Б. Н. Цыбиков, Обратная задача о восстановлении старшего коэффициента в двумерном уравнении теплопроводности, Математические заметки СВФУ , 2017, том 24, выпуск 1, 74–86

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Б. Н. Цыбиков, Обратная задача о восстановлении старшего коэффициента в двумерном уравнении теплопроводности, Математические заметки СВФУ , 2017, том 24, выпуск 1, 74–86

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 01:42:21

(2)

Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О ВОССТАНОВЛЕНИИ СТАРШЕГО КОЭФФИЦИЕНТА В ДВУМЕРНОМ

УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Б. Н. Цыбиков

Аннотация. Рассматривается обратная задача восстановления старшего коэффи- циента, не зависящего от одной из пространственных переменныхy, в двумерном уравнении теплопроводности. В качестве условий переопределения рассматрива- ются значения решения на сечении области плоскостью y= 0. Решение ищется в классе функций, Фурье-образ которых по переменнойyимеет компактный носитель по двойственной переменной. Получены условия существования и единственности решений в данном классе.

Ключевые слова: обратная задача, условие переопределения, параболическое уравнение второго порядка, начально-краевая задача.

Введение В области

Q=R×T ={(y, x, t)| −∞< y <∞, 0< x < l, 0< t < T} рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности

u_t=u_xx+k(x, t)u_yy, k(x, t)>0, (1) с неизвестным коэффициентомk(x, t). Зададим начальное условие

u|t=0=ϕ(y, x), −∞< y <∞, 0≤x≤l, (2) краевые условия

u|x=0=µ(y, t), u|x=l=ν(y, t), −∞< y <∞, 0≤t≤T, (3) и условие переопределения

u|y=0=u0(x, t), 0≤x≤l, 0≤t≤T. (4) Задачи подобного типа возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов и во многих других областях. Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (4) было

Работа поддержана РФФИ и правительством Ханты-Мансийского автономного округа (грант 15–41–00063, р урал а).

c 2017 Цыбиков Б. Н.

(3)

рассмотрено в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авто- ров (см. библиографию в [1]). В случае, когда неизвестные коэффициенты зависят только отt, как линейные, так и нелинейные задачи рассматривались М. Иванчовым и др. (библиография может быть найдена в [2]). Среди моно- графий, посвященных обратным задачам для параболических и эллиптических уравнений и систем, отметим [3–5], а среди последних работ [6–11]. В частно- сти, в работе [8] рассмотрен вопрос о разрешимости вышеприведенной обратной задачи для параболических уравнений в классах Г¨ельдера, а в работе [9] — в классах Соболева. Цель настоящей работы рассмотреть вопросы корректности обратной задачи (1)–(4) в некоторых специальных функциональных простран- ствах со смешанной нормой. Преобразование Фурье от решения по переменной y имеет компактный носитель по двойственной переменной.

1. Разрешимость прямой задачи

Постановка прямой задачи. В областиQрассмотрим начально-краевую задачу (1)–(3).

Введем обозначения:

v(λ, x, t) = ˆu(λ, x, t) = Z∞

−∞

u(y, x, t)e^−iλydy

— преобразование Фурье по переменнойy,R0 — радиус носителя функцииv по переменнойλ,

k · k=k · k_C(_T), ||| · |||=k · k_C([_−R₀_,R₀]×T), F(x, t;ξ, τ) = 1

2p

π(t−τ) X∞ n=−∞

(e⁻^{(x−ξ+2nl)2}^4(t−τ) −e⁻^(x+ξ+2nl)2^4(t−τ) )

— функция Грина начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности u_t=u_xxс краевыми условиями Дирихле (см. [12]),

v0(λ, x, t) = Zl 0

ϕ(λ, ξ)Fb (x, t;ξ,0)dξ

+ Zt

0

ˆ

µ(λ, τ)Fξ(x, t; 0, τ)dτ− Zt 0

ˆ

ν(λ, τ)Fξ(x, t;l, τ)dτ.

Определение. Решением прямой задачи (1)–(3) назовем функцию u(y, x, t) из класса

uyy(y, x, t)∈L2(Q), u(y, x, t)∈L2 −∞,∞;W₂^2,1(T)∩C^2+α,1+^α²(Q_T)

∩L_∞ −∞,∞;W₂^2,1(_T)∩C^2+α,1+^α²(Q_T)

, 0< α <1; (5) u(y, x, t), u_y(y, x, t)∈C((−∞;∞)×_T);

(4)

ˆ

u(λ, x, t)≡0, |λ| ≥R0, 0< x < l, 0< t < T,

удовлетворяющую уравнению (1), начальному условию (2) и граничным усло- виям (3).

Существование и единственность решения прямой задачи.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1)ϕ(λ, x),b µ(λ, t),ˆ νˆ(λ, t)≡0при|λ| ≥R0, 2) max

λ∈[−R0,R0](kϕbkC^2+α[0,l]+kϕbkW₂¹(0,l)), max

λ∈[−R0,R0](kϕbk_C¹⁺^α2[0,l]+kµˆk

W

34 2 (0,T)),

λ∈[max−R0,R0](kϕbk_C¹⁺^α2[0,l]+kνˆk

W

3 4

2 (0,T))конечны.

3) ϕ(y, x) ∈ L2 −∞,∞;C^2+α[0, l]∩W₂¹(0, l)

, µ(y, t), ν(y, t) ∈ L2 −∞,∞; C¹⁺^α²[0, T]∩W₂³⁴(0, T)

.

Тогда для любой вещественной функцииk(x, t)>0 такой, что kk(x, t)k< 1

R₀² Rt 0

Rl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ ,

задача(1)–(3)однозначно разрешима в классе

uyy(y, x, t)∈L2(Q), u(y, x, t)∈L2(−∞,∞;W₂^2,1(T)∩C^2+α,1+^α²(T))

∩L_∞(−∞,∞;W₂^2,1(T)∩C^2+α,1+^α²(T)),0< α <1;

u(y, x, t), u_y(y, x, t)∈C((−∞;∞)×_T), причемu(λ, x, t)ˆ ≡0 при|λ| ≥R0, 0< x < l,0< t < T.

Доказательство. В области_T рассмотрим задачу

vt=vxx−λ²k(x, t)v, (6)

v|t=0=ϕ(λ, x),b (7)

v|x=0= ˆµ(λ, t), v|x=l= ˆν(λ, t). (8) Прямая задача (1)–(3) эквивалентна задаче (6)–(8) в классе функций (5), а последняя, в свою очередь, эквивалентна следующему интегральному уравне- нию (см. [10]):

v(λ, x, t) = Zl 0

b

ϕ(λ, ξ)F(x, t;ξ,0)dξ+ Zt 0

ˆ

µ(λ, τ)Fξ(x, t; 0, τ)dτ

− Zt 0

ˆν(λ, τ)F_ξ(x, t;l, τ)dτ −λ² Zt

0

Zl 0

k(ξ, τ)v(λ, ξ, τ)F(x, t;ξ, τ)dξdτ. (9) Докажем разрешимость интегрального уравнения (9) методом последова- тельных приближений

v⁽ⁿ⁾(λ, x, t) =v0(λ, x, t)−λ² Zt

0

Zl 0

k(ξ, τ)v⁽ⁿ⁻¹⁾(λ, ξ, τ)F(x, t;ξ, τ)dξdτ, (10)

(5)

где

v0(λ, x, t) = Zl 0

ϕ(λ, ξ)Fb (x, t;ξ,0)dξ

+ Zt

0

ˆ

µ(λ, τ)F_ξ(x, t; 0, τ)dτ− Zt 0

ˆ

ν(λ, τ)F_ξ(x, t;l, τ)dτ.

В качестве нулевого приближения примем v⁽⁰⁾(λ, x, t) =v0(λ, x, t).

Из условия 1 теоремы 1 следует, чтоv⁽⁰⁾(λ, x, t)≡0 при|λ| ≥R0. Тогда из определения n-го приближения вытекает, чтоv⁽ⁿ⁾(λ, x, t)≡0 при|λ| ≥R0 для любогоnи

|||v⁽⁰⁾|||=|||v0|||=C,

|||v⁽¹⁾||| ≤C+CR²₀ Zt 0

Zl 0

F(x, t;ξ, τ)dξ dτ kkk,

и т. д. Тогда для n-го приближения справедлива оценка

|||v⁽ⁿ⁾||| ≤ C 1−R²₀

Rt 0

Rl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ kkk

,

при условии

kkk< 1 R₀²

Rt 0

Rl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ

. (11)

Для разностиv⁽ⁿ⁾−v⁽ⁿ⁻¹⁾ из (10) можно получить оценку

|||v⁽ⁿ⁾−v⁽ⁿ⁻¹⁾||| ≤R²₀ Zt 0

Zl 0

kkk|||v⁽ⁿ⁻¹⁾−v⁽ⁿ⁻²⁾|||. Таким образом, условие (11) достаточно для того, чтобы последовательные при- ближения сходились.

Единственность решения прямой задачи докажем от противного. Пусть v1(λ, x, t) иv2(λ, x, t) — два различных решения задачи (6)–(8). Тогда для раз- ностиv1−v2 справедливо неравенство

|||v1−v2|||



1−R²₀ Zt 0

Zl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ kkk



≤0,

из которого в силу (11) следует, чтоv1≡v2.

Функцияv(λ, x, t) является решением интегрального уравнения (9), и тогда из стандартных оценок в пространствах Г¨ельдера для решений параболических

(6)

уравнений (см. [13]) имеем v(λ, x, t)∈ L_∞(−∞,∞;C^2+α,1+^α²(_T)) . Таким об- разом, функция v(λ, x, t) есть единственное решение задачи (6)–(8) из класса L_∞(−∞,∞;C^2+α,1+^α²(T)).

В силу формулы Парсеваля — Планшереля справедливы оценки Z∞

−∞

Z

T

|uyy|²dxdtdy= 1 2π

Z∞

−∞

Z

T

|uˆyy|²dxdtdy= 1 2π

R0

Z

−R⁰

Z

T

|λ|⁴|v|²dxdtdλ

≤ 1 2π

2R⁵₀

5 |||v|||²<∞, т. е. u_yy∈L2(Q). Аналогично можно получить остальные оценки, позволяющие утверждать, чтоu(y, x, t) принадлежит классу (5).

2. Разрешимость обратной задачи Введем обозначения:

A1= min

T

R0

Z

−R⁰

λ²v0(λ, x, t)dλ, A2= min

T

R0

Z

−R⁰

λ²v(λ, x, t)dλ,

ε= 2πR²₀ku_0xx−u_0tk Zt

0

Zl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ ,

R=A1+ε 2 , ν=

2R⁵₀|||v0|||ku_0xx−u_0tk Rt 0

Rl 0

2R(R−ε) .

Определение. Решением обратной задачи(1)–(4) назовем пару функций (k(x, t), u(y, x, t)), где k(x, t) — положительная функция, принадлежащая про- странствуC^α,^α²(Q_T), а

uyy(y, x, t)∈L2(Q), u(y, x, t)∈L2 −∞,∞;W₂^2,1(T)∩C^2+α,1+^α²(Q_T)

∩L_∞ −∞,∞;W₂^2,1(_T)∩C^2+α,1+^α²(Q_T)

, 0< α <1;

u(y, x, t), uy(y, x, t)∈C((−∞;∞)×T), причем ˆu(λ, x, t)≡0 при|λ| ≥R0, 0< x < l, 0< t < T,

и удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)–(4).

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) u0(x, t), ϕ(y, x), µ(y, t), ν(y, t) — вещественные функции, 2) ϕ(λ, x),b µ(λ, t),ˆ νˆ(λ, t)≡0при|λ| ≥R0,

3) max

λ∈[−R⁰,R0](kϕbkC^2+α[0,l]+kϕbkW₂¹(0,l)), max

λ∈[−R⁰,R0](kϕbk_C¹⁺^α2[0,l]+kµˆk

W

3 4 2 (0,T)),

λ∈[max−R⁰,R0](kϕbk_C¹⁺^α2[0,l]+kνˆk

W

3 4

2 (0,T))конечны.

(7)

4) ϕ(y, x) ∈ L2 −∞,∞;C^2+α[0, l]∩W₂¹(0, l)

, µ(y, t), ν(y, t) ∈ L2 −∞,∞; C¹⁺^α²[0, T]∩W₂³⁴(0, T)

,

5)u0(x, t)∈C^2+α,1+^α²(_T), 6) u_0xx−u_0t>0,

7) A1≥ε+q

8

5R₀³ε|||v0|||, 8) 0< ν < ¹₂.

Тогда существует единственное решение обратной задачи(1)–(4):

k(x, t) = u_0xx−u_0t

1 2π

∞R

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

, u(y, x, t) = 1 2π

Z∞

−∞

v(λ, x, t)e^iλydλ,

где v(λ, x, t)— решение интегрального уравнения

v(λ, x, t) =v0(λ, x, t) +λ² Zt 0

Zl 0

(u_0τ−u_0ξξ)F(x, t;ξ, τ)

1 2π

∞R

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

v(λ, ξ, τ)dξdτ.

Доказательство. Докажем разрешимость обратной задачи. Положим y= 0 в уравнении (1). Используя условие (4), можем выразить функциюk(x, t) через известные величины и функциюu_yy(0, x, t), которая находится из форму- лы обратного преобразования Фурье

k(x, t) = u_0t−u_0xx

1 2π

∞R

−∞

λ²u(λ, x, t)ˆ dλ

. (12)

Подставляя найденную функцию k(x, t) в уравнение (1), выполнив в получен- ном уравнении, а также в начальном условии (2) и граничных условиях (3) преобразование Фурье поy и обозначая ˆu(λ, x, t) через v(λ, x, t), имеем

v_t=v_xx+λ² u_0t−u_0xx

1 2π

∞R

−∞

λ² v(λ, x, t)dλ

v(λ, x, t),

v|t=0=ϕ(λ, x),b

v|x=0= ˆµ(λ, t), v|x=l= ˆν(λ, t).

Решение полученной начально-краевой задачи для нелинейного параболическо- го уравнения позволит найти решение обратной задачи.

Используя фундаментальное решение F(x, t;ξ, τ), сведем задачу (1)–(4) к эквивалентному интегральному уравнению

v(λ, x, t) =v0(λ, x, t) +λ² Zt 0

Zl 0

(u0τ−u0ξξ)F(x, t;ξ, τ)

1 2π

R∞

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

v(λ, ξ, τ)dξdτ,

(8)

где

v0(λ, x, t) = Zl 0

b

ϕ(λ, ξ)F(x, t;ξ,0)dξ+ Zt 0

ˆ

µ(λ, τ)Fξ(x, t; 0, τ)dτ

− Zt 0

ˆ

ν(λ, τ)Fξ(x, t;l, τ)dτ. (13)

Рассмотрим замкнутое множество B =

v(λ, x, t)|v(λ, x, t)∈L2(−∞,∞;C^2+α,1+^α²(_T)), v(λ, x, t)≡0 при|λ| ≥R0,

|||v||| ≤ |||v0|||R

R−ε, A2≥R >0, R > ε

.

Определим в нем отображение ¯v=Av:

¯

v(λ, x, t) =v0(λ, x, t) +λ² Zt 0

Zl 0

1 2π

∞R

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

¯

v(λ, ξ, τ)dξdτ. (14)

Покажем, что операторAотображаетB в себя.

1. Пустьv(λ, x, t)∈B. Тогда из (14) следует неравенство

|||¯v||| ≤ |||v0|||+ 2πR₀²

ku0τ−u0ξξk Rt 0

Rl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ A2 |||v¯|||, из которого сразу следует, что

|||v¯||| ≤|||v0|||R R−ε. 2. Из (14) также следует, что

A2≥A1−2R³₀ε 5

|||v0|||

R−ε. ВыберемRтаким, чтобы выполнялось неравенство

A1−2R³₀ε 5

|||v0|||

R−ε ≥R, или

5R²−5R(A1+ε) + 5A1ε+ 2R³₀|||v0|||ε≤0.

При выполнении неравенства A1≥ε+

r8

5R₀³ε|||v0|||

(9)

в качествеRможно взять величину

R=A1+ε 2 .

Очевидно,R > ε. Таким образом, операторAотображает множество B в себя. Покажем, чтоA— сжимающее отображение. Имеем

|||v¯1−v¯2|||= λ²

Zt 0

Zl 0

1 2π

∞R

−∞

λ²v1(λ, x, t)dλ

¯

v1(λ, ξ, τ)dξdτ

−λ² Zt

0

Zl 0

1 2π

∞R

−∞

λ²v2(λ, ξ, τ)dλ

¯

v2(λ, ξ, τ)dξdτ

= 2π λ²

Zt 0

Zl 0

(u_0τ−u_0ξξ)F(x, t;ξ, τ) R∞

−∞

λ²v1(λ, ξ, τ)dλ R^∞

−∞

×



¯v1(λ, ξ, τ) Z∞

−∞

λ²v2(λ, ξ, τ)dλ−¯v2(λ, ξ, τ) Z∞

−∞



dξdτ

= 2π λ²

Zt 0

Zl 0

(u_0τ−u_0ξξ)F(x, t;ξ, τ) R∞

−∞

λ²v1(λ, ξ, τ)dλ ^∞R

−∞



(¯v1−v¯2)

R0

Z

−R0

+v2(λ, ξ, τ) Z∞

−∞

λ²(v2−v1)dλ



dξdτ

≤ 2πR²₀

R² ku0τ−u0ξξk

2R₀³ 3

|||v0|||R

R−ε|||¯v1−¯v2|||

+2R³₀ 3

|||v0|||R

R−ε|||v1−v2|||

Z^t

0

Zl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ . Обозначив

ν= 2εR³₀

3R(R−ε)|||v0|||, получим

|||¯v1−¯v2||| ≤ ν

1−ν|||v1−v2|||.

Для того чтобы отображение было сжимающим, достаточно взять 0< ν < ¹₂. Из принципа сжимающих отображений заключаем, что при 0 < ν < ¹₂ уравнение (13) имеет единственное решение из множестваB.

Последовательные приближения к этому решениюv⁽⁰⁾, v⁽¹⁾, v⁽²⁾, . . . , v⁽ⁿ⁾, . . . имеют вид

v⁽ⁿ⁾(λ, x, t) =v0(λ, x, t) +λ² Zt 0

Zl 0

1 2π

∞R

−∞

λ²v⁽ⁿ⁻¹⁾⁾(λ, x, t)dλ

v⁽ⁿ⁻¹⁾(λ, ξ, τ)dξdτ.

(10)

В качестве начального приближенияv⁽⁰⁾(λ, x, t) возьмем функцию

v0(λ, x, t) = Zl 0

b

ϕ(λ, ξ)F(x, t;ξ,0)dξ

+ Zt

0

µ(λ, τ)Fˆ _ξ(x, t; 0, τ)dτ− Zt 0

ˆν(λ, τ)F_ξ(x, t;l, τ)dτ,

принадлежащую множествуB. Действительно,

1.v⁽⁰⁾(λ, x, t)≡0 при |λ| ≥R0, так как ϕ(λ, ξ)b ≡0,µ(λ, ξ)ˆ ≡0,νˆ(λ, ξ)≡0 при|λ| ≥R0.

2. ПосколькуA1≥ε, тоA1≥R, и в силу того, что

A2= min

T

R0

Z

−R⁰

λ²v⁽⁰⁾(λ, x, t)dλ=A1,

получаем A2≥ε.

3. Неравенство

|||v⁽⁰⁾||| ≤ |||v⁽⁰⁾|||R R−ε справедливо, так как R > R−ε.

Покажем, что еслиu0(x, t), ϕ(y, x), µ(y, t), ν(y, t) — вещественные функции и u0t−u0xx>0, то функция k(x, t) также вещественна и положительна.

Убедимся, что для любого натуральногоnвыражение

RR0

−R⁰

λ²ⁿv⁽⁰⁾(λ, x, t)dλ вещественно. В самом деле,

R0

Z

−R⁰

λ²ⁿv⁽⁰⁾(λ, x, t)dλ=

R0

Z

−R⁰

λ²ⁿ



 Zl 0

b

ϕ(λ, ξ)F(x, t;ξ,0)dξ

+ Zt 0

ˆ

µ(λ, τ)Fξ(x, t; 0, τ)dτ− Zt 0

ˆ

ν(λ, τ)Fξ(x, t;l, τ)dτ



dλ

=

R0

Z

−R0

λ²ⁿ



 Zl 0



 Z∞

−∞

ϕ(y, ξ)e⁻^iλydy)F(x, t;ξ,0)dξ

+ Zt 0



 Z∞

−∞

µ(y, τ)e^−iλydy



F_ξ(x, t; 0, τ)dτ

− Zt 0



 Z∞

−∞

ν(y, τ)e^−iλydy



F_ξ(x, t;l, τ)dτ



dλ.

(11)

Рассмотрим первое слагаемое справа от знака равенства. Изменив в нем в силу теоремы Фубини порядок интегрирования и используя формулу Эйлера, полу- чим

R0

Z

−R⁰

λ²ⁿ



 Zl 0



 Z∞

−∞

ϕ(y, ξ)e^−iλydy



F(x, t;ξ,0)dξ



dλ

= Zl

0

F(x, t;ξ,0)



 Z∞

−∞

ϕ(y, ξ)





R0

Z

−R0

λ²ⁿe^−iλydλ



dy



dξ

= Zl 0

F(x, t;ξ,0)



 Z∞

−∞

ϕ(y, ξ)





R0

Z

−R0

λ²ⁿ(cosλy−isinλy)dλ



dy



dξ.

Внутренний интеграл

RR0

−R0

λ²ⁿ(cosλy −isinλy)dλ в силу четности первого и нечетности второго слагаемого равен 2^R

R0

0

λ²ⁿcosλy dλ.

В силу того, что функцииϕ(y, ξ) иF(x, t;ξ, τ) вещественны, получим, что и сам интеграл веществен. Аналогично доказывается вещественность оставшихся интегралов.

Покажем, что k(x, t)>0. Обозначим

P_n(x, t) = Z∞

−∞

λ²v⁽ⁿ⁻¹⁾(λ, x, t)dλ.

ТогдаP_n(x, t)>0 для любогоn= 1,2, . . .. В самом деле,

P1(x, t) =

R0

Z

−R0

λ²v⁽⁰⁾(λ, x, t)dλ≥A1>0,

P2(x, t) = Z∞

−∞

λ²



v⁽⁰⁾(λ, x, t)

+λ² Zt 0

Zl 0

1 2π

∞R

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

v⁽⁰⁾(λ, ξ, τ)dξdτ



dλ≥A2≥R >0,

и т. д. Следовательно,

k(x, t) = u0t−u0xx 1

2π

R∞

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

>0.

(12)

Осталось показать справедливость оценки (11). Поскольку Z∞

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ≥min

T

R0

Z

−R0

λ²v(λ, x, t)dλ=A2≥R > ε >0, то

kkk= 2πku_0t−u_0xxk R∞

−∞

λ²v(λ, x, t)dλ

< 2πku_0t−u_0xxk

ε = 1

R²₀ Rt 0

Rl 0

F(x, t;ξ, τ)dξdτ .

ЛИТЕРАТУРА

1. Belov Ya. Ya.Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

2. Ivanchov M.Inverse problems for equation of parabolic type. Lviv: WNTL Publishers, 2003.

(Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Kozhanov A. I.Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

4. Isakov V.Inverse problems for partial diﬀerential equations. Berlin: Springer Science+Business Media, Inc., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A.Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc. 1999.

6. Gol’dman N. L.Properties of solutions of parabolic equations with unknown righs-hand side and adjoint problems // Dokl. Math. 2008. V. 77, N 3. P. 350–355.

7. Ефременкова О. Б.О разрешимости одной обратной параболической задачи определения коэффициента абсорбции специального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1.

C. 72–79.

8. Pyatkov S. G. Tsybikov B. N.On evolutionary inverse problems for parabolic equations //

Dokl. Math. 2006. V. 77, N 1. P. 111–113.

9. Pyatkov S. G., Samkov M. L.On some classes of coeﬃcient inverse problems for parabolic systems of equations // Sib. Adv. Math. 2012. V. 22, N 4. P. 287–302.

10. Pyatkov S. G.On some classes of inverse problems with overdetermination data on spacial manifolds // Sib. Math. J. 2016. V. 57, N 5. P. 870–880.

11. Pyatkov S. G., Samkov M. L.Solvability of some inverse problems for the nonstationary heat-and-mass-transfer system // J. Math. Anal. Appl. 2017. V. 446, N 2. P. 1449–1465.

12. Полянин А. Д.Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физ- матлит, 2001.

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural’tseva N. N.Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968. (Transl. Math. Monogr.; V. 23).

Статья поступила 28 января 2017 г.

Цыбиков Баир Номоевич Югорский гос. университет,

ул. Чехова 16, Ханты-Мансийск 628012 b cybikov@ugrasu.ru

(13)

UDC 517.95

THE INVERSE PROBLEM OF RECOVERING A LEADING COEFFICIENT IN THE TWO–DIMENSIONAL HEAT EQUATION

B. N. Tsybikov

Abstract. We consider the inverse problem of recovering a leading coeﬃcient indepen- dent of one of the spatial variableyin the two-dimensional heat equation. The overdetermination data is the values of the solution on the cross-section of the domain by the hyperplaney= 0. The solution is sought in the class of functions whose Fourier image in the variableyis compactly supported in the dual variable. Existence and uniqueness conditions of the solution to this problem in this class are established.

Keywords: inverse problem, overdetermination condition, second order parabolic equation, initial-boundary value problem.

REFERENCES

1. Belov Ya. Ya.Inverse Problems for Parabolic Equations, VSP, Utrecht (2002).

2. Ivanchov M.Inverse Problems for Equation of Parabolic Type, VNTL Publ., Lviv (2003).

(Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Kozhanov A. I.Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).

4. Isakov V.Inverse Problems for Partial Diﬀerential Equations, Springer, Berlin (2006). (Appl.

Math. Sci.; V. 127).

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York (1999).

6. Gol’dman N. L.“Properties of solutions of parabolic equations with unknown right-hand side and adjoint problems,” Dokl. Math.,77, No. 3, 350–355 (2008).

7. Efremenkova O. B.“On solvability of one parabolic problem of determining the absorption coeﬃcient of a special type,” Mat. Zamet. YaGU,13, No. 1, 72–79 (2006).

8. Pyatkov S. G. and Tsybikov B. N.“On evolutionary inverse problems for parabolic equations,”

Dokl. Math.,77, No. 1, 111–113 (2006).

9. Pyatkov S. G. and Samkov M. L.“On some classes of coeﬃcient inverse problems for parabolic systems of equations,” Sib. Adv. Math.,22, No. 4, 287–302 (2012).

10. Pyatkov S. G.“On some classes of inverse problems with overdetermination data on spacial manifolds,” Sib. Math. J.,57, No. 5, 870–880 (2016).

11. Pyatkov S. G. and Samkov M. L.“Solvability of some inverse problems for the nonstationary heat-and-mass-transfer system,” J. Math. Anal. Appl.,446, No. 2, 1449–1465 (2017).

12. Polyanin A. D.Handbook of Linear Equations of Mathematical Physics, Fizmatlit, Moscow (2001).

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural’tseva N. N.Linear and Quasi-linear Equations

c 2017 B. N. Tsybikov

(14)

of Parabolic Type, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1968). (Transl. Math. Monogr.; V. 23).

Submitted January 28, 2017 Boir M. Tsybikov

Ugra State University,

16 Chehova St., Khanty-Mansyisk 628012, Russia b cybikov@ugrasu.ru