(e) (dddfi) (/=l,...^Vy), полученных с помощью сопряженной задачи и с помощью прямого численного дифференцирования.

Выражение de/dft=(e(1.01/;) - e(/J))/0.01 было использовано для расчета каждой компоненты градиента. Градиенты, полученные прямым дифференцированием и из сопряженной задачи практически совпадают, как представлено на рис. 3, но при прямом дифференцировании

40 А.К.Алексеев

наблюдаются значительные осцилляции на границах (они возникают, если поле течения у границы неоднородно).

0

-1 -2

gradt

Т Р

1

' ^-1

\

\_?_

и

1г i i ^

1 \ ^ / у

V

W ум

Рис.3. Сравнение градиентов, полученных прямым дифференцированием и из сопря­

женной задачи для определения полного набора f^Wi) faUMT) 1-прямое численное дифференцирование, 2-сопряженная задача

При решении собственно обратной задачи по измерениям в поле течения определялось распределение параметров на границе Л. Задача решалась итерационным способом, методом наискорейшего спуска:

ГГ

= ft - F8Md(**)i (i-l...JW. (16)

Ошибка данных имитировалась добавлением нормально распределенных случайных чи­

сел с дисперсией а. Итерации останавливались при 5<а

, b=s/(4N

)

, a

- это ошибка данных или некоторая малая величина (если расчет проводился с машинной точностью исходных данных).

На каждой итерации расчет имел следующую структуру: сначала решалась прямая за­

дача (1)-(5) для параметров ДУ») и запоминалось поле течения p(X,Y), U(X,Y), V(X,Y), T(X,Y).

Рассчитывалась невязка s

(f) и проверялся критерий остановки. Далее решалась сопряженная задача (10)-(14), определялся градиент giad(e

), затем - шаг итерации Р

, и новые управля­

ющие параметры рассчитывались в соответствии с (16).

Проведены расчеты для определения полного набора параметров (плотность, компо­

ненты скорости, температура) на границе втекания /«(У/) (p,U,V,T) по их измерениям в неко­

тором сечении. Рис. 4 демонстрирует качество восстановления пространственной структуры (Re=1000, X/Y= 1.2, ^ = 3 0 , Wy=50) для точных данных (точность совпадения расчетных и

«экспериментальных» величин 5=0.007). На графиках величины fJJd (p,U,T) нормированы на минимальное значение (V нормировано на и^

и сдвинуто на единицу (A^l+W^min))- «Из­

мерения» осуществлялись в поперечном сечении N^=25. Расчет занял около 30 минут на Pentium-133. По мере уменьшения невязки при оптимизации развивается неустойчивость. При 5-10"

метод наискорейшего спуска перестает работать. Ошибка исходных данных значитель­

но ухудшает устойчивость, что представлено на рис. 4 для ст=0 и а=0.01.

Рис.4. Результаты определения /oo(^i) по измерениям / (Y) для ошибки данных с дисперсией сг=0 и <т=0.01.

1 - точное, 2 - ст=0.0, 3 - а=0.01.

В отличие от [12], в этой постановке возможно использование данных с нескольких сечений и вообще с произвольного набора точек измерения. Использование данных с нескольких сечений, расположенных рядом, несколько увеличивает устойчивость, вероятно за счет усреднения ошибки. При использовании нескольких сечений, расположенных на достаточном удалении, результат соответствует сечению, наиболее близкому к входной гра­

нице.

При достаточно большой величине ошибки исходных данных к невязке е(/) добавлялся регуляризирующий член второго порядка вида a(fi+/-2/j+/;.i)2, результаты представлены на рис.5 (а=0.1).

При определении профиля одного параметра (температуры) во входном сечении из из­

мерений в некотором сечешш ниже по потоку неустойчивость проявляется существенно сла­

бее. Результаты определения TjiYf) по измерениям 7**Р(У) представлены на рис.6 для ошибок данных с дисперсиями а=0, 0.01 и а=0.05. Постоянная температура использовалась в качестве начального приближения. На точных данных уменьшение невязки продолжалось до величин невязки около 5=0.0001 без заметного развития неустойчивости. На зашумленных данных ме­

тод наискорейшего спуска останавливается при невязке, близкой по величине к ошибке.

Расчеты показывают, что при увеличении вязкости заметно усиливается неустойчи­

вость, что вероятно связано с необратимой потерей информации вследствие диссипации. Ре­

зультаты определения/^(У,) по измерениям/схр(У) для течений с разной вязкостью приведены на рис.7 (1 - невязкое течение (Re*oo), 2 - Re«1000).

42 А. К. Алексеев

1 Ny 1

Рис.5. Влияние регуляризации второго порядка.

1-точное, 2- 0=0.05 без регуляризации, 3- 0=0.05 с регуляризацией

50 Л/у

Рис.6. Результаты определения Г^У,-) лю измерениям T^(Y) для ошибки данных с дисперсией о~=0, и 0.05.

1 - точное, 2 - а=0.0, 3 - а=0.05 5. Выводы

Рассматривался метод расчета градиента невязки. Единственность решения данной обратной задачи и границы применимости градиентных методов оптимизации (например, из-за наличия локальных минимумов) требуют дальнейшего исследования. Следует отметить, что представленные выше частные результаты демонстрируют успешное решение обратной задачи конвекции и применимость градиентных методов. Тем не менее, в случае развития

неустойчивости или на зашумпенных исходных данных метод наискорейшего спуска останавливается при некоторой величине невязки. Это может служить косвенным признаком наличия малых локальных минимумов или овражности.

Рис.7. Результаты определения f^Wi) по измерениям / (У) для течений с разной вязкостью. 1 - Re=oo, 2 - Rc=1000

При определении одного параметра течения неустойчивость проявляется слабо. При определении всех параметров некорректность задачи проявляется более существенно (ср.

рис.5 и 6). Взаимное влияние разных параметров усиливает неустойчивость благодаря ком­

пенсации одного параметра вариацией другого. Наличие шума в исходных данных суще­

ственно увеличивает неустойчивость. Ситуация типична для обратных задач типа идентифи­

кации [5,15].

6. Заключение

Рассмотрена обратная задача конвекции по определению параметров потока (температуры, плотности, компонент скорости) на входной границе с использованием данных по их распределению в поле течения. Анализ проводился для сверхзвукового двумерного те­

чения вязкого теплопроводного газа. Исполюована сопряженная задача, которая позволяет рассчитывать градиент невязки с затратами компьютерного времени, примерно эквивалентны­

ми двукратному решению прямой задачи. Прямая и сопряженная задачи реализованы с по­

мощью одного и того же конечно-разностного алгоритма.

Результаты численных экспериментов подтвердили возможность определения распреде­

ления параметров течения (температуры, плотности, компонент скорости) на входной границе по измерениям ниже по потоку.

44 А.К.Алексеев

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ж.~Л.Лионс. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произ­

водными, - М.: Мир, 1972.

2. O.Pironneau. On Optimum Design in Fluid Mechanics, J. Fluid Mech., 1974, v.64, N1, p.97-110.

3. Р.П.Федоренко. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.

4. Ф.П.Васильев. Методы решения экстремальных задач, - М.: Наука, 1981.

5. О.МАлифанов. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988.

6. F.X. Le Dimet, O.Talagrand. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological ob­

servations, Tellus, 1986, v.38, ser. A, N 2, p.97-110.

7. J.Huang, V.Modi. Optimum Design of Minimum Drag Bodies in Incompressible Laminar Fow Using a Control Theory Approach, Inverse Problems in Engineering, 1994, v.l, p.1-25.

8. B.Soemarwoto. The Variational Method for Aerodynamic Optimization Using the Navier-Stokes Equations, ICASE Report, 1997, No. 97-71.

9. EArian, S.Ta'asan. Analysis of Hessian for Aerodynamic Optimization: Inviscid Flow, ICASE Report 1996, No. 96-28.

10. R.D.Joslin et al. Self-contained, automated methodology for optimal flow control, AIAA J., 1997, v.35, N5, p.816-824.

11. A.Sahrapour, N.U.Ahmed, S.Tavoularis. Boundary Control of the Navier-Stokes Equations with Potential Application to Artificial Hearts, in Second Annual Conference of the CFD Society of Canada, Toronto, Ontario, 1994, p.387-394.

12. Ramanujam Raghunath. Determining Entrance Conditions from downstream measurements, Int. Com- mun. Heat Mass Transfer, 1993, v.20, p.173-183.

13. M.Clerc, P.Le Tallec and M.Mallet. Controle Optimal de Navier-Stokes Parabolize, INRIA, Report N 2653, 1995.

14. А.К.Алексеев. К расчету градиента невязки при решении обратной граничной задачи конвекции, ' Труды третьей международной конференции «Идентификация динамических систем и обратные за­

дачи», М.- СПб.: 1998, с.433-442.

15. AMoutsoglou. Solution of an elliptic inverse convection problem using a whole domain regularization technique, J. Thermophysics and Heat Transfer, 1990, v.4, N3, p.341-349.

16. А.К.Алексеев. К оценке параметров невозмущенного течения по измерениям теплового потока на поверхности,Теплофиз. Высоких Темпер., 1997, т.35, N5, с.787-794.

17. А.К.Алексеев. К определению пространственной структуры течения из решения обратной граничной задачи конвекции, Труды второй Российской национальной конференции по теплообмену. - М.:

1998, т.2, с.37-40.

18. Е.Н.Бондарев и др. Аэрогидромеханика. - М.: Машиностроение, 1993.

19. В.И.Мышенков. Расчет вязкой ламинарной сверхзвуковой струи в спутном потоке, Ж. вычисл. маг тем. и матем. физ., 1979, т. 19,. N2,. с.474-485.

Поступила в редакцию 15.12.1998.