К. В. Никольский, О биноме Ньютона и одной формуле Абе- ля, УМН , 1964, том 19, выпуск 5(119), 123–128

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

К. В. Никольский, О биноме Ньютона и одной формуле Абе- ля, УМН , 1964, том 19, выпуск 5(119), 123–128

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 07:14:13

УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК 512

О БИНОМЕ НЬЮТОНА И ОДНОЙ ФОРМУЛЕ АБЕЛЯ

•К. В. Н и к о л ь с к и й

1. Цель этой заметки показать, что простейшие формулы элементарной алгебры могут быть представлены в новой форме, содержащей некоммути- рующие между собой величины. Это представление может быть полезным при решений некоторых математических и физических задач.

Рассмотрим бином Ньютона

(а+Ь)п = ап + ап-1 Ь + ап~2\ 2 Iб2 + . .. + а ( I bn'1+bn. Введем матрицы

• / 0 1 0 . . . 0\ /0 1 0 . . . 0\

$п+1

0 0 1 .

и Dn+i =

0 0 1 . . . 0

0 0 0 . . . 1 I I 0 0 0 . . . 1

V-i о о ... о/ \о о о ... о/

которые не коммутируют между собою (Sn+l описывает перестановку (цикл) п разных элементов и лежит в основе матричного представления цикли­

ческой группы, Dn+i — делитель нуля (7)^+1 = 0)).

Мы имеем:

(1 + 1 )п= 2п = (5п + 1 + /)л+1)п+1. Вообще

(а + Ь)п = (Sn+i +(a+b-l) Z V i r1.

Таким образом, слагаемые в полиномах (Sn+i -f- Dn+i)n+1 представляют собою коэффициенты бинома Ньютона, выраженные как полиномы из произведений степеней матриц D и S, не содержащие каких-либо численных коэффициен­

тов и структура которых определяется только некоммутативностью D и S, так как полиномы однородны.

I п\

В общем случае I , I является суммой диагональных матриц, имеющих каждая к единиц и п—к нулей по диагонали, расположенных всеми воз-

124 К. В. НИКОЛЬСКИЙ

можными способами. Таким образом, каждая матрица соответствует отдель­

ному размещению из п по к различных элементов и, вместе с тем, известному представлению статистической выборки из п по к объектов.

Мы видим, что все свойства биномиальных коэффициентов, в частности, треугольник Паскаля, свойства фигурных чисел, равно как эквивалентные им свойства размещений и соответствующие им соотношения теории комби­

наторики и вероятностей и статистики, могут рассматриваться как следст­

вие соотношений между некоммутативными конструктивными элементами

«матричного алгоритма D и S».

I п\

Конструкция коэффициентов бинома Ньютона из двух некомму­

тативных матриц без каких-либо численных коэффициентов позволяет стан­

дартизировать все математические соотношения, так как они содержат только D и S в разных степенях и последовательностях и, затем, содержат предельные переходы (п—> оо), если речь идет о трансцендентных величи­

нах. Это позволяет выразить трансцендентные величины через бином (aDv-{-Sv)v. Например, для гамма-функции Г (а) имеем

и так как

Г ( а ) = [ e^axe~^eXdx

— оо

e- = l i m f l + ^ Y ,

л , ах\п / • „ ах п Лп+1

то мы имеем

r ( a ) = 2 H m ( ^+ 1+ ^ Z ) „+ 1^+ 1

X Ах Н т Г Sr+i — ( l i m ( Ss+l + -f- Ds+l ) * ) Dr+i Л Г ,

r->oo L V s->oo ^ ⁿ У s ^J

т. е. Г (а) представлена через «бином D, S» и три предельных перехода.

Рассмотрение вопроса о порядке предельных переходов (они могут быть вообще некоммутативными) позволяет дать обобщения¹).

Д л я гипергеометрического ряда имеем

со

(Ып h r-r\-i I V (aSn + Dn)n(bSn + Dn)n ,„ , u n -n + 1

Ф ( о , Ь, C,Z)-1 + 2J {nSn + Dnr (cSn + Dn)n {^n+l + {Z-1> Dn+i> •

Специализируя значения a, b, с, мы получаем, как известно, все основные трансцендентные соотношения, имеющие значение в математической физике.

х) Существенно отметить, что гильбертова теория билинейных форм и основанная на ней теория интегральных уравнений использует понятие внутреннего принсгеймов- ского предела для предела двойного ряда, который может быть определен весьма раз­

личным образом.

Например,

е²= Н т Ф 1, р, 1 ; £

0-*оо V Р

1п(1 + ²) = ²Ф ( 1 , 1, 2; -z), ( Ц -2) » = Ф ( - п , р, р; - z ) . Заметим, далее, что введение матриц

ГО 1 О О 0 1

in+< =

0 \

о

Аг+1 =

г°

₀

0

1о

сц 0 0 0

0 . а2 . 0 . 0 ..

•

^0>

1

.. 0

• ап

• о J О 0 0 . . . 1

v l 0 0 . . . О, позволяет факторизировать полином

/ (х) = ж^п + а ^ "¹ + . . . + о^п = (х + сц) (ж + а²) . . . (х + а^п) = (xSⁿ⁺¹ + D£+i)^{n + 1} и получить явную конструкцию элементарных симметрических функций а4, а2, . . . , а7 г как сумм мономов из S и Z)* без каких-либо численных коэффициентов, различающихся между собою благодаря некоммутативности Z)* и S. Коэффициенты бинома Ньютона

к

получаются при этом как частный случай при а1= а2= ...=ап= 1. Этим путем могут быть полу­

чены соотношения между коэффициентами полинома о^а и степенями корней а, т. е. формулы Ньютона.

Пользуясь алгоритмом D и S,' возможно выразить через бином (aS^v -f- D^v)^v все системы ортогональных полиномов конструктивной теории функций, в частности, полиномы Эрмита, Лагерра, Бернштейна и др. Так как при использовании этого алгоритма мономы D^a $^v имеют непосредствен­

ный статистический смысл, как отмечено выше, соответствуя отдельным выборкам по к из л разных объектов, то теория аппроксимаций получает прозрачный статистический смысл.

Заметим, что метод факторизации некоторых задач штурма — лиувил- левского типа, предложенный Морзе и Фешбахом [1], также может быть рассмотрен методом «алгоритма D и S». В самом деле, мы имеем, например,

(0 g+m+i 0 Л

gm-fl gm+2

?т4-2

(О U,

U

d

• m + i '

^тт-2 + ^_d_

dx

Щ

Vi

о j

о \

о /

^ ^ д + 1 + ^ n + l (и)

126 К. В. НИКОЛЬСКИЙ

и т. д., т. е. все полиномы могут быть выражены через биномы алгоритма.

Подобным же образом может быть применен алгоритм D и S к операцион­

ному исчислению Микусинского [2], в котором, как легко видеть, исполь­

зуются матрицы третьего ранга, содержащие ~\/1 и -т-, например,

d_

О ~dt

О

yi о о

» i

о

и т. д. По введении этих матриц исчисление получает характер матричной алгебры.

Метод конечных разностей также допускает трактовку посредством алгоритма, причем могут быть достигнуты формулировки, не пользующиеся понятием производной. (Например, конечная разность от обобщенной сте-

rU) = _{kh(xSk-i — hDk-i)k \ гДе} Dt имеет коэффициент пени запишется как ДяА

1, 2, 3 , . . . , ( & - 1 ) . )

2. В заметке Абеля «Beweis, eines Ausdruckes, von welchem die Bino­

mial Famel ein einselnes Fall ist» рассматривается следующее обобщение бинома Ньютона

(^x+a)ⁿ = xⁿ + ^a(x+$)ⁿ-i + ^ ^ a ( a -

п (п — 1) . . . (п — (Ы + 1)

1-2 . . . [I a(a-^lx$f-^L(x + ii$)ⁿ->^x+.

...⁺±^а{а-(п-1)$Г-Цх + (п-1)$)+а(а-п$)^п-\ (1) где х, а и Р —произвольные величины и п — целое положительное число.

Если положить р = 0 , то формула Абеля переходит в бином Ньютона.

Если положить а = — х, то получается

п(п — 1 ) ( и — 2)

0 = хп--^х{х + Р)71"1 + П {П2 1} х {х + 2P)11"1 • _2-3 :(х + 3$)п-К (2) От этой формулы Абель переходит, делением на х, к другой и устанавли­

вает связь так полученной формулы с уже известным выражением для конечной разности ( — l )^{n _ 1} А^Гб (х⁷¹'¹) при постоянной разности р.

Мы хотим здесь отметить, что формула (2) допускает непосредственную интерпретацию посредством некоммутированных матриц п-то ранга. В самом деле, выражение

х(х + 2р)п'1, . . . ^ ( ж + Зр)71"1, . . . (xSn+ii^Dn)n,

допус где

5Я = кае

0 0 0 1

х(х- т запись

1 0 . . . 0 1 . . . 0 0 . . . 0 0 . . .

fP)

^{n - i}

0 0 1 0

? Dn =

О 1 0 . . . О О 0 1 . . . О О 0 0 . . . 1

о о о

. . .

о

тогда как 0 = (Sn — Dn)n.

Таким образом, мы получаем формулу Абеля (2) в виде матричного уравнения для матрицы га-го ранга, а именно

(3)

JLl=V

где п — положительное целое число, а х, |3—произвольные числа, тогда как биномиальные коэффициенты ( \ представляют собою однородные поли­

номы, составленные из некоммутативных матриц Sⁿ и Dⁿ, как это было показано выше в пункте 1.

Возможность связать (2) с исчислением конечных разностей может быть формирована и в более общем виде. В самом деле, мы имеем следую­

щую формулу для обобщенной степени:

п п — а

(a + 6 )

^S

= 2 «

^k

С>\

⁽⁴⁾

а - О

где

bn=b(b-h)(b~2h) . . . (b-(a-l)h),

п-а

сГ^~ = a(a — h)(a — 2h) . . . (а — (п —• а — 1) /г),

п

(a + b)^h = (a + b){a + b — h){a+b-2h) ... {a+b — (n—l)h)

П 1

— биномиальные коэффициенты. При этом а^=.ап, а^ = а. Формула (4) называется факториалъной биномиальной теоремой.

Заметим, что

а п — а

fc* = (bS^a - hR^a)^a, а ~ = (aSⁿ-^a - hRⁿ-^a)^r

П

{a + b)^li = ({a + b)Sn-hRn)ⁿ, где

Sⁿ =

О 1 0 . . . О 0 0 1 . . . 0 0 0 . . . 1 1 0 0 . . . 0

Rⁿ

0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0

о о

п — 1

о

— матрица п-го ранга, a Sa, Ra, Sn-a, Rn-a — матрицы а-го и (п — а)-го рангов соответственно. Тогда (4) мы можем переписать в виде

п

((a + b)Sⁿ-hRⁿ)ⁿ^^n! = ^ (aSⁿ-^a-hRⁿ-^a)ⁿ~^a(^na ) ( Ь 5^а- Л Д^ч)^а. 8 „ ь (5)

а—О

где в скобках стоят матрицы-блоки, свернутые возведением в степень в диагональные матрицы соответствующих рангов, а гп\ — единичная матрица п\ ранга.

128 К. В. НИКОЛЬСКИЙ

Таким образом, уравнение (5) представляет собою матричное уравне­

ние для матриц п\ ранга.

Как известно, регулярное представление группы перестановок и эле­

ментов осуществляется как раз посредством матриц п\ ранга, и таким образом, формула (5) дает соотношение для всех возможных неприводимых представлений группы перестановок и элементов.

Регулярное представление группы перестановок п элементов, осущест­

вляемое матрицами п\ ранга, как известно, редуцируется на неприводимом представлении этой группы, причем оно содержит все возможности непри­

водимого представления этой группы, содержа в себе при этом каждое из них несколько раз, а именно, кратность ^каждого из неприводимых пред­

ставлений равна рангу матриц, посредством которых оно реализуется. Как известно, это свойство регулярного представления лежит в основе много­

численных его применений в области квантовой физики и теории представ­

лений групп вращений.

Поступило в редакцию 13 февраля 1962 г.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] П. М о р з е и X. Ф е ш б а х , Методы теоретической физики, т. 1, М., ИЛ, 1960.

[2] В. А. Д и т к и я и А. П. П р у д н и к о в , Интегральные преобразования и опера­

ционное исчисление, М., Физматгиз, 1961.