научн. сем. ЛОМИ, 1979, том 89, 63–70

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. С. Благовещенский, Обратная задача теории распространения волн в случайной среде, Зап.

научн. сем. ЛОМИ, 1979, том 89, 63–70

Использование Общероссийского математического пор- тала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 02:00:53

А.С.Благовещенский ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН

, В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

I . Изучается следующая задача. Пусть в уравнении

A ut t= A u , ( x ^ e R ™ ) , (I) описывающем распространение волн в n + Н -мерном пространстве нение волн в n+Н -мерном прост

, A =zl ^d/&x^zt коэффициент А

Д - оператор Лапласа, Л =2— % х % коэффициент А положите-

к~ о к

лен и является случайной функцией от х . При этом в полупрост­

ранстве хо< 0 А = -1 , при - х0> о A = A0( 4 + o L ) , где А 0 - де­

терминированная величина, <=с - малая случайная добавка. В мно­

гомерном случае ( п ^ И ) предполагаем, что А0=-1 при всех х . Искомыми величинами являются функция А0 (для одномерного случая) и два первых момента ос : т ( х ) = Е(об(х1) и £(ос.<0,х1^)=

= E { O L ( XU W X1*1) ) . Здесь символом Е ( Л обозначено математичес- кое ожидание, х ^ ' - точки пространства гс . Все функции предполагаются достаточно гладкими и (при п>-\ ) убывающими на бесконечности. При этом речь идет о приближенном нахождении функ­

ций m и т. . Термину "приближенный" придаем следующее значе­

ние: появляющиеся ниже случайные функции, зависящие от оС , мы раскладываем формально по степеням сС и пренебрегаем членами, имеющими порядок o(ol ) . Равенство, написанное с точностью до

°{<£) , мы записываем как = .

Теперь опишем данные задачи. Предполагается, что на покою- щуюся первоначально среду из однородного полупространства хо< 0 падает плоская волна ип о й \^ ^{< 0} = <^(t-<x,co>) , где со - век- тор из R , <х,со> = Z-x.co, , <со,со> = М , со > о .

(При п = о следует положить со0= -1 , вместо х0 тогда исполь­

зуем обозначение х ) , б -функция Дирака. Естественно, что возбужденное такой волной поле есть u = W o + u , + Ut , где а0

- детерминированное слагаемое, не зависящее от cL , ц( - ли­

нейно, а иг - квадратично зависят от oL . Порожденную неодно- родностями среды отраженную волну обозначим символом £(x,t) =

- ^ x , t ) + ^ ( x , t ) + ^ ( x , t ) . где |o(x,-b) = u0- un o d| a ^o ,

\ (x;t) = ц | <o.^{t =} ^²-* Очевидно, что в одномерном случае отраженная волна' t , как и каждое слагаемое £к являются функ-

63

пнями от x + t • Предполагаются заданными ^Дх+t") и два первых момента | - £ „ t т.е. Q^ac+t) = E ( ^ ( x - t - t ) + ^ ( x t t ) ) и ga(xw +tw, xuUw) = Е { ф ' \ 1 м ) ^ \ ^ . Оказывается, что для однозначного определения функций А0, m и *ь достаточ­

но знания функций i⁰ , а^ и Q . При г\>\ очевидно, что

^в= О . Функций £( и £ зависят, кроме точки x,t еще и от направления падавдей волны со . Если задавать Q4(xtoo) =

= Е(^(х^> ЙФ1[ ; • ^ ^ « W ^ ) =

= Е ( | (x,!tl?coH))|(x2'tzco2 )), то обратная задача становится сильно переопределенной, функции о и о содержат много излиш­

ней информации. Поэтому достаточно задать какую-либо часть ин­

формации, содержащейся в этих функциях, например, (как это и де­

лается ниже) - асимптотику q i x t c o ) и п (х"Ч1Лыи>хС2Ч%>(а) при стремлении точек x;t и х ' ^ т Н ' к бесконечности вдоль характеристических направлений, так чтох=б^+х0, х1^ = 51' \ + х(' \ где . о , цФ , х , х (^ф - постоянные* ±$^л> =^<5^.б^(>>> = 1 ,

\ = 1,2 для достаточно богатого набора троек [ л , о , х ] или 2. Рассмотрим одномерный случай. Подставляя разложение и =

= Uo + u^+u^ в одномерное уравнение (I) с А = А0(<1 +<*.") получаем

A0Uoti - Uoxx , и. | u = . ^ ( t - x ) , u . | x <= ^ - x ) - ^ ( - b x ) f 2 )

A

^

=

^ - ^

u

, uJ

=o , ",|

=4.,^+х), (3).

AoW2ti= u2XX-ctA0u,tt , иг|и о- 0 , ua|x t 0= ^ t b + x ) . ( 4 )

Мы получили цепочку задач относительно и L (I = ода") . Пусть l = o . Тогда (2) есть обратная задача определения скорости

А0 распространения волн в струне по известной отраженной вол­

не от неоднородного участка струны. Эта задача рассматривалась ранее многими авторами, мы приведем окончательный результат. Ре­

шение задачи (2) в существенном сводится к решению интегрального уравнения Гельфанда-Левитана относительно тг :

Ч

<*ф

\ -№

*М

ДО*

Ш+$ = ° . ( ^ (- у.^ -

Если функция ir(tu) найдена, то мы строим по ней функцию V ( V u ) . продолжая <v no t за пределы интервала (-4,4) тождественным нулем и полагая V t t u ) =<5(i-ij) + тГ(^,ф . По V находится функция А „ : А „ = ( I V(i,\^ dV) . Переменная и свя- зана с х соотношением и = ( А⁰ d x ( u есть время пробе­

га волны от 0 до х ) .

Замечательно, что дальнейшее решение обратной задачи, если V найдена, удается выполнить в квадратурах.' Введем функции 4 f t $ = V ( - t , y ) и 4 ( 4 > V ( ^ + V ( ^ * ^e • Здесь и всюду далее в этом пункте звездочкой обозначена свертка по аргументу

-t . Аргумент t мы часто при записи будем опускать, функция .Л£(Ч) лишь множителем А ^ Ч ч ) отличается от ы= . С помощью функций V0 и V ~ нетрудно построить явное представление для

и^ и иг через ы. . Действительно,^перейдя, вместо х , к переменной и , перепишем оператор Й/3-Ьг-Ав V d x1 , вхо­

дящий в уравнения (2)-(4), в виде *>*/&£-ХЧ* щ(/(* щ) .Пусть

Сг(ч.£) - решение уравнения * °

причем G J = О . Тогда нетрудно проверить, что

Отсюда легко найти, что

идф — А

& ^ [\\tyti * v

0£«mad& ,-

Переходя к математическому ожиданию и полагая и = О , находим

65 3 азэ

или, учитывая, что V ~ ( o ) = e ( i ) , и интегрируя по времени at

где

Аналогичные выкладки дают

ЭД ^ Л ) <*vK = ^T(

t . ^ T U t ^ ^ t ^ d ^ d ^ . (7)

о о

Если мы учтем о -образную особенность^функции Т и структуру ее носителя, то получим, что оператор Т = (Т(г^;^(-^г^ до- пускает представление T = - I + W C t ^ ^ d ^ , где I - тождественный оператор, ядро %° - непрерывно при i?,4i . Отсюда ясно, что уравнение вида

it

Tfc = ^ ( s ) d s (8) допускает при любом непрерывном Ь{ь) единственное решение. .

Можно показать, что это решение при известной функции V выра­

жается в квадратурах с помощью следующей конструкции. Цусть Y ^ j t ) - V i ; y ) * V ( y } . . Тогда:

Здесь t+= t , если "Ь>О и "t+= о , если t t o . Обратимся сначала к уравнению (7). Легко видеть, что в правой его части стоит результат последовательного применения оператора Т к

^(^tez) сначала как к функции от £, .затем как к функции от гга . Применяя дважды формулу обращения (9), найдем

66

4 ^ = ^w{f ^Y( ^ ^w ^ ^KV

(10) Свертка в формуле (10) производится по обоим временным аргумен­

там. Теперь мы имеем возможность подставить найденное выражение (10) для t в (6), после чего, очевидно получаем уравнение ви­

да (8) относительно m :

Tm— \ ^% № + - \\К^^Ь^Р^>

О

Наконец, применяя еще раз формулу обращения (9), найдем явное выражение для т{\Л .

3. Наметим путь решения задачи в многомерном случае. Точно так же, как и прежде, записываем цепочку задач для и . , и, ,

иг . (многомерные аналоги задач (2)-(4)). Легко находим, что и„ при всех эс есть <5'(t-<'X,od>). Дальнейшее рассмотрение мы проведем для случая п==а . Исследование двумерного случая, как, впрочем, и случая произвольного п , проводится аналогично. Из трехмерных аналогов задач (3) и (4) получаем при \. > < х,со>

M >M^-w< Mil ^ - ^ ° M ^ i T ) * ^w - ^ -

Здесь мы через | t c T обозначаем <.х,х> . Наконец, переходя к математическому ожиданию ж полагая х „ ^ о , •x^Vo , (j = 4,2) , получим

%(x^)=-4e^S^((t-<1P>f-lx-^r)^(^d|

к

(12)

* * ? г ^(I3)

Ясно, что, как и в одномерном случае, задача, по существу, сво­

дится к аналогу уравнения (8) - задаче нахождения подынтеграль­

ной функции к (^) с носителем в полупространстве "^

>о по за­

данным интегралам от нее вида

*(х;Ь,со)= 5«S"((-t-<.f , < о > ^ - 1 х - ^ П К 1 У 1 , t><xcp>.(14) Заметим, что в (14) интегрирование ведется; на самом деле, по па­

раболоидам вращения с фокусом в точке х , лежащей в полупрост­

ранстве х„ < о и осью, направленной вдоль вектора со , в силу условия со

> о каждый такой параболоид имеет ограниченное пере­

сечение с полупространством '5

>0 . М ы пришли к необходимости решать сильно переопределенную задачу интегральной геометрии.

Переопределенность задачи вытекает из того, что семейство указан­

ных параболоидов зависит от 6 параметров ( х е й

t и двумерно­

го параметра со ). Поэтому можно отказаться от части информации, заключенной в Ь(х;Ь,со),и задавать лишь часть этой информации.

Возможны, конечно, разные варианты такого отказа. Приведем лишь один из них.

Пусть точка x t уходит аа бесконечность так, что-Ь-^ + °о, x = $-"t + x , где fre R* ,($•]= 4 , jy и х . фиксированы,

Т3"

<о . Тогда из (14) следует

Ь(x;t,co) = ^ Ш - < ^,<о>)*- |

t

х- ^ П Щ)А-% =

Здесь ё = Ie--col , ^ v = g ' - c o , e,p=<iy)x>. Очевидно, что для любого единичного вектора V ( У. < о ) и p ^ R можно указать единичные вектора s(v) ( ус < 0) , OJ(N") (ш„ > О ) и точку

x(V,p) такие, что дЧ^)~" co(-\)) = e*M , < бЧ^)),х(ч>,ру>=:^р.

Тем самым задание асимптотики функции V при указанном способе стремления точки x,t к бесконечности эквивалентно заданию преобразования Радона от ^ С | У . Формула обращения преобразо­

вания Радона хорошо известна [ 2 ] : если

М^,р) = ^(<l^>)-pHC^.df ,

то

\ f, й*Ш,р)

V„<0

< Ч * >

Интегрирование в последней формуле ведется по половине единичной сферы, c N - евклидов элемент площади.

дальнейшее исследование обратной задачи происходит совер­

шенно аналогично•одномерному случаю: сначала, проинтегрировав че­

тырежды (дважды - по V0, дважды - по tU ) ) формулу (13) и ус­

тремляя точки х ,tt\'>xt?Hl*) , как описано выше, к бесконечно­

сти, находим двукратное преобразование Радона от 1 как функции сначала от f ^ , затем от "|(^ , обращая эти преобразования, находим Z • Наконец, подставляя найденное выражение для 1 в (12), еще раз применяем тот же прием со сведением задачи к.зада­

че Радона, для отыскания m .

Замечание I. Предложенная схема, при которой сначала ищутся вторые, а затем уже первые моменты малых величин, может вызвать недоумение: кажется, что сначала отыскивают, вопреки обычной схе­

ме теории возмущений, величины более высокого порядка малости. На самом деле (и в теории вероятности часто это действительно имеет место) первые и вторые моменты малых случайных величин могут

69

иметь одинаковый порядок малости: дополнительная малость первого момента может возникнуть в результате усреднения.

Замечание 2. При постановке обратной задачи в одномерном случае выделение из отраженной волны детерминированного слагае­

мого 1⁰ обусловливающее, по существу, соответствующее разложе­

ние для А = A.(Uei) , несет в себе некоторый произвол: с равным правом мы могли бы в качестве детерминированного слагаемого вы­

брать любую другую функцию £„ , отличающуюся от £0 малой детерминированной добавкой. Можно было бы устранить этот про­

извол, наложив, например, условие Е(4-) = -|„ • Представляется целесообразным однако сохранить этот произвол, воспользовавшись им для подбора |<, таким, чтобы соответствующее уравнение Гель- фанда-Левитана легко решалось: имеется довольно широкий класс функций |„ , для которых уравнение (5) имеет явное решение,

например, ic(V) = Yl<* е * , где <*^к. и Ь „ - постоянные.

Литература

1. Б л а г о в е щ е н с к и й А.С. Обратные задачи теории р а с ­ пространения упругих волн. - Изв.АН СССР. Физ.Земли, 1978, № 12, 0.50-59.

2. Г е л ь ф а н д И.М., Ш и л о в Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959. 470 с .

B l a g o v e s h c h e n s k y A.S. I n v e r s e problem of t h e wave p r o p a g a t i o n t h e o r y i n a s t o o h a a t i c medium.

The problem of o b t a i n i n g t h e wave p r o p a g a t i o n v e l o c i t y i s c o n s i d e r e d under the assumption t h a t the l a t t e r i s a random f u n c t i o n of t h e p o i n t . • ( •

70