О. А. Олейник, А. С. Калашников, Чжоу Юй-линь, Зада- ча Коши и краевые задачи для уравнений типа нестаци- онарной фильтрации, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, том 22, выпуск 5, 667–704

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

О. А. Олейник, А. С. Калашников, Чжоу Юй-линь, Зада- ча Коши и краевые задачи для уравнений типа нестаци- онарной фильтрации, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, том 22, выпуск 5, 667–704

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:47:34

Серия м а т е м а т и ч е с к а я

22 (1958), 667—704

О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

ЗАДАЧА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

(Представлено академиком С. Л. Соболевым)

В работе получены решения задачи Коши и основных краевых задач в ограниченных и неограниченных областях для уравнений типа одномерной нестационарной фильтрации; исследованы качественные свойства этих ре­

шений.

Введение

В настоящей работе рассматриваются задача Коши, первая и вторая краевые задачи для уравнения:

ди d²<p (t, х, и) .. v W~~ дх~* ' ' ' где функция ср(£, ж, и) определена для значений гг^>0, причем

•ср(£, х, и)^>0 и <?' (t, х, г г ) > 0 , если и > 0 ; <p(t, x, 0) = <р^(£, х, 0) = 0.

В том частном случае, когда функция ср зависит только от и, уравне­

ние (1) является уравнением одномерной нестационарной фильтрации [см. (1)]:

ди _ д2Ф (и) /г)ч

~dt ~~ дх* ' ^ ' Порядок нелинейного уравнения (1) зависит от значений искомой функции u(t, x): при и^>0 это — параболическое уравнение второго порядка, при и = 0 оно вырождается в уравнение первого порядка.

Если начальные и граничные условия таковы, что уравнение (1) не вырождается, то задача Коши, первая и вторая краевые задачи для уравнения (1) однозначно разрешимы при некоторых дополнительных предположениях о функции <p(t, x, и), а также о начальных и гранич­

ных функциях. Это следует из результатов, которые установлены в ра­

ботах (2), (3) и (п) для квазилинейных уравнений параболического типа.

Действительно, при отсутствии вырождения уравнение (1) является квазилинейным параболическим уравнением относительно функции V = Ср (£, Х, и ) .

В случае, когда заданные начальные и граничные условия влекут за собой вырождение уравнения (1), указанные результаты неприме­

нимы. Для вырождающегося уравнения фильтрации (2) построены [см. (4) — (7)] так называемые автомодельные решения и некоторые дру­

гие классы частных решений. Многие из них не имеют всюду предписы-

668 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

ваемой уравнением гладкости и потому фактически являются решениями только в некотором обобщенном смысле. Например, в качестве решения допускается функция u(t, х), у которой первые производные по t и по х могут терпеть разрывы, однако производная 9 ^ ' непрерывна. Такой подход продиктован физическим смыслом рассматриваемых задач и вхо­

дящих в них величин.

В работах (⁵), (⁶) была отмечена интересная особенность уравнений вида (2) — конечная скорость распространения возмущений в процессах, описываемых такими уравнениями. Как известно, уравнениям параболи­

ческого типа соответствует бесконечная скорость распространения возму­

щений.

В настоящей работе для каждой из рассматриваемых здесь задач вводится определение обобщенного решения и доказываются его един­

ственность и существование; затем устанавливается, что во всех точках, где уравнение (1) не вырождается, обобщенное решение имеет непрерыв­

ные производные, входящие в это уравнение, и удовлетворяет ему в обычном смысле.

В § 4 выводятся некоторые свойства обобщенных решений уравнения (1);

предложения, аналогичные некоторым теоремам § 4, имеются в работе (⁸).

Излагаемые здесь результаты частично содержатся в работах (9), (10)>.

а также в гл. 3 работы (и) .

§ 1. Задача Коши

Рассмотрим для уравнения (1) в полосе G{0<^t^T, — о с х ^ ж ^ о © } задачу Коши с начальным условием

и (О, х) = и⁰(х), — о с < < х < < о о . (1-1) О п р е д е л е н и е 1. Функцию и (t, x), неотрицательную, непрерывную'

и ограниченную в полосе £ , назовем обобщенным решением задачи.

тг» /л\ /л л\ г- г- дер (t, X, U (1,Х))

Коши (1), (1.1), если существует оооощенная производная ———^—-J—Ly ограниченная в G, и для любой непрерывно дифференцируемой в G функции / (t, х), равной нулю вне конечной области и при t — 1\ выпол­

няется равенство:

\\[ ft

^и

- -LЩ£^\dtdz+\f(0,x)щИdx = 0. (1.2)

G —оо

ТЕОРЕМА 1. Обобщенное решение задачи (1), (1.1) единственно, если функция <p(t, х, и) непрерывна по всем аргументам, а <р' {t, x, и) огра­

ничена при (t, x)tG и ограниченных и.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим, что равенство (1.2) сохраняет силу для функции f(t, x), которая равна нулю вне конечной области и при t = Г, непрерывна в G и имеет в G ограниченные обобщенные производ­

ные -J- и ~ [см. (¹²), стр. 39—48]. Действительно, по определению обобщенного решения, равенство (1.2) спр-л! едливо для средних функ-

ций /. функции / . Вследствие известных свойств средних функций [см. (12), стр. 19—20, 41—42], при h—>0 последовательность {fh} равно-

fdfh\ ldlh\

мерно сходится к /, а последовательности <-^> и удх ) сходятся в сред- д/ df

нем соответственно к -~ и -6—.

at ox

Напишем равенство (1.2) для fh и перейдем в нем к пределу при /г—>0; мы получим, что (1.2) выполняется и для /.

Предположим, что задача (1), (1.1) имеет два различных обобщенных решения ^ ( г , х) и u2(t, х). Вычитая равенство (1.2) для гг2 из равен­

ства (1.2) для и1} получим:

Щ •<•.-*>-•£ [ M f i l - S i ^ J * * . ! : . (1.8,

G }

Рассмотрим семейство функций {ск.п(х)} со следующими свойствами:

осп(я) = 1 при | ^ | < А г — 1 ; <хп(х) = 0 при \х\^п; 0 < ^ ап( ^ ) < ; 1 при л — 1 < ; | ж | < ; / г ; ои'п(х) ограничены равномерно огносительно п. С по­

мощью ап(х) построим последовательность функций /п(£, х):

t

fn (t,x) = an (x) \ [(? (x, x, u± (T, X)) — 9 (т, ж, и2 (T, X))} rfx, n = 1, 2, r

Очевидно, что все /п непрерывны в G> имеют в G ограниченные обобщенные [производные — , ~ и обращаются в нуль вне конечной области и при t — T, Поэтому для / выполняется равенство (1.2), а следовательно, и равенство (1.3). Подставим / в (1.3):

\ \ an (х) [9 (t, х, щ) — 9 (t, х, и2)] (их — и2) dt dx —

G

(1.4) Здесь Qn — совокупность двух прямоугольников:

{ 0 < г < 7¹, п — 1 < х < и } и { 0 < * < Г , — л < з < — л + 1}.

Обозначим интегралы в левой части равенства (1.4) через 11п, 12п и 13п

(в порядке их написания). Преобразуем /2„ следующим образом:

^2„ - — у ))*п(х)жП [—^ _ J rfT dt dx =

G yT I

- — T a M 11 P*

^(T

' *'

^{щ) д}

9(^,х,и

²

)Л f

670 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

Равенство (1.4) примет вид:

\ \ а^п (х) [ср (t, х, и^г) — о (t, х, и²)] (и^± — щ) dt dx -f-

G

о 1

- о о l T '

= \ \ « » {( [9 (*, *. »i) - 9 (', х, и,)] dr } [

д

-Щ^ - *&£^>]

Л

&.

Qn ^

(1.5) Каждое из двух слагаемых в левой части (1.5), будучи интегралом от неотрицательной функции, неотрицательно и не убывает с ростом п ввиду свойств <х.п(х). Выражение, стоящее в правой части (1.5), оче­

видно, ограничено равномерно по п\ поэтому оба интеграла в левой части также ограничены независимо от п. Следовательно, при ?г—>оо оба они стремятся к некоторым конечным пределам. Отсюда вытекает^

что функция

ф(*, x) = [<p(t, х, их) — <?(t, х, щ)]^! — и2) суммируема в полосе G.

Покажем, что интеграл — 13п, стоящий в правой части (1.5), стремится к нулю при п-^оо. Пусть А, В и С — такие числа, что:

)ср (t, х, и{)

\aLn(x)\<^A (п = 1, 2, . . .), < 5 (г = 1,2), дх

9' (t, х, и ) < 6г при 0 < ; и < sup {щ (t, х), u2(t, x)}.

и G

Применяя неравенство Коши—Буняковского, находим:

J Т3п | < 2АВТ [[ | ср (t, х, иг) — 9 (t, х, и2) \dtdx^

Qn

-L —

^ААВТ2 J \[[<?(t, x, щ) — о(1, x,u2)]2dtdxy2 =

^AABT2 \\\[<?(t, x> их) —<р(*, ж, u2)\ (иг — u2) ou (t, x, u)dtdxy<

Qn

< ЫВС

²

T

²

К U (t, x) dt dx}

²

.

Qn

Здесь [Г—промежуточное значение между и^г и и². Так как функция ф(£, х) суммируема в £ , то последний интеграл стремится к нулю при 72—>оо. Следовательно,

lim/зп = 0.

п~>оо

Таким образом, каждый из интегралов в левой части (1.5) при гс->оо должен стремиться к нулю. Д л я первого из них это означает, что

\\<р„(*, %, ^(^ — u^dtdx = 0. (1.6)

Так как 9U(^> #> w ) > 0 при ц > 0 , то равенство (1.6) возможно, лишь если Их(£, x) = u²(t, x). Этим доказана единственность обобщенного решения задачи Коши.

Докажем существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения

ди д2ф (х, и)

dt дх* (1.7)

где ср(ж, и ) > 0 , ъ'^и(х, 1 г ) > 0 при г г > 0 , 9(х, 0)^<р'^и(х, 0) = 0.

Предварительно рассмотрим в прямоугольнике Q{0^t^T7

Х¹^х<^Х²} уравнение

^ = A(x,v)^w (1.8)

при условиях

v{0, x) = v0(x), v(t, X^^v^t), v (t, X2) = v2 (t) (1.9) и докажем несколько вспомогательных предложений.

ЛЕММА 1. Пусть выполняются следующие предположения:

1) Функция v0(x) имеет на отрезке [Хг, Х2] третью производную, удовлетворяющую условию Липшица; функции v¹ (t) и v² (t) имеют на отрезке [О, Т] вторые производные, удовлетворяющие условию Липшица.

2) 0 < т < г ; г < М , i = 0, l , 2.

3) А(х, v) J> ар^> О и/щ ХХ< ; £ < ^ Х2, г; ^ /> > 0 (каково бы ни было Р>0).

4) В замкнутой области {Х1<^>х ^Х2, т <^v ^ М} функция А(х, v) имеет непрерывные производные четвертого порядка, удовлетворяющие условию Липшица по х и v.

5) vo(X1) = 'v1(0), г;0(Х2) = г;2(0),

* * £ * > - = л ( X l, P l ( 0 )) ^ > , ^ i f E l . = A (X², v² (0)) ^ ? •

Тогда в прямоугольнике Q существует решение v (t, x) уравнения (1.8), удовлетворяющее условиям (1.9) и непрерывное в Q вместе с произ- водными -—• , --- , ~-2 . Внутри (J существуют и непрерывны все произ­

водные v(t, х), которые входят в уравнения, получающиеся дифференци­

рованием обеих частей (1.8) четыре раза по х, а также один раз по t.

Кроме того, всюду в Q выполняются неравенства:

m^v(t, z ) < A f . (1.10) Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим функцию А^г (х, v) со следующими

свойствами: At(x, v) = А (х, v) при Хг^х^Х2, v^m\ при Х1^х<^Х2, v<^m выполняется неравенство А1(х, v)^am; функция А± (х, v) имеет

1Г

непрерывные производные четвертого порядка, удовлетворяющие усло­

вию Липшица по х и v.

Так как А^г(х, г ? ) > а ^ _ > 0 при Х¹ < £ < Х² и | v | < M , то по теоре- ме 1 работы (2) в прямоугольнике Q существует единственное решение v (t, x) уравнения

S = A ( ^ ) | f , (l.ll)

удовлетворяющее условиям (1.9).

672 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ Покажем, что для v выполняются неравенства (1.10). Положим

v = we⁰-¹, a > 0.

Функция w(t, x) удовлетворяет в Q уравнению:

d%w_{дх2 " 1} Аг(х, и>е**)(^- + *и;). (1.12) _{V"» / ^ дЬ} В силу условий теоремы, w < ; М на границе Г (t = 0, х — Х^ъ х — Х²)

прямоугольника Q\ в силу уравнения (1.12), функция w не может дости­

гать положительного максимума нигде в Q\T. Следовательно, w^.M всюду в Q, откуда v <; М е^{а Г}. Ввиду произвольности а, получаем:

v(t, х)^.М всюду в Q.

Полагая v = m 4- ze&, р > 0, и рассуждая аналогичным образом, легко показать, что v(t, х)^>т всюду в Q.

Так как A^l(xⁱ v) = A (x, v) при v^m, то функция v(t, x) удовлетво­

ряет в прямоугольнике Q не только уравнению (1.11), но и уравне­

нию (1.8).

Докажем, что при наших предположениях уравнение (1.8) можно дифференцировать по х внутри Q. Рассмотрим внутри Q уравнение:

д*Р — л (^{Г n(f r}u dp , 1 DA(x^t v(t,x)) dp ,, ^1Чч

&* -A(x,v (t, x)) -^df + _ _ _ — — ( l . i d ) при условии:

p(t, x) p(t,x)i^r = ^ \^r . (1.14)

Здесь v(t,x) — построенное нами решение уравнения (1.8), удовлетво­

ряющее условиям (1.9); символ =г означает полное дифференцирова­

ние по х.

Из доказательства теоремы 1 работы (²) следует, что производные

—-, ^- и г-2- удовлетворяют в прямоугольнике Q условию Липшица по t и х. Отсюда вытекает, что функции

РА __ .' у dv DA __ л> dv dv \ Dx ~ Лх + Ль дх~ ' UT ~ Av ~дГ ' ~дх~ )г

также удовлетворяют условию Липшица по своим аргументам. По тео­

реме 4 работы (²), задача (1.13), (1.14) имеет единственное решение p(t,x). К а к в п. 4 работы (2), можно показать, что /?(£,#) = — всюду в Q. Следовательно, внутри Q существуют и непрерывны пронз­

а в d*v

С помощью аналогичных рассуждений можно обосновать также при- д2 д3 д4 д менсние к уравнению (1.8) операций дифференцирования -—§, — ^ , -,-1, — внутри прямоугольника (?.

Для уравнения (1.8) справедлива также следующая

ЛЕММА 2. Пусть в прямоугольнике S {t±<^t ^ Тъ хг^х^ Хг} функция \v (t, х) удовлетворяет уравнению (1.8) w неравенствам (1.10), а также имеет непрерывные производные, которые входят в уравнения, получающиеся дифференцированием обеих частей (1.8) по х четыре раза;

функция А(х, v) при x^l^x<CX^l, m^v^M имеет непрерывные произ­

водные четвертого порядка и удовлетворяет неравенству А(х, v)^am^>0.

Тогда в любом внутреннем прямоугольнике

xi <С ^х2 ^С ^х ^ ^ 2 <C ^ i ) ^пР^и & ^ 4 имеет место оценка висит только от величин т. М, U

< С , где С за- дхи

U Х^± — Х².

Доказательство этой леммы аналогично доказательству теоремы 3 работы^11).

После того как установлены леммы 1 и 2, мы можем перейти непо­

средственно к доказательству существования обобщенного решения зада­

чи Коши для уравнения (1.7).

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполняются следующие предположения:

1) Функция щ(х) непрерывна; 0^и^о(х) ^М; функция <р(х, щ(х)) удовлетворяет условию Липшица при — о с х ^ ж Г , <х>.

2) В Н {— оо < я < so, 0 < > < M + e = M\} (в>0) функция <р(х, и) имеет непрерывные производные пятого порядка, удовлетворяющие во вся­

кой замкнутой области {—оо <^Х¹^х^Х²<С°®, (Х^т^и^М^

условию Липшица по х и и (каковы бы ни были числа т^>0, Х± и Х2).

3) 9(х, и)—>оо при гг—>ос равномерно по х, — э о < ^ < ^ о о . 4) Функции ф (х, и) и 9' {х> и) ограничены в Н.

Тогда существует обобщенное решение u(t, x) задачи Коши (1.7), (1.1), причем в тех точках G, где t^> 0 и u(t, х)^>0, функция u(t, x) имеет непрерывные производные, входящие в уравнение (1.7), и удовлетво­

ряет ему в обычном смысле.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим v⁰(х) = 9(#> Щ(#)) и построим моно­

тонно убывающую последовательность бесконечно дифференцируемых функций {V™ (Х)}, равномерно сходящуюся к v0(x) и такую, что

\*»о(*)\

и 0 < v™ (х) < ; М² для всех п dx

1, 2,

<К

. Здесь М² = sup <p(x,M\),

— со < х <оо

К — некоторая постоянная. Существование такой последовательности обеспечивается условием 1) теоремы.

При помощи функций VQ(X) построим вторую последовательность бесконечно дифференцируемых функций {vⁿ(x)}, которая обладает сле­

дующими свойствами:

vⁿ (х) = VQ (Х) при | х | < ; п— 2; vⁿ (х) = М² при \х\^>п — 1,

п + 1 (X) < Vn+1 (х) < Vn (X) < М2, dvn{x)

dx

<к

(1.15)

при всех х, — ос<^х<^оо, и /г — 1, 2, . . . . Замена искомой функции:

y(x,u) = v, Ф (х, v) = u (1.16) преобразует уравнение (1.7) к виду:

— =Ф,(х,у)--, (1.17)

где функция Ф^ь(х, v) положительна и ограничена при Х¹<^.х<^Х², 0<^\i<^v^M2 (каковы бы ни были числа ( л > 0 , Х± и Х2);

7 Известия АН СССР, серия математическая, № 5

674 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

ф'ъ(х, г?)—>оо при V—>0 и любом х. Так как (ри'^>0 при и > 0 , то соответствие (1.16) между и и v является взаимно однозначным.

Рассмотрим для уравнения (1.17) в прямоугольнике Gⁿ{0^t^T,

— п <С х < ; п} первую краевую задачу;

г; (0, x)=vn(x)9 v(t, ± n) = M2. (1.18) К а к нетрудно проверить, при наших предположениях можно приме­

нить лемму 1, согласно которой при каждом п задача (1.17), (1.18) имеет решение vn(t, x) и всюду в Gn выполняются неравенства

0 < m f vn( a ; ) < i 7n( f , я) < М2. (1.19)

X

Кроме того, внутри Gn существуют и непрерывны все производные vn, которые входят в уравнения, получающиеся дифференцированием (1.17) по х четыре раза, а также один раз по t.

Сравним функции vn(t, x) и г;п+1(^, х) в их общей области определе­

ния Gⁿ. Обозначим через Г^п часть границы Gⁿ, состоящую из сторон t = 0, х = п и х = — п . Вследствие условий (1.18) и неравенств (1.19) имеем:

х п х п

В прямоугольнике Gn разность vn — vn+l удовлетворяет уравнению:

г^Т 7 1ь* "" at ^~^~t Г'~~т—\^vn — ^vn+i), (l.zU)

Ф2 ; ( ^ ^vn) ®v(^x>^vn)

где 6n(£, ж) — промежуточное значение между vn(t, x) и vn+1(t9 x). При фиксированном п выражение, стоящее здесь множителем при vn — vn+l9

ограничено; пусть модуль его не превосходит числа Lⁿ. Положим

2Lnt .

^ n + i = wne

рассуждая, как в доказательстве леммы 1, легко установить, что функ­

ция wn(t, x) не может иметь в Gn\Yn отрицательного минимума.

Отсюда следует, что vⁿ(t, x)^vⁿ⁺¹(t, x) всюду в Gⁿ.

Таким образом, функции vⁿ образуют монотонно убывающую и огра­

ниченную снизу (тождественным нулем) последовательность; то же самое справедливо для последовательности функций uⁿ(t, х) = Ф {х, vⁿ(t х)).

Так как при п—> оо прямоугольники Gⁿ, расширяясь, заполняют всю полосу G, то в каждой точке (t, x)£G существует

lim uⁿ(t, x) = и (t, x).

Покажем, что u(t, x) является обобщенным решением задачи (1.7), ( l . i ) .

Ограниченность и неотрицательность u(t, x) в полосе G вытекает из неравенств (1.19). Установим наличие ограниченной в G обобщенной

„ д<? (х, u(t, х))

производной —^—-^ .

dvn

При каждом п функция pn(t,x) = -—• удовлетворяет в Gn уравнению

д*Рп ^ ,„ _. ,^дРп 1 Л Ф „ ( * ' " п ) ^дРп

— . = ф„ (х, Vn) — + ^ ^ _ _ . (1.21)

Применяя к этому уравнению принцип максимума, нетрудно показать, что всюду в Gn

дх < С т а х ^dv„ _дх (1.22) При t = О имеем:

J дх dv,

dvn (х)

dx < # , и = 1,2, Оценим ^ при х = п. Согласно условиям (1.18),

дх

vn (t, n) = М2 = max vn, поэтому

дх > 0 . Введем вспомогательную функцию

zn (t, x) = vn (t, x) —M2(x — n-\- 1).

В прямоугольнике Sn{0>^t<^T, п — 1 < ^ х < ; п } функция zn удовлетво­

ряет уравнению

и потому, как и vn, может принимать свое наибольшее значение только при £ = 0, х = п — 1 или х = п. Имеем:

zn(0,x) = M2( n — ж ) > 0 , zn(t,n — l) = vn(t,n — 1 ) > Q , 2n(t, n) = 0.

Следовательно, zn (£, rc) = m i n zn, откуда

02 < 0 ^

5х | х - п " ^ ' дх

<м

²

.

Тем самым мы оценили -~ при х = п. Для # = —и можно повторить те же рассуждения.

Из неравенства (1.22) получаем:

>{х, un(t, х)) дх

dv,

дх ™ < I V = m a x ( i ! f , M²) , n = l , 2 , . (1.23) Отсюда следует, что функция ср (х, и (t, x)) удовлетворяет условию Липши­

ца по х с константой, не зависящей от t, и что в G существует обоб-

до (а?, и (t, х)) ^

щенная производная з •> ^{п о} абсолютной величине не превосхо­

дящая N [см. (¹²), стр. 42—43].

Покажем, что для u(t,x) выполняется равенство (1.2).

Так как последовательность /d<p(z, uⁿ(t, x))

дх ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность

fd<?{x, unk(t, x))

дх слабо сходящу-

^ „ „ ^ Y д<р(х. u(t, х)) г*.

юся в любой конечной части G к функции - ^ — ^ —. Функции ип —

~Ф{х¹у^п) удовлетворяют уравнению (1.7). Подставим u^n]i в (1.7), умно­

жим обе части получившегося тождества на функцию f{t,x)t непрерывно 7*

676 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

дифференцируемую в G и равную нулю вне конечной области и при t = Т, а затем проинтегрируем по G. После интегрирования по частям получим:

\ \ [%

^и

"* - Ъ

^Ф

^"* ]

^dtdx

+\/(0,*)Ф(0, Ъ

^Пк

И ) dx = 0. (1.24)

G —оо

Предельный переход в (1.24) при &->оо приводит к равенству (1.2).

Докажем, что u(t,x) непрерывна в G; для этого достаточно доказать непрерывность в G функции ср(#, u(t, x)) = v (t, x). Выше уже было пока­

зано, что v(t, x) удовлетворяет по х условию Липшица с константой, не зависящей от t.

Пусть в некоторой точке (t^0t х⁰) 6 G функция v (t, x) терпит разрыв как функция t. Тогда найдется такая последовательность tk-+t0, что

| v (tk, х0) — v (*0, х0) | > а > О для к — 1, 2, . . .. Пусть, для определенности, tk^>t0 и

v(tk,x0) — v(t0,'x0)^a, к == 1,2,

Вследствие условия Липшица, на некотором отрезке ?1<Г#^?2> содер­

жащем х0, будет выполняться неравенство:

V (tkl X) — V (t0,X) > — .

Отсюда следует:

и(*л, ж) —и(*0, я ) > р > 0 при $ i < ^ < S2- (1-25) Обозначим через Gx полосу { О ^ Х ^ г ^ Г , —оо <^х<^оо]. Если

f(t,x) — непрерывно дифференцируемая в G функция, равная нулю вне конечной области и при t = Т, то имеет место равенство:

оо

\\[wu-^1^l]dtdx + \fO,x)u(\,x)dx = 0. (1.26)

QX —оо

Действительно, соотношение (1.26) получается предельным переходом из соответствующего равенства для unji, подобно тому, как выше мы полу­

чили равенство (1.2) из (1.24).

Пусть f(t,x) = 0 при i < q и при X^Q2, а при ? i - < £ < $ 2 и доста­

точно близких к t0 значениях t > t0 выполняются неравенства:

/<*,*)>о. Щ^>о.

_dt

Составим равенства вида (1.26) для X = t0 и X = tk\ вычитая одно из другого, найдем:

£2

\\ [ж

и

-&

д±

^\ dtdx = \[f(t

k

,x)u(t

k

,x)-f(t

0

,x)u(t

0l

x)]dx.

При tk—>t0 левая часть последнего равенства стремится к нулю, а правая часть, согласно (1.25), не меньше, чем

] f(t0,x)[u(tk,x) — и (t0, x)ldx^>p^f(t0,x)dx ==$!>().

Мы пришли к противоречию.

Итак, функция v (t, х) в полосе G непрерывна по t и удовлетворяет по х условию Липшица с константой, не зависящей от t. Отсюда выте­

кает, что v(t,x) (а следовательно, и u(t,x)) непрерывна в G по сово­

купности своих аргументов.

Таким образом, и (£, х) обладает всеми свойствами, перечисленными в определении 1, и поэтому является обобщенным решением задачи Ко- ши (1.7), (1.1).

Тот факт, что во всех точках, где t^>0 nu(t, x)^>0, функция и (t, x) удовлетворяет уравнению (1.7) в обычном смысле, вытекает из следую­

щей леммы.

ЛЕММА 3. Пусть в некотором замкнутом прямоугольнике S функция и (t, x) непрерывна, положительна и является пределом монотонно убы­

вающей последовательности решений uⁿ(t,x) уравнения (1.7), где ф(ж, и) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда внутри S существуют и не-

~ ди ди д²и ^п . ^ч ~ '

прерывны производные — , ~- , «-^ и функция и (t,x) удовлетворяет урав­

нению (1.7).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как и (t, x) = lim uⁿ (t, x), то

п->оо

v (£, х) = ф (х, и (t, х)) = lim ф (я, ип (t, х)) = lim vn (t, x).

n->oo n->oo

В прямоугольнике S справедливо неравенство v (t, x) ^ [ л > 0 , следова­

тельно,

^ п ( ^ ^ ) > ^ , п = 1, 2, . . ..

По лемме 2, в любом внутреннем прямоугольнике S' a S ограничены рав-

д \ 7

номерно относительно п производные — р , А:<^4.

дх

dvⁿ

В силу уравнения (1.17), производные -^~ также равномерно ограни­

чены в S'. На основании леммы 1, к уравнению (1.17) внутри S можно применять операции дифференцирования —, ^ , -wr; из равенств, по­

лучающихся при этом, следует равномерная ограниченность в S' произ- эчп дъп зчп

водных -г—г-, a d 2 , -^Т2~- Отсюда вытекает, что последовательности

Я М 1*>п\ \д^п\ о,

\~дГ\ ' )7Г1 ^и l l T M к о м п а к т н ы в о в смысле равномерной сходимости.

Следовательно, функция v (t, x) имеет в S' непрерывные производные -тт— , -х- , ^-g. Так как г; ( £ , # ) > О в 6",. то функция гг (t, х) — Ф (ж, v (t, x))

Cf t- ди ди д2и

в о обладает непрерывными производными — , —-, —^ и удовлетворяет уравнению (1.7).

§ 2. Первая краевая задача

В этом параграфе мы рассмотрим первую краевую задачу для урав­

нения (1) в прямоугольнике i ? { 0 < ; £ < j T , O^x^X} и в полуполосе

£ { 0 < г < 7 \ 0 < ж < о с } .

Обозначим через Г часть границы прямоугольника i?, состоящую' из

678 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ ЛИНЬ

боковых сторон (# = 0, х = X) и нижнего основания (£ = 0), через 1\ — часть границы R, состоящую из боковых сторон и верхнего основания (t = Т). Зададим на Г краевые условия:

ц(0, х) = и0(х), О^х^Х, u(t, 0) = %(£), u(t, X) = Uo(t), (2.1) О п р е д е л е н и е 2. Функцию u(t,x), неотрицательную, непрерывную в прямоугольнике R и удовлетворяющую условиям (2.1), назовем обоб­

щенным решением задачи (1), (2.1), если существует обобщенная произ­

водная - ' х' ' , суммируемая с квадратом в / ? , и для любой функции f(t,x), непрерывно дифференцируемой в Л и обращающейся в н у л ь на 1\, выполняется равенство:

\\Ц ^и - %⁹¹¹ЪГ^А] ^{dt dx} + \f (°. *)^м° <*>^dx - °- (2-2) д о

ТЕОРЕМА 3. Обобщенное решение задачи (1), (2.1) единственно, если функция <p(t,x,u) непрерывна по всем аргументам, a <$fu(t,x,u) ограниче­

на при (t,x)£R и ограниченных и.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1.

Сначала покажем, что равенство (2.2) остается в силе, если функция f(t,x) непрерывна в R, равна нулю на 1\ и имеет в R квадратично суммируемые обобщенные производные — , — . Затем подставим в (2.2) функцию

t

f (t,x) = \ [ф (^ ж, Щ (*, х)) — 9 (т, х, и2 (т, х))] dx , т

где и^х и и²— два обобщенных решения задачи (1), (2.1); как и в теоре­

ме 1, докажем, что иг = и2.

Теорема существования, как и в предыдущем параграфе, будет дока­

зана для уравнения (1.7).

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполняются следующие предположения:

1)и0 (х), щ (£), и2 (t) — непрерывные функции своих аргументов; 0 <^ щ^М, г = 0 , 1,2, BO( 0 ) = H I ( 0 ) , и0(Х)=:и2(0).

2) Функция ф (х, и⁰ (х)) удовлетворяет условию Липшица при 0 <J х ^ X I функции ф (0, и± (£)) и 9 (X, и2 (t)) удовлетворяют условию Липшица при 0 < * < 2 \

3) В Н1{0<С%<Х, 0 < к < М + е = М1} ( е > 0 ) функция <р(ж, и) имеет непрерывные производные пятого порядка, удовлетворяющие при и^т^>0 условию Липшица по х и и (каково бы ни было т^>0).

4) <?"ии(%, м ) > 0 в Н¹.

Ы Финкиии — и -— ^{<?х(х, и)} L Фм(я, и) J

ограничены в Н1.

Тогда существует обобщенное решение u(t,x) задачи (1.7), (2.1), при­

чем в тех точках R \ l \ где u(t,x)^>0, функция u(t,x) имеет непре-

рывные производные, входящие в уравнение (1.7), и удовлетворяет ему в обычном смысле.

З а м е ч а н и е . Как нетрудно проверить, предположения 3)—5) тео­

ремы 4 выполняются, если <р(х, u) = u^v, v ^ > l . Этот случай наиболее часто рассматривается в теории фильтрации [см. (х)].

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Примем обозначения:

v⁰ (х) = 9 (х, и⁰ (х)), v^± (t) = Ф (0, щ (*)), v² (t) = ср (X, и² (*));

М2 = max ф(ж, Мх).

0<x<JC

Построим монотонно убывающие последовательности бесконечно диффе­

ренцируемых функций {von(x)}, {vln(t)}, {v2n(t)}, которые равномерно сходятся соответственно к v⁰(x), v¹(t), v²(t) и обладают следующими свойствами:

dvaJx)

dx

<к,

^dt <К, i = 1 , 2 ; О < т^п < vⁱⁿ < М², г = 0 , 1 , 2 ; г;^оп (0) = v^ln (0), г^^оп (X) = г;²„ (0);

\ I

}. (2-3)

Л „ (0) , d»,„ (0) d^ „ (X) , cfo,„ (0)

- ^ = Ф

^{о (}

о,,

^{1 п}

(0))-^, - ё - = ф , № ^ » ( 0 ) ) - ^ - j

Здесь Ф(х, v) определяется с помощью равенств (1.16), К — постоян­

ная, не зависящая от п. Возможность построения таких последователь­

ностей вытекает из условий 1), 2) настоящей теоремы.

По лемме 1, при каждом п существует в R решение vn(t, x) уравне­

ния (1.17), удовлетворяющее условиям:

vn (0, х) = von (x), vn (t, 0) = vln (t), vn (t, X) = v2n (t).

При этом всюду в R выполняются неравенства:

0 < тп < vn (t, x) < М2, (2.4) а внутри R существуют и непрерывны все производные vn, которые вхо­

дят в уравнения, получающиеся дифференцированием (1.17) четыре раза по х, а также один раз по t.

Положим и^п = Ф (x,vⁿ); тогда vⁿ = ср (х, и^п). Неравенства (2.4) дают:

0 < ип( * , ж ) < М1. (2.5)

Как в теореме 2, легко установить, что функции ип образуют монотон­

ную ограниченную последовательность; поэтому в каждой точке R суще­

ствует предел

u(t, x) = \imun(t, х). (2.6)

Покажем, что u(t,x) является обобщенным решением задачи (1.7), (2.1).

Докажем сначала, что существует обобщенная производная ф ' » суммируемая с квадратом в R. Рассмотрим (при фиксированном п) вспомо­

гательную функцию

Fn (t, x) = ф (ж, ип (t, х)) — vln (t) + - | - [vln (t) — v2n (t)].

680 О. А. ОЛЕЙНИК, А. С. КАЛАШНИКОВ, ЧЖОУ ЮЙ-ЛИНЬ

Так как un(t,х) удовлетворяет уравнению (1.7), то )\[lt ft? \Fn(t,x)dtdx = 0.

R

Преобразуем это тождество с помощью интегрирования по частям; учи­

тывая, что Fn (t, 0) = Fn (t, X) = 0, получим:

^<f(x,un(t,x)) -^dtdx — ^vln(t)d-^dtdx +

R R

+~r \ \ ^{x [vin} w - ^v ** wi -w ^dtdx +4" \ \ ^[vin w— ^v ** cw *

R R

Tx dtdx + \ \ [ J dtdx = 0. (2.7)

R

Обозначим интегралы, стоящие в левой^части равенства (2.7), через Il9

1?> !$> 1± и 1Ь (в порядке их написания). Чтобы оценить величину Jl f

положим

и

£2 (х, и) = \ ср (#, a) doL.

Тогда о

С Г ди„ Г С dQ(x, u„(t. х))

h = ^ ?'(*, Ип (*, «)) -^f &<te = \ \ £ dtdx =

= 5 [Q (ж, ггп (Г, ж)) — J2 (ж, ип (0, ж))] dx.

о

Из неравенств (2.4) и (2.5) следует: 0<C£l(x, un(t, x))<^M2Mly что дает:

| /1| < М2М1Х = Л1. (2.8)

Далее, интегрируя по частям и используя соотношения (2.3), (2.4), (2.5), находим:

/2 = J [ип (0, я) !?1Я (0) — ип (Г, ж) г?1п (Г)] dx + ^ ^ ^ ггп (г, ж) dtdx ,

о я ) 121 < МХМ2Х + ТШ^ГХ = Л2. (2.9) Аналогичным путем устанавливаются неравенства:

1 М < ^ з , 1 ^ 1 < 4 С2-10)

Теперь из соотношений (2.7) — (2.10) вытекает, что

~ду(х, un(t, :с))

SSF

^5а; dtdx ^ А, (2.11)

где Л — постоянная, не зависящая от п. Оценка (2.11) справедлива, очевидно, при любом п.

На основании формулы (2.6) и неравенств (2.5), (2.11), заключаем [см. (12), стр. 42—43], что существует обобщенная производная ' '— , причем

Соотношение (2.2) для функции u(t,x) получается из соответствую­

щих соотношений для un(t,x) предельным переходом, подобно тому как в доказательстве теоремы 2 мы получили равенство (1.2) из равенства (1.24).

Мы доказали, что обобщенная производная 9 ^ суммируема с квадратом в прямоугольнике Л; покажем, что она ограничена во всяком прямоугольнике R8{0^t<^T, 0 < 3 ^ х < Х — 8 } . Д л я этого достаточно установить, что в R§ равномерно относительно п ограничены по модулю

dvn

производные — .

Воспользуемся методом вспомогательных функций С. Н. Бернштейна [см. (¹³)] в том виде, в каком этот метод применялся в работе (¹⁴). Р а с ­ смотрим в R функцию:

wn(t,x)—x(X — х)

дх -f e^2Xvn (2.12) Эта функция всюду в R положительна. Если она достигает своего наибольшего в R значения при х = О, при х = X или в точке, где

Wn<e*XM*.

Если максимум wn достигается при t = О, то

Во всех этих случаях

х (X — х) _дх

+ е

²

*%<#

¹

.

Рассматривая wⁿ в R$, находим:

dvn

дх < Кх

8(Х — 8)

= к<

^{(1) (2.13)}

Пусть теперь wn принимает свое наибольшее в R значение в некоторой точке Р 6 R \ Г, причем dv„

в эквивалентной форме:

ф 0. Перепишем уравнение (1.17) для vⁿ

dvⁿ , д\

— = с рdt и( х , Ф ( я , vn)) дх* (2.14) В точке Р, где, по предположению, —- ф 0, равенство (2.12) можно dv„

ох

дифференцировать по х\ это дает:

^ =

_дх ^±

x ( X - x f e

^{± ( X}

- b ) ^

_дх ^{+ 2}

X « « . ^ -

_дх ^(2.15)

Здесь и в дальнейшем верхний знак ставится в случае, когда — dv„

дх

>о,

а нижний — когда -^— . < 0 -