П. Г. Юров, Однородная краевая задача Римана с бесконеч- ным индексом логарифмического типа, Изв. вузов. Матем., 1966, номер 2, 158–163

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

П. Г. Юров, Однородная краевая задача Римана с бесконеч- ным индексом логарифмического типа, Изв. вузов. Матем., 1966, номер 2, 158–163

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 01:42:27

1966 МАТЕМАТИКА № 2 (51)

УДК 517.544 П. Г. Юров

ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ТИПА

Рассматривается следующая краевая однородная задача Римана.

В области D — плоскости с разрезом по лучу L = [а, со] веществен­

ной оси (1 < а < оо) — найти аналитическую функцию Ф(г), предель­

ные значения которой на L связаны линейным соотношением

Ф+(0 = О(0Ф~(0 ( a < * < o o ) , (1>

где О (t) — функция, заданная в промежутке [а, со), причем In | Q (t) I £

^ 7/([х), а < ^ < о о , то есть удовлетворяет условию Гёльдера с по­

казателем р:

l n | G ( ^2) | - l n | G ( g | (О < JX < 1), (2)

h к

\xgQ{t) = ^t)\nat (а>0), (3>

<р(0£#(Х) ( а < * < о о , ср(со) = 6 > 0 , 0 < Х < 1 ) , (4) в начальной точке контура

— 2тс < arg G (а) < 0. (5) Краевая задача Римана с конечным индексом при весьма общих

предположениях относительно коэффициента G(t) и контура L ис­

следована Ф. Д. Гаховым и его учениками [1]. В последнее время приходят к задачам, имеющим бесконечный индекс. Краевую задачу С бесконечным индексом степенного порядка изучал Н. В. Говоров;

ей посвящены его работы [2], [3], в которых и дано определение бесконечного индекса. Сформулированная выше задача (1) имеет, в связи с (3) и (4), бесконечный положительный индекс логарифмиче­

ского типа.

§ 1. В дальнейшем надо знать поведение в окрестности точка t = 0 интеграла типа Коши

, * In" —

Q (,) = _ ! _ Г !Ldu. (6) 2ш J и — х

о

Л е м м а . При любом а > 0 интеграл (6) в окрестности т = 0 до­

пускает представление Q (т) = ш (т) -+- О (1), где ш

лл_дщ/т)

| oni/t)

|

Однородная краевая задача Римана 159

. р + 1

4 - V1^ (2та)" 1 а ( а — 1 ) . . . ( а — Я + 2) „ j .а +1 - л я=2

Вп —числа Бернулли ([6], стр. 258), /? == [а] ([а] — целая часть а), я/ш-

«елг ветвь In 1/т непрерывна в области ( | t | < 1)(~| (0 < argt < 2 ft)' .'#

(In l/и) > 0, (In 1/м)а у 0 на верхнем берегу разреза 0 < и < 1.

Заметим, что случай натурального а (при более общих предпо­

ложениях относительно контура) рассмотрен в [4].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем считать, что в (6) s = e~2,l(1+), где

Р+1

8 > 0. Пусть о) (т) = J] с„ (in 1/т)к "+ 1, и сп выбираются так, чтобы

л=0

выполнялось равенство ш+(*) — ю~ (*) = (In 1/f) +a(t), где a(*)-^Q при * ^ 0 . Непосредственно находим е0 = [2ад(1 + а)]-1, ^ = 0,5. Да­

лее, полагая ск = ДА ^frr-1)-••("-*+ 2) ( 2^ - i (k = 2, 3,..., р + 1), приходим к системе линейных уравнений (k = 2, 3, . . . , / » + 1)

5* £*_i , . ( - 1 ) * ' вя , ( - l ) * B i , ( - 1 ) *

" • " • • • t n i / L i \ i " T 1 г fcl ~ Г / ь I 1М " •

Ш ! . (А—1)!2! ' • • • "' 2!(А —1)! ' 1U! ' (й.+ 1)!

Единственным решением этой системы является последовательность чисел Бернулли: Вх = — 1/2, В2 = 1/6, В3 — 0, В4 = — 1/30 и т. д. до .Bp+i. Итак, числа ся определены. Теперь легко найдем

оо

a(t) = Ma S T „ . « [ 2 « ( l n l / 0 - T+ 1"< a J, где 7Иа=(2вдГ« («-!)•--{«К

Р + 1 . _ jsP+l-fe g

V « = (1 - М) •••• (w - W) Е , ,п ,9 „,, - ^ - и {а} - дробная часть ос,

i , Л

Очевидно, \1т~\< (А, = const). Убедимся в ограниченности т + 1

особого интеграла

Ф(0 = ^ - Г - ^ т ^ (0<*<s/2).

о

Будем считать, что ос— нецелое, так как при а целом о(*) = 0. Оце­

ним \a(u) — a(t)\f 0 < « < s . Пусть сначала 0 < и < 0 , 5 * . Тогда l(ln l/«)-m-1 + < a >—(lnl/0_ m _ 1 + < O| <2(1п 1/^Гт~1+<а> и | о ( и ) - а ( / } | <

его

X j / n + l V l n l / * / ' V l n W l—2«/(lnl/f)

яг=1

< C«) In I и — t\ |<<0~2 (C„ — постоянная). Пусть, далее, 0,5* < и <

<1,5*. Тогда, применяя теорему Лагранжа, придем к оценке

оо

| о («) - о (0 | < - i — 2 J T ^ p - L ( — ) (0,5* < Sm < 1,5*),, откуда, учитывая, что функция |и —*| | 1 П | Й — * | |2 _ < а > монотонна при 0,5* < и < * и * < Й < 1 ,5*, легко получить | о (и) — о (*) | <

< С«|In | u — t\ |<а*~2 (с'а = const). Накоцец, при 1 , 5 * < M < S , исходя из неравенства

| (In l/u)-m~1+<а > - (In 1/*Гте-1+<я > | < 2 (In 1/иГт-1+< а >

<^

и оценивая сумму соответствующей геометрической прогрессии, при­

дем к оценке:

| а ( я ) — о (/) | <1 С ; f In J Я — ^ | |< в >~2 ( С . ' = c o n s t ) .

Из полученных неравенств и следует ([1], стр. 60) ограниченность Ф (*) при 0 < t < s/2.

Рассмотрим теперь функцию 2 (х) — со (т) + ф (г) (x£D), где

2яг J и — t

Используя результаты [5] (стр. 29, 95) можно показать, что | 2 (т) | <

< Л | ' т |- е при любом 0<е < 1 (А = const). Но тогда | 2 (х) — ш (т) -f- + Ф (х) I < А I х |~е в достаточно малой окрестности т = 0, например, в круге 111 < s/2 (A'e = const). Применяя формулы Сохоцкого, устано­

вим, что при 0 < t < s/2

[Q (t) - со (0 + Ф (t)}+ = Р (0 - »(О + Ф (0Г-

Следовательно, аналитическая в окрестности т = 0 функция 2(т) —

— ш(х) + ф(т) имеет в точке х = 0 устранимую особенность. Поэтому

•Q(T) = ш(т) + 0(1), т £ Д | t | < s / 2 , и лемма доказана.

§ 2. Перейдем к построению канонической функции.

О п р е д е л е н и е . Каноническая функция задачи (1) есть такое ограниченное в D + L ее решение X(z), которое не имеет нулей ни в области Д ни на контуре L, кроме, может быть, его концов, и при этом |Х(г)| > C\z — a|v в окрестности z = а (С> 0 — постоян­

ная, 0 < v < l ) , Х(0) = 1.

Т е о р е м а 1. Каноническая функция задачи (1) определяется формулой

со

X ( z ) = e x p ( - 4 - i * £ ^ d c ) . (7)

w М 2JM J x{x-z) ) w

Д о к а з а т е л ь с т в о . Аналитичность Х(г) в Z) вытекает из свойств интеграла типа Коши ([5], стр. 46, 47). Исследуем теперь подробнее интеграл

2т J х (х — г)

Плотность его, в силу соотношений (2)—(4), удовлетворяет условию Гёльдера при а < л < с о . Значит, на каждом отрезке а < * „ < * <

< Г < о о контура L предельные значения h(z) ограничены; поэтому остается рассмотреть поведение h (z) лишь в окрестности z — an ' z = oo. Вблизи 2 = а имеем ([1], стр. 73)

Re h(z) = - arg О(a).-(2ic)-4n | z - < z | + 0(1). (8) Следовательно, на основании (5), X(z) при малых \z — a\ ограничена.

Вводя новые переменные и =1/х, х = 1/г, получим

h

(±\ = —L Т*тт\

_± y

(i/«)(ini/a)" ^

/ 2л/ J и — т 2тс J к — т

о о

Однородная краевая задача Римана 161

Но последний интеграл можно представить в виде

„ 1" « }

Va s 1па — 1/о In01

J_ f jKMlULlfL) Лп IX da + - ^ Г ^- rfa + - ^ Г - < f c ;

. 2ic J и — i \ a / 2 i J u - t 2 T C J K — т

0 0 i

здесь первое и третье слагаемые ограничены вблизи t = О, второе же есть ibQ(z) (§ 1), где й = «р(°°)- Привлекая лемму, найдем, что при z—->оо

A ( z ) = - ' ( 2 « )_ 1- l n l G ( o o ) l - l n z —i*e>(l/z) + 0 ( l ) . (9) Таким образом, в окрестности z = оо

ЛГ/ \ /-,/14 I Ь(1п2)1 + а i M naz

- tt|j В в( ^ ) ' - ' - ( - 1я) - ( - " + 2)(1п z ) M +i ) . . (Ю)

Из изложенного следует, что X(z) ограничена на всей плоскости и не обращается в нуль в точках, отличных от z = a и z = co, по­

скольку во всех таких точках к{г)ф оо. Далее из формул Сохоц- ко'го имеем Х+ (г1) = О (t) X~ (tf) (a <t <С оо), то есть для X (z) ока­

зывается верным условие (1). Наконец, неравенство

\Щг)>С\г-а\ ( 0 < v < l ) , (11) где С > 0 — постоянная, ч = —L-z-, вытекает при малых |z — а |

2?г

из (5) и (8). Равенство Х(0) = 1 очевидно. Теорема доказана. Един­

ственность канонической функции обоснована в § 5.

§ 3. Выясним форму общего решения задачи (1). Будем сначала искать решение задачи (1) в классе Е всех (как ограниченных, так и неограниченных в D + L) функций, регулярных в области D, не­

прерывных вплоть до L, кроме, может быть, концов L, и ограни­

ченных в окрестности z = a.

Т е о р е м а 2. Задача (1) в классе Е имеет бесконечное множе­

ство решений, и общее решение ее выражается формулой

со - •

0 (2) = F ( z ) X ( z ) ^ F (z) e x p ( - ^ r i ^ ^ - r f x ] , ,

[2ш j х(х — z) ) •••• • а

в которой F (г) — произвольная целая функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, пусть F(г) — произвольная целая функция. Тогда, очевидно, функция Ф (z) — F(z) X (z) удовлет­

воряет условию (1) и ограничена вблизи z = a. Значит, Ф(г)£Е.

Пусть теперь, обратно, Ф(г)(:Е. Тогда /?(г) = Ф(г)/Х(г) регу­

лярна в D и F+ (t) = F~ (t) (t^L). Кроме того, в окрестности z = a, согласно ( l l ) , | F ( z ) | <\Ф(г)-\'С~1\г — а\~Л' < Сх \ z - а \~~" (0 < v < 1).

Таким образом, F(z) — целая функция. Теорема доказана.

§ 4. Установим признаки, позволяющие выделить класс ограни­

ченных на всей плоскости решений задачи (1).

О п р е д е л е н и е . Назовем целую функцию F0(z) принадлежащей классу О, если соответствующее решение задачи (1)

Ф (z) = F0 (z) X (z) ограничено в D + L.

Т е о р е м а 3. Для того чтобы, целая функция F(z) принадле­

жала классу G, необходимо и достаточно выполнения условий:

Б-43. Математика—11

1) F(z) имеет нулевой порядок роста (в смысле [6], стр. 499); 2) для достаточно больших значений t, t£L,

1 2тг (1 + а)

- b £ (-.1)» S2„ (2л) • < - ^ ^t t-2" - ± J > (i„ / Г2-1 < Ср, (12)

л=1

Л ^ ^ Л Г [а] + 1

где Cf < со — константа, п0 = —

Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть Ф(г) = F (z)- X (г) — ограниченное решение задачи (1). Из (10) следует, что равномерно по <р

, . In I X (re1' l i m —!— - —

(1пг)1 + а 2 в ( 1 + а )

Но из этого соотношения и неравенства \Ф (z)\<C CF имеем max In \F(z) | < In CF — (ft + s)(ln r)1 + a при r>r, (e), s > 0,

| z | = /•

и 1) доказано. Условие 2) доказывается аналогично.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть при достаточно больших t > 0 верно неравенство (12). Тогда, отправляясь от (10), находим In | Ф±Ц) | < Ср для всех t£L. Но, по условию, порядок роста F(z), а, значит, и Ф(г), равен нулю. Применяя теорему Фрагмена—Линделёфа ([6], стр. 472), видим, что | Ф (z) | < CF всюду в области D + L, что и требовалось доказать.

§ 5. В случае конечного индекса х > 0 однородная задача Ри- мана имеет * + 1 ограниченных линейно-независимых решений, и для выделения частного решения надо задать * + 1 условий ([1], стр.

114). Рассмотрим подобный вопрос для данного случая.

Пусть

0, 0 , . . . , ' 0 , z„ г2, . . . , zn, ... (г„-»'оо) (13)

k раз

— последовательность комплексных чисел 0 < | zx | < | z2 | < ... Число

со

vQ = inf]v}, где v > 0 такие, что £ (1/!z„Г ) < со, называется ПОКаза-

^ 1

телем сходимости последовательности (13).

Т е о р е м а 4. Общее решение задачи (1) в классе всех ограни­

ченных в D + L функций выражается формулой

я=1 а

б которой показатель сходимости последовательности \zn\ равен нулю; при условии, что на L выполняется асимптотическое нера­

венство

In**

ПО-^)

"о " •

& ^ ( - l ) / ^ (2" )! t ,"l a(a-1 2) ; - - (a- ^ + 2) (in 0а-2^ < CF.

7=1

Однородная краевая задача Римана 163

Эта теорема совпадает, в сущности, с теоремой 3, так как по­

рядок роста F(z) равен показателю сходимости последовательности (13) ее нулей ([6], стр. 523).

С л е д с т в и е 1. Два ограниченных решения Фг{г) и Ф2(г) за­

дачи (1) с общими нулями одинаковой кратности отличаются разве лишь постоянным множителем.

С л е д с т в и е 2. Каноническая функция задачи (1), удовлетво­

ряющая условию Х(0) = 1, единственна.

Это утверждение становится очевидным, если учесть, что вблизи z = а справедливо (11).

С л е д с т в и е 3. Задача (1) имеет бесконечное множество ли­

нейно независимых решений.

§ 6. В § 4 изложены условия принадлежности целой функции F(z) классу G. Приведем здесь другую характеристику для F(z), менее совершенную, но более удобную на практике.

Т е о р е м а 5. Для того чтобы целая функция F(z) = Yi cn?

принадлежала классу G, достаточно соблюдения неравенства

Г j" lim /. i m / l n ' i n i / | c „ l _ г

| _ л ^ ~ Л Inn

- 1

< 1 + а. (14) Д о к а з а т е л ь с т в о . В работе [7] установлено соотношение

—— In In MF (r) l i m

In In г

lim f^{l n l n l}/ l^c" l i"

lnra ,

где MF (r) = max | F(z) \. Пусть (14) справедливо. Тогда для дост.а-

\z\ = г

точно малого е > 0 выполняется оценка

In МР (г) < (In r)¹⁺°-^E при г > г⁰(е). (15) Теперь, используя (15) и (10), обнаружим, что | Ф (z)\ = |.Р(,г)Х(,г) | <

< const, что и требовалось доказать.

В заключение выражаю признательность Н. В. Говорову, озна­

комившему меня со своими работами, и А. А. Гольдбергу, указав­

шему статью [7].

г. Новочеркасск Поступило 28 VII 1964

ЛИТЕРАТУРА

1. Ф. Д. Г а х о в . Краевые задачи. Физматгиз, М., 1963.

2. Н. В. Г о в о р о в . Об однородной краевой задаче Римана с бесконечным ин­

дексом. ИАН БССР, серия физ.-техн. наук, № 1, стр. 12—17, 1964.

3. Н. В. Г о в о р о в. О краевой задаче Римана с бесконечным: индексом. ДАН СССР, т. 154, № 6, стр. 1247—1249, 1964.

4. И. М. М е л ь н и к . Исключительный случай краевой задачи Римана. Тр. Тби- лисск. математ. ин-та АН ГрССР, т. 24, стр. 149—162, 1957.

5. Н. И. М у с х е л и ш в и л и . Сингулярные интегральные уравнения. Физматгиз, М., 1962.

6. А. И. М а р к у ш е в и ч. Теория аналитических функций. Гостехиздат, М.—Л., 1950.

7. A. S c h o n h a g e . Ober das Wachstum zusammengesetzter Funktionen. Math. Z., B. 73, H. 1, S. 22—44, 1960.

11*