Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. М. Панькина, Сочинение Эйлера по динамике материальной точки, Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012, номер 2, 69–71
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и со- гласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 16:34:49
вестн. моск. ун-та. сер.1, математика. механика. 2012. N 2 69
4.Логвинович Г.В., Буйвол В.Н., Дудко А.С., Путилин С.И., Шевчук Ю.Р.Течения со свободными поверхностями.
Киев: Наукова думка, 1985.
Поступила в редакцию 07.09.2011
УДК 531
СОЧИНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ПО ДИНАМИКЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Н. М. Панькина1
В работе дается краткое содержание трактата Леонарда Эйлера “Механика, или наука о движении, изложенная аналитически”, изданного в 1736 г. в Санкт-Петербурге. Фунда- ментальные достижения И. Ньютона в динамике материальной точки получили в трактате Эйлера аналитическое развитие.
Ключевые слова:динамика материальной точки, дифференциальные уравнения, кри- волинейные координаты.
The work presents the maintenance is short stated of Leonard Euler treatise “Mechanics or a science about movement stated analytically” published in 1736 in St.-Petersburg. Newton’s fundamental achievements in dynamics of material point received analytical development in the Euler’s treatise.
Key words: dynamics of material point, differential equations, curvilinear coordinates.
Трактат Л. Эйлера (1707–1783) “Механика, или наука о движении, изложенная аналитически”, по- священный динамике корпускулы (материальной точки), был издан в Санкт-Петербурге в 1736 г. в двух томах. До Эйлера под “механикой” обычно понимали статику простых машин. В отличие от этой тра- диции Эйлер трактовал “механику” как науку о движении, а не о равновесии. Отправным пунктом для многих исследований Эйлера явились труды по механике И. Ньютона, П. Вариньона и Я. Германа. В пре- дисловии к своему трактату “Механика” Эйлер пишет, что решил переработать результаты этих и других сочинений по механике аналитически, т.е. ввести в задачи механики дифференциальные уравнения дви- жения объекта. Таким образом было создано сочинение о движении материальной точки. Эйлер пишет:
“Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые (конечной массы. — Н.П.), т.е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, — тем, которые являются твердыми, не позволяя менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем иссле- дованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнять свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел.
По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, предоставленные сами себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т.е. силы” [1, с. 89–90]. По мнению Эйлера, изложение вопроса о движении точки (корпускулы) есть главная часть всей механики, на которой зиждутся все остальные части.
Абстракции абсолютного и относительного пространства Эйлер заимствует у Ньютона, поясняя, что,
“не заботясь о том, есть ли такое пространство или нет, мы требуем только одного, чтобы тот, кто хочет исследовать вопрос об абсолютном движении и абсолютном покое, представили себе бесконечное и пустое пространство и допустили, что в нем помещены тела” [1, с. 42–43]. У Ньютона абсолютное пространство является идеализацией: “Возможно, что какое-нибудь тело в области неподвижных звезд, а может быть и много далее, находится в абсолютном покое, но узнать по взаимному положению тел в наших обла- стях, не сохраняет ли какое-нибудь из них постоянное положение относительно этого весьма отдаленного, нельзя” [2, с. 32–33]. Относительное пространство есть мера или какая-нибудь ограниченная подвижная часть пространства, которая определяется нашими чувствами по положению относительно некоторых тел.
1Панькина Наталья Михеевна — ст. преп. каф. дифференциальных уравнений ф-та прикладной математики МАИ, e-mail: pankina72@yandex.ru.
70 вестн. моск. ун-та. сер.1, математика. механика. 2012. N 2
В обыденной жизни это принимается за пространство неподвижное. Эйлер писал о том, что без абстрак- ции абсолютного пространства и времени невозможно толкование явлений перемещения тел в природе, тех явлений, которые и составляют предмет науки механика.
Массу Эйлер понимал как количество материи в теле, пропорциональное объему и плотности. Плот- ность материи Эйлер, как и Ньютон, трактовал как количество корпускул (по Ньютону — атомов) в единице объема.
Сила является основным понятием динамики Эйлера, он определяет ее по Ньютону (четвертое Опре- деление [2, с. 26]).
В основу динамики Эйлер полагает три закона: закон инерции, закон независимости действия сил и принцип ускоряющих сил (второй закон Ньютона). Первый закон динамики представлен в виде трех теорем (аксиом в нашем понимании). Их метод доказательства опирается на формальную логику: так как нет достаточного основания, без действия силы, изменить свое состояние (покоя или равномерного прямолинейного движения), то такое состояние сохраняется неизменным.
Важнейшим принципом динамики Эйлера является второй закон Ньютона, который он записывает в виде дифференциального уравнения. “Если направление движения точки совпадает с направлением силы, то приращение скорости будет пропорционально силе, умноженной на промежуточек времени и деленной на материю или на величину точки” [1, с. 124]. Это положение Эйлер записал в виде дифференциального уравнения прямолинейного движения точки
dc= np dt A ,
где c — скорость движения точки; p — действующая на точку сила; A — масса точки; t — время; n — коэффициент, зависящий от размерности. Эйлер умножает обе части этого уравнения на дифференциал дуги траекторииds и получает
c dc= np ds A .
Данное уравнение сейчас известно как теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
Эйлер придавал особую важность этой закономерности: “Это предложение охватывает все установленные до сих пор принципы, определяющие природу и все законы движения, если только направление силы совпадает с направлением движения” [1, с. 126].
В Предложении 21 [1, с. 131] Эйлер исследует криволинейное движение точки на плоскости. Обозна- чая проекцию силы на касательную к траектории движения точки черезP, а проекцию силы на главную нормаль черезN, Эйлер выводит дифференциальные уравнения криволинейного движения материальной точки по направлению касательной к траектории и главной нормали
A dc =nP dt и r= Ac2 nN, гдеr — радиус кривизны траектории в данной точке.
До Л. Эйлера некоторые ученые в динамике материальной точки применяли дифференциальные уравнения движения и их первые интегралы, например П. Вариньон, И. Бернулли. В статье В.Н. Чи- неновой и В.И. Яковлева отмечается, что Вариньон в 1700 г. при интегрировании дифференциального уравнения криволинейного движения точки впервые использовал переход от аргумента времени к аргу- менту дуги (он получил первый интеграл) [3, с. 211].
Ж.Л. Лагранж в знаменитом историческом очерке “О различных принципах динамики” указывает, что Эйлер в 1746 г. впервые вывел из дифференциального уравнения движения шарика внутри враща- ющейся вокруг неподвижного центра трубки еще один первый интеграл — закон сохранения площадей.
В том же 1746 г. Д. Бернулли в переписке с Л. Эйлером рассмотрел случай движения нескольких ша- риков внутри вращающейся трубки и вывел закон: “Сумма произведения масс каждого тела на его ско- рость и на расстояние до неподвижного центра сохраняется при отсутствии внешнего действия на шары”
[4, с. 317].
При решении разнообразных задач движения точки без сопротивления Эйлер использует не только дифференциальные уравнения, но и их первый интеграл. Он решает конкретные задачи о колебании ма- тематического маятника, баллистические задачи. В первом томе “Механики” восемь больших разделов посвящено баллистическим задачам свободного движения снаряда, вылетевшего из орудия, при наличии сопротивления воздуха. В этих разделах излагаются собственные исследования Эйлера и результаты опы- тов, проведенных совместно с Д. Бернулли. В задачах внешней баллистики он составляет и решает диффе- ренциальные уравнения движения снаряда, принимая его за точку. К таким задачам впервые обратился
вестн. моск. ун-та. сер.1, математика. механика. 2012. N 2 71
Ньютон во второй книге “Математические начала натуральной философии”. Он рассматривает три формы сопротивления: линейное по скорости сопротивление, квадратичное и смешанное линейно-квадратичное сопротивление. На базе квадратичного и смешанного законов сопротивления ученые-артиллеристы соста- вили более точные, чем у Г. Галилея и Э. Торричелли, таблицы стрельб с учетом сопротивления воздуха.
В основу таблиц были положены решения дифференциальных уравнений Эйлера (точные и приближен- ные).
Во втором томе “Механики” Л. Эйлер рассматривает задачи о движении точки, подчиненной связям, т.е. вынужденной двигаться по заданной кривой или по заданной поверхности (например, движение мате- риальной точки по наклонной плоскости, по сфере). Как и в первом томе, он использует сопутствующие точке криволинейные координаты, направленные по касательной и главной нормали к траектории в дан- ной точке, применяет те же самые элементы дифференциальной геометрии для исследования движения материальной точки.
В трактате “Механика” Эйлер выполнил первую часть своей научной программы, дав последователь- ное изложение динамики материальной точки. В этом сочинении он получил уравнения, представляющие теорему об изменении количества движения, об изменении момента количества движения и об изменении кинетической энергии материальной точки.
Можно сказать, что фундаментальные достижения Ньютона в динамике материальной точки полу- чили аналитическое оформление и стали широко применяться к задачам техники и естествознания после трудов Эйлера.
Первые отечественные академики, ученые и последователи Л. Эйлера и М.В. Ломоносова: С.К. Ко- тельников, Н.И. Попов, С.Я. Румовский, М.Е. Головин, С.Е. Гурьев — руководствовались методом Эйлера в выборе основных определений и аксиом, изучали и развивали его идеи в преподавании механики. Каж- дый из них внес свой вклад в развитие механики, математики и техники в России, опубликовав ряд учебников по механике на русском языке.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Эйлер Л.Основы динамики точки. Первые главы “Механики”. М.; Л.: Главн. ред. технико-теоретической лите- ратуры, 1938.
2.Ньютон И. Математические начала натуральной философии // Собрание трудов А.Н. Крылова. Т. 7. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1936.
3.Чиненова В.Н., Яковлев В.И.Вклад П. Вариньона в науку о движении // Исследования по истории физики и механики. 1998–1999 гг. М.: Наука, 2000.
4.Лагранж Ж.Л.Аналитическая механика: В 2 т. Т. 1. М.; Л.: ГТТИ, 1950.
Поступила в редакцию 20.12.2010
