обр., 2012, выпуск 2(62), 49–65

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Г. Мякишев, О некоторых окружностях, связанных с треугольником, Матем.

обр., 2012, выпуск 2(62), 49–65

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:52:56

С т у д е н т а м и п р е п о д а в а т е л я м м а т е м а т и ч е с к и х с п е ц и а л ь н о с т е й

О некоторых окружностях, связанных с треугольником Алексей Мякишев

Автор рассматривает ряд красивых конструкций, связывающих замечательные точки и прямые треугольника с более сложными линиями — коническими сечениями, — обращая специальное внимание на случаи, когда это коническое сечение оказывается окружностью.

Кроме того, статья содержит интересные замечания о психологии математического творче­

ства.

Примечания к основному тексту вынесены в конец — в отдельный раздел. Статья печа­

тается с продолжением.

Tempus fugit, aeternitas manet¹. Резюмируя наши положения, мы приходим к следующим выводам: в физиологическом отношении

между нормальным состоянием гениального человека и патологическим — помешанного существу­

ет немало точек соприкосновения. Между гениальными людьми встречаются помешанные и между сумасшедшими — гении. Но было и есть множество гениальных людей, у которых нельзя отыскать ни малейших признаков умопомешательства, за исключением некоторых ненормальностей в сфере чувствительности.

Хотя моё исследование ограничивается скромными пределами психологических наблюдений, но я надеюсь, что оно может дать солидную экспериментальную точку отправления для критики арти­

стических, литературных и, в некоторых случаях, даже научных произведений. Так, во-первых, оно заставит обратить внимание на чисто патологические признаки: излишнюю тщательность отделки, злоупотребление символами, эпиграфами и аксессуарами, преобладание одного какого-нибудь цве­

та и преувеличенную погоню за новизной. В литературе и учёных статьях такими же признаками служат претензии на остроумие, излишняя систематизация, стремление говорить о себе, склонность заменять логику эпиграммой, пристрастие к напыщенности в стихах, к созвучиям — в прозе и тоже погоня за оригинальностью.

(Чезаре Ломброзо. Гениальность и Помешательство.)

§ 1 . О н е к о т о р ы х с е м е й с т в а х к о н и к , с о д е р ж а щ и х о к р у ж н о с т и . П о с т а н о в к а з а д а ч и

Так случилось, ч т о последняя п а р а - т р о й к а лет сложилась для а в т о р а этих с т р о к не самым лучшим образом: ему пришлось п е р е ж и т ь довольно-таки з а т я ж н о й период т в о р ч е с к о г о¹ бесси­

лия — никак не удавалось п р и д у м а т ь хотя какую-нибудь, сравнительно свежую и небанальную, геометрическую к о н с т р у к ц и ю². Многие обстоятельства послужили т о м у причиной — здесь и довольно напряженная, но скучноватая, р а б о т а над учебником/задачником по геометрии, и бе­

рущие своё годы, и скорбные мысли о том, а на кой ляд (прошу прощения) это всё нужно — да мало ли ч т о ещё! В глобальных, например, масштабах — сильно докучало ж у т к о в а т о е ощущение к а к и х - т о непоправимых сдвигов и трещин в самом ф ун д а м е н т е всего вообще м и р о з д а н и я³, ч т о никак не способствовало ни бодрости духа, ни ясности ума. (Пожалуй, достаточно о причинах).

И вот, к а к бы оно т а м ни складывалось, прошлым летом решил я непременно кризис одо­

леть — и чего-нибудь эдакое о т к р ы т ь , доказав самому себе, ч т о ещё на что-то годен. Причём, мало помалу, д а ж е выкристаллизовалось (не знаю, почему) странное, но вполне конкретное же­

лание о т к р ы т ь не абы что, а непременно и обязательно, некую окружность. Довольно сложно изобрести что-либо действительно новое (в любой сфере деятельности) — а особенно по заказу.

1 "Время бежит, вечность остается" — народная латинская поговорка.

49

50_ Алексеи Мякишев Но, к а к говорится, мобилизовав вес с к р ы т ы е ресурсы, я попытался. Об этих п о п ы т к а х и со­

пряженных с ними усилиях — прилагаемый ниже п р о с т р а н н ы й (и, о т ч а с т и , трагикомический) о т ч ё т .

Начал я с т о г о , ч т о освежил в п а м я т и классические образчики окружностей, связанных с треугольником. Обнаружилось, ч т о многие из них являются представителями т о г о или иного семейства к о н и к⁴, проходящих через б определенных т о ч е к⁵ и порождаемых по определенным правилам произвольной точкой (точками), расположенной в плоскости треугольника. При неко­

т о р ы х положениях т о ч к и (точек) коники в ы р о ж д а ю т с я в о к р у ж н о с т ь . В о т ряд примеров.

1.1 Окружность Эйлера ([3]: 5 . 1 2 9 - 5 . 1 3 7 , [4]: 4 5 7 - 4 6 5 )

Э т о окружность, содержащая основания высот и середины сторон треугольника. По количе­

ству разнообразных замечательных свойств её следует с ч и т а т ь «окружностью № 1» в геометрии треугольника.

Соответствующее семейство коник образуют коники, содержащие основания чевиан двух произвольных точек. К о н и к а из э т о г о семейства в ы р о ж д а е т с я в о к р у ж н о с т ь Эйлера, если в качестве «стартовых» точек возьмем центроид G и о р т о ц е н т р Н.

1.2 Окружность Тейлора ([7,8])

Если из оснований высот провести перпендикуляры к соответствующим сторонам (или их продолжениям) треугольника, т о все шесть их оснований попадут на одну о к р у ж н о с т ь .

Рис. 3. Рис. 4.

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 51 Семейство коник, содержащее эту окружность, строится по произвольной точке Р следую­

щим образом: из оснований чевиан, проходящих через т о ч к у Р , проводятся прямые, параллель­

ные соответствующим чевианам до пересечения с соответствующими прямыми, содержащими стороны треугольника. (С^а — т о ч к а пересечения С В и прямой, проходящей черезСх параллель­

но АА\ и т. д.)

1.3 Окружность Лемуана (первая) ([3]:5.161,[7,8])

Здесь шесть коциклическш точек получаются, если провести параллели через точку Лему­

ана i f⁶ до пересечения с соответствующими сторонами треугольника ABC. А порождающее эту о к р у ж н о с т ь семейство коник получается, если р а с с м а т р и в а т ь параллели, проходящие через произвольную т о ч к у Р .

А

Рис. 5. Рис. 6.

1.4 Окружность А даме а ([7])

А в этом случае коциклические т о ч к и возникают, если проводить параллели к сторонам тре­

угольника Жергонна⁷ через т о ч к у Ж е р г о н н а J⁸ — опять-таки, до пересечения со сторонами исходного треугольника ABC.

Рис. 7. Рис. 8.

Соответствующие коники получаются, если проводить параллели к сторонам чевианного треугольника произвольной т о ч к и Р . Существование коник д о к а з а т ь во всех приведенных кон­

струкциях несложно и доказательства похожи, к а к ч е т ы р е капли воды. В качестве главного орудия используется теорема Карно:

52 Алексей Мякишев

Пусть шесть точек попарно расположены на прямых, содержащих стороны некоторого т р е у г о л ь н и к а А В С : А\,А2 G (ВС); В\,В2 G (СA); G\,G<2, G (АВ). Тогда они принадлежат одной конике, если и только если выполнено условие Карно ([1,4,7]):

В к а ж д о м из рассмотренных примеров выполнение условия К а р н о проверяется посредством применения в нужный момент т е о р е м ы Ч е в ы ([3]: 5.85, [4]: 3.40, 3.41), а отношения вычисляются, исходя из соображений подобия.

Окружность Ламуна ([3]: 5 . 1 7 )

Здесь коцикличными являются ц е н т р ы окружностей, описанных около шести треугольников, на которые исходный треугольник разбивается своими медианами.

Соответствующие коники образуются центрами окружностей, описанных около шести тре­

угольников, на которые исходный разбивается чевианами произвольной т о ч к и Р. Э т о т п р и м е р^{1 0} несколько отличается от предыдущих: т о ч к и , порождающие конику, не попадают (вообще гово­

ря) на стороны треугольника. Соответственно, и доказательство ее существования не опирается на теорему К а р н о — т у т следует воспользоваться обратной теоремой Паскаля ([1,5,8]): Если т о ч к и пересечения прямых, содержащих п р о т и в о п о л о ж н ы е1 1 стороны некоторого шестивер- ш и н н и к а^{1 2} л е ж а т на одной прямой, то его вершины л е ж а т на одной конике. В данном случае получаем, очевидно, всякий раз шестиугольник, у к о т о р о г о противоположные стороны парал­

лельны (как перпендикуляры к одной и той же чевиане), т . е . , с проективной т о ч к и зрения, т о ч к и их пересечения л е ж а т на бесконечно удаленной прямой. ([1,2])

И т а к , цель определилась:отыскать какие-нибудь сходные и относительно новые конструк­

ции, аналогичные рассмотренным.

Рис. 9.

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 53

Рис. 10.

§ 2 . Н а п о д с т у п а х — д а л ь н и х и н е о ч е н ь : н е к о т о р ы е п о п ы т к и с о з д а н и я а н а л о г и ч н ы х к о н с т р у к ц и й

Повезло не сразу. Вначале были рассмотрены следующие три.

2.1

Б у д е м проводить прямые, выходящие из вершин исходного треугольника АБС параллельно соответствующим чевианам произвольной т о ч к и Р , до пересечения с прямыми, содержащими стороны исходного треугольника. Так, С^а есть т о ч к а пересечения ВС и прямой, проходящей через вершину А параллельно чевиане СС\ и т. д.

Несложно проверить, ч т о для построенной т а к и м образом шестерки точек условие К а р н о выполняется. А если проделать вычисления, аналогичные тем, ч т о подробно проделаны в §3, т о получим для барицентрических к о о р д и н а т^{1 3} т о ч к и Р следующее условие коцикличности:

р³ (q + r) _ q³ (r+p) _ г³ (р

+

а² Ь² с²

Р е ш и т ь эту систему (как и следующие две) нам не удалось — уж больно высокие степени в ы с к а к и в а ю т^{1 4}.

2.2

А т у т рассмотрены коники, проходящие через основания чевиан двух изотомически сопря­

женных т о ч е к^{1 5} Р, Р^т.

54 Алексей Мякишев

Рис. 1 1 . Вот р е з у л ь т а т , тоже не очень утешительный.

p(q + r)² q(r+p)² r(p + qY

б²

2.3

Изогональное сопряжение т а к ж е не порадовало:

Рис. 12.

Р (Q

+

§

Наконец, удалось набрести на конструкцию, оказавшуюся-таки успешной — в смысле поисков соответствующей окружности. Пусть Р — произвольная т о ч к а в плоскости треугольника ABC

G G G

(АВ) — основания чевиан этой точки. Через т о ч к у А\ проведем прямые, параллельные сторонам АВ и АС — и о т м е т и м т о ч к и А^, А^с пересечения этих прямых с прямыми, содержащими стороны АС и АВ соответственно. Точки В^а,В^с,С^а,Съ определяются аналогично.

Утверждение 3.1. Точки А^ А^с, В^а,В^с,С^а,Съ всегда принадлежат одной конике ¹⁶

Рис. 14.

Ж Алексей Мякишев Доказательство: Выпишем левую часть условия Карно, заменим входящие в него отношения по подобию, и применим теорему Ч е в ы^{1 7}.

/ ВВ„, ВС,,

\СВ^а СС^а

СС'ь СА^Ь\ (АВ^С АА^С АС^Ь ' АА^Ь) ' \ВВ^С ' ВА^С

ABi ВС CBi ACi

BCi СА АС\ ВА

АВ^Х СА СВ ВА^Х/

'САг BCi АВ

= 1. ¹⁸ Утверждение 3.2. Пусть Р = (р : q : г

ваемых шести точек имеют вид:

В А^г ACi СВ^{

1 9. Тогда барицентрические к о о р д и н а т ы рассматри- В^а = (О : р : г),

C^b = (^P:0:q),

В^с = (р : г : 0 ) . А^ь = (q : 0 : г ) .

С^а = (0 : q : р), А^с = (г : q : 0 ) . Доказательство: Действительно, очевидно, ч т о

ВВ^а All АВг

СС^а ВВг СВг г р

В^а = (0:р:г),В^с = (р:г:0).

Для остальных точек рассуждения аналогичны.

Теперь выведем уравнение коники, проходящей через э т и т о ч к и . К а к известно, в бари­

центрических координатах уравнение коники имеет вид: их² + vy² + шг² + 2fyz + 2gzx + + 2hxy = О^{2 0}, (переходит в равносильное), если все коэффициенты (или все переменные) умно­

ж и т ь одновременно на любой постоянный ненулевой множитель ([5,8]).

Утверждение 3.3. К о э ф ф и ц и е н т ы коники, проходящей через т о ч к и В^а = (0 : р : г), В^с = (р : г : 0), С^а = (0 : q : р), Съ = (р : 0 : q), Аь = (q : 0 : г ) , А^с = (г : q : 0 ) , м о г у т б ы т ь представлены в виде:

и = —2rq;

/ = р² + qr;

—

!1 = <Г I гр;

— h = г² + pq.

Доказательство: Подставив к о о р д и н а т ы точек в уравнение коники, придем к системе из 6-ти у р а в н е н и й^{2 1}:

Г в^{а 2}

: vp + wr² + 2fpr = _o, (1) С^{а 2}

vq + wp² + 2fqp = o, (2) Сь ²

up + wq² + 2gpq = o, (3) А^{ь 2}

uq + wr² + 2gqr = ^o, (4) А^{с 2}

иг + vq² + 2hrq = o, (5) { В^{с 2}

up _l_ ^vr'i _|_ 2hpr = 0. (6) Из первых двух имеем:

— w

Ч

—

Э т о значит, ч т о либо f = либо р² — qr = 0. Т р е т ь е и четвертое уравнение ведет к развилке j = f или q² — rp = 0. Ж, наконец, пятое и шестое — 'q ⁼ 'p ^{ил и} т² —pq = 0.

Б у д е м пока с ч и т а т ь , ч т о «правые» а л ь т е р н а т и в ы не имеют места. (Равенства правых частей нулю будут рассмотрены в §4 — и т а м же м ы поговорим подробнее о том, почему одновременное равенство нулю всех т р е х выражений с о о т в е т с т в у е т совпадению исходной т о ч к и Р с центроидом С).

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 57

Далее, в силу однородности уравнения коники, можно с ч и т а т ь , ч т о h = I^{2 2}. Тогда, подставив выражение v = ju в (5), получим: ur² + jq²u + 2rq = О == и = —Щгт- Значит, w = & • и =

pq+r

~^Pq+r²'^{v =} ^^{W =} ~pq+r² • Наконец, отыщем / и д. Подстановки в (3) и (1) быстро ведут к цели:

-2rq • q² — 2pq •г² rp + q² qr + p²

= —2gqr == g = ., и, аналогично, / =

=

pq + r^l pq + r^l pq + r^l

Ч т о б ы получить теперь искомые формулы для коэффициентов, остается домножить их всех на величину k = pq + r².

Согласно [5], коника в ы р о ж д а е т с я в окружность, если и только если выполняются следующие равенства: " + ^ ~²/ = ^TO+^²~^2g = u + v — 2 h = А (ф 0) ^{2 3}. Ими и воспользуемся для доказательства основного р е з у л ь т а т а :

Утверждение 3.1. Рассматриваемое семейство коник содержит единственную о к р у ж н о с т ь . Ее „ „ „ „ ж ^ точка А' (194) J(Q + А, — ± ⁾ : ( i + ± — ± ) ^ ⁺ ± — ±)) Щ.

Доказательство. Поскольку

v + w — 2 / = р² + pr + qp + rq = р (р + г) + q (р + г) = (р + г) (г + q),

и остальные числители в ы р а ж а ю т с я аналогично, т о условие вырождения коники в о к р у ж н о с т ь запишется в виде:

(р + r)(p + q) _ (q + р) (q + r) _ (р + г) (q + г)

а² Ь² с²

Или, разделив все равенства на k = (q + г) (г + р) (р + q),

О- ^{1 1} - ^{1 1} - ^{1 1} - Л q + r а² г + р Ь² р + q с² Пусть s = р + q + г. В этих обозначениях приходим к системе:

_ _ 1 J_

8 Р ~ f \² 1 1 / 1 1 1

^ А с ²

1 / 1 1 1 \ 1 / 1 1 1 \ 1 / 1 1 1

Р 2Х\Ь^{2 +} с² а²)'^{1 4} 2\\с^{2 +} а ² Ь²У^{; Г} 2Л U^{2 +} Ь² с² Отбросив (сократив на) общий множитель, получаем, наконец:

х = п

I + l - l W l + l - l V f!

^ 1 9 4 \ \ ^2 с2 а2 Л^с2 Т а2 &) ' \ ^а 2 ^ с2

58 Алексей Мякишев

В '

Ai В ,

Рис. 15.

Оказывается, найденная т о ч к а имеет недурной геометрический смысл. А именно, справед­

ливо

Утверждение 3.5. Точка

-X"l94 =

1 1 Ь²

1_ 1_

c^z a^z Ь²

1 1 Ь²

есть точка, изотомически сопряженная точке Лемуана антидополнительного треугольника А'В'С'²⁵ (изотомия т а к ж е рассматривается относительно антидополнительного треугольника).

Доказательство. О т м е т и м один ф а к т , из которого наше утверждение получается сразу.

'

щие барицентрические координаты:

' — — —

— '

Я' = Щ² (Q).

А поскольку т а же самая г о м о т е т и я переводит исходный треугольник ABC в его антидопол- ' ' '

делятся в отношении 2 : 1 , считая от соответствующих вершин) и, будучи подобием, замеча-

'

О некоторых окружностях, связанных с треугольником ⁵⁹ будет и г р а т ь для треугольника А'В'С' ту же роль, какую и г р а е т для треугольника ABC т о ч к а Q.

Доказательство леммы: Пусть s = p + q + r. Тогда Q' = (s — 2р : s — 2q : s — 2r), а суммарная масса этой т о ч к и равна S' = 3s — 2s = s. К о о р д и н а т ы Q можно записать к а к Q = (2р : 2q : 2г) с суммарной массой S = 2(р + q + г) = 2s.

Р а с с м о т р и м систему материальных точек sA, sB, sC с центром масс в центроиде G = (s : s : s).

Э т у систему можно р а з б и т ь на две подсистемы: 2рА, 2qB, 2гС (с центром масс в Q и суммарной

— — — ^'

группировки и р ы ч а г а т о г д а получим, ч т о 2s • QG = s • Q^fG О ^щт = ² О Q' = Н^{- 2} (Q) (т. к.

'

образом).

В нашем случае Q = : р- : ^г- Хорошо известно, ч т о т о ч к а э т а является изотомически сопряженной к точке ^К Лемуана исходного треугольника ABC. ([6] — ^{X^Q^XQ ) .}

§ 4 . С л у ч а й к а с а н и я и с о п у т с т в у ю щ и е к а л ь к у л я ц и и^{2 6}

К а к известно ([5,8]), по заданному уравнению коники их²-\-vy²-\-uoz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = О, к о о р д и н а т ы ее центра можно о т ы с к а т ь по формулам:

U + G + H:V + F + H:W + F + G, где

U = vw — f²,V = uw — g²,W = uv — h²,F = gh — uf,G = fh — vg,H

=

Пользуясь этими соотношениями, можно вычислить к о о р д и н а т ы центра найденной нами окруж­

ности. С помощью п р о г р а м м ы Mathematica 5.1 м ы получили следующее выражение для первой к о о р д и н а т ы (остальные две получаются из нее циклическими сдвигами а — b — с — а).

8 a W {—а² (# + с²) (Ь⁴ — 5 6²с² + с⁴) + а⁴ (б⁴ — 4 Ь²с² + с^{4 )} + Ь²с² (Ь⁴ — 4 Ь²с² + с⁴) ) Э т а т о ч к а о т с у т с т в у е т в Р Т С ([6]).

— — —

в предыдущем п а р а г р а ф е . З а м е т и м , ч т о одновременное выполнение любых двух равенств авто­

матически влечет за собой и выполнение т р е т ь е г о . В самом деле, пусть, например, справедливы первые два. Тогда

Рис. 16.

60 Алексей Мякишев И т а к , пусть выполнены все т р и (или два, ч т о то же) из рассматриваемых равенств.

г² = pq ( р³ = pqr

р² = qr О I q³ = pq г р³ = q³ = г³ р = q = г.

q² = гр [ г³ = pgr

В этом случае получаем вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в с е р е д и н а х^{2 7} и с центром в точке пересечения медиан G — объект, хорошо известный в геометрии: т. н.

вписанный эллипс Штейнера, имеющий уравнение х² + у² + z² — 2yz — 2zx — 2ху = 0. ([5,8])

Пусть теперь выполняется ровно одно равенство из трех, к примеру р² — qr = Oq² — гр ф Or² — pq ф 0. Тогда, ^ = ^ и ^ = ^ (см. §3). После перемножения этих двух равенств получаем, однако, ч т о и ^ = ^ . Значит, м ы можем р а с с у ж д а т ь в точности, к а к в предыдущем п а р а г р а ф е , и получим в р е з у л ь т а т е все ту же окружность, правда с ограничениями на длины сторон исход¬

— равенства к виду

—

трически же равенство р² = qr означает, ч т о т о ч к и С^а и В^а совпадают, т. е. ч т о наша окруж­

ность касается стороны ВС в этой «сдвоенной» точке.

Действительно,

C^a = (0:q:p) = (0:qr:pr) = ⁽0:p²:pr) = (0:p:r) = В^а. И, обратно,

C^a = (0:q:p) = (0:p:r)=B^a^?- = ^ ^ p ² = qr.

р г

Оказывается, существует бесконечное множество треугольников, длины сторон к о т о р ы х удо­

влетворяют условию касания.

В самом деле, поскольку

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 61 (после деления обеих частей равенства на б⁴ • с⁴) , то, совершив замену р - = ж > 0 , ^ - = у > 0 , придем к уравнению, задающему полуокружность с центром в точке О (1; 1) и радиуса R =

Рис. 18.

Для любой т о ч к и Р (х,у) этой полуокружности можно подобрать бесконечно много треуголь­

ников, для к о т о р ы х условие касания имеет место. Нужно только проследить, ч т о б ы выполня­

лись все т р и неравенства треугольника. А для э т о г о достаточно положить Ъ = ~^,с = и

( т а х ( ( - ^ 7 = ^ ) , (^У^^Г^)У ^Ё^1у\^% Очевидно, ч т о для такой т р о й к и чисел(а, Ъ. с) система V \ ^ухУ J V ^ухУ J ухУ J

Ъ + с > а

неравенств ^ с + а > Ъ будет выполняться.

а

+

е

Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а

1. А. Акопян, А. Заславский. Геометрические свойства к р и в ы х в т о р о г о порядка. М.: М Ц Н М О , 2011.

2. А. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. М.: М Ц Н М О , 2009.

3. В. Прасолов. З а д а ч и по планиметрии. М.: М Ц Н М О , 2007.

4. И. Ш а р ы г и н . Геометрия. Планиметрия (задачник 9-11). М.: Дрофа, 2001.

5. С. Bradley. T h e Algebra of Geometry. Cartesian, Areal, and Projective Coordinates. UK, B a t h , Highperception Ltd, 2007.

6. C. Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers, http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/

7. R. Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twenties Century Euclidean Geometry. (New Mathematical Library, issue 37). T h e Mathematical Association of America, 1995.

8. P. Yiu. Introduction to the Geometry of the Triangle.

h t t p : / / m a t h . f a u . e d u / y i u / G e o m e t r y N o t e s 0 2 0 4 0 2 . p d f

62 Алексей Мякишев П р и м е ч а н и я

1 На всякий случай: именно творческого, но никаким боком не креативного] (довольно про­

тивное (ну, испорченное, если точнее) словцо, обильно тиражируемое всевозможными СМИ и модное в определенных (натурально, креативных) кругах, с которыми а в т о р нипочем не хотел бы ассоциироваться).

- Пойдешь ко мне в штат? ...

... - Кем? — спросил он.

- Криэйтором.

- -Это творцом? — переспросил Татарский. — Если перевести? Ханин мягко улыбнулся.

- Творцы нам тут [...] не нужны, - сказал он. — Криэйтором, Вава, криэйтором.

(Виктор Пелевин. Generation Р.)

2 Но надо надеяться, ч т о всё же Элементарная Геометрия о т э т о г о простоя не особо постра­

дала.

Я забыл, в чём была суть фельетона. Помнится смутно его начало:

«На Парнасе было скучно.

- Чтой-то новенького никого нет, - зевая, сказал Жан-Батист Мольер.

- Да, скучновато, - отозвался Шекспир... »

Помнится, дальше открывалась дверь, и входил я — черноволосый молодой человек с тол- стеннейшей драмой под мышкой.

Надо мной смеялись, в этом не было сомнений, - смеялись злобно все. И Шекспир, и Лопе де Вега, и ехидный Мольер, спрашивающий меня, не написал ли я чего-либо вроде «Тартюфа», и

Чехов, которого я по книгам принимал за деликатнейшего человека, но резвее всех издевался автор фельетона, которого звали Волкодав.

(Михаил Б у л г а к о в . Театральный роман.)

3 Ощущения, разумеется, субъективные (и к а к бы хотелось верить — ч т о иллюзорные), но многим, увы, не чуждые.

В поэтической форме их (ощущения эти) доходчиво передаёт несомненно талантливый (но уж больно провокативный и ядовитый) Всеволод Емелин. В о т некоторые ф р а г м е н т ы , заим­

ствованные из его произведений:

И, смотря на весь этот мулътикулътурализм, Где слились все народы, традиции, веры,

Я подумал, что есть наша жизнь?

И понял: она есть химера.

Или такой, весьма злободневный, пассаж:

В Ливии, охваченной миротворческим угаром, Разбомбили колонну союзных инсургентов.

В Ингушетии ликвидировали Доку Умарова Как минимум на 75%.

Зато остальные 25% Доку Умарова

Привезли в столицу на генетическую экспертизу.

Мы существуем в чем-то вроде кошмара, Все к этому привыкли, и сверху, и снизу.

В Ливии, чтобы демократию установить, Свергнуть диктатора-кровопийцу, Надо плохих ливийцев убить,

Оставить только хороших ливийцев.

Вот настала весна, прилетели грачи.

Грача легко отличить от синицы.

А ты попробуй в истребителе отличи Хорошего ливийца от плохого ливийца.

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 63

Или в з я т ь такие, воистину пронзительные, строки, посвященные к а к раз Среднему (сиречь, Креативному) Классу:

Пускай пока весь его внешний вид Являет собой некоторую странность,

В дальнейшем он многопартийность нам сулит, А главное, сулит нам толерантность.

Он армию контрактную сулит,

Но главное, сулит нам толерантность.

Пускай не завтра и не послезавтра, Но всё равно ведь все-таки сулит.

Ведь правда же сулит?

Сулит? Скажи, сулишь?

Сулишь? Сулишь, скотина?

Сулит.

Собственно, если сохранять чувство юмора, к автору серьезных претензий б ы т ь не может;

его вирши — довольно естественная защитная реакция на происходящее вокруг (каков во­

прос — т а к о в о т в е т ) . Емелин поступает в точности, к а к знаменитый чукча (оленевод?) из анек­

дота: что видит, о том и поёт.

(Анекдот, на всякий случай, в одной из версий, з в у ч и т т а к :

Чукчу посадили, а он сидит и целыми днями поет. Его спрашивают:

- Ты о чем все поешь?

- Однако, что вижу, то пою.

Охране надоело, выключили свет, а он опять поет.

- Ну а теперь-то ты что видишь?

- Однако, темнота вижу.)

Р а з н о г о рода попрёки и упрёки следует, вероятно, в большей степени отнести к этому самому вокруг.

4 М ы будем н а з ы в а т ь т а к кривую в т о р о г о порядка, представляющую собой в невырожденном случае эллипс, параболу или гиперболу. Известно, ч т о коника однозначно з а д а е т с я 5-ю т о ч к а м и плоскости.

5 к а к правило, расположенных на прямых, содержащих стороны рассматриваемого треуголь­

ника.

6 Э т о — т о ч к а , изогонально сопряженная центроиду С. В ETC ([6]) она в ы с т у п а е т под ш е с т ы м номером: Х&.

Точка Pi, изогонально сопряженная точке Р, получается в р е з у л ь т а т е о т р а ж е н и я чевиан данной т о ч к и Р относительно соответствующих биссектрис — к а к пересечение новой т р о й к и прямых, содержащих отраженные чевианы.

7 Т а к н а з ы в а ю т треугольник с вершинами в т о ч к а х касания вписанной окружности со сто­

ронами исходного треугольника.

8 J — т о ч к а пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с противолежащими т о ч к а м и касания вписанной окружности. Она же — Xj в ETC ([6]).

9 т. е. т о ч к и разбиваются на две тройки, и для к а ж д о й из них надо з а п и с а т ь условие, фигу­

рирующее в теореме Чевы, а после э т и условия перемножить

ю JJ^{q П}р^{ив ес ти ег о} очень хотелось: дело в том, ч т о указанная о к р у ж н о с т ь была о т к р ы т а сравнительно недавно, в начале э т о г о века, нидерландским м а т е м а т и к о м Ламуном (Floor van Lamoen). Э т о свидетельствует о том, ч т о в элементарной геометрии всё еще остается место подвигу.

1 1 т. е. идущих через две.

1 2 т. е. з а м к н у т о й шестизвенной ломанной, возможно, с самопересечениями.

64 Алексей Мякишев

1 3 Здесь и далее все выкладки ведутся именно в них. Подробнее о барицентрических коор­

д и н а т а х см. [2,3]: глава 14; [5,8].

1 4 Хотя во всех случаях компьютер п о к а з ы в а е т наличие окружности. Однако м ы не занима­

лись вопросами существования или о т с у т с т в и я решений, вырождающих конику в о к р у ж н о с т ь — з а д а ч а была именно в том, ч т о б ы о т ы с к а т ь явные решения.

1 5 Точка Р^т, изотомически сопряженная точке Р, получается в р е з у л ь т а т е о т р а ж е н и я основа­

ний чевиан данной т о ч к и Р относительно середин соответствующих сторон — к а к пересечение новой т р о й к и прямых, соединяющих вершины треугольника с противолежащими им отражен­

ными основаниями.

1 6 Во всех предыдущих случаях на рисунках изображался эллипс, но вовсе не потому, ч т о коника обязательно имеет именно такой вид — вовсе нет. И парабола, и гипербола т а к ж е воз­

можны — просто эллипс к а к - т о более р а д у е т глаз на рисунке. Ну, вот, ради разнообразия, здесь помещаем одну к а р т и н к у с гиперболой.

1 7 Для удобства вычислений м ы считаем здесь и далее (разумеется, не ограничивая общно­

сти), ч т о т о ч к а Р расположена внутри треугольника. Для внешних точек р е з у л ь т а т не меняется.

1 8 К с т а т и , отсюда т а к ж е следует (по теореме Чевы) конкурентность двух т р о е к прямых:

ЛИ,. ВСь, СА^С и АС^а, ВА^Ь, СВ^С.

1 9 Так к а к м ы исключили из рассмотрения т о ч к и , лежащие на прямых, содержащих стороны исходного треугольника, т. е. в т р о й к у координат т о ч к и Р не м о г у т входить нули.

2 0 И является однородным к а к относительно коэффициентов, т а к и относительно перемен­

ных, т. е. не меняется (переходит в равносильное), если все коэффициенты (или все переменные) умножить одновременно на любой постоянный ненулевой множитель.

2 1 Одно из которых, конечно, является следствием остальных. Но, для полноты, выпишем их все.

2 2 Несложно убедиться (рассмотрев соответствующую систему уравнений) в том, ч т о случай / = д = h = О не может быть реализован для рассматриваемого семейства коник.

2 3 Э т и соотношения легко вывести, располагая уравнением коники и уравнением окружности a²yz + b²zx + с²ху — (ж + у + ж) (щх + voy + ZQX) = О (см. [5,8]).

24 ~ Ч у^{В С Т В £}ц охватившие а в т о р а при виде зримого претворения праздной мозговой и г р ы (по выражению Андрея Белого) в проявившуюся на экране ноутбука и Б о г весть из недр какого бытия-небытия извлеченную окружность — л у ч ш е всего, пожалуй, можно описать ёмким словом

«катарсис».

К о т о р о е , в развернутом и о т ч а с т и приземленном переводе с древнегреческого, означает при­

мерно следующее:

- Да, - промолвил Манилов, - уж она, бывало, всё спрашивает меня: «Да что же твой приятель не едет?» - «Погоди, душенька, приедет». А вот вы наконец и удостоили нас своим посещением. Уж такое, право, доставили наслаждение... майский день... именины сердца...

(Николай Гоголь. М е р т в ы е души.)

2 5 Т . е. т а к о г о , для которого исходный треугольник ABC является серединным.

2 6 - А не посчитать ли нам, ученые кроты?

- к а к говаривали одноименные персонажи замечательного отечественного мультфильма «Дюй­

мовочка» - безусловно, все, к а к один - грамотные потребители, обильное взращивание и пе­

стование к о т о р ы х министр образования Фурсенко (теперь уже бывший) объявил приоритетной задачей российской школы. Представляется, ч т о таковой она (задача) и продолжает о с т а в а т ь ­ ся — после о т с т а в к и Фурсенко.

2 7 Э т о и без всяких вычислений ясно. Вспомнив, к а к м ы определяли нашу конику, видим непосредственно, ч т о в случае центроида к а ж д а я из середин сторон исходного треугольника встречается среди точек пересечения соответствующих параллелей (ими будут средние линии) со

О некоторых окружностях, связанных с треугольником 65

сторонами ровно д в а ж д ы — т. е. имеем, к а к ни к р у т и , т р и «двойные» т о ч к и в серединах сторон.

И если м ы в коэффициенты коники подставим G ( l : 1 : 1), т о получим всё т о же уравнение вписанного эллипса Штейнера — в чем легко убедиться непосредственно.

2 8 После приведения всех координат к общему знаменателю и последующего на него сокра­

щения.

Мякишев Алексеи Геннадьевич, преподаватель математики

Химического Лицея №1303, г. Москва.

Email: myakishev62@mail.ru