И. М. Виноградов, О функции ζ ( s ) , Докл. АН СССР, 1958, том 118, номер 4, 631

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. М. Виноградов, О функции ζ ( s ) , Докл. АН СССР, 1958, том 118, номер 4, 631

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

3 ноября 2022 г., 22:13:46

(2)

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р

1958. Том 118, № 4

МАТЕМАТИКА

Академик И. М. ВИНОГРАДОВ

О ФУНКЦИИ C(s) Я нашел новую оценку для С(1 + it):

С ( 1 + / ^ ) = 0 ( ( 1 п И п 1 п 0^{2 / 8}) (1) {t^t^c, где t⁰ — достаточно большое постоянное > 1).

Эта оценка является следствием новой оценки для суммы

s =

2

е^'^\ f{x) = ^{tin X}

где при целом п ^ 7 выполнены условия

а < 6 < 2 а , t = aⁿ-*, 0 < 8 < 1 .

Именно, при а^>(4п)^16п" для суммы 5 я получил оценку, которую мож

но привести к виду (буквами с, с^1ч с²> • • • обозначаются абсолютные jno- ложительные постоянные)

| S | < >^{C 1пп}а " . л² in л .

Оценка (1) и другие аналогичные ей оценки, получаемые [подобным же путем, влекут за собою улучшение ряда общеизвестных результатов теории распределения простых чисел. Например: С (s) = С (з + И) не имеет нулей в области

а > 1 "²

(In / In In t)

Соответственным образом улучшается и остаточный член в асимптотиче

ской формуле для числа n(N) простых чисел, не превосходящих N, и т. д.

Метод, примененный мною к выводу оценки для суммы S, является некото

рым развитием моего прежнего метода. Он может быть с успехом применен и к выводу новых оценок для тригонометрических сумм, принадлежащих более широким классам. Подробное изложение моих новых результатов будет дано в другом месте.

Математический институт им. В . А. Стеклова Поступило Академии наук СССР 31 X 1957

631