А. В. Влахова, К оценке пределов применимости модели Н. Е. Жуковского для планирующего полёта, Фундамент. и прикл. матем., 2005, том 11, вы- пуск 7, 21–33

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Влахова, К оценке пределов применимости модели Н. Е. Жуковского для планирующего полёта, Фундамент. и прикл. матем., 2005, том 11, вы- пуск 7, 21–33

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 00:57:37

Н. Е. Жуковского для планирующего полёта

А. В. ВЛАХОВА Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова УДК 531.8

Ключевые слова:динамика полёта, приближённая математическая модель, плот- ность воздуха, высота полёта, модель Жуковского.

Аннотация

Ранее при исследовании задачи о планирующем полёте, т. е. о плоском продольном движении самолёта с выключенным двигателем, предполагалось, что самолёт является абсолютно твёрдым телом, Земля — плоской и невращающейся, а окружающая среда — спокойной. Кроме того, принимались дополнительные допущения о неизменности угла атаки самолёта и постоянстве плотности воздуха. В данной работе обсуждаются пре- делы применимости этих дополнительных допущений.

Abstract

A. V. Vlakhova, On applicability limits of Zhukovsky’s model for the gliding flight, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 11 (2005), no. 7, pp. 21—33.

In the studies of the problem of the gliding flight, i.e., aircraft longitudinal movement with its engines switched off, the aircraft was traditionally assumed to be an absolutely rigid body, the Earth was not rotating and had a plane surface and the atmosphere was quiet. Further, the attack angle and the air density were assumed constant. The aim of this paper is to discuss the applicability limits of these assumptions.

Запишем традиционные уравнения продольного движения самолёта [2, 3, 8]:

MdV

dT =−M gsin Θ +P^TcosA−1

2V²SC_x, M VdΘ

dT =−M gcos Θ +P^TsinA+1

2V²SC_y, dH

dT =V sin Θ, dX

dT =Vcos Θ, dϑ

dT = Ω_z, I_zdΩ_z

dT = 1

2V²Sb_aM_z,

A=ϑ−Θ, C_x=C_x(A,∆_в)), C_y =C_y(A,∆_в)), M_z=M_z

A,b_a

V ,dA dT,b_a

V Ω_z,∆_в

, =(H).

(1)

Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 7, с. 21—33.

c 2005Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

Рис. 1

ЗдесьT— размерное время,H,X,V — координаты и скорость центра масс,Θ,ϑ, A, ∆_в— углы возвышения траектории, тангажа, атаки и поворота руля высоты (рис. 1),M,I_z,S,b_a— масса, момент инерции, площадь крыльев, средняя аэро- динамическая хорда крыла самолёта, g— ускорение силы тяжести, P^T — тяга двигателя,— плотность воздуха, C_x, C_y,M_z— коэффициенты силы лобового сопротивления, подъёмной силы и аэродинамического момента.

Система (1) записана в предположениях, что вектор тяги проходит через центр масс и самолёт движется на дозвуковых скоростях, т. е. зависимость аэродинамических коэффициентов от числа Маха может не учитываться [2,3,8].

Будем, далее, считать, что высота полёта не превышает величин порядка 11 км. Тогда, в соответствии с [2,3,8,9], плотность воздуха задаётся следующим выражением:

=₀(1−βH)^γ−1. (2) Здесь 0, β, γ > 0— константы, соответствующие характеристикам стандарт- ной атмосферы. Примем дополнительные допущения о малости углов атаки (A∼0,1 рад) и о статической устойчивости самолёта (∂M_z/∂A <0).

Построим для системы (1), (2) приближённую математическую модель дви- жения. Возможность упрощения этой системы связана с сильным разнесением характерных временных масштабов изменения угла атаки и вектора скорости центра масс, а также со слабой зависимостью плотности воздуха от изменения высоты полёта [2, 3, 8].

Приведём систему (1), (2) к виду, допускающему применение тихоновской процедуры разделения движений [4,7,10,11]. Для этого заменим исходный набор переменныхV,Θ,H,X,ϑ,Ω_zнаборомV,Θ,H,X,A,Ω =dA/dT, содержащим

«быстрые» переменныеA, Ω. Проделаем также замену H =H_∗+ ∆H, гдеH_∗— характерная высота полёта. Система (1), (2) перейдёт в следующую:

MdV

dT =−M gsin Θ +P^TcosA−1

2V²SC_x, M VdΘ

dT =−M gcos Θ +P^TsinA+1

2V²SC_y, d∆H

dT =Vsin Θ, dX

dT =V cos Θ, dA

dT = Ω, I_zdΩ

dT =1

2V²Sb_aM_z−

−r²_z 1

V

−MdV

dT +M gsin Θ dΘ

dT +

P^TcosA+1

2V²S∂C_y

∂A

Ω + +dP^T

dT sinA+1

2V²S∂C_y

∂∆_в d∆_в

dT

+

dV dT +1

2V d d∆H

d∆H dT

SC_y

, C_x=C_x(A,∆в), C_y=C_y(A,∆в),

M_z=M_z

A,b_a V Ω,b_a

V

Ω +dΘ dT

,∆_в

, =_∗(1−λ∆H)^γ−1, _∗=₀(1−βH_∗)^γ−1, λ= β

1−βH_∗.

(3)

Здесьr_z— радиус инерции самолёта, выраженияdV /dT,dΘ/dT, d∆H/dT, сто- ящие в правой части последнего дифференциального уравнения, заменяются соответствующими выражениями из правых частей первых трёх уравнений.

Рассмотрим задачу на классе движения модели Жуковского, т. е. на та- ких манёврах самолёта, при которых параметры движения центра масс V, Θ изменяются существенно. Нормализуем систему (3), заменив переменные их безразмерными аналогами

t= T

T_∗, v= V

V_∗, θ= Θ

Θ_∗, ∆h= ∆H

∆H_∗, x= X

X_∗, α= A

A_∗, ω= Ω Ω_∗, δв= ∆_в

∆_в∗, ρ=

∗, p^T = P^T

P_∗^T, c_x= C_x

C_x∗, c_y = C_y

C_y∗, m_z= M_z M_z∗. Здесь T_∗, . . . , M_z∗— характерные для рассматриваемого класса движения зна- чения соответствующих величин, выбираемые так, чтобы их нормализованные аналогиt, . . . , m_z по модулю не превосходили величин порядка единицы. В от- личие от [7, 11], учтём малость угла атаки и вид (2) зависимости плотности воздуха от высоты полёта.

В качестве характерного времени для выбранного класса движения возьмём T_∗=T₁=V_∗/g, т. е. время, за которое скорость центра масс под действием сил порядка веса изменяется на величину порядка V_∗. Естественно предположить, что на тех же временах T ∼ T₁ существенно изменяются управления — сила тягиP^T и угол отклонения руля высоты∆_в.

Будем считать характерные значения подъёмной силы и силы тяги вели- чинами порядка веса самолёта: V_∗²SC_y∗/2 = P_∗^T = M g. Тогда из первого и второго уравнений системы (3) следует (dV /dT)_∗ =g, (dΘ/dT)_∗ =g/V_∗. При- мемΘ_∗= 1. Тогда из третьего уравнения системы (3) следует(d∆H/dT)_∗=V_∗. Выберем A_∗ = ∆в∗, M_z∗ =|(∂M_z/∂A)_∗|A_∗, C_y∗ = (∂C_y/∂A)_∗A_∗, (∂C_y/∂A)_∗ =

= (∂C_y/∂∆в)_∗. Полагая в третьем и четвёртом уравнениях системы (3)T ∼T_∗, V ∼V_∗, Θ∼Θ_∗, получим оценки характерного изменения высоты и дальности полёта: ∆H_∗ =X_∗ = V_∗²/g. Оценку Ω_∗ =A_∗/T₂ получим, как и в [7, 11], из упрощённого уравнения

I_zd²A dT² = 1

2_∗V_∗²Sb_a ∂M_z

∂A

∗

A, описывающего угловые колебания с постоянной времени

T₂=

2I_z ∗V_∗²Sb_a ^∂M_∂A^z

∗. Нормализованным аналогом системы (3) будет

dv

dt =−sinθ+p^Tcosεα− 1 K_∗ρv²c_x, vdθ

dt =−cosθ+p^Tsinεα+ρv²c_y, d∆h

dt =vsinθ, dx

dt =vcosθ, µdα

dt =ω, µdω

dt =ρv²m_z−λ₁ 1

v

µ

−dv dt + sinθ

dθ dt +

εp^Tcosεα+ρv²∂c_y

∂α

ω+ +µ

dp^T

dt sinεα+ρv²∂c_y

∂δв

dδв

dt

+µ

2ρdv

dt +v dρ d∆h

d∆h dt

c_y

, c_x=c_x(α, δ_в, ε), c_y=c_y(α, δ_в, ε),

m_z=m_z

α, ε₁ω v,ε₁

v dθ

dt, δв, ε, µ

, δв=δв(ε, µ, t), ρ=

1−λV_∗²∆h g

_γ−1 .

(4)

Здесь µ= T₂

T₁, ε=A_∗, ε₁=T₃

T₂, K_∗= C_y∗

C_x∗, λ= β

1−βH_∗, λ₁=µ ε, T₃ =b_a/V_∗— характерное время пролетания частиц воздуха вдоль крыла само- лёта.

Для числовых значений параметров самолётов и атмосферы из [2, 3, 8] и высот полётаH_∗∼5÷10км имеемT₁∼10÷30с, T₂∼0,5÷1 с,T₃∼0,01с, K_∗ >1, λ∼0,2·10⁻⁴ 1/м, γ= 5,26, т. е. µ, ε∼0,1,ε₁ ∼0,01, λ₁ ∼1. Отсюда видно, что µ и ε имеют одинаковые порядки малости, ε₁— величина второго порядка малости по µ, ε. В диапазоне рабочих скоростей V_∗ = 100÷300 м/с дозвуковых самолётов имеем λV_∗²/g ∼ 10⁻²÷10⁻¹. Представим разложение Маклорена дляρв виде

ρ=

1−λV_∗²∆h g

_γ−1

= 1−ξ∆h+ γ−2

2(γ−1)(ξ∆h)²−. . . , (5) где параметрξ= (γ−1)λV_∗²/g может принимать следующие значения:

I. ξ∼µ∼ε∼0,1для V_∗, не превосходящих величин порядка100 м/с, II. ξ∼1 для V_∗, превышающих величины порядка 200 м/с.

В случае I будем рассматривать систему (4), (5) как возмущённую [4, 10]

по малым параметрамµ, ε, ε₁, ξ 1, в случае II — как возмущённую по малым параметрамµ, ε, ε₁1.

В соответствии с [4, 10] запишем вырожденные по этим малым параметрам системы, полагаяµ, ε, ε₁, ξ или соответственноµ, ε, ε₁ равными нулю.

В случае I получим систему d¯v

dt =−sin ¯θ+p^T− 1

K_∗ρ¯¯v²¯c_x, v¯dθ¯

dt =−cos ¯θ+ ¯ρ¯v²c¯_y, d∆¯h

dt = ¯vsin ¯θ, d¯x

dt = ¯vcos ¯θ, 0 = ¯ω, 0 = ¯ρ¯v²m¯_z,

¯c_x=c_x(¯α,¯δв,0), ¯c_y =c_y(¯α,δ¯в,0),

¯

m_z=m_z(¯α,0,0,δ¯_в,0,0), δ¯_в=δ_в(0,0, t), ρ¯= 1.

(6)

В случае II вырожденной системой будет d¯v

dt =−sin ¯θ+p^T− 1

K_∗ρ¯¯v²¯c_x, v¯dθ¯

dt =−cos ¯θ+ ¯ρ¯v²c¯_y, d∆¯h

dt = ¯vsin ¯θ, d¯x

dt = ¯vcos ¯θ, 0 = ¯ω, 0 = ¯ρ¯v²m¯_z,

¯c_x=c_x(¯α,¯δв,0), ¯c_y =c_y(¯α,δ¯в,0), m¯_z=m_z(¯α,0,0,δ¯в,0,0), ¯δв=δв(0,0, t), ρ¯=

1− ξ∆¯h γ−1

γ−1

.

(7)

Обсудим корректность проделанных предельных переходов от исходной си- стемы (4), (5) к вырожденным системам (6) или (7). Воспользуемся теоремами А. Н. Тихонова и А. Б. Васильевой [4, 10], определяющими условия близости

решений сингулярно возмущённой по малому параметруµ1 системы общего вида

dy

dt =Y(y, z, t, µ), y(0) =y₀, µdz

dt =Z(y, z, t, µ), z(0) =z₀.

(8) и вырожденной системы, получающейся из (8) приµ= 0

d¯y

dt =Y(¯y,z, t,¯ 0), y(0) =¯ y₀, 0 =Z(¯y,z, t,¯ 0).

(9) Здесьy, z— векторы произвольной размерности.

Пусть системы (8), (9) удовлетворяют следующим требованиям [4].

1. Функции Y, Z вместе с их частными производными до второго порядка непрерывны при0µµ₀ в некоторой замкнутой ограниченной области G={ya, zb, 0tt}.

2. Второе, конечное, уравнение вырожденной системы (9) в некоторой огра- ниченной поy, tобластиD⊂Gимеет изолированный кореньz¯=ϕ(¯y, t).

3. Точка покояz=ϕ(y, t)«присоединённой» по А. Н. Тихонову системы dz

dτ =Z(y, z, t,0) (10)

асимптотически устойчива по первому приближению. В системе (10) y, t рассматриваются как постоянные параметры.

4. Начальное условие z₀ принадлежит области влияния асимптотически устойчивого положения равновесия присоединённой системы, т. е. сово- купности всех точек, для которых траектории z(τ) системы (10), взятой приy=y₀,t= 0,z(0) =z₀, стремятся к точкеϕ(y₀,0)приτ → ∞. А. Б. Васильевой показано, что при выполнении условий 1—4 и достаточно малых значениях малого параметра0< µµ справедливы оценки

y(t, µ)−y(t)¯ =O(µ) при0tt<∞,

z(t, µ)−z(t)¯ =O(µ) при0< tt<∞. (11) Вторая из оценок (11) верна вне пограничного слоя шириныO(−µlnµ).

Проверим выполнение условий 1—4 для исходной системы (4), (5) и выро- жденных систем (6) и (7). Здесь переменнымy и z системы (8) соответствуют векторы(v, θ,∆h, x)и(α, ω), функциямY иZ— векторы, составленные из пра- вых частей первых четырёх и последних двух уравнений исходной системы;

в качестве малого параметраµв случае I рассматриваютсяµ,ε,ξ, в случае II — µ, ε одного порядка малости, а также ε₁ второго порядка малости по µ, ε.

Условие 1 выполняется очевидным образом. Для проверки условия 2 потребуем разрешимости последнего, конечного, уравнения0 = ¯ρ¯v²m¯_zобеих вырожденных систем относительноα. При¯ ¯v= 0получим

α¯=ϕ(¯δв). (12)

При ¯v = 0 выражение для угла атаки не определено, т. е. условие 2 не вы- полняется, и переход к вырожденным системам неправомочен. Для проверки условия 3 выпишем присоединённую для (4) систему. В силу (10) ею будет

dα dτ =ω, dω

dτ =ρv²m_z(α,0,0, δ_в,0,0)−λ₁ρv∂c_y

∂αω.

(13)

Здесь медленная переменная v и величины ρ, δ_в, зависящие от медленных пе- ременных исходной системы и медленного времени t, в обоих случаях I, II считаются константами, выражения дляδв и ∂c_y/∂α вычисляются приε, µ= 0.

Поскольку на выбранном классе движения ∂c_y/∂α > 0 и ∂m_z/∂α < 0, точка покоя α = ϕ(δв), ω = 0 системы (12) асимптотически устойчива по первому приближению. Следовательно, для начальных условийα₀, ω₀, принадлежащих линейной зоне характеристикc_y,m_z [2, 3, 8], условие 4 также выполняется.

Таким образом, вырожденные системы (6) и (7) можно считать прибли- жёнными математическими моделями вертикальных манёвров самолёта. Систе- мой (6) следует пользоваться в случаях, когда характерные скорости полётаV_∗ не превосходят величин порядка 100 м/с, системой (7) — когда V_∗ превышают величины порядка200 м/с. Поскольку в рассматриваемой задаче ε, µ∼0,1, то согласно (11) погрешности моделей (6), (7) оцениваются величинами порядка 10 % на конечном интервале безразмерного времениt∼1.

Рассмотрим, как и в [1, 5], планирующий полёт самолёта с выключенным двигателем (p^T = 0) при постоянном угле отклонения руля высоты (δв= const).

Первые два уравнения вырожденной системы (6), соответствующей случаю I, образуют независимую подсистему — безразмерный аналог модели Н. Е. Жу- ковского для планирующего полёта. В случае II выражение для ρ¯ в силу вырожденной системы (7) зависит от изменения высоты полёта, т. е. исход- ное предположение модели Н. Е. Жуковского о постоянстве плотности воздуха неправомочно. Таким образом, моделью Н. Е. Жуковского можно пользоваться в диапазоне сравнительно малых скоростей полётаV_∗, не превышающих величин порядка100 м/с.

Заметим, что временной интервал правомочного использования модели Н. Е. Жуковского может быть расширен от конечного t ∼ 1, гарантируемо- го по теореме А. Б. Васильевой, до асимптотически большого t ∼ 1/µ^ζ, где 0 < ζ < 1/2. При исследовании прикладных задач с конечным значением па- раметра µ это означает, что уверенность в точности модели распространяется на более широкий конечный временной интервал. Разумеется, протяжённость обсуждаемых временных интервалов ограничивается условиемH 0.

Достаточные условия близости решения y(t, µ), z(t, µ) системы общего ви- да (8) к решениюy(t),¯ z(t)¯ вырожденной системы (9) на асимптотически боль- шом при µ→0 интервале времени сформулированы в [6]. Для проверки этих условий требуется оценить норму матрицы Коши для системы в отклонени-

ях от решения вырожденной системы, соответствующего начальному условию

¯

y(0) =y₀. Эту оценку чаще всего можно сделать лишь численно.

Однако в случае I можно аналитически выделить область начальных усло- вий y₀, для которой при всех y(t),¯ y(0) =¯ y₀, справедлива требуемая в [6]

оценка нормы матрицы Коши. Это объясняется тем, что в рассматриваемом слу- чае при p^T = 0, δ_в = const правая часть системы (4), (5) слабо (порядка µ) зависит∆h, в связи с чем вырожденная система (6) распадается по ¯v,θ¯и ∆¯h,

¯

xна независимые подсистемы.

Рассмотрим сингулярно возмущённую по малому параметру µ1 систему вида (8) со слабым влиянием части медленных переменных y₂ на остальные y₁,z:

dy₁

dt =Y₁(y₁, µy₂, z, t, µ), y₁(0) =y₁₀, dy₂

dt =Y₂(y₁, µy₂, t, µ), y₂(0) =y₂₀, µdz

dt =Z(y₁, µy₂, z, t, µ), z(0) =z₀.

(14)

Вырожденной для (14) системой будет d¯y₁

dt =Y₁(¯y₁,0,¯z, t,0), y¯₁(0) =y₁₀, d¯y₂

dt =Y₂(¯y₁,0, t,0), y¯₂(0) =y₂₀, 0 =Z(¯y₁,0,z, t,¯ 0).

(15)

Пусть z¯ = ϕ(¯y₁, t)— корень конечного уравнения из (15). Предположим, что первое из уравнений (15) после подстановки в него выражения для¯zстановится автономным, т. е.

d¯y₁

dt =Y₁(¯y₁,0, ϕ(¯y₁, t), t,0)≡Y¯₁(¯y₁). (16) Утверждение.Будем считать выполненными следующие условия.

1^◦. Функции Y₁, Y₂, Z вместе с их частными производными до второго по- рядка являются непрерывными и ограниченными по норме при0µµ₀ в некоторой ограниченной по y₁,y₂,z и полубесконечной по t области

G={y₁−y¯₁a₁, y₂−y¯₂a₂, z−z¯ b, t0} вблизи решения вырожденной системы(15).

2^◦. Матрица [∂Z/∂z]⁻¹_{y¯1,¯y2,¯z,t,0} является ограниченной по норме приt0. 3^◦. Справедливы условия 3, 4теоремы Васильевой.

4^◦. Дифференциальное уравнение (16) имеет асимптотически устойчивое по первому приближению положение равновесияy¯₁= ¯y₁⁰, областью притяже- ния которого является некоторая замкнутая область D₀⊂G.

Тогда при достаточно малых значениях параметра 0 < µ µ и y₁₀ ∈ D⁰ найдутся постоянныеc₁,c₂, для которых справедливы оценки

y(t, µ)−y(t)¯ =O(µ(c₁t+c₂)) при0t t µ^ζ, z(t, µ)−¯z(t)=O(µ(c₁t+c₂)) при0< t t

µ^ζ.

(17)

Здесь y = (y₁, y₂), t, ζ— постоянные, задающиеся неравенствами t > 0, 0 ζ < 1/2. Вторая из оценок (17) верна вне пограничного слоя ширины O(−µlnµ).

Доказательство этого утверждения базируется на теоремах из [6]. Условия 1^◦—3^◦ обеспечивают существование решений исходной и вырожденной систем на бесконечном интервале времени и справедливость оценки (17) на конечном интервале времени. Составим для (15) систему в отклонениях ∆¯y₁, ∆¯y₂ от её решенияy¯₁(t),y¯₂(t). Воспользовавшись (16), получим

d∆¯y₁

dt =A₁(t)∆¯y₁, A₁(t) =

∂Y¯₁(y₁)

∂y₁

y1=¯y1(t)

, d∆¯y₂

dt =A₂(t)∆¯y₁, A₂(t) =

∂Y₂(y₁,0, t,0)

∂y₁

y1=¯y1(t)

.

(18)

Согласно [6], для справедливости оценок (17) норма матрицы Коши U(t, s)си- стемы (18) должна удовлетворять неравенству

U(t, s)c, 0st. (19)

Здесьc— положительная константа.

Докажем, что для (18) константа c может быть найдена. При выполнении условия 4^◦ для всех y¯₁(0) = y₁₀ из области D₀ матрица A₁(t) из (18) при t→ ∞ в пределе стремится к постоянной матрицеA⁰₁= [∂Y¯₁(y₁)/∂y₁]_y1=¯y0

1, все собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части. Это обеспечивает существование постоянныхc₁, k >0, для которых норма матрицы КошиU₁(t, s)для первого уравнения из (18) удовлетворяет неравенству [6]

U₁(t, s)c₁e^−k(t−s), 0st. (20) В силу условия 1^◦ и неравенства (20) для нормы матрицы Коши U₂(t, s) второго уравнения из (18) справедливы оценки

U₂(t, s)= s

t

A₁(q)U₁(q, s)dq M c₁

s t

e^−k(q−s)dq < c₂, 0st.

ЗдесьM = max

q A₁(q), c₂=M c₁/k.

Таким образом, неравенство (19) верно дляc= max(c₁, c₂). Это обеспечивает выполнение оценок (17).

Вернёмся к задаче о планирующем полёте. Рассмотрим случай I. Приp^T = 0 иδ_в= constсистема (4), (5) имеет вид (14). Здесь переменнымy₁,y₂,zотвечают векторы (v, θ), (∆h, x), (α, ω), функциям Y₁,Y₂, Z— соответствующие векторы правых частей системы (4), (5). При учёте (6), (12) вырожденную для (4), (5) систему можно записать в виде

d¯v

dt =−sin ¯θ− 1 K_∗ρ¯¯v²¯c_x,

¯vdθ¯

dt =−cos ¯θ+ ¯ρ¯v²¯c_y, d∆¯h

dt = ¯vsin ¯θ, d¯x

dt = ¯vcos ¯θ,

¯

α=ϕ(¯δв) = const, ω¯ = 0,

c¯_x=c_x(ϕ(¯δв),δ¯в,0) = const, ¯c_y =c_y(ϕ(¯δв),¯δв,0) = const, ρ¯= 1.

(21)

Покажем, что (4), (5) и (21) удовлетворяют условиям 1^◦—4^◦ сформулирован- ного утверждения. Проверка условий 1^◦—3^◦ очевидна. Исследование модели Н. Е. Жуковского, проведённое в [1] для v 0, показывает, что независимая система первых двух уравнений из (21) имеет асимптотически устойчивое по первому приближению положение равновесия

v⁰= 1

4

(¯c_x/K_∗)²+ (¯c_y)², θ⁰=−arctg c¯_x K_∗c¯_y

−π

2 < θ⁰<0 .

К нему стягиваются все решения ¯v(t), θ(t), за исключением сепаратрисы, ко-¯ торая входит в точку v¯ = 0, θ¯ = π/2, не лежащую в области определения вырожденной системы. Это означает, что для любых начальных условийv₀, θ₀, не лежащих на указанной сепаратрисе, условие4^◦выполняется, т. е. приближён- ная модель (21) имеет на асимптотически большом интервале времени погреш- ность (17). Для начальных условий, лежащих на сепаратрисе, приближённая модель (21) корректна лишь на конечном интервале времениt∼1[4].

Полученные выше оценки погрешностей приближённых моделей продоль- ного движения самолёта имеют асимптотический характер и, строго говоря, справедливы при стремлении малых параметров из (4), (5) к нулю. Для фик- сированных значений малых параметров погрешности приближённых моделей следует проконтролировать численно.

Численное сравнение исходной и приближённых моделей проводилось для задачи о планирующем полёте при постоянном отклонении руля высоты. Значе- ния параметров системы определены в соответствии с [2, 3, 8]:

c_y =α, m_z=−α−λ₂δв+ε₂1 v

ω+λ₃dθ dt

, ε=µ= 0,1, ε₁= 0,01, ε₂= 10ε₁, λ₁= 1, λ₂= 2,28, λ₃= 0,67, 1

K_∗ = 0,1, c_x= 1, λ= 0,2·10⁻⁴ 1/м, γ= 5,26, g= 10м/с².

(22)

Вычисления выполнены аналогично [11] для начальных условий, отвечающих крейсерскому полёту до начального момента времени, при мгновенном, в мо- ментt= 0, отключении двигателя и ступенчатом отклонении на 10 % величины δв от равновесного значенияδ₀=−1/λ₂:δв=δ₀+ 0,1·δ₀. На рис. 2—7 пунктир- ной линией изображён график решения исходной системы, сплошной — решения вырожденной системы. Черезh= 1 +V_∗²∆h/gH_∗ обозначено нормализованное значение высоты полёта. Исследовалось также влияние изменения плотности воздуха на продольное движение самолёта. На тех же рисунках штрихпунк- тирной линией изображён график решения системы (4), в которой плотность воздуха полагалась постоянной:ρ= 1.

Рис. 2—4 построены приV_∗= 100м/с, что отвечает случаю I. Здесь сплош- ная и штрихпунктирная линии практически совпадают. Это говорит о допусти- мости предположения о постоянстве плотности воздуха при малых скоростях полёта. Погрешность вырожденной системы — модели Н. Е. Жуковского (21) — отвечает проведённым оценкам. Более того, счёт показывает корректность этой модели за пределами гарантируемого теорией асимптотически большого интер- валаt∼1/√

µ∼3.

При построении рис. 5—7 принималосьV_∗= 250м/с. Это отвечает случаю II.

Здесь практически совпадают сплошная и пунктирная линии, т. е. оценки по- грешности O(µ) и временного интервала использования t ∼ 1 вырожденной системы (7) даны с избытком. Видно, что предположение о постоянстве плотно- сти воздуха в случае II некорректно, поскольку отклонения штрихпунктирной линии от сплошной и пунктирной — величины порядка 50 %. Таким образом, влияние изменения плотности воздуха на движение самолёта оказывается су- щественным уже при характерных скоростях полёта порядка250м/с.

Автор благодарит И. В. Новожилова и И. А. Смирнова за помощь в работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00759) и программы «Университеты России» (грант УР.04.03.064/04-1).

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Литература

[1] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматлит, 1959.

[2] Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолётов / под ред.

Г. С. Бюшгенса. — М.: Наука; Физматлит, 1998.

[3] Бочкарёв А. Ф., Андреевский В. В., Белоконов В. М. и др. Аэромеханика самолёта.

Динамика полёта. — М.: Машиностроение, 1985.

[4] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

[5] Жуковский Н. Е. О парении птиц // Собр. соч. Т. 4. — Гостехиздат, 1949. — С. 5.

[6] Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2003.

[7] Новожилов И. В. Фракционный анализ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995.

[8] Остославский И. В. Аэродинамика самолёта. — М.: Оборонгиз, 1957.

[9] Седов Л. И. Механика сплошной среды. 5-е изд., испр. Т. 2. — М.: Наука, 1994.

[10] Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые пара- метры при производных // Мат. сб. — 1952. — Т. 31, № 3. — С. 575—586.

[11] Novozhilov I. V. Fractional Analysis. Methods of Motion Decomposition. — Boston:

Birkh¨auser, 1997.