А. И. Каландия, Основная n -гармоническая задача для мно- госвязных областей, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1951, том 15, выпуск 2, 185–198

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Каландия, Основная n -гармоническая задача для мно- госвязных областей, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1951, том 15, выпуск 2, 185–198

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 01:49:33

Серия математическая

16 (1961), 185-198

А. И. КАЛАНДИЯ

ОСНОВНАЯ ю-ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

(Представлено академиком И. Г, Петровским)

Настоящая статья посвящена изучению граничной задачи для w-гармонического уравнения * в случае плоской многосвязной области.

Вопрос заключается в отыскании регулярного в данной области реше­

ния уравнения (1) по граничным значениям искомой функции и ее нормальных производных порядка <[л—-1.

Граничная задача для уравнения

д«« = о (А = £ + ^ ; « > 1 ) (1) в любом конечномерном случае, в несколько отличной от приводимой

ниже постановке, была предметом исследований С. Л. Соболева (*), ко­

торый доказал, при довольно общем предположении относительно гра­

ницы области и задаваемых на ней функций, существование и единст­

венность решения, удовлетворяющего в среднем поставленным граничным условиям.

Исследуемая ниже задача в случае конечной односвязной области была изучена И. Н. Векуа (2), который посредством общего представ­

ления решений уравнения (1) через голоморфные функции одной ком­

плексной переменной свел задачу к эквивалентной системе интегральных уравнений Фредгольма и при помощи теоремы единственности доказал существование решения задачи.

Ниже дается обобщение метода И. Н. Векуа на случай многосвязной области. Заметим, что в случае двухсвязной области задача решена автором в работе (6) также методом И. Н. Векуа, но несколько отлич­

ным от нижеприводимого.

§ 1. Постановка задачи и замена граничных условий

1. Пусть Т — связная конечная область плоскости комплексного пере­

менного z — х -f- iг/, ограниченная простыми замкнутыми непересекаю­

щимися гладкими контурами L0, Lly . . . , Lp, из которых первый охваты­

вает все остальные. Под L будем подразумевать совокупность этих контуров; положительным направлением на L будем считать то, которое оставляет Т слева. Без ущерба для общности мы можем допустить, что начало координат принадлежит Т.

* См. уравнение (1).

6 Известия АН, серия математическая, № 2

186 А. №. КАЛАНДИЯ

Пусть кривые Lj (/ = 1, 2, . . . , р) заданы уравнениями x = Xj(s), y = yj(s) (/ = 1 , 2 , . . . , / ? ) ,

где в — соответствующая дуга (0 < ; s <^ lj, lj — длина кривой Lj). Во всем дальнейшим мы будем предполагать, что функции Xj (s), ijj (s) (/ = 1 , 2 , . . . , / ? ) —периодические с периодом lj и имеют непрерывные производные порядка 2п + 2 по дуге 5".

Рассмотрим следующую задачу:

Найти регулярное в Т {действительное) решение и (#, у) уравнения (1) по" граничным условиям: ' ^ . .

(«Г = /о (*),- • (^-)

= A (s), ..., ( 5 ^ )

= /п-1 (*), (2)

где v — внешняя нормаль линии L; символ ( )+ обозначает граничное значение выражения, заключенного в скобки, а /0 (s), f± (s), . . . , fn_i (s) — заданные на L действительные функции длины дуги s, удовлетворяю­

щие условию: fk(s) имеет непрерывные производные по дуге s порядка

< ; 2п — к (к = О,1, . . . , п — 1). Кроме того, от искомого.решения и (х, у) мы будем требовать, чтобы все его частные производные вида

дк+ти

dzk dzm

где

(к^п, т<^п),

т — гт \дх 1 ду J > dzm ~ 2m \d* $у) ' ^ ^ ' " ' ' ' dz

были непрерывны в Т -\- L.

Поставленная задача является естественным обобщением задачи Ди­

рихле, в которую она превращается для п = 1. Мы будем ее называть в дальнейшем основной п-гармонической задачей*.

Заметим, что принятые нами условия регулярности относительна искомого решения обеспечивают справедливость теоремы единственности [(⁴), стр. 236—238], которой мы воспользуемся в дальнейшем.

2. Введем обозначения

= gktm(s) (А,лг = 0 , 1 , . . . ) , .

dzh dzm

где и(х,у) — искомое решение задачи.

Напишем следующие известные соотношения [(2), стр. 210]:

d I dk+m и\+ / дк+т+{ и\+ dz , / dk^m+l и\+ ii

ds \dzkdzm ) \dzk+idzm) ds + [dzk d~m+l J ds' ^

(z = x + iy\ z = x.~iy\ k} m = 0 , 1 , . . . , n — 1),

* Для частного случая п — 2 эта задача тесно связана с основными граничными задачами плоской теории упругости [см., например, (³)].

которые имеют место для любой действительной функции (от х и у),

в достаточной степени регулярной в Т + L. :

Вышенаписанные соотношения дают возможность перехода от гра^

ничных значений нормальных производных некоторой действительной- функции к граничным значениям ее производных вида —,,. _ и обрат-

dz dzm ~

но, причем обратный переход осуществляется при помощи (4)t В част­

ности, на основании этих соотношений нетрудно видеть, что функции gh (s) (k + m^n— 1) однозначно выражаются через f0(s) /1 (<*)>. • • • >

. . ., /ⁿ_ i (я) и их производные; точнее, g^{k m}(s), к + m..= I -^n — 1, вы­

ражаются через функции /0( s ) , . . . , /z(s) и их производные, причем производные от Д (s) (к < ; I) будут порядка не выше I — к. Поэтому, согласно условиям нашей задачи, функции g^p (s), к -f- m= I'^n — 1,"

будут иметь непрерывные производные порядка In — / (/ = 0 , 1 , . . ., п — 1).

Кроме того, очевидно, что найденные таким образом функции gk m(s) (к + m^n — 1) удовлетворяют соотношениям (3).

На основании вышесказанного легко заключить, что условия (2) экви­

валентны условиям [(²), стр. 211]:

(^и)⁺ = S^0t о (*)> • ( ^ ) = g^it о (*)> • • • . ( ^ = г ) = 8„-^и о (*)• (5) Приведем весьма важные для дальнейшего формулы, вытекаю­

щие из (3):

d^iu\4dzY⁺ⁱ | , ^i)m(0^m+lA⁺fd-»\^m+^l -

dz

m+l J y

j "M 4 [

-

m+lJ y

j ~

=

h

W IF

(«<».-2). (6)

В частности, этим соотношениям удовлетворяют функции gh m(s) (k + m^n — 1).

§ 2. Интегральная запись граничных условий

1. Будем обозначать через t(s), t(s⁰), tfa), или просто t, t⁰, t^x, аф­

фиксы точек линии L, отвечающие дуговым абсциссам s, s⁰, s^x соответ¹ ственно. Для удобства обозначим также

' dk+mu\+ __ dh+mu

~' dt^kdt^m'

Докажем, что условия (5) эквивалентны следующим интегральным соотношениям*:

= 0 (7)

R e f i l l U / ^ _ „ ^ _ i ! L 4 > № _ . l-^

.. 0 = 0.1,....,n-l; /=-£),

где z — любая точка, лежащая вне Т + L.

* Интегралы по L здесь и в дальнейшем берутся в положительном направле­

нии.

6*

188 А. И, КАЛАНДИЯ

Если имеет место условие (5), то соотношения (7), очевидно, выпол­

няются. Сейчас мы докажем справедливость обратного утверждения, именно: если и(х,у) есть действительная функция, заданная в Т -\-L

dh+m и

и имеющая там непрерывные производные —г—=— , A -j- m <; й, то из (7)

dzk dzm f

вытекают условия (5).

Соотношения (7), как легко видеть, приводят к следующим равен­

ствам:

_1

m \ i^lt'¹ I—-^г gi⁾⁰ j + ici (t) h—IJ ⁼ ^ ( я^{л я Л1}°бого z вне Т + L)

^ $ [ ^ ^ ^ - ^ o ) + ^ ( o l 4 i = 2 ^ (/ = 0 , 1 п —1),

где С\ (t) —- действительная функция точки на L, сохраняющая постоян­

ное значение на каждом из контуров Lj, причем сг (t) = 0 при t^L0,Ci — действительная постоянная (I = 0 , 1 , . . . , п — 1). Из вышенаписанных

равенств вытекает [(5), стр. 67], что

i4'{ (^-^o\+ici(t)^Xi(t) ( н а £ ) , Xi(0) = ic'i (Z = 0 , l , . . . , w - 1 ) , .

гДе Xi (t) — граничное значение функции Xi(z)> голоморфной внутри Т и непрерывной в Т + L.

Первое из равенств (8) при / = 0, ввиду того, что и — g0f о — действи­

тельная функция на L, приводит к следующему контурному условию:

1 т { Х о ( 0 } = *0( 0 .

Из этого равенства непосредственно следует, что с0 (t) = 0 на L, Хо iz) == с

в области Т (с — действительная постоянная). Это последнее вместе со вторым равенством (8) (при 1 = 0) даст: %0(z)=0 всюду в J1, и, следо­

вательно, и — go, о• = 0 на L.

Предположим, что первые к условий (5) уже выведены. Тогда, в силу этих последних и (6) (при m = к — 1), будем иметь

-И5?-«.')}-^

7=0 \ /

Следовательно, из (8) (при I = к) мы получаем следующее контурное условие для Xk (z):

Отсюда, учитывая также второе равенство (8), как и выше, получим:

—ь~ ~~ Sk о = 0 на L, и тем самым наше утверждение доказано.

dl^h

2. Условия (7), очевидни, эквивалентны равенствам Re •l ' l dlu il~{. [ si dlu dt i'""1 (Vi dlu dt

° К

J

-

* У

L L

= Pi(to), (9)

где

F.(g = Ke

- * ',« о *1. о ( * о ) + 4 г ^ ' ^ о ( 0Г^ - - ^ ^,« , . о ( 0 - т ]

L L

(10) (/ = 0,1 л —1),

причем несобственные интегралы в этих выражениях следует понимать в смысле главного значения по Коши,

Используя векторные обозначения, мы можем записать условия (9) в виде одного равенства следующим образом:

{-Ы + Мт^-Ц^]="Ы' (")

Re

L L

где v (t), F (t) — векторы * с компонентами

iH'1 ^ - , Ft(t) (Z = 0 , 1 , . . . , n - 1 ) соответственно.

§ 3. Приведение к интегральным уравнениям

1. Известно [(2), стр. 176], что все регулярные в Т (действительные) решения уравнения (1) могут быть представлены формулой**

п - 1 _

u(z,y)= %zhzh№h(z)+4tk{z)] +

+ 2 2 Km-zrzmlog[(z-z})(i-!i)], (12)

3=1 s,m=0

где фь (z) (к = 0 , 1 , . . . , п — 1)—произвольные голоморфные функции от комплексного переменного z = х + iy в области Г, z3- — некоторая фикси­

рованная точка конечной области, заключенной внутри контура L§

(/—1, 2 , . . . , / ? ) , a 5J, m — произвольные комплексные постоянные, под­

чиненные условиям

fij,m= #m,s (/ = 1,2, . . . ,/?; s,w = 0, 1,. . , , n — 1 ) .

* Под вектором мы понимаем одноколонную матрицу.

!* Черта над буквой означает переход к сопряженному значению.

190 А. И. КАЛАНДИЯ

:3аметим, что в предыдущей формуле функции фй (z) определяются при помощи и(хуу) с точностью до аддитивных мнимых постоянных, а по­

стоянные B\f m определяются вполне однозначно; иначе говоря, если в (12) и (х, у) = 0 всюду в Т, то

<М*) = *С* ' (13) {к = 0, 1, . . . , п — 1; Си — произвольные действительные постоянные),

Blm = 0 (/ = 1,...,/?;, s,m = 0, 1,...,/г — 1). (14) На основании (12) легко видеть, что если производные порядка п от функций фй (z) (к = 0, 1, . . . , п — 1) непрерывны в Т + L, то все произ-

дк+ти

водные вида —, (к^п, т<^п) будут непрерывны в Т-\-L и,

dzRdz

обратно, если регулярное в Т решение а (х, у) уравнения (1) обладает тем свойством, что все —k • (к^п, пг^п) непрерывны в T+L, то производные порядка п от функций ф^ (z)\ соответствующих по (12) этому решению, непрерывны в Т + L. Согласно этому и условиям нашей задачи, мы будем предполагать в дальнейшем, что производные порядка п—1 от функции фй (z) (к = 0, 1,. . . , п — 1) непрерывны в Т 4- L в смысле Гель- дера.

Подставляя искомое решение в виде (12), выразим вектор v через функции фй и постоянные B°8t т. Для этого вектора элементарным путем находим следующие ^выражения:,

* (0 = 2 *

w ^

+

* w w + ° W' <

>

k=>0

где.:.ф— (t) ~ граничные значения производной порядка к от искомого век­

тора ф \z) ==..;..(фо(2), фх (z), . . . , ф/г-i (z)); oc^ft (j), а* (г)— матрицы, строками которых являются компоненты векторов Ait k(t), Ах (t) (1=0, 1,. . . , n—1) соответственно, причем

ill\t'x dl~kA(t)

l>k

Ahk (t) = {k\(l- Щ d№ ' -**"• {k, l = 0, 1, . . . ,n - 1), (16) 0 , l<k

ot

- A(t)?=(l, tt9....rf^4n'\);....-..-. (17)

12 (f) = (O0 (t), . . . , Qn-i (0) ~~ вектор, компоненты которого выражаются формулами ~ " ,

р п—1

Зд) = 2- 2 й,»Н»и. • <

)

где для удобства введено обозначение*

4 т (0 = W 1,Т С"

§ К« -

i) (' - ^)])

(/ = 1,. . . , p; m, 1 = 0, 1 , . . . , re—1).

(19) В дальнейшем весьма существенную роль будет играть матрица a* (t).

В развернутом виде она напишется так:

«* (*) =

tn~l tn~l

1, « , . . . ,

О, ifl, . . . , i(n — I K * "- 2? *- 1'

О, О, . • " ^ ( « - l ) ! * ' " - ' * ^{n- 1 .n-1}

(20)

Подставляя (15) в (11), мы получим соотношения для определения искомых величин — функций ф/* (z) (к = 0, 1, . . . , п — 1) и постоянных Bjs>m (/ = 1 , 2 , . . . , /?; 5, т?г = 0, 1, . . . , лг — 1), причем в этих соотно­

шениях интегралы в смысле главного значения по Коши будут содер­

жать граничные значения производных от функций фй (z) порядка <; п — 1.

Но, используя один метод Н. И. Мусхелишвили, совершенно так же, как это сделал И. Н. Векуа [(2), стр. 216—217], можно полученным соотношениям придать такой вид, что в них не будут фигурировать про­

изводные от искомых функций. В самом деле, рассмотрим следующие выражения, получающиеся при вышеупомянутой подстановке:

< * > ,

РМ=--*Л*о)г'Ы +

1 Г ocfe ft) ф<*> (t) dt

(21)

m J

ч (t) ф«« (t) dt

( i = 0 , i B - l ; t0(:L). (22) В силу того что компоненты вектора ф ^ (z) (к<^.п — 1) — голоморф­

ные функции в Т', непрерывные в Т + L в смысле Гельдера, будем иметь равенство [(5), стр. 67]:

r.^W + l H

^ -

(* = <>, 1,..., »-1; №.

вследствие которого (21) можно представить в виде

/

_ JL С

* (*> ~

* Следует принять во внимание, что операция -к~ применительно к функции (от х и у), аналитической относительно переменного z = х -f £г/, совпадает с обыч­

ным дифференцированием по z. В частности, выражение (19) есть не что иное, как частная производная порядка I от функции tm log [{t — zj) (t— zfi] по переменному t, умноженная на iltfl.

192 А. И. КАЛАНДИЯ

Заметим, что каждый отличный от нуля элемент матрицы ak (t) (к = О, 1, . . . , п — 1) с точностью до постоянного множителя имеет вид [см. (16)]

t,mtr t8 (т^к; г, бг>0).

Поэтому, так как, по предположению, координаты x(s), у (s) точек L имеют непрерывные производные по дуге s порядка 2 / г + 2 , нетрудно видеть [(5), § 8], что элементы матрицы h — k (к = 0 , 1 , . . . , п — 1) будут иметь непрерывные производные по s порядка 2/г + 1.

После этого замечания очевидно, что интегрирование по частям в (23) дозволено, и мы получим

п lt\ ^{~^i)k С d^h ( a^k{t)-a^k(t⁰) ^ dt

k=o, i , . . . ,

_ 1 ; 4-=4-4-

' ' dt ds ds

Из (22) имеем также

( - 1 ) * С dk fOLu (t)\

Учитывая эти равенства, в результате подстановки (15) в (И) будем иметь

L L L

+ \ Q (to, t) ф (t) dt\ + О* (t0) = F (t0), (24) где Q (t0, t) — матрица, определенная формулой

a Q* (t) = (QJ (t), . . . , С1*п__{ (t)) — вектор, компоненты которого выра­

жаются следующим образом:

Щ (Ч) = Re

l r n; (/) dt 1 р п; (о а-

-i 2< Со) + ^ г 3 -Т=7Г- ^ J " Г - (26) Подставляя сюда (18) и вводя действительные постоянные (3^ т, опре­

деляемые формулами

В{, s = Й,3 (/ = 1, 2, . . . , р; s = 0, 1, и - 1; /га = 0, 1, . . . . п - 2),

после элементарных вычислений получим

р п—1

u ( ' d ) = S 2 &».#:«Со). (28)

j = l s, m = 0

/ Г '3 — < Relics-Bill)], s<m, (29)

I Re[8i;{„].

= ™>

si:U

) =-*s«/. «.(*„) +15-$ M « W T ^ - I | - S M « ( 0 T - (ЗО)

(/ == 1, 2, . . . , p\ I, m, 5 = 0, 1, . . . , n — 1).

2. G целью получения из (24) системы интегральных уравнений мы используем интегральное представление голоморфных функций в много­

связной области, данное Н. И. Мусхелишвили. Имеет место предложение [(6), стр. 180]:

Всякая голоморфная в области Т функция <p(z) такая, что ее дей­

ствительная часть непрерывно продолжима на L, представима в виде

, v 1 С a (t) dt , .

9 (z) = — \ -г1 Ь 1С>

где [л (£) — действительная непрерывная функция, а с — действительная постоянная; при этом yi(t) определяется через заданную функцию cp(z)

€ точностью до произвольных (действительных) постоянных слагаемых на внутренних контурах Lj (/ = 1 , 2 , . . . , / ? ) и единственным образом на L0, а постоянная с определяется вполне. В частности, если <p(z) = ic (с — действительная постоянная), то (л (t) = 0, [t(:L0 и \i (t) = Ь,-, £€L, (/ = 1, . . . , р)^у bj — произвольные (действительные) постоянные.

На основании этого предложения, если принять во внимание ска­

занное в § 3 [см. (13)], искомый вектор ф(г) можно представить в виде

L

где (л (t) = (fx0 (t), . . . , {jLn—i (t)) — (новый искомый) вектор, компоненты которого—действительные функции. Так как, по предположению, гранич­

ные значения производных от компонентов вектора ф (z) порядка ^ п — 1 непрерывны в Т -\- L в смысле Гельдера, то, при принятых нами уело виях относительно гладкости L, нетрудно видеть, что компоненты век­

тора [А (г) будут иметь производные порядка -<гг— 1, непрерывные в смысле Гельдера на L [(2), стр. 217].

Из (31), переходя к пределу при z->t⁰(:L⁰, получим

Ш = »Ы + ±\^,

194 А. И. КАЛАН ДНЯ

Подставляя эти выражения в (24), после перестановки интегралов* и некоторых очевидных преобразований будем иметь

**(*о) И (h) + ^ к (*о> О (А ( 0 <** + ^ * («о) = Р (*о)> (32)

L

где

k(t0,t)=-Re

a(t⁰) = -[**(t⁰) + *'(t⁰)], (33)

<** (fo) i' , <** (0 *'*о • , _? С *о** (*i) -_*1<*М*0) ^ ,

L L

Очевидно, что (32) представляет собой матричную запись системы интегральных уравнений, содержащих в правых частях, кроме заданных функций, не определенные пока действительные постоянные (3?

(/ = 1,2,. . . , р; s, т = О, . . . , п — 1) **; систему (32) мы можем записать также в виде

« Со) V- ^о) + Чг [ Т Г ^ + [ К ft» t) |x (t) ds + Я* (t0) = F (t0), L ° L

•где , , : ; ; ,

&(*„) = - [ * • (*„)-<*• (*„)], (34)

*« (f., 0 = a > ('o ) 2~a M t )| »<-=!» + Й ^ П Э R e fa* W " a* <*•>] +

+ Re Г _ а*^1' + L С ^"(О-мЧ'о) dt

+

+ ^e ^Ks ^lo ^)A+H ²ⁱ Hr ^L+i '<?^4 ⁽³⁵⁾

3. Для определения степени регулярности функций, входящих в (32), заметим, что при нашем предположении относительно гладкости линии L имеют место следующие предложения.

Пусть 9 ( 0 — заданная на L функция, имеющая непрерывные в смысле Гельдера производные порядка ^ к по дуге s. Тогда интеграл в смысле главного значения по Коши

1_ Г ф (0 dt

« J t-t0 '

1^ С a* (t) dt С [i (tj) dt^±

^ J t - t0 ) I• ]

T • T A

* К получающемуся при этой подстановке интегралу ^ _

ь• ъ l* i h-t следует применить так называемую формулу перестановки .Пуанкаре-Бертрана

(см. напр. (5), стр. 61—65].

** См. (28).

как функция от s0, будет иметь непрерывные в смысле Гельдера произ­

водные порядка <<& [см. напр., (6), стр. 154 — 155].

При тех же предположениях можно показать также, что производ­

ные порядка < ; к от интеграла типа Коши

1 Г ф (t) dt

71 i J t -— Z L

непрерывны в Т -f- L в смысле Гельдера [(⁵), стр. 58].

Пусть теперь <р зависит, кроме s, также от другого переменного t ( ^ ) . Предположим, что <р имеет непрерывные в смысле Гельдера производ­

ные порядка ^к по переменному• slf -а относительно s удовлетворяет условию Гельдера. Тогда интеграл

- JL С Ф(^1> 0 dt

ш J t—t⁰ ' L

как функция от slf будет иметь непрерывные "в смысле Гельдера произ­

водные порядка <^ к, а как функция от s0 будет удовлетворять условию Гельдера [(⁵), стр. 5 4 ] * .

Вспомним, что, по предположению, координаты х (s), у (s) точек L имеют непрерывные производные порядка 2п + 2, а заданные функции gx 0 (s) — непрерывные производные порядка 2п — 2 (/ = 0,1, . . . , п — 1).

Поэтому из приведенных выше предложений непосредственно вытекает, что все элементы матриц a(t), Ъ (t), k⁰(t⁰, t) [(35), (34), (33), (25), (17), (16)] и векторов, a*\(t),F(t) [(30), (29), (28), (19), (10)] будут иметь относительно своих аргументов (s n s⁰) непрерывные в смысле Гельдера производные порядка не меньше п.

Перейдем к исследованию полученной системы (32). Из (20) имеем

п—1 п (п—1)

det a* (t) = П ^kl {it't) ² , (36)

и, следовательно, det a* (t) ф 0 всюду на L. Согласно этому свойству мат­

рицы а* (г), как известно, к системе (32) возможно применить существую­

щую теорию системы сингулярных интегральных уравнений [(5), гл. VI] **.

Вычисляя теперь по формуле Н. И. Мусхелишвили [(5), стр. 427]

индекс системы (32), в силу (36), находим***

1 = ^ [ ^arg Шчйк ⁼ ^ ^{[arg {t} '~ ^{t)n (П} ~ ^i)]L = - /»< ^л - ⁴ >- (37)

* Н. И. Мусхелишвили проводит доказательство для случая к — О, но предло­

жение легко может быть доказано для любого к.

** Известно также, что путем регуляризации можно привести нашу систему к эквивалентной системе уравнений Фредгольма, {причем регуляризующий оператор строится в явном виде и зависит исключительно от матрицы ^а* (t) [(⁵), § 130; см.

также (7)].

*** Символ [ ]^L обозначает приращение выражения, заключенного в скобки, при обходе на L в положительном направлении.

196 А. И, КАЛАНДИЯ

4. Докажем, что основная гс-гармоническая задача эквивалентна*

(в смысле разрешимости) системе интегральных уравнений (32). Из самого вывода этой системы следует, что если основная я-гармоническая задача?

разрешима, то существуют определенные действительные постоянные Ре, т (/ = 1, 2, . . . , р; s, т = 0, 1,. . . , п — 1), для которых система (32) имеет решение.

Допустим, что система (32) разрешима для каких-либо значений постоянных pjf m. Тогда, на основании отмеченных выше свойств ядра (матрицы k(t0,t)) и правой части системы (32), [нетрудно видеть, что ее решение [i(t) = ([L0(t)y. . . , [in_i (t)) будет обладать непрерывной в смысле Гельдера производной порядка п. Подставляя y.(t) в (31), мы получим вектор ф(^), компоненты которого — голоморфные функции в Т, имеющие непрерывные в Т -\- L производные порядка п (см. п. 3). Определяя из (27) постоянные В\у m (/ = 1 , 2 , . . . , р\ s, m = О, 1, . . . , п — 1) и подстав­

ляя их вместе с найденными выше функциями ф^ (z) (& = 0,1,...,д — 1) в формулу (12), мы получим искомое решение нашей задачи. Тем самыми эквивалентность доказана.

Таким образом, для разрешимости основной п-гармонической задачи необходимо и достаточно, чтобы система интегральных уравнений (32) была разрешима для каких-либо значений постоянных Pi, m.

§ 4. Существование решения

В этом параграфе, пользуясь теоремой единственности, мы докажем разрешимость основной тг-гармонической задачи.

1. Приступая к исследованию вопроса о разрешимости системы ин­

тегральных уравнений (32), начнем с рассмотрения соответствующей ей однородной системы

« Со) V** (*о) +\

Со» 0 f** (0

= °- (

>

L

Пусть [х* (t) = ({JL* (t), . . . , {х^_4 (t))— некоторое ее решение.

Тогда, рассуждая как и выше, легко показать, что функция

где

*И*) = i S 4 ^ (* = 0,1,...,»-1;*€Г),

удовлетворяет всем условиям однородной граничной задачи (/0 (s) = Д (s) =

= . . . = fn_i (s) = 0) и, следовательно, по теореме единственности, будет тождественным нулем в области Т. Отсюда и из сказанного в § 3 [см. (13)}

вытекает, что

Vh{z)=iCk (A = 0 , 1 , . . . , га-1),

причем Ск (к = 0,1, , . . . , п — 1) — произвольные постоянные. Следова­

тельно, в качестве \L*h(t) (к = 0 , 1 , . . . , п — 1) мы будем иметь р линейно

1 р^#

независимых функций [х* (t),.. . , [i*k {t), где

о (1 при *€L,- ( / = - 1 , 2 , . . . , / ? ) ,

[JLb U) = {

10 на всех остальных контурах.

Отсюда мы имеем всего пр линейно независимых векторов

(^(0, о, о,..., о ) j ( о , £;(*) о,..., о )

} / = 1 , 2 , . . . ,л

( о , о, о,..., |i;_

(o)

которые, в свою очередь, очевидно, удовлетворяют системе (38).

Таким образом, число к всех линейно независимых решений систе­

мы (38) будет

к = пр. (39) 2. Постараемся за счет подбора не определенных пока постоянных

pj>m (/ = 1 , 2 , . . . , / ? ; s, т = 0,1, . . . , п — 1) удовлетворить условиям раз­

решимости системы (32). Эти условия, как известно, имеют вид [(5), стр. 428J

\(F(t)-Cl'(t))v(t)ds = 0, r - 1 , 2 , . . . , к', (40)

L

где v (t) = \v0 (г),.. . , vn_i (t)) — вполне определенные векторы*, причем число кг этих условий (или, что все равно, векторов v (t)) определяется нри помощи введенных выше чисел х и к по формуле [(5), стр. 429]

к' = к— х. (41 Подставляя (28) в (40), будем иметь

2 2 <£mPU = Yr, Г = 1 , 2 , . . . , * ' , (42)

j = i s,m=0

г д е ^s'm'Yr— действительные постоянные, определяемые формулами:

4 , "т = S U ° , l (0 V0 (0 + • • • + />rm1'i (*) V„-l (*)) rf»,

L

Tr = \ (FQ W VJ (0 + • • • + Fn-i (t) Vn_l (*)) **

L

(/ = 1 , 2 , . . . , p\ r= 1 , 2 , . . . , A:'; s, m = 0, 1, 2 , . . . , я - 1).

Из (41), (39) и (37) находим

К = п2р

и, следовательно, для определения постоянных (3jf m мы имеем систему (42) линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных, равным числу уравнений.

* Они являются линейно независимыми решениями некоторой однородной системы интегральных уравнений, связанной с (38).

198 А. И. КАЛАНДИЯ

Докажем, что определитель системы (42) отличен от нуля. В самом деле, если бы этот определитель был равен нулю, то однородная система алгебраических уравнений, соответствующая (42), имела бы нетривиаль­

ное решение $8]т. Тогда система интегральных уравнений, получающаяся из (32) при F(t).= Q, была бы разрешима для этих. (387т. Обозначая решения этой системы через у.* (t) = (ц * (t), . . . , ^ ' ^ (t)) и рассуждая как выше, мы получили бы отличную от нуля* регулярную л-гармоническую функцию и0 (х, у),

п — 1 ^2 р п~{

&=0 j =, l s, w = 0

L

B*j — B*j

^s^s — Ps, s;

\ •Om, s = Hs, m ^ Pm, s> ^ \ W)

(k,s = 0,1, . . . . n - 1; / = 1,2, . . . , / > ; m = 0,1, . . . \ n - 2), удовлетворяющую однородной граничной задаче, что,. в силу теоремы единственности, невозможно. Следовательно, система (42) имеет един­

ственное решение. Очевидно, что для определенных таким образом постоянных Ps>m система (32) будет иметь определенное решение [I ( 0 = ((^о W> • • • у f^n-i (*))• Отсюда, в силу сказанного в конце предыдущего параграфа> вытекает существование решения поставленной граничной задачи. Заметим, наконец, что примененный здесь метод решения гранич­

ной задачи можно использовать и для более общего вида эллиптических уравнений.

Тбилисский матем. институт Поступило им. А. М. Размадзе 19.XII.1949 Академии Наук Груз. ССР

ЛИТЕРАТУРА

1 С о б о л е в С. Л., Об одной краевой задаче для полигармонических уравненийг

Математ. сборник, т. 2 (44): 3 (1937), 465—498.

2 В е к у а И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М., Гостех- издат, 1948.

3 Ш е р м а н Д. И., К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных внешних силах, Доклады Ак. Наук СССР, т.. 28 (1940), 25—28.

4 В е к у а И. Н., Комплексное представление решений эллиптических дифферен­

циальных уравнений и его применения к граничным задачам, Труды Тбилис­

ского математического института, т. 7 (1939), 161—253. , ,

6 My с х е л и ш в и л и*Н. П., Сингулярные интегральные уравнения, М., Гоетех- издат, 1946.

6 К а л а н д и я А. И., Решение основной граничной задачи для уравнения Апи = 0 в случае двухсвязной области, Труды Тбилисского математического института, т. 17 (1949), (131—162).

7 В е к у а Н. П., К теории систем сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши, Сообщения Ак. Наук Груз. ССР, т. 4 (1943), 207—219.

* См. начало § 3 {равенство (19)).